Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9 mới nhất 2018 tuyệt chiêu ôn vào 10 hà nội

TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

ĐẠI SỐ 9
VẤN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
------------------------------------------

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
a. Căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho: x2 = a.
- Số dương a có 2 căn bậc hai: a , - a .
- Số 0 có một căn bậc hai là chính nó: 0  0 .
- Số âm không có căn bậc hai.
b. Căn bậc hai số học
- Với a>0, số a được gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
�x �0
x  a � �2
�x  a

Ví dụ 1:
1) Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau: 9; 4/9; 3; -25; 0,25; 0; 7; -4
2) Tìm căn bậc hai số học của các số sau: 4; ½ ; 0; -9 ; 11
3) Các số sau là căn bậc hai của số nào: 3; 6;  11; 2
Ví dụ 2: Tìm x biết:
a) x2 = 4
d) x =2
e)

b) (2x - 1)2 = 5

x =15
f) x  0

c. So sánh các căn bậc hai số học
Với a 0; b 0, ta có: a  b � a  b ( a �
b

c) (3/2+x)4 = 121
g) x  3

a

b)

Ví dụ 3:
1) So sánh: 5  13 và 2;
2) Tìm x không âm biết:

1
1
1

 ... 
và 6.
1
2
36
x 2

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số:
A được gọi là căn thức bậc hai của A,
A được gọi là biểu thức lấy căn (hay biểu thức dưới dấu căn)
A xác định (hay có nghĩa) � A �0
1
xác định (hay có nghĩa) � A > 0
A


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chú ý: (x – a)2  0 x ; (x – a)2 > 0  x  0
Ví dụ 4: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
2x  7 ; x  1 + 11  x ; 2x  1 + x ; 3  x + 2  x
1
x
1
1
1
; x ;

;
;
3 x
x  5 2 x 1
x 1
x 2
x 1
1
x 2 ; x 2  4x  4 ;

2
x  2x  1

1)
2)
3)

Ví dụ 5: Tìm x biết:

x  2 >4

a)

4  x �3

b)

II. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

 h�ng ��ng th�c

1)

A2  .......

2)

A.B  .............

 A �0, B �0 

ch
 khai ph��ng m�tt�

3)

A
 ................
B

 A �0, B  0 

 khai ph��ng m�tth��ng

1
 ................
B

 B  0

5)

 B �0 

A2 B  ................

4)

A B  ................
A B  ................

 ��a th�a s�ra ngo�id�u c�n
 ��a th�a s�v�o trong d�u c�n

 A �0, B �0 
 A  0, B �0 

A
 ................  AB �0, B �0 
 kh�m�u
B
A
 ................  B  0 
 tr�c c�n th�c �m�u
B
C
 ................  A �0, A �B 2 
 tr�c c�n th�c �m�u
A �B
C
 ................  A �0, B �0, A �B   tr�
c c�
n th�
c �m�
u
A� B

6)
7)
8)

9)

Một số chú ý khi rút gọn biểu thức:

 
♦  a  b 
♦

x

2

 x  x �0 

x

;



 
x

 x �0 

a  b  a  b  a, b �0  , ta nói:

liên hợp của nhau.

Ví dụ 6: Rút gọn: (Áp dụng 1)

6

a)

(- 0,3) 2 ; ( - 2) ;

b)

a 2 v�
i a< 0 ;

c) 3  2 2 ;

2

(

) ( 22

3-

2 ;
2

( x - 4) v�ix �4

94 5

7

)

2





a b ;



a  b là hai biểu thức


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

Ví dụ 7: Rút gọn:
4
7
:
21 3

a)

0, 2. 18. 10 ;

c)

2a. 32ab 2  a �0, b  0 

b)

3a 3 . 12a  a �0 

d) 2y 2 .

x4
 y  0
4y 2

Ví dụ 8:
a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

3
a2(a2 - 4a+ 4) ( 0< a< 2)
a- 2
b) Đưa thừa số vào trong dấu căn
2
3 5 ; 2ab 5a  a �0 

 b �0  ;

28a 4 b 2

18 4a 4 ;

c) Rút gọn: 6 3  12  52.3

Ví dụ 9: Trục căn thức ở mẫu

11
;
3 2

7
;
10  3

6
3 2

III. CĂN BẬC BA
1. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì ( 3 a )3  3 a 3  a
2. Tính chất
- Với a < b thì 3 a  3 b
- Với mọi a, b thì 3 ab  3 a . 3 b
a 3a

b 3b
Một số chú ý khi rút gọn biểu thức:

