LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:
sin( a + b) =
sin( a - b) =
cos( a + b) =
cos( a - b) =

sin a.cos b + sin b.cos a
sin a.cos b - sin b.cos a
cos a.cos b - sin a.sin b
cos a.cos b + sin a.sin b
tan a + tan b
tan( a + b) =
1 - tan a.tan b
tan a - tan b
tan( a - b) =
1 + tan a.tan b

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.

sin2a = 2sin a .cos a

cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a
tan 2a =

2 tan a
1- tan 2 a

b) Công thức hạ bậc.

1 - cos 2a
2
1
+
cos
2a
cos 2 a =
2
1 - cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a
3. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a cos b = éëcos( a + b) + cos( a - b)ù
û
2
1
sin a sin b = - éëcos( a + b) - cos( a - b)ù
û
2
1
sin a cos b = éësin( a + b) + sin( a - b)ù
û
2
sin 2 a =

1

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4. Công thức biển đổi tổng thành tích.

cos a + cos b = 2 cos

a+ b
a- b
.cos
2
2

tan a + tan b =

a+ b
a- b
.sin
2
2
a+ b
a- b
sin a + sin b = 2 sin
.cos
2
2
a+ b
a- b
sin a - sin b = 2 cos
.sin

2
2
cos a - cos b = - 2 sin

sin( a + b)
cos a.cos b

tan a - tan b =

sin( a - b)
cos a.cos b

cot a + cot b =

sin(a + b)
sin a.sin b

cot a - cot b =

sin(b - a)
sin a.sin b

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác
nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác
đặc biệt.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 .

A.

6- 2
4

B.

6+ 2
4

C.

6
4

D.

2
4

D.

5- 1
4

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180

A.

5- 1
2

B.

5- 2
2

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan

C.

5- 1
3

7p
12

2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. - 2 -

3

B. - 2 +

3

d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot

A. 1 -

2

B. 3 -

C. 2 -

3

D. - 2 - 2 3

C. 2 -

2

D. 1 - 2 2

5p
8

2

Lời giải:
a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên

cos7950 = cos750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 =

3 2 1 2
.
- .
=
2 2
2 2

6- 2
4

b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360
Mà cos 360 = cos (2.180 ) = 1 - 2 sin 2 180

sin 540 = sin (180 + 360 ) = sin180 cos 360 + sin 360 cos18 0
= sin180.(1 - 2 sin 2 180 )+ 2 sin180 cos2 180 = sin180.(1 - 2 sin 2 180 )+ 2 sin180 (1- sin2 180 )

= 3sin180 - 4sin3 180
Do đó 3sin180 - 4 sin 3 180 = 1 - 2 sin2 180 Û (sin180 - 1)(4 sin2 180 + 2 sin180 - 1) = 0

Û sin180 = 1 hoặc sin180 =

5- 1
hoặc sin180 =
2

Vì 0 < sin180 < 1 nên sin180 =

5+ 1
2

5- 1
.
2

p
p
æp p ÷
ö tan 3 + tan 4
7p
3+ 1
c) tan
= tan çç + ÷
=
=
= - 2÷
çè 3 4 ø
p
p 1- 3
12
1 - tan tan
3
4

3

3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d) cot

æp p ö
5p
p
= cot çç + ÷
= - tan
÷
÷
ç
8
8
è2 8 ø

æ pö
p
Ta lại có 1 = tan = tan çç2. ÷
÷
÷=
çè 8 ø
4

1- tan2

Û tan

2 hoặc tan

p
= - 1+
8

p
p
> 0 nên tan = - 1 +
8
8

Vậy cot

p
8

p
1 - tan
8

suy ra

2

p
p
p
p
= 2 tan Û tan 2 + 2 tan - 1 = 0
8
8
8
8

p
= - 18

Do tan

2 tan

5p
= 18

2

2

2

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin 220 30'cos 2020 30'

A. -

2
4

b) B = 4 sin 4

A.

2
5

B. -

2
3

D-

3+ 2
4

D.

C. -

3 2
4

p
p
+ 2 cos
16
8

6+ 2
4

B.

5+ 2

4

C.

6-

2
4

p
2p
sin - sin
5
15
c) C =
p
2p
cos - cos
5
15
A. -

3

B.

