phương trình phi tuyến

Phương trình phi tuyến
1. Khoảng cách ly nghiệm

Hình 1-1. Minh họa khoảng cách ly nghiệm (a, b).
2. Tìm khoảng cách ly nghiệm
2.1 Tìm bằng phương pháp giải tích
Lập bảng biến thiên và chia khoảng để xét dấu.
VD: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x + 2. Tìm các khoảng cách ly nghiệm.
f'(x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1)
f’(x) = 0  3(x2 – 1) = 0  x2 – 1 = 0  x = ± 1
f(-1) = 4; f(1) = 0;
f’’(x) = 6x; f’’(-1) = -6 < 0  hàm số cực đại tại x = -1; fCĐ = 4
f’’(1) = 6 > 0  hàm số cực tiểu tại x = 1; fCT = 0
Bảng biến thiên:


Tìm các khoảng cách ly nghiệm:
x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

-

0

+

+

+

+

+

0

+

+

+

+

Khoảng phân ly nghiệm [-2.5, -1.5]
Hàm số:

2.2 Tìm bằng phương pháp dựa trên đồ thị
Giả sử ta có 1 hình sơ bộ của đồ thị của một hàm số, dựa trên nó ta đoán nhận
khoảng cách ly nghiệm. Ví dụ:


Dựa trên hình trên ta có thề suy luận có 3 khoảng phân ly nghiệm [-5, -3], [-2, 0] và
[1, 3]. Vì phương trình bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm nên kết quả tìm được hợp lý.
3. Kiểm tra khoảng cách ly nghiệm
Phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm trên [a, b] nếu thỏa 3 điểu kiện sau:
1. f(a) khác dấu f(b) à f(a)f(b) < 0
2. Đạo hàm cấp một f’(x) không đổi dấu trong [a,b].
3. Đạo hàm cấp hai f’’(x) không đổi dấu trong [a,b].
=> không có điểm uốn.
4. Tìm nghiệm bằng phương pháp chia đôi
Thuật toán:
Giả sử tại a và b ta có: f(a)×f(b)<0
Bước 1: Gọi m là điểm giữa a và b: m = (a + b)/2
Bước 2: Có 2 trường hợp:
1. Nếu f(m) = 0, khi đó m là nghiệm cần tìm.

2. Nếu f(m) ≠ 0, khi đó ta có:
+ Hoặc f(a)×f(m) < 0 ta chọn m là b mới: b = m
+ Hoặc f(m)×f(b) < 0 ta chọn m là a mới: a = m
và chúng ta lặp lại các bước trên cho đoạn [a, b] mới.
Sai số:
1

𝛥𝑓 = (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 )
2

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng sao cho sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-2 của phương trình:
f(x) = x3 - x -1 = 0. Biết khoảng cách ly nghiệm (1,2).
Giải:
Tính: f(1) = 13 - 1 -1 = -1; f(2) = 23 - 2 -1 = 5.
Áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi ta được bảng kết quả sau:


n

an

bn

xn = (an + bn)/2

f(xn)

(bn - an)/2

0

1 ̶

2 +

1.5 +

0.875

0.5

1

1 ̶

1.5 +

1.25 ̶

-0.29688

0.25

2

1.25 ̶

1.5 +

1.375 +

0.22461

0.125

3

1.25 ̶

1.375 +

1.3125 ̶

-0.05151

0.0625

4

1.3125 ̶

1.375 +

1.34375 +

0.08261

0. 03125

5

1.3125 ̶

1.34375 +

1.32813 +

0.01458

0. 01563

6

1.3125 ̶

1.32813 +

1.32032

0.00782

Lấy nghiệm gần đúng là 1.32032 với sai số:
|1.32032 − 𝛼| ≤ 0.00782 < 0.008
Ta có thể lấy nghiệm gần đúng là:
𝛼 ≈ 1.32 ± 0.008
5. Tìm nghiệm bằng phương pháp dây cung
Áp dụng công thức:
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 − 𝑑)

𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑑)

n = 0,1,2, … và
• d = b nếu f(b) cùng dấu với f”(x); x = a;
0

• d = a nếu f(a) cùng dấu với f”(x); x = b;
0

Sai số:
|𝑥𝑛 − 𝛼| <

|𝑓(𝑥𝑛 )|
𝑚

0 < 𝑚 ≤ |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )| => m = |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )|
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng sao cho sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-4 của phương
trình: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2 = 0. Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1).


