LƯỢNG GIÁC góc và cung lượng giác (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

CHƯƠNG VI
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ...................................................................................... 2
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 2
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn ................................................................ 2
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian,
gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian,
gọi tắt là góc 1 rađian ........................................................................................................... 2
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: .......................................................... 2
2. Góc và cung lượng giác. ..................................................................................................... 3
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng. .............................................. 3
c) Hệ thức Sa-lơ. ................................................................................................................... 3
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ............................................................ 4
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC. ......................................................................................................................... 4
1. Phương pháp giải. ............................................................................................................ 4
2. Các ví dụ minh họa. ......................................................................................................... 4
3. Bài tập luyện tập. .............................................................................................................. 9

1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi
tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là
góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số
đo của cung và góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính R có số đo a (0 £ a £ 2p ) , có số đo a0 (0 £ a £ 360) và có độ dài là l
thì:

l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p 180
2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

0

æ180 ÷
ö 0
p
Đặc biệt: 1 rad = çç
,1 =

rad .
÷
÷
çè p ø
180

2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta
quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng
chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt
+
đường tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om
V
chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi
đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
M
O
• Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với
tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia
U
đầu là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou , Ov)
• Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với
điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối
þ

V . Kí hiệu là UV
• Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600

(hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo
p
chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều
2
25
25
âm ba vòng bốn phần bảy(
vòng) thì nói nó quay góc .3600 (hay
7
7
50p
)…
7
þ

• Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou , Ov) là số đo của cung lượng giác UV
c) Hệ thức Sa-lơ.
• Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:
Sđ (Ou, Ov)+ Sđ (Ov , Ow) = Sđ (Ou, Ow)+ k 2p (k Î Z)
Sđ (Ou, Ov)- Sđ (Ou, Ow) = Sđ (Ow , Ov)+ k 2p (k Î Z)
• Với ba điểm tùy ý U , V , W trên đường tròn định hướng ta có :
þ

þ

þ

Sđ UV + Sđ VW = Sđ UW + k 2p (k Î Z)
3

v

m
u


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

þ

þ

þ

Sđ UV - Sđ UW = Sđ WV + k 2p (k Î Z)
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung
tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý
đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng
giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng

a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k Î Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai
góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc 72 0 ra rađian:.
A.

2p
5

B.

3p
5

C.

2p
3

D.

4p
5

C.

10p
7

D.

14p
3

b) Đổi số đo của các góc 6000 ra rađian:.

A.

10p
3

B.

11p
3

c) Đổi số đo của các góc - 370 45' 30'' ra rađian:.
A.0,6587

d) Đổi số đo của góc
A. 500

B. 0,6567

C. 0,6687

D. 0,4587

C. 550

D. 700

5p
sau ra độ:.
18
B. 200

4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

e) Đổi số đo của góc

3p
sau ra độ:.
5
B. 1200

A. 1500

C. 1080

D. 700

C. - 2260 48'

D. - 2600 48'

f) Đổi số đo của góc - 4 sau ra độ:.
B. - 2200 48'

A. - 22600 48'

Lời giải:
a) Vì 10 =

p
2p
p
p
10p
=
,6000 = 600.
rad nên 720 = 72.
=
,
180
5
180
180
3
0

0

0

æ45 ö æ 30 ÷
ö æ4531ö
4531 p
÷
- 37 45' 30'' = - 37 - çç ÷
- çç
= çç
=

.
» 0,6587
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çè60 ø èç60.60 ø èç 120 ø
120 180
0

0

0

0

0

ö
æ180 ÷
æ3p 180 ö
ö
5p æ
o 3p
o
÷
çç 5p . 180 ÷
çç .

b) Vì 1rad = çç
nên
=
=
50
,
=
÷
÷
÷
÷
÷ = 108 ,
÷
18 çè 18 p ø
5 èç 5 p ø
èç p ø
0

0

æ 180 ö
æ720 ö
0
÷
÷
çç
- 4 = - çç4.
=
÷
÷

÷
÷ » - 2260 48' .
çè p ø
çè p ø

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a)

3p
4
A.84,8m

B. 84,2m

C. 84,7m

D. 84,4m

A.32,04m

B. 32,4m

C. 32,7m

D. 32,09m

A.12

B.14

C.14,5

D.11

b) 510

c)

1
3

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra =

a) Ta có l = Ra = 36.

b) Ta có l =

pa
.R nên
180

3p
= 27p » 84,8m

4

pa
p 51
51p
.R =
.36 =
» 32,04m
180
180
5

1
c) Ta có l = Ra = 36. = 12m
3
Ví dụ 3: Cho hình vuông A0 A1 A2 A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp
theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác
þ

þ

A0 Ai , Ai A j ( i , j = 0,1,2,3,4, i ¹ j ).

A1

A0

Lời giải:
þ

·OA = 0 nên sđ A A = k 2p , k Î Z
Ta có A
0
0
0 0

O
A3

A2
þ

·OA = p nên sđ A A = p + k 2p , k Î Z
A
0 1
0
1
2
2
þ

·OA = p nên sđ A A = p + k 2p , k Î Z
A
0
2
0 1
þ
p
3p
p

·
A
A = 2p - + k 2p =
+ k 2p , k Î Z
nên
sđ
A0OA3 =
0 3
2
2
2
þ

Như vậy sđ A0 Ai =

ip
+ k 2p , i = 0,1,2,3 , k Î Z
2

þ
þ
þ
p
Theo hệ thức salơ ta có sđ Ai A j =sđ A0 Aj - sđ A0 Ai + k2p = (j - i). + k 2p , k Î Z .
2

6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou , Ov) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng
giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a)

33p
4
A.

b) -

p
4

B.