3

C. - 3 3

D. - 2 3

4


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
p
5p
7p
d) D = sin - sin
+ sin
9
9
9
A.0

B.

C. - 3 3

3

D. - 2 3

Li gii:
a) Cỏch 1: Ta cú cos 2020 30' = cos (1800 + 220 30') = - cos 220 30'

Do ú A = - sin 220 30'cos 220 30' = -

Cỏch 2: A =

=

1
2
sin 450 = 2
4

1ộ
1
sin (220 30'+ 2020 30')+ sin (220 30'- 2020 30')ự
= ộờsin 2250 + sin (- 1800 )ự
ờ
ỳ
ỳ
ỷ 2ở
ỷ
2ở

1ộ
1
2
sin (1800 + 450 )- sin1800 ự
= - sin 450 = ờ
ỳ
ở
ỷ
2
2
4

2

2
ổ
ử
ổ p ửự
p ộ
2 p ữ
ỗ
ỳ + 2 cos p
b) B = ỗ2 sin
+ 2 cos = ờ1 - cos ỗỗ2. ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗố
16 ứ
8 ờở
8
ốỗ 16 ứỳ
ỷ

= 1 - 2 cos

p
p
p
+ cos 2 + 2 cos = 1 +
8

8
8

p
2
1+
4 = 1+
2 = 6+ 2
2
2
4

1 + cos

1 ổp 2p ử
1ổ
p
2p
ữ
ỗỗp 2 cos ỗỗ +
sin
ữ
- sin
ữ
ỗ
2 ố 5 15 ứ 2 ốỗ 5
5
15 =
c) C =
p

2p
1 ổp 2p ử
1 ổp
ữ
cos - cos
- 2 sin ỗỗ +
sin ỗỗ ữ
ữ
5
15
2 ỗố 5 15 ứ 2 ốỗ 5
sin

2p ửữ
p
ữ
cos
ữ
15 ứ
6 = - cot p = =p
6
2p ửữ
sin
ữ
ữ
6
15 ứ

3

ổ p
7p ử
5p
4p
p
5p
4p
5p
- sin
= 2 sin
.cos - sin
= sin
- sin
=0
d) D = ỗỗsin + sin ữ
ữ
ữ
ỗố
9
9ứ
9
9
3
9
9
9
Vớ d 3: Tớnh giỏ tr biu thc lng giỏc sau:

5

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) A =

1
+
cos 2900

A.

1
3 sin 2500

4 3
3

3
2

B.

2 3
3

C.

D.

3
3

b) B = (1 + tan 200 )(1 + tan 250 )
A.2

B.1

C.3

D.5

C.3

D.5

1
2

D.5

c) C = tan90 - tan 270 - tan630 + tan810
A.2
d) D = sin 2

B.4

p
2p
p
2p
+ sin 2

+ sin sin
9
9
9
9

A.2

B.

3
4

C.

Lời giải:
a) Ta có cos 2900 = cos (1800 + 900 + 200 ) = - cos (900 + 200 ) = sin 200

sin 2500 = sin (1800 + 900 - 200 ) = - sin (900 - 200 ) = - cos 200

1
C=
sin 200

= 4

1
3 cos 200

=

3 sin 200 - sin 200
3 sin 200.cos 200

sin 600 cos 200 - cos 600 sin 200
3 sin 400

=

3
1
cos 200 - sin 200
2
= 4 2
0
3.2.sin 20 .cos 20 0

4 sin 400
3 sin 400

=

4 3
3

0ö
æ sin 200 öæ
sin 200 + cos 200 sin 250 + cos 250
÷
çç1 + sin 25 ÷

÷
÷
b) Cách 1: Ta có B = ççç1 +
=
.
÷
÷
÷çç cos 250 ø
÷
çè cos 200 øè
cos 200
cos 250

6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
=

sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450
sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450
2.
. 2.
cos 200
cos 250

= 2

sin 650 sin 700
= 2

cos 200 cos 250

Cách 2: Ta có tan 450 = tan (200 + 500 ) =

Suy ra 1 =

tan 200 + tan 250
1 - tan 200 tan 250

tan 200 + tan 250
Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 1
0
0
1 - tan 20 tan 25