Giải:
Ta có: f(0) = 2 >0; f(1) = 1 – 6 + 2 = -3 < 0
f'(x) = 3x2 – 6
f’’(x) = 6x; f’’(0) = 0; f’’(1) = 6;  f’’(x) > 0  d = a = 0; x0 = b = 1;
𝑥1 = 𝑥0 −

𝑓(𝑥0 )(𝑥0 − 𝑑)
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑑)

x1 = 1 – ((-3)*(1 - 0))/(-3 – 2) = 1 – 3/5 = 0.4

Δx1 = |f(0.4)|/|f’(0.4)| = 0.060869565 > 0.0001
𝑥2 = 𝑥1 −

𝑓(𝑥1 )(𝑥1 − 𝑑)
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑑)

X2 = 0.4 – (-0.336*0.4)/ (-0.336 - 2) =0.342465753
Δx2 = |f(0.342465753)|/|f’(0.342465753)| = 0.002590082 > 0.0001
𝑥3 = 𝑥2 −

𝑓(𝑥2 )(𝑥2 − 𝑑)
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑑)

X3 = 0.342465753 – (-0.014629178*0.342465753)/( -0.014629178 - 2) =
0.339978947
Δx3 = |f(0.339978947)|/|f’(0.339978947)| = 0.000102062 > 0.0001
𝑥4 = 𝑥3 −

𝑓(𝑥3 )(𝑥3 − 𝑑)
𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑑)

X4 = 0.339978947 – (-0.000576983*0.339978947)/( -0.000576983 - 2) =
0.339880894
Δx4 = |f(0.339880894)|/|f’(0.339880894)| = 0.0000040073797138 < 0.0001
Nghiệm gần đúng tìm được là: x = 0.339880894
Sai số: 0.0000040073797138
Đồ thị của hàm số:


6. Tìm nghiệm bằng phương pháp lặp

Mô tả phương pháp
• Giả sử phương trình f(x) = 0 có khoảng cách ly nghiệm (a,b).
• Biến đổi về phương trình tương đương:
x = φ(x)
• Chọn x0 chúng ta có thể chon x0 = (a + b)/2, tính các xấp xỉ tiếp theo theo công
thức:
xn = φ(xn-1) (n=1, 2, 3,…)
• Đánh giá sai số Δ = |x – α|, đặt:
n

và sai số cần tìm:
𝛥𝑛 ≤

n

𝑞 = max{|𝜑′(𝑥)|}
𝑥∈[𝑎,𝑏]

𝑞
|𝑥 − 𝑥𝑛−1 |
1−𝑞 𝑛

Điều kiện của phương pháp
- (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0;
- φ’(x) là hàm số liên tục trong [a, b];
- Mọi xi tính theo công thức lặp đều thuộc [a, b];
- |φ’(x)| ≤ q <1 (q là hằng số) đối với mọi x ϵ [a, b]. (điều kiện cần kiểm tra)
Cách có thể áp dụng để tìm φ(x)

