Rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải các bài toán trong hình học chữ nhật bằng phương pháp vectơ trong không gian cho học sinh lớp 12 thpt

Lời cảm ơn!
Lời đầu tiên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm
khoa Toán - Lý - Tin, phòng khoa học công nghệ và hợp tác quốc tế, phòng đào
tạo đại học, các giảng viên trong tổ bộ môn PPDH Toán, đặc biệt là Giảng viên
chính, TS. Vũ Quốc Khánh - người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng
như động viên Tác giả có thêm nghị lực hoàn thành Khóa luận.
Nhân dịp này Tác giả cũng xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên
K55- ĐHSP Toán.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo
điều kiện thuận lợi để Tác giả hoàn thành Khóa luận.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2018

Nguyễn Đình Khôi


DANH MỤC TỪ VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Viết tắt

Giáo viên

GV

Giả thiết

GT

Hoạt động

HĐ

Học sinh

HS

Kết luận

KL

Kỹ năng sáng tạo

KNST

Nhà xuất bản

NXB

Phương pháp vectơ

PPVT

Sách giáo khoa

SGK

Tiến sĩ

TS

Trung học phổ thông

THPT


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn Khóa luận .................................................................................... 1
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề .............................................................................. 3
3. Mục đích và đối tượng nghiên cứu ................................................................. 4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 4
5. Giả thuyết khoa học........................................................................................ 4
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 4
7. Cấu trúc Khóa luận ......................................................................................... 4
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn .............................................................. 5
1.1 Cơ sở lý luận về kỹ năng sáng tạo .............................................................. 5
1.1.1 Khái niệm sáng tạo ................................................................................... 5
1.1.2 Năng lực sáng tạo ..................................................................................... 6
1.1.3 Kỹ năng sáng tạo ...................................................................................... 7
1.1.4 Vấn đề rèn luyện kỹ năng sáng tạo ........................................................... 7
1.2 Cơ sở thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo của học sinh THPT ..... 8
1.2.1 Phiếu khảo sát nhận thức về kỹ năng sáng tạo trong giải toán của giáo
viên và học sinh.................................................................................................. 8
1.2.2 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải toán hình học không
gian theo PPVT của học sinh lớp 12 THPT ........................................................ 9
1.3 Vấn đề rèn luyện kỹ năng sáng tạo cho kỹ năng sáng tạo trong tự học giải
bài tập .............................................................................................................. 11
Kết luận chương 1 ............................................................................................ 13
Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn luyện KNST trong giải toán HHKG theo

phƣơng pháp vectơ ......................................................................................... 14
2.1 Một số vấn đề về phương pháp vectơ trong không gian lớp 12 THPT ...... 14
2.1.1 Phân tích chương trình hình học lớp 12 .................................................. 14
2.1.2 Kỹ năng giải bài tập trong chương trình hình học lớp 12 ........................ 15
2.2 Kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập về phương pháp vectơ trong không gian...19


2.2.1 Kỹ năng sáng tạo trong bốn bước chung giải bài tập ........................................19
2.2.2 Kỹ năng trong sáng tạo bài tập mới ........................................................ 22
2.3 Nhóm biện pháp rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập. ................ 22
2.3.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán theo nhiêu góc độ ... 22
2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đi sâu nghiên cứu bài toán để tìm ra
nhiều cách giải khác nhau................................................................................. 25
2.3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng nghiên cứu tìm các ý khác nhau từ bài
toán để tìm ra cách giải hay nhất ...................................................................... 28
2.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện các kỹ năng thực hiện chương trình giải ........... 29
2.3.5 Biện pháp 5: Rèn luyện các kỹ năng khai thác và sáng tạo bài toán mới ...... 31
Kết luận chương 2 ............................................................................................ 34
Chƣơng 3: Thử nghiệm sƣ phạm.................................................................. 35
3.1 Mục đích nội dung và cách tiến hành thử nghiệm ..................................... 35
3.2 Cách tổ chức thử nghiệm .......................................................................... 35
3.2.1 Đối tượng thử nghiệm ............................................................................ 35
3.2.2 Thời gian thử nghiệm ............................................................................. 36
3.3 Kết quả thử nghiệm .................................................................................. 36
3.3.1 Phân tích định tính .................................................................................. 36
3.3.2 Phân tích định lượng............................................................................... 37
3.3.3 Nhận xét ................................................................................................. 38
Kết luận chương 3 ............................................................................................ 39
Kết luận........................................................................................................... 40
Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 41

PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn Khóa luận
Trong những năm gần đây yêu cầu định hướng đổi mới toàn diện giáo dục
đang được thực hiện ở các trường trung học phổ thông (THPT). Trong đó đổi
mới về phương pháp dạy học (PPDH) nhằm phát huy tính tích cực của học sinh
(HS) đã và đang được thực hiện ở tất cả các cấp học, các môn học. Nội dung đổi
mới về PPDH được thể hiện bằng việc đổi mới nội dung , chương trình sách
giáo khoa (SGK) và yêu cầu vận dụng các phương pháp (PP) dạy tự học phát
huy tính tích cực trong tự học cho HS. Phát huy được kỹ năng tự học tích cực và
sáng tạo cho HS sẽ trực tiếp góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo
dục. Đổi mới PPDH trong dạy học môn Toán có một yêu cầu quan trong là dạy
HS cách tự học. Trong tự học của HS vấn đề quan trọng nhất là HS phải rèn
luyện được, phát huy được các kỹ thuật tự học tích cực (KTTHTC).
Các nhà giáo dục học, tâm lý học đều cho rằng tính tích cực trong tự học
của HS là sự huy động các chức năng tâm lý ở mức độ cao nhằm nhận thức và
cải tạo thế giới đồng thời cũng nhận thức và cải tạo chính bản thân mình. Tính
tích cực học tập của HS chỉ có thể được nảy sinh, hình thành và phát triển trong
hoạt động và bằng hoạt động. Muốn đào tạo HS thành con người đáp ứng yêu
cầu xã hội thì chỉ có thể giúp cho HS biết tự học, tự chiếm lĩnh và khám phá ra
tri thức, từ đó tự rèn luyện, hoàn thiện bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ đạo của
giáo viên. Tính tích cực học tập của HS được thể hiện bởi những KTTHTC
trong các hoạt động học tập.
Công cuộc đổi mới của đất nước ta đã và đang đặt ra cho nghành giáo dục
và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nhân lực cao đáp
ứng nhu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Để thực hiện
được nhiệm vụ này ngoài việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách
giáo khoa ở mọi bậc học thì chúng ta phải quan tâm nhiều đến phương pháp dạy

học. Từ các cấp cao nhất của Đảng và nhà nước, lãnh đạo các cấp các ngành đến
các nhà nghiên cứu cũng khẳng định vai trò quan trọng và mật thiết đến với việc
đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục cho đất nước.
Điều này đã được thể thế trong Luật Giáo Dục: “ Phương pháp giáo dục phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi
dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, tác phong công việc
và ý thức trách nhiệm xã hội ”. Theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11, mục tiêu
giáo dục: “Đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri
thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân
1


tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng
lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.”
Từ đó, đã góp phần thúc đẩy ngành giáo dục và đào tạo phải thay đổi, phát triển
nhằm đáp ứng yêu cầu đặt ra.
Để đào tạo được những công dân toàn diện về mọi mặt, một công dân có
trình độ cao, đáp ứng theo xã hội công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước phát
triển theo hướng xã hội chủ nghĩa, thì theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11 nói
chung trong đó có giáo dục Đại học cần “Đào tạo trình độ đại học giúp người
học nắm vững kiến thức chuyên môn và có kỹ năng thực hành thành thạo, có khả
năng làm việc độc lập, sáng tạo và giải quyết những vấn đề thuộc chuyên ngành
được đào tạo.”
Đổi mới phương pháp dạy trong đó đổi mới dạy học, kiểm tra, đánh giá
nhằm rèn luyện kỹ năng sáng tạo là yêu cầu được đặt ra hàng đầu với giáo dục
Việt Nam. Mỗi giáo viên khi trực tiếp đứng lớp giảng dạy đều trăn trở, suy nghĩ
tìm kiếm phương pháp giảng dạy mới phù hợp với yêu cầu đổi mới hiện nay.
Hai yêu cầu đổi mới chính yếu hiện nay là: giáo viên cần tổ chức cho học sinh
khám phá tri thức mới; bồi dưỡng khả năng sáng tạo của học sinh. Nhưng thực
tế việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng sáng tạo chưa

được tiến hành đồng bộ do nhiều nguyên nhân khác nhau
Hiện nay yêu cầu phát triển năng lực, rèn luyện tính tư duy và kỹ năng
sáng tạo trong tự học cho HS rất quan trọng. Trong thực tế hiện nay nhiều
HScòn yếu về tư duy sáng tạo trong học toán nói chung và trong giải bài tập nói
riêng.
Vấn đề rèn luyện kỹ năng sáng tạo cho học sinh theo yêu cầu đổi mới toàn
diện giáo dục là tạo ra sản phẩm giáo dục mang tính toàn diện, hội đủ các kỹ
năng thiết yếu để giúp học sinh hoàn thiện hơn. Chương trình giáo dục hiện nay
vẫn tập trung nhiều vào các môn học trên lớp, nặng kiến thức về lý thuyết chưa
gắn với việc giải quyết những vấn đề mà thực tiễn đặt ra. Nhiều trường học còn
nặng về quản lý hành chính, thiếu linh hoạt, sáng tạo trong việc tổ chức các hoạt
động trong và ngoài lớp học đa dạng, phong phú. Vì thế, phần đông học sinh
thiếu cơ hội rèn luyện kỹ năng sáng tạo. Trước yêu cầu nâng cao chất lượng giáo
dục toàn diện cho học sinh phổ thông đáp ứng mục tiêu đổi mới giáo dục thì đào
tạo phải gắn với nhu cầu của trường học và đầu ra phải đáp ứng đòi hỏi về nhân
cách của giáo viên, đặc biệt là năng lực dạy học để giúp cho học sinh phát huy
được hết kỹ năng sáng tạo của mình một cách tốt nhất.