Û (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) = 2 .
Vậy B = 2
c) C = tan 90 + tan 810 - (tan 27 0 + tan 630 )

=

sin 90 cos 810 + sin 810 cos 90 sin 27 0 cos 630 + sin 630 cos 27 0
cos 90 cos 810
cos 27 0 cos 630

2 (sin 540 - sin180 )
1
1
2
2

=
=
=
cos 90 sin 90 cos 27 0 sin 27 0 sin180 sin 54 0
sin18 0 sin 54 0
=

4 cos 360.sin180
= 4
sin180.sin 540
2

p
2p
p
2p æ
p
2p ö
p
2p
+ sin sin
= ççsin + sin ÷
- sin sin
d) D = sin + sin 2
÷
÷
ç
9
9
9

9 è
9
9ø
9
9
2

2

æ
p
p ö 1æ
p
pö
p
1 æ1
pö
= çç2 sin cos ÷
+ ççcos - cos ÷
= cos 2 + çç - cos ÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çè
6
18 ø 2 èç
3

9ø
18 2 èç 2
9ø
p
1 + cos
ö 3
9 + 1æ
çç 1 - cos p ÷
=
=
÷
÷
2
2 çè 2
9ø 4

7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

é1
ù
3
p
3 cos x = 2 êê sin x ±
cos xú
= 2 sin( x ± )
ú

2
3
êë2
ú
û
é 3
ù
1
p
ê
• 3 sin x ± cos x = 2 ê sin x ± cos xú
= 2 sin( x ± )
ú
2
6
êë 2
ú
û
é1
ù
1
p
• sin x ± cos x = 2 ê sin x ±
cos xú= 2 sin( x ± ) .
ê 2
ú
4
2
ë
û

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
• sin x ±

a) A = sin

A.

p
p
p
p
cos .cos .cos
32
32
16
8

3 2
16

B.

3
16

12
16

C.

D.

2
16

b) B = sin10o.sin 30o.sin 50o.sin70o
A.

1
16

B.

3
4

C.

1
2

D.5

B.

3
4

C.

1
2

D.5

C.

5
4

D.5

p
3p
c) C = cos + cos
5
5
A.2

d) D = cos2
A.2

p
2p
3p
+ cos2
+ cos2
7
7
7

B.

3
4

Lời giải:

8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a)

A=

ö
1æ
p
p 1
p
p
p 1
p
p 1
p
2
çç2 sin p cos p ÷
.cos
.cos
=

sin
.cos
.cos
=
sin
.cos
=
sin
=
÷
÷
2 çè
32
32 ø
16
8 2
16
16
8 4
8
8 8
4 16

1
cos 200 cos 400 cos 80o do đó
2

b) Ta có B =

16sin 200.B = 8sin 200 cos 200 cos 400 cos80o

= 4 sin 400 cos 400 cos 80 o
= 2 sin 800 cos 800 = sin160 0

sin1600
1
Suy ra B =
.
=
0
16
16 sin 20

p
p
2p
c) Ta có C = 2 cos cos
. Vì sin ¹ 0 nên
5
5
5
p
p
p
2p
2p
2p
4p
2 sin .C = 4 sin cos cos
= 2 sin
cos

= sin
5
5
5
5
5
5
5
Suy ra C =

1
2

c) D =

2p
4p
6p
1 + cos
1 + cos
ö
7 +
7 +
7 = 3 + 1æ
ççcos 2p + cos 4p + cos 6p ÷
÷
2
2
2
2 2 çè

7
7
7 ÷
ø

Xét T = cos

2p
4p
6p
p
, vì sin ¹ 0 nên
+ cos
+ cos
7
7
7
7

1 + cos

9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
p
2p
p
4p

p
6p
2 sin T = 2 sin cos
+ 2 sin cos
+ 2 sin cos
7
7
7
7
7
7
7
æ 3p
ö
æ
ö
æ
p ç 5p
3p ÷ ç
5p ö÷
= ççsin
- sin ÷
+
sin
sin
+
sin
p
sin
÷

÷
÷
ç
ç
çè
7
7 ø÷ èç
7
7 ø÷ èç
7 ø÷
= - sin

Suy ra T = -

Vậy D =

p
7

1
.
2

3 1 æ
1ö 5
+ .çç- ÷
÷= .
2 2 çè 2 ÷
ø 4

Ví dụ 5: Cho a , b thoả mãn sin a + sin b =

2
6
và cos a + cos b =
.
2
2

a) Tính cos (a - b ) .