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng sao cho sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-4 của phương trình:
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2 = 0. Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1).
Giải:
Bước 1: Tìm phương trình tương đương
Ta có: f(0) = 2 >0; f(1) = 1 – 6 + 2 = -3 < 0
f'(x) = 3x2 – 6
f’(0) = -6; f’(1) = -3;  f’(x) < 0 với mọi x thuộc (0, 1)  M = 6
 đặt φ(x) = x + (x3 – 6x + 2)/6
Bước 2: Tìm q và kiểm tra xem hàm φ có thỏa mãn điều kiện hội tụ:
φ'(x) = 1 + 1/6(3x2 – 6); φ'(0) = 0; φ'(1) = 1 + 1/6*(3-6) = 1 – 1/2 = 0.5
q = max{φ'(x)} = 0.5 < 1  Thỏa mãn điều kiện.
Bước 3: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
Chọn x0 = (1 + 0)/2 =0.5
x1 = φ(x0) = φ(0.5) = 0.5 + (0.5^3 – 6*0.5 + 2)/6 = 0.354166667
Δx1 = 0.5/0.5*|0.354166667 – 0.5| = 0.145833333 > 0.0001
x2 = φ(x1) = φ(0.145833333) = 0.145833333+ (0.145833333^3 – 6*0.145833333+
2)/6 = 0.333850248
Δx2 = |0.333850248 - 0.354166667| = 0.020316419 > 0.0001


x3 = φ(x2) = φ(0.333850248) = 0.333850248+ (0.333850248^3 – 6*0.333850248+
2)/6 = 0.339534935
Δx3 = |0.339534935- 0.333850248| = 0.005684687 > 0.0001
x4 = φ(x3) = φ(0.339534935) = 0.339534935+ (0.339534935^3 – 6*0.339534935+
2)/6 = 0.339857156
Δx4 = |0.339857156-0.339534935| =0.000322221 > 0.0001
x5 = φ(x4) = φ(0.339857156) = 0.339857156+ (0.339857156^3 – 6*0.339857156+
2)/6 = 0.339875747
Δx5 = |0.339875747 - 0.339857156| = 0.000018591 < 0.0001
Nghiệm gần đúng: x = 0.339875747

Sai số: 0.000018591 ≈ 0.00002  nghiệm gần đúng: 0.339875747 ± 0.00002
7. Tìm nghiệm bằng phương pháp tiếp tuyến (Newton)
Áp dụng công thức:
𝑥n = 𝑥n−1 −

𝑓(𝑥𝑛−1 )
𝑓 ′ (𝑥𝑛−1 )

với n = 1, 2, …, và :
 x0 = b nếu f(b) và f”(x) cùng dấu;
 x0 = a nếu f(a) và f”(x) cùng dấu.
Sai số:
|𝑥𝑛 − 𝛼| <

|𝑓(𝑥𝑛 )|
𝑚

0 < 𝑚 ≤ |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )| => m = |𝑓 ′ (𝑥𝑛 )|
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng sao cho sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-4 của phương trình:
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2 = 0. Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1).
Giải:
Ta có: f(0) = 2 >0; f(1) = 1 – 6 + 2 = -3 < 0
f'(x) = 3x2 – 6


f’’(x) = 6x; f’’(0) = 0; f’’(1) = 6;  f’’(x) > 0  x0 = a = 0;
𝑥1 = 𝑥0 −

𝑓(𝑥0 )
𝑓 ′ (𝑥0 )

x1 = 0 – 2/(-6) = 1/3
Δx1 = |f(1/3)|/|f’(1/3)| = 0.0065359477124183 > 0.0001
𝑥2 = 𝑥1 −

𝑓(𝑥1 )
𝑓 ′ (𝑥1 )

x2 = 1/3 - 0.037037037/(-5.666666667) = 0.339869281
Δx2 = |f(0.339869281)|/|f’(0.339869281)| = 0.0000076056127499 < 0.0001
Nghiệm gần đúng tìm được là: x = 0.339869281
Sai số: 0.0000076056127499
8. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Cho hàm số f(x) = x4 + 2x3 − x − 1. Biết rằng (0, 1) là một khoảng phân ly nghiệm.
Tìm nghiệm gần đúng với sai số bé hơn 10-4 bằng 4 phương pháp trên.
Đồ thị của hàm số:


Bài 2: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x + 2. Biết rằng (-2.5, -1.5) là một khoảng phân ly
nghiệm. Tìm nghiệm gần đúng với sai số bé hơn 10-4 bằng 4 phương pháp trên.
Đồ thị của hàm số: