chuyen de ap dung hang dang thuc

áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
I. Đặt vấn đề
Toán học là môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông đối với học sinh khá
và giỏi môn toán, học toán hay giải toán là yêu cầu thờng nhật trong mọi hoạt động và
suy nghĩ. Vì vậy vấn đề bồi dỡng học sinh có khả năng t duy sáng tạo, luôn vận dụng
tốt các lý thuyết đã học và phát huy hết năng lực của cá nhân là một vấn đề rất đợc coi
trong và cũng chẳng đơn dản, dễ dàng gì.
Để quá trình bồi dỡng học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao ngời thầy
phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn đề nào cần trình
bày kỹ hay cần lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, thờng xuyên liên tục
bồi dỡng (cho cả thầy và trò). Ngời học sinh giỏi toán trớc hết phải nắm vững kiến
thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiến thức mới của chính mình.
Là một giáo viên trẻ tôi luôn có ý thức học hỏi và quan tâm đến việc bồi dỡng
học sinh giỏi. Tôi đã nghiên cứu nhiều dạng toán trong quá trình bồi dỡng tôi thấy học
sinh đang còn lúng túng cha tìm ra phơng pháp chung để giải quyết các bài toán theo
từng dạng.
Bởi vậy tôi luôn tự mình học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô giáo đi trớc cũng
nh cố gắng tìm tòi các loại tài liệu mới để tham khảo và rút kinh nghiệm.
Với một bài toán, việc định hớng để tìm ra lời giải là một việc rất quan trọng, vì
vậy khi học sinh giải một bài tập, để có một định hớng rõ ràng cho việc tìm ra lời giải
quả thật không phải là một công việc đơn giản. Khi học sinh định hớng đợc lời giải thì
cũng có nghĩa là sẽ đa ra bài toán phụ thích hợp, có khả năng suy luận dẫn tới lời giải
tốt. Vậy làm thế nào để học sinh có định hớng tốt để tìm ra lời giải cho từng bài toán
là một điều tôi luôn trăn trở, băn khoăn trong quá trình dạy và bồi dỡng học sinh khá
và giỏi toán.
Sau đây tôi đa ra một vài nhận xét, suy nghĩ một vài định hớng giải các bài toán,
chẳng hạn nh việc áp dụng các hàng đẳng thức để giải toán, mong đợc sự góp ý của
các thầy cô để công tác dạy và học toán đợc tốt hơn.
II. Giải quyết vấn đề:
1. Một số tồn tại trong việc giải toán
Học sinh và giáo viên thờng bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán

khi tìm đợc một cách giải nào đó, cha chú ý đến việc tìm tòi cách giải khác, cách giải
hay hơn hoặc khai thác phát triển thêm ở bài toán vừa giải để phát huy t
duy linh hoạt và sáng tạo, không biết liên hệ giữa những điều cho trong đầu bài toán
với những kiến thức đã học, không phân biệt đợc điều đã cho và điều cần tìm.
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Lý luận không chính xác, không chặt chẽ, không biết rút kinh nghiệm vừa bài
vừa giải, nên thờng lúng túng trớc những bài toán khác đôi chút với bài toán đã giải.
2. Biện pháp thực hiện.
Nắm vững kiến thức, thuộc bài tại lớp và có khả năng vận dụng tốt từ đó phát
huy năng lực, t duy sáng tạo của từng em là yêu cầu cơ bản.
Rèn luyện cho học sinh suy nghĩ linh hoạt, phân tích, tổng hợp vấn đề, tiếp thu
kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ.
Một điều quan trọng là sau khi giải xong một bài toán còn biết đề ra những bài
toán mới bằng cách tổng quát hoá, bằng cách liên hệ những trờng hợp tơng tự. Từ đó
tìm ra phơng pháp chung giải quyết từng loại bài toán.
3. Hai hằng đẳng thức áp dụng vào giải toán .
Ngoài những hằng đẳng thức quen thuộc đã học trong chơng trình lớp 8. Chúng
ta còn có hai hằng đẳng thức rất quen thuộc với các em học sinh giỏi toán, chúng đợc
đa vào trong chơng trình phổ thông nh là một bài toán đó là:
HĐT1: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc = (a+b+c)(a
2
+b
2
+c