-

Với mọi a và b �0 thì

 
♦  x
x

♦

3

3

3

3

 x x  x �0 

;

x

;

 
x  x
x x

x

3

 x �0 

3

IV. KIẾN THỨC BỔ SUNG (*) DÀNH CHO HỌC SINH THI TRƯỜNG CHUYÊN

1. Căn bậc n
- Căn bậc n ( 2 �n �N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
- Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
 Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
 Căn bậc lẻ của số dương là số dương
 Căn bậc lẻ của số âm là số âm
 Căn bậc lẻ của số 0 là số 0


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

- Căn bậc chẵn (n = 2k )
 Số âm không có căn bậc chẵn
 Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
 Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2. Các phép biến đổi căn thức.
 2 k 1 A. xác định với A
2k
A. xác định với A �0
 2 k 1 A2 k 1  A với  A
2k



2 k 1
2k



A2 k 1.B  A.2 k 1 B với  A, B

A2 k .B  A .2 k B với  A, B mà B �0

2 k 1

2k

A.B  2 k 1 A .2 k 1 B với  A, B

A.B  2 k A .2 k B với  A, B mà A.B �0

2 k 1
2k



A2 k  A với  A

A

B

A

B



m n



m

2 k 1
2 k 1

2k

A

2k

B

A
với  A, B mà B �0
B

với  A, B mà B �0, A.B �0

A  mn A với  A, mà A �0
m

An  A n với  A, mà A �0

B. BÀI TẬP

I. LÝ THUYẾT HỌC SINH CẦN NẮM CHẮC
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

1. (A + B)2 = .......................................
2. (A – B)2 = .......................................
3. A2 – B2 = .......................................
4. (A + B)3 =.......................................
5. (A – B)3 = .......................................
6. A3 + B3 = ......................................
7. A3 – B3 =.......................................
A
có nghĩa la: ..................
B
Điều kiện để A có nghĩa la: ..................

2. Điều kiện để

2k

a và  2k a


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

1
có nghĩa la: ..................
A
3. Các công thức biến đổi căn thức:
Điều kiện để

 h�ng ��ng th�c

1)

A2  .......

2)

A.B  .............

 A �0, B �0 

ch
 khai ph��ng m�tt�

3)

A
 ................
B

 A �0, B  0 

 khai ph��ng m�tth��ng

4)

A2 B  ................
A B  ................

5)

A B  ................

 B �0 

 ��a th�a s�ra ngo�id�u c�n
 ��a th�a s�v�o trong d�u c�n

 A �0, B �0 
 A  0, B �0 

A
 ................  AB �0, B �0 
 kh�m�u
B
A
 ................  B  0 
 tr�c c�n th�c �m�u
B
C
 ................  A �0, A �B 2 
 tr�c c�n th�c �m�u
A �B
C
 ................  A �0, B �0, A �B   tr�
c c�
n th�
c �m�
u

A� B

6)
7)
8)
9)

Một số chú ý khi rút gọn biểu thức:
♦

 x

2

 .......  x �0 

x
 .......  x  0 
x

♦

 x
 x
3

3

3

a

;

x   ......

2

 x �0 

x
 ........  x  0 
x

 .......

;

x   ......

 ............  x �0 

;

x x   ........



3

  a  b   a, b �0
a  1   a  1  a  a  1  a �0 
a  1   a  1  a  a  1  a �0 

♦ ab 

a

;

3

 x �0 

;

a b

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

20 

a/

c/



45  3 18  72 .



12  75  27 : 15

b/





2

6  5  120 .

�1 1 3
�1
4
d/ �

2

200
:
�
�2 2 2
�
5
�

�8


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT



g/ 2 8  3 5  7 2

252  700  1008  448 ;

e/





72  5 20  2 2 .