A.0

B.

3
4

C.

5
4

D.5

B.

3
4

C.

5
4

D.

b) Tính sin (a + b ) .

A.2

3
2

Lời giải:
• Ta có sin a + sin b =

cos a + cos b =

2
1
Û sin2 a + sin 2 b + 2 sin a sin b = (1)
2
2

6
3
Û cos2 a + cos2 b + 2 cos a cos b = (2)
2
2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin 2 a + sin 2 b + cos 2 a + cos 2 b + 2 sin a sin b + 2 cos a cos b = 2
Û 2 + 2 (sin a sin b + cos a cos b ) = 2 Û 2 cos (a - b ) = 0

Vậy cos (a - b ) = 0

2 6
.
2 2

• Từ giả thiết ta có (sin a + sin b )(cos a + cos b ) =

3
2

Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b =
Û

1
3
(sin 2a + sin 2b )+ sin (a + b ) =
2
2

Mặt khác sin 2a + sin 2b = 2 sin (a + b )cos (a - b ) = 0 (Do cos (a - b ) = 0 )

Suy ra sin (a + b ) =

3
2

3. Bài tập rèn luyện.
Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

1- 2
2

B.

2- 2
2

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

2- 2 2 +
2

2

B.

3

C.

3- 2
2

D.

2- 2 2
2

p
16

2-

c) Tính giá trị lượng giác sau cot

A. - 2 -

p
8

2+
3

2

C.

2+

2+
7

2

D.

2-

2+
2

2

11p
12

B. - 2 +

3

C. 2 -

3

D. - 2 - 2 3

11


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được

2 sin 2

p
p 2- 2
p
= 1 - cos =
Þ sin =
8
4
2
8

2 sin 2

p
p
= 1 - cos = 1 16
8

2- 2
2

2+ 2
p
Þ sin =
2
16

2-

2+
2

2

p
p
1 + tan tan
æ
ö
11p
p
p p
3
4 = - 1+ 3 = - 2cot
= - cot = - cot çç - ÷
=÷
÷
ç
p
p
12

12
è3 4 ø
3- 1
tan - tan
3
4

3

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = 4sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360

A.

1+

3

B.

2

1+ 2 3
2

C.

1-

3

2

D.

1+

3
3

b) B = (1 - cot 230 )(1 - cot 220 )
A.2
c) C = cos

B.3

D.5

B.3

C.4

D.5

B.3

C.4

D.5

p

5p
7p
+ cos
+ cos
9
9
9

A.0

p
+
5
d) D =
p
2 cos 5
2 sin

A.1

C.4

p
20
p
2 sin
20

2 sin

12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
Bài 6.27:a)

4 sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360 = 2 sin 450 (cos150 + cos 9 0 )- 2 sin 450 cos 90

2 sin 450 cos150 = sin 300 + sin 600 =

1+ 3
2

æ cos 230 ÷
öæ cos 220 ö
÷
çç1 ÷
÷=
b) C1: B = ççç1 0 ÷
0 ÷
ç
÷
÷
çè sin 23 øèç sin 22 ø

C2: 1 = cot 450 = cot (220 + 230 ) =

c) C = 2 cos

2 sin (230 - 450 ). 2 sin (220 - 450 )
sin 230 sin 220

= 2

cot 220 cot 230 - 1
Þ B= 2
cot 220 + cot 230

3p
2p
7p
2p
7p
cos
+ cos
= cos
+ cos
=0
9
9
9
9
9

p
p
p
p
3p

p
p
p
+ 2 sin cos
2 sin + sin - sin
2 sin cos
5
20
4=
5
10
5 =
4
10 = 1
d) D =
p
p
p
p
3p
p
p
p
2 cos - 2 sin sin
2 cos + cos - cos
2 cos cos
5
20
4
5

10
5
4
10
2 sin

Bài 6.28: Tính:
a) Tính giá trị lượng giác của góc cos

A.

b) cos4

2+ 6
4

B.