2


2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
* Ngoài nước: Nhiều công trình đã nghiên cứu về tính tự học tích cực của HS
trước hết phải kể đến các tác giả nghiên cứu về tính tích cực, tính tích cực học
tập
Các tác giả L.X.Vưgôtxki, X.L.Rubinstein, A.N.Leoonchiepvà J.Piaget
cho rằng: Cá nhân luôn hoạt động. Không có hoạt động thì cá nhân không tồn tại
trong môi trường tự nhiên và xã hội xung quanh mình. Chỉ có trong hoạt động
thì tính tích cực cũng như tâm lí, ý thức của con người được bộc lộ.
Các nhà giáo dục Nga cho rằng tính tích cực, độc lập trong quá trình dạy

học là cơ sở vững chắc cho mọi sự học tập có hiệu quả.
G.Polya, I.K.Babanxki 1981, I.F.Khavlamôp cho rằng: tính tích cực là
trạng thái hoạt động của chủ thể. Đã có dự án Việt Bỉ nghiên cứu về các kỹ thuật
dạy và học tích cực
* Trong nước: Vấn đề phát huy tích tích cực nói chung và tính tích cực tự
học của HS luôn được các nhà lãnh đạo, các nhà Giáo dục học, các nhà Tâm lý
học có tâm huyết với nghề thường xuyên trăn trở, bởi lẽ đây là một trong các
yếu tố quyết định kết quả học tập. Có thể kể đến một số tác giả nghiên cứu về
vấn đề này một cách nổi bật, đó là: Các nhà Tâm lý học Việt Nam như Phạm
Minh Hạc, Trần Trọng Thủy, Hồ Ngọc Đại, Trần Hữu Luyến, Nguyễn Kế
Hào,... tiếp cận quan điểm duy vật biện chứng và hoạt động. Tính tích cực là
một thuộc tính của nhân cách bao gồm các thành tố tâm lí như nhu cầu, động cơ,
hứng thú, niềm tin, lý tưởng. Tính chủ thể bao hàm trước hết tính tích cực. Đây
cũng là đặc tính chung của sự sống và đến con người tính tích cực phát triển với
đỉnh cao thành tích, chủ động, say mê, nhiệt tình. Con người là chủ thể hoạt
động, đồng thời con người càng tích cực hoạt động thì tính tích cực chủ thể càng
phát triển cao và do đó con người dần dần hoàn thiện.
Thực tế hiện nay ở các trường THPT ở tỉnh Sơn La, một số giáo viên (Gv)
vẫn sử dụng PPDH theo dạng thông báo kiến thức định sẵn, dạy HS cách học
thụ động, sách vở. Do đó, tình trạng chung hàng ngày vẫn là thầy đọc trò chép,
giảng giải xen kẽ, vẫn đáp tài liệu hay giải thích. Trong học tập và tự học các đối
tượng HS còn gặp nhiều hạn chế về vận dụng KTTHTC.
Như chúng ta đã biết hình học là bộ môn có ý nghĩa rất quan trọng trong
việc hình thành ở người học thế giới quan khoa học, phát triển óc sáng tạo và
nâng cao khả năng cảm nhận cái đẹp. Nhất là đối với HS lớp 10, các em đang ở
đầu cấp của nhà trường THPT, việc sử dụng KTTHTC ngay từ lớp 10 là bước
3


tập dượt, tạo cơ sở cho các em làm quen với phương pháp học tập mới để có thể

tự học trong suốt bậc học THPT. Xuất phát từ những lí do trên Tác giả chọn
Khóa luận nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải các bài toán trong
hình hộp chữ nhật bằng phương pháp vectơ trong không gian cho học sinh lớp
12 THPT”
3. Mục đích và đối tƣợng nghiên cứu
- Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập theo
phương pháp vectơ cho HS lớp 12 THPT.
- Kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập theo phương pháp vectơ trong không
gian.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về kỹ năng sáng tạo
- Nghiên cứu thực trạng về kỹ năng sáng tạo của học sinh trong tự học
giải bài
- Biện pháp rèn luyện các kỹ năng sáng tạo trong trong giải bài tập theo
phương pháp vectơ cho HS lớp 12 THPT
Thử nghiệm sư phạm
5. Giả thuyết khoa học
Nếu có biện pháp rèn luyện các kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập theo
phương pháp vectơ cho HS lớp 12 sẽ phát huy được tính tích cực, tính tự nhận
thức, tính tự giác của HS trong học tập, hình thành ở họ năng lực giải quyết vấn
đề, góp phần nâng cao chất lượng và hiểu quả của quá trình giáo dục đào tạo.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận liên quan đến Khóa luận.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát; điều tra
- Phương pháp thử nghệm
7. Cấu trúc Khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận về kỹ năng sáng tạo
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải toán
cho học sinh lớp 12 THPT

4


Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Cơ sở lý luận về kỹ năng sáng tạo
1.1.1 Khái niệm sáng tạo
Sáng tạo (reation) là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò
bó,phụ thuộc vào những cái đã có. Cái mới, cách giải quyết mới phải có ý nghĩa,
có giá trị hơn
Theo từ điển Tiếng việt thì: “ Sáng tạo là nghĩ ra và làm ra những giá trị
vật chất hoặc tinh thần ”
Theo từ điển Bách khoa toàn thư Liên Xô thì: “ Sáng tạo là một loại hoạt
động mà kết quả của nó là một sản phẩm tinh thần hay vật chất có tính cách tân,
có ý nghĩa xã hội, có giá trị”
Theo nhà tâm lý học thì: Sáng tạo là năng lực đáp ứng một cách thích
đáng nhu cầu tồn tại theo lối mới, năng lực gây ra cái gì đấy mới mẻ. Sự thích
ứng như vậy, nếu có xu hướng nội tâm lý thì chủ yếu liên quan tới cảm giác phát
hiện sự nảy sinh những ý và nghĩa trong, quá trình hình thành mục đích, nếu có
xu hướng ngoại tâm lí thì mang hình thức của các cấu trúc mới, những quy trình
hoặc sáng chế mới hoặc tiếp tục tồn tại.
Theo Triết học thì: Sáng tạo là quá trình, hoạt động của con người tạo ra
những giá trị vật chất, tinh thần mới về chất.
Theo giáo dục thì: Sáng tạo trong dạy và học là những điều cực kỳ thiết
yếu cho GV và cho HS. Và một trong điểm sáng tạo đó là cần phải hiểu khả
năng sáng tạo của mình ra sao để phát huy và cùng hỗ trợ nhau phát triển.Và các
bạn nên biết rằng những vấn đề về sáng tạo trong dạy và học này không khỉ là ở
Việt Nam mà vẫn đang xảy ra mọi nơi trên thế giới.Đối với học sinh phổ thông
tất cả những gì mà họ “ tự nghĩ ra ” khi GV chưa dạy, HS chưa đọc sách, chưa
biết được, nhờ trao đổi với bạn bè đều coi như có mang tính sáng tạo. Sáng tạo

