Phan tich va thiet ke he thong dieu khieu

Môn họïc

LÝ THUYẾ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

15 December 2006

1


Chương 7

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ
THÓNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

15 December 2006

2


Nội dung chương 7
Đánh giá tính ổn định
Chất lượng của hệ rời rạc
Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

15 December 2006

3


DÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH

15 December 2006

4


Điềuàukiệänổnån địnhcủûahệärờøirạïc
HệthốngổnđịnhBIBO(BoundedInputBoundedOutput)nếu tínhiệuvàobịchặnthìtínhiệurabịchặn.

Im s

Miền ổn
định
Res 0

Im z

Re s

z  eTs
Miền ổn định của hệ
liên tục là nữa trái mặt phẳng
s
15 December 2006

Miền ổn định

| z |
1

Re z

1

Miền ổn định của hệ rời rạc
là vùng nằm trong vòng tròn đơn vị
5


Phương trình đặëc trưng củûa hệä rờøi rạïc
Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối:

R(s)

+


C(s)
G C (z)

T

ZOH

G(s)

H(s)
 Phửụng trỡnh ủaởc trửng:
◆

1  GC (z)GH (z) 
0

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:

x(k  1)  Ad x(k )  Bd

r(k
c(k) )  Cd x(k
)
det(zI  Ad ) 

 Phửụng trỡnh ủaởc trửng:

0
15 December 2006

6


Phương phápùp đáùnh giáù tính ổån định củûa hệä rờiøi rạcïc
Tiêu chuẩn ổn định đại số
^ Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng
^ Tiêu chuẩn Jury
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

15 December 2006

7


Tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộäng

◆
◆

PTĐT của hệ rời rạc:
Im z

Miền ổn định

a0 z n  a1zn1  L  an1z  an  0
Im w

1

Miền ổn định: trong vòng
tròn đơn vị của mặt phẳng Z
◆

Miền ổn định

Re z

Re w

w1

z  w 1

Miền ổn định:
mặt phẳng W

nữa trái

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: đổi biến z  w, sau đó áp dụng
tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho PTĐT theo biến w.
15 December 2006

8


Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg
◆

Đánh giá tính ổn định của hệ thống:
R(s)

+


T  0.5

G(s)

ZOH

C(s)

H(s)
Biết rằng:
◆
◆

◆

G(s) 



3e s
s3

1
H (s)

s

Giải:
1
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
1  GH (z)  0

15 December 2006

9


Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg

 G(s)H
 (s)
s


 GH (z)  (1  z1
)Z

s





−s
G(s) 

(s  3)



H (s) 

3e

 s(s  3)(s  1) 

 (1 
z1)Z 

3e

1

(s  1)

z( Az 
 3(1 
B)e30.5)(z  e10.5)
(z
1)(z

1
2
z )z
(1  e30.5)  3(1 
 0.0673
0.5
e ) 3(1 


3)
1



A


30.5

B  3e


(1  e

GH (z) 

15 December 2006

0.5

)e

0.5

z( Az  B)


(1  e30.5)  0.0346
Z
(z 1)(z eaT )(z 
s(s  a)(s  b) 

3(1 
3)
ebT )
0.202z  0.104

aT

e
) a(1 e
z 2 (z  0.223)(zA b(1

0.607)

bT

)
10


Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg

 Phửụng trỡnh ủaởc trửng:
1  GH (z)  0



◆

0.202z 

1 2
0.104
z
(z
 0.223)(z 
0

0.607)
z 4  0.83z3  0.135z2  0.202z  0.104  0

Đổi biến:

w1

z  w 1

w
w
w
 
 w    0.83

0.135

0.202





  0.104 

w 1
 w 1
 w 1
w
14
13
12
1
0

0.202z  0.104
GH (z) 
 1
0.611w4  1.79w3  6.624w2  5.378w  1.597
0
2
z (z 0.223)(z 0.607)
15 December 2006

11


Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg

Bảng Routh

◆

Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các hệ số ở cột 1 của bảng Routh
đều dương

0.611w4  1.79w3  6.624w2  5.378w  1.597  0
15 December 2006

12


Tiêu chuẩån Jury
◆

Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:

a 0 z n  a1zn1  L  an1z  an  0
◆
◆
◆
◆

Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng.
^ Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.
^ Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự
ngược lại.
^ Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k1) gồm có (nk+1) phần tử, phần tử ở hàng
i cột j
xác định bởi công thức:

cij 

1 ci2,1
ci2,1

ci2,n jk 3

ci1,n jk 3
i1,1
◆ Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và cđủ
để hệ thống rời rạc ổn định là tất cả
các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.
15 December 2006

13


Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Jury

5z 3  2z 2  3z  1  0

◆

Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là:
Bảng Jury

◆

Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.

◆

15 December 2006

14


Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)
◆
◆

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc
trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0  .
Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:

N (z)

1  K D(z) 
0
Đặt:

N (z)

G0 (z)  K D(z)

Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)
Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNS của hệ
rời rạc, chỉ khác qui tắc 8.

15 December 2006

15


Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)
Qui tắéc vẽ QĐNS
Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc
tính = số cực của G0(z) = n.
Qui tắc 2:
^ Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của
G0(z).
^ Khi K tiến đến + : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của
G0(z), nm nhánh còn lại tiến đến  theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc
5 và qui tắc 6.

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số
cực và zero
15 December
2006

của G0(z) bên phải nó là một số lẻ.

16


Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)
Qui tắéc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục
thực xác định bởi :

(l  0,1,2,K)

  (2l  1)

◆

n
Qui tắc 6: : Giao điểm giữa cácmtiệm cận với trục thực là điểm A có tọa
độ xác định bởi:

n

m

 pi  

OA   cöïc   zero i1
◆
◆

i1

(p i và z i là các cực
và các zero của G0(z) )

nm
zi
Qui tắc 7: : Điểm ntách
 mnhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên
trục thực và là nghiệm của phương trình:
dK  0

dz
15 December 2006

17


Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)
Qui tắéc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với vòng tròn đơn vị có thể
xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng hoặc thay
z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng.

Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj
m

n

 j  1800  arg( p j  zi )  arg( p j 
được xác định bởi:
pi )
i1
i1
Dạng hình học của cơng thức trên là:

i
j

j = 1800 + (góc từ các zero đến cực p j )
 (góc từ các cực còn lại
đến cực p j )
15 December 2006

18


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc
◆

Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:
R(s)

◆

◆
◆
◆

+


T  0.1

ZOH

G(s)

C(s)

5K
G(s) 
s(s 
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K5)
= 0 +. Tính Kgh
Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
1  G(z)  0

15 December 2006

19


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc

 G(z)  (1 
)Z

z1

 G(s) 


 s 

 (1  z1)Z
 
2
s
5K

 (s

G(s) 



5K

s(s  5)

5)
 K (1  1  z[(0.5 1  e 0.5 )z  (1  e0.5  0.5e0.5)] 
2

0.5
)
5(z
1)
(z

e
)
z


0.021z 
 G(z) 

0.018
(z
1)(z 
K
0.607)
0.021z  0.018
◆ Phương trình đặc trưng:

1
(z 1)(z 
0
K
aT
aT
aT
0.607)



a
z

(aT

1

e
)z

(1

e

aTe
)
◆ Cực:
p1  1 p2  0.607

◆

Zero:

z1  0.857

15 December 2006

Z



20


Thớ dù v QNS họ rứi rùc
Tim cn:

(2l 1) (2l 1)

nm
1

2





cửùc zero [1 0.607] (0.857)
OA


nm

OA
2.464

2

2 1 (z 1)(z 0.607)
z
1.607z 0.607
(PTT)
K
ẹieồm taựch nhaọp:
0.021z 0.018
0.021z
0.0182
dK 0.021z 0.036z 0.042
dz
(0.021z 0.018)2

Do ú

dK
dz 0

15 December 2006



z1 2.506

z 2 0.792
21


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc
◆

Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:
(PTĐT)  (z 1)(z  0.607)  K (0.021z  0.018)  0

2

z  (0.021K 1.607)z  (0.018K  0.607) 
Cách 1: Dùng0tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:
Đổi biến

(*)

z  w  1 , (*) trở thành:

w
1
 w  1  (0.021K
1.607) w  1  (0.018K  0.607)  0


 w 
 w 
 1
0.039Kw2  (0.786  0.036K1
)w  (3.214  0.003K ) 
0 hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn định là:
Theo
2

K  0K  0



.786  0.036K 

0
3.214  0.003K  0
15 December 2006



 K  21.83
K  1071

 K gh  21.83
22


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc

Thay giá trị Kgh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:

z 2 1.1485z  1  0



z  0.5742 

j0.8187

Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là:

z  0.5742  j0.8187
Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :
(a  jb)2  (0.021K 1.607)(a 
jb)  (0.018K  0.607)  0
 a2  j2ab  b2  (0.021K 1.607)a  j(0.021K 1.607)b 
(0.018K  0.607)  0



a 2  b 2  (0.021K 1.607)a  (0.018K  0.607)  0

2
 (0.021K
 j2ab  j(0.021K z1.607)b
 0 1.607)z  (0.018K  0.607)  0

15 December 2006

23


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc
◆
◆

Kết hợp với điều kiện a2 + b2 =1, ta được hệ phương trình:
a2  b2  (0.021K 1.607)a  (0.018K  0.607)  0

 j2ab  j(0.021K 1.607)b  0

◆

 a2  b2  1
Giải hệ phương trình trên, ta được 4
khi K  0
giao điểm
z  1 là:
K  1071
z  1
z  0.5742  j0.8187


15 December 2006

khi

K  21.83

K gh khi
21.83

24


Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc
Im z

+j

0.5742+j0.8187

2.50
6

3


2

0 0.607

1
0.857

j

15 December 2006

0.792
Re z
+1

0.5742j0.8
187

25