1+ 2 3
2

p
12

C.

1-

3
2

D.

1+

3
3

p
p
- sin 4
24
24

13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2+ 6
4

A.

1-

3

B.

1+ 2 3

2

C.

B.

1+ 2 3
2

C.

1
2

D.

B.

1
8

C.

1
2

D.

D.

2

1+

3
3

c) cos 360 - cos720

2+ 6
4

A.

1+

3
3

d) sin100 sin 500 sin700

2+ 6
4

A.

1+

3
3

Lời giải:

Bài 6.28: a) cos

Tương tự sin

b) cos4

æp p ö
p
p
p
p
p
= cos çç - ÷
= cos cos + sin sin =
÷
÷
ç
12
3
4
3
4
è3 4 ø

p
=
12

6- 2
p
,tan = 2 4
12

p
p
- sin 4
=
24
24

0

0

c) cos 36 - cos 72 =

2 cos2 360 - 2 cos2 720
2 (cos 360 + cos720 )

3,cot

2+ 6
4

p
= 2+ 3
12

æ 2 p
ö
p öæ
p
ççcos
ççcos2 p - sin 2 p ÷
+ sin 2 ÷
= cos =
÷
÷
÷
÷
çè
24
24 øèç
24
24 ø
12
2 (cos 36 0 - cos 72 0 )(cos 36 0 + cos 72 0 )
2 (cos 36 0 + cos 72 0 )

=

cos720 - cos1440
2 (cos 360 + cos720 )

=

2+ 6

4

=

1
2

d) 8sin 200 sin100 sin 500 sin700 = 8sin 200 cos 200 cos 400 cos 800

= 4sin 400 cos 400 cos800 = 2sin800 cos800 = sin1600 = sin 200

14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Þ sin100 sin 500 sin700 =

1
8

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = cos2 730 + cos2 470 + cos730 cos 470

A.

3
4

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+

3
3

b) B = sin60 sin 420 sin660 sin780

A.

1
16

1+

B.

1
8

C.

1
2

D.

B.

1
8

C.

1
2

D.

B.

1
8

C.

1
2

D. 2

3
3

p
4p
5p
c) C = cos cos
cos
7
7
7

A.

d) D =

A.

1
16

1+

3
3

1
- 4 sin 700
0
sin10

1
16

Lời giải:
Bài 6.29: a)
2

2

A = (cos730 + cos 47 0 ) - cos730 cos 47 0 = (2 cos 600 cos180 ) -

=

1
(cos1200 + cos 360 )
2

1 + cos 360 1 cos 360 3
+ =
2
4
2
4

15


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin120 sin 240 sin 480 sin 960

1
b) B = sin 6 cos 48 cos 24 cos12 =
.
.
.
=
0
0
0
0
16
2 cos 6 2 sin12 2 sin 24 2 cos 48
0

0

0

0

2p
4p
8p
sin
sin
p
4p
2p
7 .
7 .

7 = 1
c) C = - cos cos
cos
=p
2p
4p 8
7
7
7
2 sin 2 sin
2 sin
7
7
7
sin

0
0
1 - 4 sin 700 sin100 1 + 2 (cos 80 - cos 60 )
d) D =
=
= 2
sin100
sin100

Bài 6.30: Cho a , b thoả mãn sin a + sin b = m và cos a + cos b = n , mn ¹ 0 .
Tính cos (a - b )

A.

m 2 + n2
- 1
2

B.

3m 2 + n2
- 2m
2

C.

m 2 - n2
- 1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

B.

3m 2 + n2
- 2m
2

C.

m 2 - n2
- 1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

B.

2mn
m 2 + n2

C.

m 2 - n2
- 1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

Tính cos (a + b )

A.

n2 - m 2
m 2 + n2

Tính sin (a + b ) .

A.

n2 - m 2
m 2 + n2

Lời giải:
2

2

Bài 6.30: + Ta có (sin a + sin b ) + (cos a + cos b ) = m2 + n2

16


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Û sin 2 a + sin 2 b + cos 2 a + cos 2 b + 2 sin a sin b + 2 cos a cos b = m2 + n2
m 2 + n2
Û cos (a - b ) =
- 1
2
2

2

+ (cos a + cos b ) - (sin a + sin b ) = n2 - m2 Û cos 2a + cos 2b + 2 cos (a + b ) = n2 - m2

Û 2 cos (a + b )cos (a - b )+ 2 cos (a + b ) = n2 - m2 Û 2 cos (a + b )éêcos (a - b )+ 1ù
= n2 - m 2
ú
ë
û

m 2 + n2
n2 - m 2
2
2
= n - m Þ cos (a + b ) = 2
Suy ra 2 cos (a + b ).
2
m + n2

+ (sin a + sin b )(cos a + cos b ) = mn
Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b = mn
1
Û (sin 2a + sin 2b )+ sin (a + b ) = mn Û sin (a + b )cos (a - b )+ sin (a + b ) = mn
2
m 2 + n2
2mn
sin (a + b ) = mn Þ sin (a + b ) = 2
2
m + n2

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = sin

A.

p
7p
13p
19p
25p
sin
sin
sin
sin
30
30
30
30
30

1
32

B.

1
2

C.

1

4

D.

1
8

C.

1
4

D.

1
8

b) cos 24o + cos 48o - cos84o - cos12o
A.

1
32

B.

1
2

17

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
2p
3p
c) cos - cos
+ cos
7
7
7
A.

1
32

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

Lời giải:
Bài 6.31: a)

1
32

b)

1
2

c)

1
2

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

p
4p
5p
a) A = cos .cos .cos
7
7
7
A.

1
8

B.

3
8

C.

1
16

D.

1
32

3
8

C.

1
16

D.

1
32

C.

1
16

D.

1
32

C.

1
16

D.

1
32

b) B = cos100.cos 500.cos700
A.

1
8

B.

c) C = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin78o
A.

1

8

d) E = cos

A.

1
8

B.

3
8

2p
4p
8p
16p
32p
.cos .cos .cos
.cos
31
31
31
31
31
B.

3
8

e) F = sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin75o.sin85o

18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.

1
8

B.

3
8

C.

1
16

D.

2
512

Lời giải:

Bài 6.32: a)

1
8

3
8

b)

c)

1
16

d)

1
32

e)

Bài 6.33: Tính A = (1 + tan10 )(1 + tan 20 )...(1 + tan 450 )
A. 2 23

B.

3
8

C. 2 24

D.

2
512

Lời giải:

Bài 6.33: 1 + tan k =
0

2 cos (450 - k 0 )
cos k

0

(

)

Þ (1 + tan k 0 ) 1 + tan (450 - k 0 ) = 2

Do đó A = 2 23
Bài 6.34: Tính A = cos a cos2a cos3a ...cos999a với a =

A. 2 23

B.

1

2

999

C. 2 24

2p
1999
D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.34: Đặt B = sin a sin 2a sin 3a ...sin999a khi đó

2999 A.B = sin 2a sin 4a ...sin1998a
= (sin 2a sin 4a ...sin 998a ). éê- sin (2p - 1002a )ù
... é- sin (2p - 1998a )ù
= B
ú
ú
ë
û êë
û
Suy ra A =

1
2999

.

19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho cos 2 x = -

p
4
p
, với < x < .
4
5
2

a) Tính sin x, .
A.

2

B.

3 10

3

1

C.

10

10

D.

2
10

b) Tính cos x .

A.

2

B.

3 10

3

1

C.

10

10

D.

2
10

æ pö
c) Tính sin ççx + ÷
÷.
3÷
èç
ø

A.

3+

3

2 10

B.

2+

3

2 10

C.

1+ 2 3
2 10

D.

1+

3

2 10

æ
pö
d) Tính cos çç2 x - ÷
÷
÷.
çè
4ø

A. -

2
10

B.

3
10

C. -

3
10

D.

2
10

Lời giải:
Vì

p
p
nên sin x > 0, cos x > 0 .
< x<
4
2

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin 2 x =

1 - cos 2 x
9
=
Þ sin x =
2
10

3

cos2 x =

1 + cos 2 x
1
=
Þ cos x =
2
10

1

10

10

Theo công thức cộng, ta có

æ pö
p
p

sin ççx + ÷
= sin x cos + cos x sin =
÷
÷
çè
3ø
3
3

3

1
. +
10 2

1
10

.

3 3+ 3
=
2
2 10

æ
pö
p
p
4 2

2
3
1
2
cos çç2 x - ÷
= cos 2 x sin + cos sin 2 x = - .
+
.2.
.
=÷
÷
çè
4ø
4
4
5 2
2
10
10 10
Ví dụ 2: Cho cos 4a + 2 = 6sin2 a với
A. tan 2a = - 3 3

p
< a < p . Tính tan 2a .
2

B. tan 2a = - 2 3

C. tan 2a = -

3

D. tan 2a =

3

Lời giải:
Ta có cos 4a + 2 = 6 sin 2 a Û 2 cos 2 2a - 1 + 2 = 3 (1 - cos 2a )

Û 2 cos2 2a + 3cos 2a - 2 = 0 Û (2 cos 2a - 1)(cos 2a + 2) = 0 Û cos 2a =

1
(Vì
2

cos 2a + 2 > 0 )
Ta có 1 + tan 2 2a =

Vì

1
1
Þ tan 2 2a =
- 1= 3
2
cos 2a
cos2 2a

p
< a < p Þ p < a < 2p nên sin 2a < 0 . Mặt khác cos 2a > 0 do đó tan 2a < 0

2

Vậy tan 2a = Ví dụ 3: Cho

3

1
1
1
1
+
+
+
= 7 . Tính cos 4a .
2
2
2
tan a cot a sin a cos2 a

21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. cos 4a = -

7
10

B. cos 4a = -

7
11

C. cos 4a = -

7
12

D. cos 4a = -

7
9

Lời giải:
Ta có

Û
Û

1
1
1
1
+
+
+
= 7
2
2
2

tan a cot a sin a cos2 a

sin 2 a + 1 cos 2 a + 1
+
=7
cos 2 a
sin 2 a
sin 2 a (sin 2 a + 1)+ cos 2 a (cos 2 a + 1)

sin 2 a cos 2 a
Û sin 4 a + cos 4 a + 1 = 7 sin 2 a cos 2 a

=7

2

Û (sin 2 a + cos 2 a ) - 2 sin 2 a cos 2 a + 1 = 7 sin 2 a cos 2 a
Û 2 = 9 sin 2 a cos 2 a
2

Û 8 = 9 (2 sin a cos a )
Û 8 = 9 sin 2 2a
Û 16 = 9 (1 - cos 4a )
Û cos 4a = -

7
9

Vậy cos 4a = -

7
9

Ví dụ 4: Cho sin a + cos a = cot

A. - 1

æa + 2013p ÷
ö
a
với 0 < a < p . Tính tan çç
.
÷
÷
çè
2
ø
2

B. 1

C. 0

D.

1
2

Lời giải:

a
a
a
Ta có sin a = 2 sin cos = 2 cos 2 .
2
2
2

a
a
2 tan
2 =
2
a
a
cos
tan 2 + 1
2
2
sin

22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ
ö
a
çç sin 2 a ÷
1 - tan 2

÷
÷
a
a
a
ç
2÷
2
÷
cos a = cos 2 - sin 2 = cos 2 çç1 =
÷
ç
a
a
÷
2
2
2ç
2
tan 2 + 1
÷
ççè cos ÷
ø
2÷
2

a
a
1 - tan 2
a

2 +
2 = 1
Do đó sin a + cos a = cot Û
a
a
a
2
tan 2 + 1 tan 2 + 1 tan
2
2
2
2 tan

aæ
a
aö
a
a
a
a
Û tan çç1 + 2 tan - tan 2 ÷
= 1 + tan 2 Û tan 3 - tan 2 - tan + 1 = 0
÷
÷
2 çè
2
2ø
2
2
2

2
æ a
Û ççtan çè
2

2

öæ a
ç
1÷
÷
÷ èççtan 2 +
ø

Vì 0 < a < p Þ 0 <

ö
a
1÷
= 0 Û tan = ± 1
÷
÷
2
ø

a
a
a p
a
do đó tan > 0 nên tan = 1 Þ cot = 1

<
2
2
2 2
2

æa + 2013p ö
æa
ö
a
÷
çç + 2006p + p ÷
Ta có tan çç
=
tan
= - cot = - 1
÷
÷
÷
÷
çè
2
2ø
2
ø
èç 2
æa + 2013p ö
÷
Vậy tan çç
÷

÷= - 1
çè
2
ø
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin a ,cos a ,tan a ,cot a qua t = tan

sin a =

a
như sau:
2

2t
1- t 2
2t
1- t 2
,cos
a
=
,
tan
a
=
,cot
a
=
với a làm các biểu thức có
2t
1+ t2
1+ t2

1- t 2

nghĩa.
Ví dụ 5: Cho sin (a + b ) =

1
, tan a = - 2 tan b .
3

æ 3p ö
æ pö
æ 5p ö
æ
pö
÷
÷
÷
cos çça + ÷
+ sin ççb sin ççb Tính A = sin çça +
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷.
çè
çè
8 ø èç

8ø
12 ø èç
12 ø

23


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
A.

- 1
3

1
3

B.

C.

2
3

D.

4
7

Li gii:
Ta cú sin (a + b ) =

1
1
sin a cos b + cos a sin b = (1)
3
3

tan a = - 2 tan b sin a cos b = - 2 sin b cos a (2)

ỡù
ùù cos a sin b = - 1
ù
3ị
T (1) v (2) ta c ớ
ùù
2
ùù sin a cos b = 3
ùợ

ỡù
ùù (1 - sin 2 a )sin 2 b = 1
ù
9ị
ị ớ
ùù
1
2
2
ùù sin a - sin b =
3

ùợ

Do ú sin 2 a = sin 2 b +

1
9
4
9

ổ
ử 2
1
ỗỗ1 - sin 2 b - 1 ữ
sin b =
ữ
ữ
ỗố
3ứ
9

2
1
ị sin b - sin 2 b + = 0 ị
3
9
4

ỡù
ỡ
ùù cos 2 a sin 2 b = 1 ùùù (1 - sin 2 a )sin 2 b =

ù
9ị ù
ớ
ớ
ùù
4 ùù
2
2
2
2
sin
a
cos
b
=
ùù
ùù sin a (1 - sin b ) =
9 ùợ
ùợ

2

ổ 2
ử
1
ỗỗsin b - 1 ữ
= 0 ị sin 2 b =
ữ
ữ
ỗố

3ứ
3

1 2
=
3 3

ổ
ổ 3p ử
ổ pử
ử
1 ộờ ổ
pự
ữ
ỗỗa + ữ
ỗỗ2a + p ữ
ỳ= 1 ỗỗcos 2a cos
=
sin
sin
Ta cú sin ỗỗa +
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ ốỗ
ữ 2 ờ ốỗ
ữ
ỗố
8ứ

8ứ
2ứ
4ỳ
ở
ỷ 2 ỗố

=

1ổ
ỗỗ1 - 2 sin 2 a 2 ỗỗố

ử 1ổ
2ữ
2
ữ
= ỗỗỗ1 - 2. ữ
ữ
2 ữ
3
ứ 2 ốỗ

ử
2ữ
ữ
ữ
ữ
2 ữ
ứ

2ử

2+ 3 2
ữ
ữ
=ữ
ữ
2 ứ
12
ữ

ộ
ự
ổ
ổ 5p ử
ử
pử
1 ộờ ổ
pự
ữ
ữ
ỗỗb ỗỗ2b - p ữ
ỳ= 1 ờ- cos 2b + 3 ỳ
sin ỗỗb cos
=
sin
+
sin
ữ
ữ
ữ
ữ ốỗ

ữ 2 ờ ốỗ
ữ
ờ
ỗố
12 ứ
12 ứ
2ứ
3ỳ
2 ỳ
ỳ
ở
ỷ 2 ờở
ỷ

=

ử 1ổ
ử - 2+ 3 2
1ổ
ỗỗ- 1 + 2 sin 2 b + 3 ữ
ỗỗ- 1 + 2. 1 + 3 ữ
ữ
ữ
=
=
ữ
ữ
ữ
ữ
2 ỗỗố

2 ứ
3
2 ứ
12
ữ 2 ốỗỗ
ữ

24