2
-ab-bc-ca)
Chứng minh: Ta có: a
3
+b
3
= (a+b)(a
2
-ab+b
2
) = (a+b)
3
-3ab (a +b)
Do đó a
3
+b
3
+c
3
- 3abc

= (a+b)
3
-3ab(a+b) + c
3
-3abc
= (a +b +c)[(a+b)
2
- c (a+b)] + c
2

- 3ab (a +b +c)
= (a+b + c)(a
2
+ 2ab +b
2
- ac - bc + c
2
- 3ab)
= (a +b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc - ca)
HĐT2: (a +b +c)
3
- a
3
-b
3
-c
3
= 3(a +b)(b + c)(c +a)
Chứng minh: Ta có: (a +b+c)
3
- a
3
- b
3

- c
3
= (a +b +c)
3
- a
3
- (b
3
+ c
3
)
= (b+c) ((a +b +c)
2
+a (a +b +c) + a
2
) - (b + c)(b
2
bc +c
2
)
= (b +c)(a
2
+b
2
+c
2
+2ab +2bc+2ca + a
2
+ ab + ac+a
2

-b
2
+ bc - c
2
)
= (b+c)(3a
2
+3ab+3bc+3ac) = 3 (a +b)(b +c)(c+a)
Ngoài cách chứng minh trên còn có cách chứng minh khác, các bạn có thể chứng
minh. Hai hằng đẳng thức này hầu nh bị nhiều ngời bỏ rơi. Trong khi đó, nó lại đem
cho ta nhiều điều thú vị. Trớc hết ta chú ý rằng từ HĐT1 suy ra:
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

a + b + c = 0
a = b = c
(a-b)
3
+(b-c)
3
+(c-a)
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Từ HĐT2 suy ra: (a+b+c)
3

= a
3
+ b
3
+ c
3

a = -b
b = -c
c = -a
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trờng hợp thật là hiệu quả và
bất ngờ. Sau đây tôi xin đa ra một vài bài toán minh hoạ.
a) Các bài toán rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
A= (a+b+c)
3
- (a+b-c)
3
- (b+c-a)
3
- (c+a-b)
3
Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:
x = a + b - c
y = b + c a

x + y + z = a + b + c
z = c + a - b
khi đó: A= (x + y + z)

3
- x
3
-y
3
- z
3
= 3 (x+y)(y+z)(z+x)= 3.2b.2 c.2a = 24 abc
Nhận xét: - Nh vậy, trong lời giải của bài toán ta đã sử dụng yếu tố phụ x, y, z với
mục đích giảm thiểu độ phức tạp lời giải.
- Nếu cho thêm giả thiết về các số a, b, c bài toán có thể đợc phát biểu dới dạng
yêu cầu chứng minh về tính chia hết.
Bài 2: Cho 3 số nguyên a, b, c thoả mãn: a + b + c = (a-b)(b-c)(c-a)
Chứng minh rằng: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
chia hết cho 3
Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: x = a-b
y = b-c

x+y+z=0
z = c-a
Khi đó: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)

3
= x
3
+ y
3
+ z
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Từ đó ta thấy ngay: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
chia hết cho 3
Nhận xét: Cũng với phơng pháp trên, chúng ta còn có thể chứng minh đợc các kết quả
tổng quát hơn sau:
1) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a)
Chứng minh rằng: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
chia hết cho 81
2) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:
(a+b+c)
p
+ (a-b-c)
p

+ (b-c-a)
p
+ (c-b-a)
p
chia hết cho 8pabc.
3) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:
(a-b)
p
+ (b-c)
p
+ (c-a)
p
chia hết cho p(a-b)(b-c)(c-a).
4)Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k
S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + 15.16.31+ (2
k
-1)(2
k+1
-1)
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z = 0 thì 2(x
5
+y
5
+2
5
) = 5xyz (x
2
+y
2
+z

2
)
Giải: Từ giả thiết: x+y+z = 0 suy ra.
x
3
+y
3
+z
3
= 3xyz
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
(x
3
+y
3
+z
3
)( x
2
+y
2
+z
2
) = 3xyz (x
2
+y
2
+z
2
)

x
5
+y
5
+z
5
+x
2
y
2
(x+y) + x
2
z
2
(y+z) + z
2
x
2
(x+z) = 3xya ( x
2
+y
2
+z
2
)

x
5
+y

5
+z
5
- xyz(xy+yz+zx) =3xyz( x
2
+y
2
+z
2
)

x
5
+y
5
+z
5
+xyz (
2
222
zyx ++
) = 3xyz(x
2
+y
2
+z
2
)

2(x

5
+y
5
+z
5
)= 5xyz ( x
2
+y
2
+z
2
)
Bài tập đề nghị:
1) Chứng minh rằng nếu hệ:





=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
có nghiệm thì a
2
+b
2
+c

2
= 3abc
2) Biết:





=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
+ c
5
= 3abc
3) Biết: x
n
+y
n
+z
n
= a
n
+b

n
+c
n
đúng với n = 1, 2, 3
Chứng minh rằng nó cũng đúng với mọi số tự nhiên n
4. Cho x, y, z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:
(x-z)
3
3
1 x

+ (z-x)
3
3
1 y


+ (x-y)
3
3
1 z

=0
Chứng minh rằng: (1-x
3
)(1-y
3
)(1-z
3
) = (1-xyz)

3
b) Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đại số, trục căn thức bậc 3 ở mẫu số và
tính giá trị của biểu thức.
Bài 4: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức.
A =
162244
1
33
+

Giải: Ta coi mẫu số của A có dạng a + b+ c, khi đó nhân cả tử và mẫu của A với
(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca) ta có:
A =
16.22.43416)22()44(
23246416256441616
3333333
3333
+
+++
=
3056
460272
3

=
764
68415
3

Bài tập đề nghị:
Trục căn thức ở mẫu số của các biểu thức.
B =
42231
1
35
+
; C=
241
1
33
++
; D =
cba
335
1
++
với: abc=1; abc=8
Bài 5: Cho a
3
+ b
3
+ c
3

= 3 abc và abc

0.
Tính giá trị của biểu thức:
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
M= (1+
b
a
) (1+
c
b
) (1+
a
c
)
Giải: Từ giả thiết : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3 abc Suy ra a + b + c =0
a = b = c
Ta xét 2 trờng hợp.
Trờng hợp 1: Nếu a + b + c =0. Suy ra a + b = -c
b + c = -a
c + a = -b

M =
1....

=

=
+++
b
a
c
b
a
c
b
cb
c
ca
a
ba
Trờng hợp 2: Nếu a = b = c có:
M = (1+1) (1+1) (1+1) = 2.2.2 = 8
Bài 6: Cho xy + yz + zx = 0, xyz 0. Tính giá trị của biểu thức: P=
222
z
xy
y
xz
x
zy
++
Giải: Từ giả thiết: xy + yz + zx=0. Suy ra
0
111

=++
zyx
nên
xyzzyx
3111
333
=++
Khi đó: P =
333222
z
xyz
x
xyz
y
xyz
z
xy
y
xz
x
yz
++=++
= xyz(
)
111
333
zyx
++
= xyz
3

3
=
xyz
Bài tập đề nghị: Cho: a
3
b
3
+ b
3
c
3
+ c
3
a
3
= 3 a
2
b
2
c
2
và abc

0.
Tính giá trị của biểu thức P = (1+
b
a
) (1+
c
b

) (1+
a
c
)
Nhận xét: ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng điều kiện xuôi để tính giá trị của biểu
thức. Các bài toán sua đay ta sử dụng điều kiện ngợc để tính giá trị của biểu thức
Bài 7: Biết a
3
+b
3
=3ab - 1. Tính giá trị của biểu thức B=a+b
Giải: Từ a
3
+b
3
=3ab - 1 ta có : a
3
+b
3
+ 1 = 3ab

a + b +1 = 0
a = b = 1
Bài tập đề nghị:.
1) Biết a + b + c = 0.Tính giá trị của biểu thức: A= a
3
+b
3
+c
3

-3abc
2) Biết a
3
- b
3
= 3ab+1. Tính giá trị của biểu thức C = a-b.
3) Biết a + b + c = 0 và abc

0. Tính giá trị của các biểu thức:
A=
[ ]







+

+

++
)(
1
)(
1
)(
1
.)()()(

acaccbbcbaab
accacbbcbaab
c) Sử dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải phơng trình và hệ phơng
trình.
Bài 8: Giải các phơng trình sau: a) x
3
-3x+2=0; b) x
3
+16 =12x.