là bước nhảy vọt trong sự phát triển năng lực nhận thức của HS. Không có con
đường logic để dẫn đến sáng tạo, bản thân HS phải tự tìm thấy kinh nghiệm hoạt
động thực tiễn của mình. Cách tốt nhất để hình thành và phát triển năng lực nhận
thức, năng lực sáng tạo của HS là đặt họ vào vị trí chủ thể của hoạt động tự học
của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức hình thành quan điểm đạo đức. Như vậy,
trách nhiệm chủ yếu của người GV là tìm ra biện pháp hữu hiệu để rèn luyện kỹ
năng sáng tạo cho HS từ khi cấp sách đến trường.
5


Như vậy, sáng tạo cần cho bất cứ lĩnh vực nào của hoạt động xã hội loài
người và cho mọi người. Bởi vì trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường gặp
nhiều tình huống cần có sáng kiến mới giải quyết tốt được. Học sinh phải giải
bài toán. Nhà sản xuất phải đưa ra thị trường sản phẩm phù hợp với yêu cầu
người mua. Nhà thiết kế phải tạo ra mẫu mã mới thu hút thị hiếu người tiêu
dùng. Thầy cô phải biết dùng phương pháp giảng dạy hay, gâyđược hứng thú
kích thích học sinh tự học. Rõ ràng cần có sáng tạo mới giải quyết tốt được
những tình huống đó.
Một số trích dẫn về sáng tạo của các nghiên cứu đã có...
1.1.2 Năng lực sáng tạo
Năng lực sáng tạo là khả năng tạo ra những giá trị mới về vật chất và tinh
thần, tìm tòi ra cái mới, vận dụng thành công những hiểu biết đã có áp dụng vào
những cái chưa biết. Năng lực sáng tạo gắn liền với kỹ năng, kỹ xảo và vốn kiến
thức hiểu biết của mình. Trong bất cứ lĩnh vực hoạt động nào, càng thành thạo
và có kiến thức sâu rộng thì càng nhạy bén trong dự đoán, sáng tạo ra được
nhiều cách làm, càng tạo điều kiện cho trực giác nhạy bén.
Năng lực sáng tạo là tự chuyển tải tri thức và kỹ năng từ lĩnh vực quen
biết sang tình huống mới, vận dụng kiến thức đã học trong điều kiện mới hoàn
cảnh mới.
Năng lực sáng tạo là nhận thấy vấn đề lớn trong điều kiện quen biết (tự

đặt câu hỏi mới cho mình và cho mọi nguời về bản chất của các điều kiện, tình
huống, sự vật). Năng lực nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Năng lực sáng tạo là nhìn thấy liên kết của đối tượng đang nghiên cứu.
Thực chất là bao quát nhanh chóng, đôi khi ngay tức khắc, các bộ phận, các yếu
tố của đối tượng trong mối tương quan giữa chúng với nhau.
Năng lực sáng tạo là biết đề xuất các giải pháp khác nhau khi phải xử lý
một tình huống. Khả năng huy động các kiến thức cần thiết để đưa ra giả thuyết
hay các dự đoán khác nhau khi phải lý giải một hiện tượng.
Năng lực sáng tạo là biết xác nhận bằng lý thuyết và thực hành các giả
thuyết hoặc phủ nhận nó. Năng lực biết đề xuất các phương hướng giải quyết và
tìm ra được cách giải quyết hay nhất
Như vậy, năng lực sáng tạo chính là khả năng thực hiện được những điều
sáng tạo. Đó là biết làm thành thạo và luôn đổi mới, có những nét độc đáo riêng
luôn phù hợp với thực tế. Luôn biết và đề ra những cái mới khi chưa được học,
6


nghe giảng hay đọc tài liệu hay tham quan về việc đó nhưng vẫn đạt được kết
quả cao.
Một số trích dẫn về sáng tạo của các nghiên cứu đã có.....
1.1.3 Kỹ năng sáng tạo
Kỹ năng sáng tạo trong tự học, tự nghiên cứu là nền tảng và nguồn gốc cơ
bản của nhận thức cá nhân trong học toán. Do đó đòi hỏi HS phải có sự sáng tạo
trong tự học cũng như tự giải bài tập
Từ các kết quả trên chúng tôi trong khóa luận này cho rằng: Kỹ năng sáng
tạo là kỹ năng được thực hiện một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo phải phù
hợp với những mục tiêu trong các điều kiện khác nhau và đảm bảo cho hoạt
động đạt được kết quả mới.
Rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập là kỹ năng chú trọng vào
tìm được các hướng giải bài tập một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo phù hợp

với những mục tiêu bài toán đặt ra. Tìm ra được nhiều các cách giải khác nhau
từ các hướng giải, chọn ra được cách giải hay nhất. Dựa vào những bài toàn và
cách giải đã thực hiện HS biết sáng tạo ra được những bài toán mới. Trong tự
học giải bài tập điều quan trọng nhất là HS phải biết sáng tạo biết vận dụng
những gì đã có để sáng tạo trong tìm nhiều hướng giải; Tìm nhiều cách giải khác
nhau để chọn ra lời giải hay nhất.
1.1.4 Vấn đề rèn luyện kỹ năng sáng tạo
Rèn luyện kỹ năng sáng tạo là gồm rèn luyện những thao tác, kỹ thuật trở
nên thành thạo, có hiệu quả. Hình thành kỹ năng sáng tạo để từ đấy áp dụng vào
đấy để giải những bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
1. Cần tập luyện và tìm tòi nhận dạng và phát hiện ra những vấn đề,
những yếu tố logic để từ đó suy luận các cách giải trong một bài tập. Phải đảm
bảo tính linh hoạt trong suy nghĩ, nảy ra các ý tưởng mới và cách lập luận mới
chặt chẽ và hợp logic.
2. Tập luyện một cách thường xuyên và liên tục để đảm bảo khả năng tìm
kiếm phát hiện ra những mối quan hệ trong bài toán để phân tích một cách triệt
để bài toán hơn
3. Rèn luyện một cách thành thạo, phát triển kỹ năng sáng tạo và tìm kiếm
những luận chứng và luận cứ và xác định yêu cầu của bài toán rồi kết hợp với đề
bài của các bài tập để tìm ra các hướng giải nhanh và chính xác nhất.

7


4. Tích cực thảo luận, trao đổi trong những giờ ra chơi về những vấn đề
mà chưa nắm vững, sáng tạo ra những cách giải rồi trao đổi trong các nhóm với
nhau, từ đó nâng cao tính độc lập của mỗi người trong việc tự học tự nghiên cứu
trong giải bài tập
1.2 Cơ sở thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo của học sinh THPT
1.2.1 Phiếu khảo sát nhận thức về kỹ năng sáng tạo trong giải toán của giáo

viên và học sinh
KẾT QUẢ KHẢO SÁT QUA PHIẾU ĐIỀU TRA
Phần câu hỏi

Câu hỏi

Câu 1

Câu 2

Phần I

Lớp 12A2

%

a

16

51,6 %

b

10

32,2 %

c

5

16,2 %

a

5

16,2 %

b

23

74,1 %

c

3

0,97 %

a

17

54,8 %

b

5

16,2 %

c

5

16,2 %

d

4

12,8 %

a

28

90,3 %

b

3

9,7 %

a

10

32,2 %

b

17

54,8 %

c

4

13

a

20

64,5 %

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Phần II:

Câu 1

8

%


Câu 2

Câu 3

b

10

32,2 %

c

1

0,33 %

a

18

58,1 %

b

5

16,1 %

c

8

25,8 %

a

6

19,3 %

b

11

35,5 %

c

14

45,2 %

a

16

5,6 %

b

15

48,4 %

a

0

0%

b

20

64,5 %

c

11

35,5 %

a

12

38,7 %

b

19

61,3 %

a

9

29,1 %

b

22

70,9 %

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

1.2.2 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong giải toán hình học
không gian theo PPVTcủa học sinh lớp 12 THPT
Qua thời gian kiến tập và thực tập sư phạm vừa rồi, thông qua những buổi
dự giờ và dạy, những buổi trao đổi về kiến thức với học sinh, qua ý kiến thăm
giò, khảo sát của một số giáo viên thì nhóm chúng tôi nhận thấy thực trạng về
việc sáng tạo trong tự học giải toán của học sinh lớp 12 bên cạnh những thuận
lợi thì khó khăn cũng rất nhiều. Việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong tự học
9


giải toán của học sinh chưa thực sự đạt hiệu quả mặc dù các giáo viên đã nỗ lực
điều hành, định hướng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức của các học sinh
bằng những phương pháp dạy học tích cực nhưng tính tự giác trong việc tự học
và lĩnh hội tri thức của học sinh vẫn còn chưa cao. Điều đó do rất nhiều nguyên
nhân cả về khách quan và chủ quan
Thứ nhất: Hệ quả này dẫn tới từ việc hổng kiến thức của học sinh làm cho
học sinh cảm giác chán học
Thứ hai: Hệ thống bài tập đưa ra trong giờ dạy chưa thật phong phú, đa
dạng về nội dung
Thứ ba: Việc tự học làm bài tập tại nhà của học sinh còn mang tính hình
thức, chống đối
Thứ tư: Do phương pháp dạy học chưa được đổi mới, chủ yếu dạy truyền
thụ kiến thức mà không cho học sinh thực hành
Thứ năm: Do việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong tự học cho học sinh
chưa được quan tâm đúng mức, học sinh không thực sự hứng thú và tích cực khi
tự học để tiếp nhận và vận dụng tri thức đã được học.
Dạy học rèn luyện kỹ năng sáng tạo chưa được áp dụng đầy đủ trong nhà
trường phổ thông
- Học sinh chỉ tìm 1 cách giải

- Học sinh chưa thực hiện quy trình giải theo bốn bước
- Học sinh chưa có sự sáng tạo trong tìm các hướng giải
- Học sinh không có tính sáng tạo trong nghiên cứu sâu lời giải
Thực tiễn trên đã đặt ra một yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng
rèn luyện kỹ năng tự học giải toán cho học sinh THPT nói chung và học sinh lớp
12 nói riêng. Có như thế thì sự chủ động, tích cực và tính tự giác của học sinh
mới phát triển toàn diện để trở thành chủ thể trong việc học tập cũng như trong
đời sống xã hội.
1. Thuận lợi
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo,
tựhọc và yêu thích môn ho ̣c.

10


- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả
đồng nghiệp.
2. Khó khăn
- Đa số ho ̣c sinh học yế u hình h ọc đặc biệt là phần vectơ. Có tư tưởng sợ
học phần này.
- Giáo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài
3. Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến vectơ và vận dụng
phương pháp vectơ để giải, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng
sau:

Mức độ

Số lượng
Tỉ lệ

Không
nhận biết
được

Nhận biết
nhưng không
biết vận dụng

Nhận biết và biết
vận dụng, chưa
giải được hoàn
chỉnh

Nhận biết và
vận dụng , giải
được bài tập
hoàn chỉnh

44

8

4

1

66,7

22,2

9,9

1,1

1.3 Vấn đề rèn luyện kỹ năng sáng tạo cho kỹ năng sáng tạo trong tự học
giải bài tập
Muốn học sinh phát huy được kỹ năng sáng tạo trong tự học giải bài tập,
có ý thức và thói quen tìm tòi sáng tạo thì giáo viên cần phải cho học sinh tập
dượt làm quen với các bài tập có điều kiện, khả năng sáng tạo một cách thường
xuyên dần dần, từ dễ tới khó. Những bài tập đầu tiền là những vấn đề nhỏ, sau
đó nâng cao dần lên những bài toán có tính tổng hợp hơn. Quá trình đó cứ liên
tục kéo dài sẽ giúp cho học sinh dần dần nắm vững vốn kiến thức và kinh
nghiêm một cách nhất định giúp cho học sinh linh hoạt trong sáng tạo khi đứng
trước một bài toán mới.
Người giáo viên phải sử dụng phương pháp giải quyết vấn đề để đặt học
sinh trước một tình huống giải quyết. Giáo viên là người tổ chức cho học sinh
làm việc, tìm tòi và phát hiện kiến thức mới. Kết hợp với phương pháp gợi động
cơ giáo viên tổ chức cho học sinh tranh luận, tìm tòi, khám khá phát hiện ra
11


những đặc trưng, điểm đặc biệt của bài toán. Học sinh sẽ thực sự thấy hứng thú,
hiểu kỹ, nhớ lâu khi chính các em đưa ra những cách giải khác nhau và chọn ra
được cách giải hay nhất trong không khí cởi mở, giúp các em bộc lộ được tối đa
kỹ năng sáng tạo của mình. Như vậy việc kết hợp một bài toán với phương pháp
rèn luyện hiệu quả sẽ giúp cho học sinh có khả năng rèn luyện kỹ năng sáng tạo
và phát triển tính sáng tạo của các em

Đưa ra các phương pháp rèn luyện tính sáng tạo của học sinh thì các bạn
nên rèn luyện thường xuyên với những điều sau:
- Tuân thủ bốn bước giải.
- Tìm ra nhiều cách giải cho 1 bài toán.

12


Kết luận chƣơng 1
Thông qua việc nghiên cứu những cơ sở lí luận và thực tiễn chương trình
cũng như thực trạng về việc sử dụng kỹ năng sáng tạo của các bạn học sinh.
Chúng tôi bước đầu làm rõ về nội dung “Rèn luyện kỹ năng sáng tạo trong
giải các bài toán trong hình hộp chữ nhật bằng phương pháp vectơ trong
không gian cho học sinh lớp 12 THPT ” đồng thời chỉ ra những thuận lợi và
khó khăn mà giáo viên và học sinh trong dạy và học phương pháp và những
kỹ năng trong tự học giải toán bằng phương pháp tọa đô trọng không gian theo
những hướng rèn luyện và phát triển kỹ năng sáng tạo trong tự học. Kết quả
nghiên cứu trong chương này một lần nữa thể hiện được tính cấp thiết của
khóa luận cũng như việc rèn luyện kỹ năng sáng tạo của học sinh hiện nay, nó
đòi hỏi người giáo viên cần quan tâm rèn luyện và phát huy được tính tư duy
sáng tạo cho học sinh. Có như thế thì học sinh mới tiến bộ và phát huy được hết
khả năng của mình trong việc học tập cũng như giúp ích cho xã hội và phát
triển đất nước.

13


Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn luyện KNST trong giải toán HHKG theo
phƣơng pháp vectơ
2.1 Một số vấn đề về phƣơng pháp vectơtrong không gian lớp 12 THPT

2.1.1 Phân tích chương trình hình học lớp 12
CHƢƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
§1. Khái niệm về khối đa diện
I. Khối lăng trụ và khối chóp
II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
III. Hai đa diện bằng nhau
IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
§2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
I. Khối đa diện lồi
II. Khối đa diện đều
§3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
I. Khái niệm về thể tích khối đa diện
II. Thể tích khối lăng trụ
III. Thể tích khối chóp
CHƢƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
§1. Khái niệm về mặt tròn xoay
I. Sự tạo thành mặt tròn xoay
II. Mặt nón tròn xoay
III. Mặt trụ tròn xoay
§2. Mặt cầu
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
IV. Công thức tính diện mặt cầu và thể tích khối cầu
CHƢƠNG III. PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§1. Hệ toạ độ trong không gian
14


I. Toạ độ của điểm và của vectơ

II. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
III. Tích vô hướng
IV. Phương trình mặt cầu
§2. Phương trình mặt phẳng
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
IV. Khoảng cách từ một điểm một mặt phẳng
§3. Phương trình đường thẳng trong không gian
I. Phương trình tham số của đường thẳng
II. Điểu kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau hình lớp 12
2.1.2 Kỹ năng giải bài tập trong chương trình hình học lớp 12
Giải bài tập theo bốn bước chung:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
Phân tích giả thiết kết luận, đưa ra những cái bài toán đã cho, các bài tập
đã học, kiến thức cũ có liên quan để giải quyết vấn đề và vấn đề cần giải quyết
của bài toán.
Bước 2. Tìm cách giải
Sử dụng kiến thức cũ, các bài tập liên quan đã học kết hợp với bước một
để đưa ra định hướng giải và các phương pháp giải.
Bước 3. Trình bày lời giải
Sau khi có được định hướng giải và các phương pháp giải thì đi vào thực
hiện trình bày phương pháp giải.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
Kiểm tra các lí luận, các công thức các kí hiệu, các phương pháp của lời
giải và kết quả xem chính xác chưa.
Tìm các ý hay trong bài toán, tìm phương pháp giải hay nhất, hợp lý nhất.
Vận dụng kỹ năng sáng tạo kết hợp với kiến thức đã học và bài toán sáng
tạo ra bài toán mới.
15

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D .
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB1, CD, A1 D1 . Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C1N .

Giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Giả thiết bài toán đã cho 1 hình lập phương và biết độ dài các cạnh M, N, P lần
lượt là trung điểm của BB1, CD, A1 D1 . Yêu cầu tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng A1 B và B1 D . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N .
Vẽ hình:

A1
C1

B1
B

D1

G
D

I A
C

Dựa vào giả thiết đã cho và kỹ năng nhìn hình vẽ phân tích hình vẽ đưa ra
phương pháp giải quyết bài toán chính xác.

Bước 2: Tìm cách giải
Cách 1: Dựa vào tính chất hình lập phương ta có yếu tố vuông góc từ đó
ta toạ độ hoá hình lập phương, chọn hệ toạ độ các điểm và các vectơ cần thiết,
xác lập biểu thức toạ độ của các đại lượng cần tính, thực hiện các phép biến đổi
toạ độ để xác định các đại lượng cần tìm.
Cách 2: Dựa vào giả thiết và các tính chất hình học bằng các phương
pháp giải hình học không gian thông thường cùng với kỹ năng sáng tạo tìm ra
đường vuông góc chung của hai cạnh, sau đó tính độ dài đường vuông góc
chung đó, chính là khoảng cách của 2 đường thẳng trong không gian.

16


Cách 3: Kết hợp toạ độ hoá hình học không gian với phương pháp giải
thông thường theo cách tính chất hình học không gian. Tìm phương trình một
mặt phẳng chứa một đoạn thẳng và song song với đoạn thẳng còn lại, sau đó tính
khoảng cách từ một điểm thuộc đoạn thẳng còn lại tới mặt phẳng chứa đoạn
thẳng kia, bằng công thức tính khoảng cách khi biết toạ độ một điểm và phương
trình mặt phẳng không chứa điểm đó. Đó chính là khoảng cách giữa hai đoạn
thẳng cần tìm.
Bước 3: Trình bày lời giải.
a) Tìm khoảng cách giữa A1 B và B1 D .
Cách 1. Chọn hệ toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz, lúc đó
z
A  0; 0; 0  , B(a;0;0), D(0; a;0), A1 (0;0; a), C(a; a;0), B1 (a;0; a),

A1

C1 (a; a; a), D1 (0; a; a)
* Ta có A1 B  (a;0; a), B1 D  ( a;a;  a),

C1

B1

A1 B1  (a;0;0)

D1

G
D

I A
2

y

B

Và [ A1 B, B1 D]  (a ;2a ; a )
2

2

C
x

Vậy

d(A1 B, B1 D) 

[ A1 B, B1 D]. A1 B1



A1 B, B1 D

a3
a2 6



a
6

A1 B  AB1
Cách 2. Ta có 
A1 B  AD
 A1 A  (AB1 C1 D)  A1 B  B1 D (1); Tương tự A1C1  B1 D (2)

* Từ (1) và (2)  B1 D  ( A1 BC1 )
* Gọi {G}  B1D  ( A1BC1 ) (G là giao điểm của B1 D và C1I  ( A1 BC1 ) )
* Vì B1 A1  B1 B  B1C1  a nên GA1  GB  GC1  G là tâm tam giác đều A1 BC1
có cạnh bằng a 2 .
17


* Gọi I là trung điểm của A1 B thì IG là đường vuông góc chung của A1 B và
1
1

3
a
B1 D nên d (A1 B, B1 D)  IG  C1I  A1 B

3
3
2
6

Cách 3. * Phương trình mặt phẳng (p) chứa A1 B và song song với B1 D
là x + 2y + z - a = 0 và tính khoảng cách từ B1 (hoặc từ D) tới (P), hoặc viết
phương trình mặt phẳng (Q) chứa B1 D và song song với A1 D1 là
x + 2y + z – a = 0 và tính khoảng cách từ A1 tới (Q).
b) Góc giữa hai đường thẳng MP và C1N .

z

A1

P

C1

D1

D1

C1

B1

E
D

A
B

N

C

y

N

D

C

x

a
a
a
* Từ cách 1 của a) ta tìm được M(a;0; ), N( ;a;0),P(0; ; a),
2
2
2
a a
a

Ta có MP  (a; ; ).NC1  ( ;0; a)  MP.NC1  0  MP  C1N
2 2
2
* Gọi E là trung điểm của CC1 và ME  (CDD1C1 )  Hình chiếu vuông góc
của MP trên (CDD1C1 ) là ED1 .
* Ta có C1CN  D1C1E  C1 D1E  CC1N  90  C1D1N  D1E  C1N.
* Theo định lý ba đường vuông góc ta có MP  C1N.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Cả ba cách giải trên đều chính xác, các bước suy luận chặt chẽ và logic, các
công thức biến đổi được vận dụng hợp lý, khai thác triệt để được các giả thiết
của bài toán.Ở cách 1 và cách 3 là hai cách giải sáng tạo nhất, ngắn gọn nhất.

18


Dựa vào các quá trình biến đổi của các phương pháp giải trên cùng với kỹ năng
sáng tạo. Sáng tạo bào toán mới:
1/ Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Xác định đường vuông góc chung
của A1 B và B1 D .
2/ Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ
D tới mặt phẳng (P) chứa A1 B và song song với B1 D .
3/ Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của BB1, CD, A1 D1 . Tìm hình chiếu vuông góc của MP trên
(CDD1C1 ) và cmr MP  C1N.

2.2 Kỹ năng sáng tạo trong giải bài tập về phƣơng pháp vectơ trong không
gian
2.2.1 Kỹ năng sáng tạo trong bốn bước chung giải bài tập
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ về nội dung bài

toán.
- Phân tích giả thiết, kết luận.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bước 2: Tìm cách giải
Để tìm được hướng giải, ta hãy đặt ra các câu hỏi có tính chất tìm tòi, dự đoán
như:
– Ta đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi
khác?
– Đề bài cho giả thiết này thì ta được kết quả gì khác? Từ những giả thiết
đó có gợi cho ta đến một định lý hay một bài toán liên quan đến bài toán này
không? Có thể là một trường hợp riêng, tương tự hay tổng quát hơn?
– Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì
ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng
được?
– Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các
định nghĩa.
19


– Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực
nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán?
Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?
Chú ý đề bài không bao giờ cho thừa dữ kiện nên hãy sử dụng mọi giả thiết của
bài toán
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trìnhgồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
– Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải: Bạn đã áp dụng

cách giải đó cho bài toán nào chưa? Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các
bài toán khác đã biết?
– Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Học phương pháp chung để giải bài toán không phải là học một thuật giải
mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện, đòi hỏi
một quá trình rèn luyện lâu dài và tích cực. Thực hiện theo những bước trên
không chắc chắn sẽ tìm ra kết quả nhưng chắc chắn sẽ hộ trợ chúng ta rất nhiều
trong quá trình đi tìm lời giải cho các bài toán
Nhưng trong sáng tạo tự học bốn bước giải này chúng tôi tập chung
nghiên cứu sâu hơn về bước 2 và bước 4 là tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời
giải vì hai bước này thể hiện được sự sáng tạo của học sinh khi giải toán
Ví dụ:
Cho hình hộp ABCD. A/ B / C / D/ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

CD và DD/ . Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A/ D/ MN và
BCC / D/ . Chứng minh: G1G2 / /( ABB / A/ ) .
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Bài toán đã cho biết các yếu tố về hình hộp chữ nhật, các trung điểm và các
trọng tâm của các cạnh và tứ diện. Yêu cầu chúng ta đi chứng minh cạnh song
song với mặt phẳng.
Từ những giả thiết trên chúng ta sử dụng phương pháp vectơ để đi giải bài
tập này. Nếu không sử dụng phương pháp vectơ trong bài toán này thì việc vẽ
20


hình để xác định được trọng tâm của hai tứ diện phải vẽ nhiều đường và đương
nhiên việc chứng minh cũng vậy
Bước 2: Tìm cách giải
Bài toán này chúng ta đi sử dụng phương pháp vectơ để chứng minh bài toán

trên. Ở ví dụ này ta chọn hệ vectơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau
G1 là trọng tâm tứ diện A/ D/ MN nên



1    
AG1  ( AA/  AD/  AM  AN )
4

G2 là trọng tâm tứ diện BCC / D/ nên



1    
AG2  ( AB  AC  AC /  AD/ )
4

Bước 3: Trình bày lời giải



 



 
/

A

a



Đặt: AB  a, AD  b, AA  c

B
/



/



/




D

M
C

N

c

/

G1 là trọng tâm của tứ diện A D MN nên



b

A/




1
AG1  ( AA  AD  AM  AN )
4

B/

D/
C/

G2 là trọng tâm của tứ diện BCC / D/ nên

1   / /
AG2  ( AB  AC  AC  AD )
4











1 
/
/
/
Ta có: G1G2  AG2  AG1  ( A B  D C  MC  ND/ )
4









1     1   1  1   5  1 /
 ( a  c  a  c  a  c  c )  (5 a  c )  AB  AA  G1G2 / /( ABB / A/ )
4
2
2
8
8
8
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Cách làm trên chúng ta vận dụng phương pháp vectơ rồi xác lập biểu thức
của các đại lượng cần tính sau đó thực hiện các phép biến đổi vectơ để chứng
minh. Đó là con hướng giải quyết vấn đề rất hay và ngắn gọn.
Từ bài toán trên chúng ta có thể sáng tạo ra những bài toán mới:

21