3p
4

C.

11p
4

D.

7p
4

B.

p
5

C.

p
7

D.

p
6

291983p
3
A.

p
3

c) 30
A.4,867

B. 4,67

C. 4,87

D. 4,86

Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo là
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £

Û -

33p
+ k 2p , k Î Z
4

33p
33
+ k 2p £ 2p , k Î Z Û 0 £
+ k 2 £ 2, k Î Z
4
4

33
25
£ k£ , kÎ ZÛ k= - 4
8
8

Suy ra a =

33p
p
+ (- 4).2p =
4
4

b) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ -

291983p
+ k 2p , k Î Z
3

291983p
291983
+ k 2p £ 2p , k Î Z Û 0 £ + k 2 £ 2, k Î Z
3
3
7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Û

291983
291989
£ k£
, kÎ ZÛ k=
6
6

Suy ra a = -

291983p
p

+ 48664.2p =
3
3

c) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo là 30 + k2p , k Î Z
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k 2p £ 2p , k Î Z Û 0 £

Û -

15
+ k £ 1, k Î Z
p

15
p - 15
£ k£
, kÎ ZÛ k= - 4
p
p

Suy ra a = 30 + (- 4).2p = 30 - 8p » 4,867 .
Vi dụ 5:

Cho góc lượng

giác

(Ou, Ov)

có số

đo

-

p
. Trong các số
7

29p
22 6p 41p
, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu,
; ;
;
7
7
7
7
tia cuối với góc đã cho?
-

A. -

29p 41p
;
7
7

B. -

29p
22
; 7
7

C. -

22 41p
;
7
7

D.

6p 41p
;
7
7

Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
Vì -

29p
7

nên các số -

æ p÷
ö

çç- ÷= (- 2).2p , - 22 ÷
çè 7 ø
7

æ p÷
ö
æ ö
ö
41p æ
çç- ÷= - 3p , 6p - çç- p ÷
çç- p ÷
và
=
p
÷
÷= 3.2p
÷
çè 7 ø
çè 7 ÷
7 çè 7 ÷
7
ø
ø

29p 41p
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc
;
7
7

đã cho.
Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov) = a và sđ (Ou ', Ov ') = b . Chứng minh rằng hai góc hình học

uOv, u ' Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z .
8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:
Ta có sđ (Ou, Ov) = a và sđ (Ou ', Ov ') = b suy ra tồn tại a 0 , p < a 0 £ p , f 0 , p < b 0 £ p
và số nguyên k0 , l0 sao cho a = a0 + k0 2p , b = b 0 + l0 2p .
·
Khi đó a 0 là số đo của uOv
và b 0 là số đo của u·' Ov ' .

é a = b0
Hai góc hình học uOv, u ' Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a 0 = b 0 Û ê 0
êa = - b
0
ë0
Û b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.0: a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 200 .( chính xác đến 0,001 )
A.0,349

B. 0,391

C. 0,493

D. 0,342

a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 400 25' .( chính xác đến 0,001 )
A.0,705

B. 0,732

C. 0,752

D. 0,051

a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: - 27 0 .( chính xác đến 0,001 )
A. - 0, 471

B. - 0, 477

b) Đổi số đo của góc sau ra độ:
A. 100 35' 58''

D. - 0, 472

C. 1006' 58''

D. 100 35'8''

C. - 510 4'9''

D. - 510 24'9''

C. - 280 28' 44''

D. - 2860 28' 44''

p
.
17

B. 100 3' 58''

b) Đổi số đo của góc sau ra độ: A. - 510 24'7''

C. - 0, 432

2p
.
7

B. - 50 24'9''

b) Đổi số đo của góc sau ra độ: - 5 .
A. - 2860 28' 4''

B. - 2860 2' 44''

9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:

Bài 6.0: a) 200 » 0,349, 400 25' » 0,705, - 270 » - 0,471
b)

p
2p
= 100 35' 58'', = - 510 24'9'', - 5 = - 2860 28' 44''
17
7

Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo

mp
39p
và
( m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu,
9
7

tia cuối được không?
A.Không

B.Có

C. Có thể có

D. A, B, C đều sai

Lời giải:
Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó

mp 39p
= k 2p , k Î Z
9
7

Hay 7 m - 9.39. = 9.7.k 2 Û 7 (m - 18 k) = 351 Û m - 18 k =

351
với k , m Î Z .
7

Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí.
Vậy hai góc lương giác

mp
39p
và
( m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối.
9
7

Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a)

3p
7
A.33,66m

B. 33,6m

C. 34,66m

D. 35,66m

B. 21,8m

C. 21,3m

D. 21,21m

b) 490
A.21,38m

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c)

4
3
A.33,333m

B. 33,673m

C. 33,443m

D. 33,356m

Lời giải:
Bài 6.2: a) Ta có l = Ra = 25.

b) Ta có l =

3p
» 33,66m
7

pa
p 49
.R =
.25 » 21,38m
180
180

4
c) Ta có l = Ra = 25. » 33,333m
3
Bài 6.3: Tìm số đo a0 của góc lượng giác (Ou , Ov) với 0 £ a £ 360 , biết một góc lượng
giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 3950
A. 350

B. 950

C. 300

D. 460

B. 87 0

C. 22 0

D. 8 0

b) - 10520
A. 280
0

c) (20p )

0

A. (31p )

0

B. (25p )

0

C. (29p )

0

D. (20p )

Lời giải:

Bài 6.3: a) 350

b) 280

0

c) (20p )

11