Bài 2. Trục căn ở mẫu của các biểu thức sau rồi rút gọn chúng:

5 2 22 7
;
;
10 5 2 3 7
1
1

5 3
5 3

a/
c/

3
2 3
7
2
;
;
;
3 1 2  3 6  5 2 3  4 2
1
2
2


d/
2 3
6 3 3
b/

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
2

 4

�1�
 �;
�

� 2�

 7  ;
2

1)

17



2

;



5 2



2

;

 2  3

2

2 3

2) 3  2 2 ; 5  2 6 ; 4  2 3 ; 9  4 5 ; 7  4 3 ; 16  6 7 ;
3) 27  10 2  18  8 2 ; 17  12 2  24  8 8
4) 2  17  4 9  4 5 ;

5  5  21  4 5 ;

14  6 5 ;

2. 6  5

42 3
6 2

2  2 3  18  8 2 ;

{ 4 00...09
{
5*) 99...9
n ch�s� n ch�s�
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
1)





2018  1

2019  2 2018

2)

1 2

:

42 3

3 1
.
2 1

3)

2  3 1 3

;
2
2

4)

2 3 � 2 3
2
2 3
:�


� 2

2
6
2 3
�

5)

4 7  4 7

6)

4  10  2 5  4  10  2 5

7)

2 3



6 2





8) 4  15



10  6



�
�
.
�
�

4  15

Bài 5. Chứng minh đẳng thức:

1/ 2 2





 

3  2  1 2 2



 



2



4

8

2/





4/

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5  2  10 ;

3/ 2  2 5 2  3 2  5
5/

4

2 6 9
2

 20 2  33 ;

2 5



2



2 5



2

1
1
1

 ... 
9
1 2
2 3
99  100

Bài 6. So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
7 1
4 1
1/ 2  3 và 10
2/
và
;
2 21
9 5

4/ 5 3 và

3 5

5/

6/ Cho A  11  96 và B 

2003  2005 và 2 2004

2 2
. Hãy so sánh A và B.
1 2  3

3/ 14  13 và 2 3  11


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

Gợi ý: a/



2 3

Vì 24 < 25 =>
b/



2

 2  3  2 6  5  2 6  5  24 ;

24 <

2003  2005

2





2

25 nên



2 3

 
2

10



2



10



2

 10  5  5  5  25

� 2  3  10

 2003  2005  2 2003.2005  4008  2 20042  1

2004



2

 4.2004  2.2004  2 2004 2

Vì 20042  1  20042  20042  1  20042  2003  2005  2 2004

Dạng 2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC:
Bai 1. Cho x  0. Hãy phân tích các biểu thức sau thành nhân tử:
1) x  1

2) 9  x

3) 2 x  x

4) x  2 x  1

5) x  4 x  4

6) x  3 x  2

7) x  x

8) x  2 x

9) x x  1

10) x x  8

11) x  5 x  6

12) x  4

13) x  3 x  2

14) 4 x  4 x  1

15) x  7 x  12

16) 2 x  5 x  2

Bai 2. Hãy phân tích các biểu thức sau thành nhân tử:

1) x  2 x  1  x �1

2) x  4 x  4  x �4 

3) x  4 x  2  2  x �2 

Bai 3. Tìm điều kiện của x để các căn bậc hai sau đây có nghĩa:
1) 2 x  7
2) 3 x  4
3) 5  x
5)

x  3

6)

4
x3

7)

9)

8x

10)

x2

11)

14)

1
x 2

15)

13)

1
x

2

1
;
x 1
x2  2x  1
1
x x 2

4)

2x 1

8)

x
5

12)

2 x2  1

16)

1
x x 1

Bai 4. Rút gọn:
1) 36a 2  3a  a �0 
4) 9a  3a  a  0 
6

7)

3

2) 2 a 2  5a  a  0 
5)

63 y 3
7y

3) 25a 4  2a 2

 y  0

6)

48 x 3
3 x3

 x  0

45mn 2
 m  0, n  0 
20m

Bai 5. Rút gọn:
1)

a  2  2 a  1  1 (với a  -1)

2)

x 2

 x  1

2

 x  1

x4 x 4

3) 3x  1  4 x 2  9  12 x
Bai 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  2 x  2018 ;
Bai 7. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.

2

(với 0 < x < 1)

B  3x  2 3x  4


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

C=

x  4 x  2  2  x  4 x  2  2 nếu 2 �x �6

NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI RÚT GỌN BIỂU THỨC
- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa, nếu đề bài đã nêu điều kiện xác định thì ta vẫn phải chỉ ra trong bài làm
của mình
- Các dạng bài tập này thường phải quy đồng mẫu (phân tích các mẫu thành nhân tử) , cần chú ý: áp dụng quy tắc
đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung, đối với một số bài có thể rút gọn tử và mẫu rồi mới quy
đồng.
- Đối với các câu hỏi phụ:
+ Viết lại điều kiện xác định ở dòng đầu đối với mỗi câu hỏi phụ.
+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình, chú ý khi sử dụng kí hiệu toán học
“” , “” đầy đủ, chính xác.
+ Làm xong cần kết hợp với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm sau đó rút ra kết luận chính
xác.

CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN
1) Rút gọn biểu thức P, chứng minh biểu thức P =...
2) Tính giá trị biểu thức P khi x bằng giá trị cho trước.

3) Tìm x để P = a (a cho trước) (giải phương trình).
4) Tìm x để P < a, |P| < a, chứng minh P>a, so sánh P va a, xét dấu P (so sánh P va 0)
(giải bất phương trình)
5) Bai toán cực trị
6) Tìm x để P nguyên
+) Tìm x Z (x  N) để P nguyên
+) Tìm x  R để P nguyên
7) Tìm m để phương trình P = m có nghiệm
Dạng 1, 2 , 3 (Rút gọn biểu thức P, tính giá trị biểu thức P , tìm x để P = a)
1. Cho hai biểu thức A 

�
15  x
2 � x 3
2 x

và B  �
�
�x  25
�: x  5 với x �0; x �25
x

5
3 x
�
�

1, Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 3 5  2. 3 5  2
2, Rút gọn biểu thức B.
�x  x  10

1 � 1

2. Cho biểu thức A  �
với x �0; x �9
�:
� x9
x 3�
�
� x 3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 

2
2

5 1
5 1


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

� x
1 � 2

với x0, x4
�:
x

4
x


2
x

2
�
�

3. Cho biểu thức M  �

b) Tính giá trị biểu thức M biết x = 4  2 3

a) Rút gọn M

c) Tìm x để M =

4. (Thi vào 10 Hà Nội 2014-2015)

x 1
khi x = 9
x 1
1 � x 1
� x2

.
2) Cho biểu thức P  �
với x > 0 và x1.
�
x  2 � x 1
�x  2 x

x 1
a) Chứng minh rằng P 
x
b) Tìm các giá trị của x để 2P  2 x  5
x3
2
1

5. Cho hai biểu thức A 
và B 
với x0, x 9.
x 9
x 3
x 3
1) Tính giá trị của biểu thức A 

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 1
2) Rút gọn S = A – B.
3) Tìm tất cả giá trị của x để S =

6. (Thi vào 10 Hà Nội năm 2016-2017)
Cho hai biểu thức A 

x 2
và B 
x 5

x 1
.
x 2

3
20  2 x
với x0, x 9.

x  25
x 5

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
2) Chứng minh B 

1
x 5

3) Tìm tất cả giá trị của x để A = B.|x - 4|

 2x 1
  1  x3
x
 với x 0 và x 1

.
B



x
7. Cho biểu thức
 3
  1 x


x

x

1
x

1



a) Rút gọn B;
b) Tìm x để B = 3.
8. Cho hai biểu thức A 

2 x
và B 
x 3

x  1 11 x  3
với x0, x 9.

x 9
x 3

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
2) Rút gọn M = A + B
3) Tìm x sao cho M2 = M.

Dạng 4 (Tìm x để P < a, |P| < a, chứng minh P>a, so sánh P và a, xét dấu P)

1 �� x  1
x 2�
� 1


9. Cho biểu thức P  �
�với x>0, x1, x  4.
�: �
x ��
x 1 �
� x 1
� x 2
�
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < ¼
c) Tìm x để P > 1/6

1
2


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT
15 a  11 3 a  2 2 a  3


với a 0, a1.
a  2 a  3 1 a
a 3
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P ≤ 2/3

1
x2
1

11. Cho biểu thức: A =
và B =
với x > 0
x 2
x2 x
x
10. Cho biểu thức P 

a) Rút gọn P = A + B
c) So sánh P với 1
x x
x4
;B 
12. Cho biểu thức A =
 x  0, x �1 .
x 1
x2 x
a) Rút gọn A, B

b) So sánh A và B

13. (Thi vào 10 Hà Nội năm 2013-2014).
Với x > 0, cho hai biểu thức A 

2 x
và B 

x

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm x để

x 1 2 x 1

x
x x

A 3
 .
B 2

14 (Thi vào 10 Hà Nội – 7/6/ 2018).
x 4
3 x
2
và B 

Cho các biểu thức A 
với x 0, x ≠ 1
x 1
x  2 x 3
x 3
1) Tính giá trị của A khi x  9 .
2) Chứng minh B 

1

;
x 1

A x
�  5.
B 4
15. (thi thử THCS Lý Thường Kiệt 2017-2018)

3) Tìm tất cả giá trị của x để

� x
� x 2 �
25 x
2 x
3x  9 �
;B  �


 1�
 x �0, x �9 
�
�
9

x
3
x 1
x

3

x

3
�
�
�
�
1) Tính giá trị biểu thức A khi x  16.

Cho biểu thức A 

2) Rút gọn biểu thức B.
3) Gọi M = A.B. So sánh M và

M

�

x 2
x 1� x 1

.
 x  0, x �1
�
x

1
x

2

x

1
x
�
�

16. Cho biểu thức M  �

1) Rút gọn biểu thức M.
2) Tính giá trị biểu thức M khi x  36.
3) Tìm x để | M + 1| > M + 1.
17. (Thi thử vào 10 quận Hà Đông – lần 3 – năm 2017-2018)
x 2
x
1
1
và B 


Cho các biểu thức A 
với x >0, x ≠ 4
x4
x
x 2
x 2
1) Tính giá trị của A tại x  6  2 5 .


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

2) Rút gọn biểu thức B và tính P =

A
;
B

3) Tìm x thỏa mãn xP �10 x  29  x  25 .

Dạng 5 (Bài toán cực trị)
18. Cho biểu thức P 

x 1
1
2 x


x 3
x 3 9x

1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị của x để P = -1/4
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
19. Cho biểu thức B 

x
3
x  15
với x  0, x9.



x 9
x 3 3 x

a) Rút gọn biểu thức B
20. Cho biểu thức A =

x 1
+
x -1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.

x -1 3 x  1
(với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
x 1
x -1

a) Rút gọn A ;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

x x  26 x  19 2 x
x 3


x2 x 3
x 1
x 3
1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

x 3 x   9 x
x3
x  2
:



22. Cho biểu thức B 1 
  x x  6 2 x

x

9
x

3

 

21. Cho biểu thức P 

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B > 0 .
c) Với x > 4 ; x  9 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).
23 (Thi vào 10 Hà Nội 2015-2016).
Cho hai biểu thức P 

x 3

và Q 
x 2

x 1 5 x  2
với x > 0 và x4.

x4
x 2

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức Q
3) Tìm giá trị của x để biểu thức

P
đạt giá trị nhỏ nhất.
Q

24.
1) Cho biểu thức A 

x x 1
.
x 1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A biết x = 64.
2) Cho biểu thức B 

x
3

x  15


với x  0, x  9.
x9
x 3 3 x

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm giá trị của x để B  

1
.
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT
25.
1) Tìm điều kiện xác định và tính giá trị của biểu thức A 

2) Cho biểu thức B  4 

8
3 x  16

với x > 0.
x 4 x4 x
b) Tìm các giá trị của x để B  5 x  7 .

a) Rút gọn biểu thức B.
26. Cho biểu thức A 

x 4
khi x  81 .
x9

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của

B
.
A

x
2 x 1 2x  x  3
x7


;B 
với x > 0, x  9.
x9
x 3
x 3
x

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x  25 .
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của S 

1

 B.
A

Dạng 6 (Tìm xZ hoặc x R để P nguyên)
27. Cho biểu thức P 

x 1
x
75 x
với x0.


x 2
x 1 x  3 x  2

1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị của x để P nguyên.
2x
x  1 3  11 x


28. Cho biểu thức A 
với x  3
x  3 3  x x2  9
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.

c/ Tìm x nguyên để A nguyên.

29. (Thi vào 10 Hà Nội năm 2012-2013)

x 4
. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
x 2
� x
4 � x  16

2) Rút gọn biểu thức B  �
(với x > 0, x 16)
�:
x

4
x

4
�
� x 2
1) Cho biểu thức A 

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A - 1) là
số nguyên.

x  12
1
4


với x0, x4
x4

x 2
x 2
2
a) Rút gọn M
b) Tìm x để M 
c) Tìm x nguyên để M nguyên
3
�3x  9x  3
1
1 � 1


:
31. Cho biểu thức P = �
�
�x  x  2
�
x

1
x

2
�
�x 1
30. Cho biểu thức M 

a) Tìm ĐKXĐ của P và rút gọn P
1
b) Tìm các số tự nhiên x để

là số tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3 .


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

32. (thi thử vào 10 quận Hoàn Kiếm 11/5/2018)
2 x B  x  1 
Cho hai biểu thức A 
;
x4 2 x
x
a) Tính giá trị của A khi x =
b) Rút gọn B.
c) Cho P 

1
với x>0; x  4.
x 2

1
.
4

A
3
. Tìm các giá trị nguyên của x để Px �
B
2





x 1 .

33. (Thi vào 10 Hà Nội năm 2016-2017)

7
và B 
x 8

Cho hai biểu thức A 

x
2 x  24
với x0, x 9.

x 9
x 3

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25
b) Chứng minh B 

x 8
x 3

c) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.

1
x 1
x 4


x 1 x  x 1 x x 1
2
a) Chứng minh P =
b) Tìm x để P nguyên
x  x 1

34. Cho biểu thức P =

Dạng 7.( Tìm m để phương trình P = m có nghiệm)
1
x
x x

;B 
 x �0, x �1
x 1 x 1
2 x 1
1) Tính giá trị biểu thức B khi x  4
2) Rút gọn M = A.B
3) Tìm k để phương trình M = k có nghiệm.

35. Cho biểu thức A 

36. (thi thử vào 10 Quận Nam Từ Liêm năm 2017-2018)
Cho biểu thức A 

x 2
x 1 7 x  9
;B 

 x  0, x �9 
x 9
x
x 3

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  36.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Cho biểu thức P = A:B. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m.


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

BÀI TẬP TỔNG HỢP
x2  x
xx

1. Cho biểu thức P 
x  x 1
x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
2. Cho P =

b) Khi x = 3 + 2 2 , tính P

2x  3 x  2

x 3  x  2x  2
và Q =
với x 0, x4.
x 2
x 2

a) Rút gọn P và Q
b) Tìm x để P = Q.
2 y
1
1

;B 
 x �0; y �0; x �y 
3. Cho biểu thức A =
x y
x y
x y
a) Tính giá trị của B khi x = 0; y = 4
b) Rút gọn biểu thức M = A + B;
c) Tìm x, y sao cho M = 1 và x = 4y.
x 2
5
1
;B 

4. Cho biểu thức A =
với x0, x4.
x 3
x x 6

x 2
a) Tính giá trị A khi x = 16
b) Rút gọn biểu thức M = A – B
c) Tìm x để M = 3 x .

x 3 x
1
1
;B  3

với x1.
3
2
x 1
x 1
x  3 x 1
a) Tính giá trị A khi x = 8
b) Rút gọn biểu thức M = A + B
c) Tìm x để M = 3/2.
�x
�x  x x  x �
1 �

6. Cho biểu thức A = �
�
�
�2 2 x �
� x  1  x 1 �
�với x>0, x1.
�

�
�
�
a/ Rút gọn biểu thức A;
b/ Tìm x để A > - 6.
� x
2
1 ��
10  x �


:
x

2

7. Cho biểu thức B = �
�
�
�.
�x  4 2  x
��
x

2
x

2
�
�

�
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để B > 0.
x2
x 1
1
8. Cho biểu thức A =

;B 
 x �0; x �1 .
x x 1 x  x  1
x 1
a) Rút gọn biểu thức S = A – B;
b) So sánh B và 1/3.
2
1
x 1
9. Cho biểu thức A =

;B 
 x �0, x �9  .
x 3
x 3
x 3
a) Rút gọn biểu thức M=A:B;
b) So sánh M và M2.
5. Cho biểu thức A 

�

x 2
x 3
x  2 ��
x �


:
2

��
�
x  3 ��
x 1 �
�x  5 x  6 2  x
��
�
1
5
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để � .
P
2

10. Cho P = �
�

c) Tìm x biết P = 0.


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

1 � x
�x  3

với x>0, x9
�:
x 3� x 3
�x  9

11. Cho biểu thức B  �
a) Rút gọn B

b) So sánh 3B và 1

c) Tìm x để B = -1/5

12. (thi thử THCS Nghĩa Tân – Cầu giấy 2017-2018)
Cho hai biểu thức A 

x2 x
2
2 x
và B  
với x >0, x ≠ 1
x 1
x x x 1



1) Tính giá trị của A tại x  25 .

2) Chứng minh B =
3) Tìm x để biểu thức
13. Cho hai biểu thức A 

x



x 2





x 1

A
1
B
x
x 1
x 4
3 x
với x >0, x ≠ 4


và B 
x4
x 2
x 2

x 2

a) Tính giá trị của B khi x = 9
b) Rút gọn S = A : (B+ 1)
c) Tính giá trị nhỏ nhất của S.
14. Cho hai biểu thức A 

3
x 3
x2
x
với x 0, x ≠ 1

và B 

x 1
x 1
x x 2
x 2

a) Tính giá trị của B khi x = 9
b) Rút gọn M = A : B
c) Tính giá trị lớn nhất của M.
15. (Thi vào 10 Hà Nội năm 2011-2012)
Cho biểu thức A 

x
2 x
3x  9
. (với x 0, x 9)



x 3
x 3 x 9

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của x để A = 1/3
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
16. Cho biểu thức M 

1
x
x
. (với x >0)

;N 
x
x 1
x x

1) Tính giá trị N khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức S = M : N
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S.
1
1
x 5

17. 1) Cho biểu thức A 
Tính giá trị của biểu thức A khi x 
3 5 3 5

x 3
x
10 x
5


với x �0; x �9
x  5 x  25
x 5
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm số nguyên x để biểu thức M = A.B có giá trị là số nguyên.

2) Cho B 


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

18. Cho hai biểu thức P 

x 1
và Q 
x 2

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

x 1
x 3

với x  0, x  1.
x 1 x 1

9
.
4

2) Rút gọn biểu thức Q.
3) Tìm giá trị của x để biểu thức Q 

x
.
6

4) Tìm các giá trị nguyên của x để P.Q là số nguyên.
19.

x 3
. Tính giá trị của biểu thức A khi x  25 .
x 2
� x 1
5 �x  4

2) Cho biểu thức B  �
(với x > 0, x  16).
�:
x 4� x
� x
1) Cho biểu thức A 

a) Rút gọn B
b) Tìm giá trị của x để B 

1
.
2

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức

A 1
là số nguyên.
B

x  x 1
1
1


và N 
x x 2 2 x
x 1
1) Tính giá trị của biểu thức N khi x  4  2 3 .
2) Rút gọn biểu thức M.
3) So sánh M và 1.
1
4) Tìm x N để giá trị của biểu thức của
là một số tự nhiên.
M
20. Với x > 0, x  1 cho hai biểu thức M 

21. Cho biểu thức M 

2


x 1

x
.
x 1

2
5 x

 x �0, x �1
x 1
x 1

1) Rút gọn M
2) Tính giá trị biểu thức M khi x = 4.
3) Tìm x R để M có giá trị là số nguyên.
�
15  x
2 � x 3
2 x

22. Cho hai biểu thức A 
và B  �
�
�x  25
�: x  5 với x �0; x �25
x

5

3 x
�
�

1, Tính giá trị của biểu thức A khi x   3 8  3. 3 8  3
2, Rút gọn biểu thức B.
3, Đặt P = A+B. Tìm x để P nhận giá trị nguyên.
23. (thi thử vào 10 THCS Ngô Sĩ Liên – Hoàn Kiếm năm 2017-2018)
Cho biểu thức A 

5 x 9
x2
x
;B 

 x �0, x �1
x 1
x x 2
x 2

1) Tính giá trị biểu thức A khi x 

1
9


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

2) Chứng minh rằng

A 5 x 9

.
B
x 1

3) Với điều kiện x  0, x  1, tìm tất cả các giá trị m để phương trình

A
 m có nghiệm x.
B

BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Cho A 

2x
5 x 1
x  10
víi x  0.


x 3 x 2 x 4 x 3 x5 x 6

Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x.
 a 1
  a 1
ab  a

 1 : 


2. Cho biểu thức: M = 
ab  1
 ab  1
  ab  1
a) Rút gọn M.
3 1
b) Tính giá trị của M nếu a= 2  3 và b=
1 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a  b  4
3. Cho biểu thức


ab  a
 1
ab  1


3
3
 1
1 
2
1 1 x  y x  x y  y

A 

.
  :
với x > 0 , y > 0
3

3
y  x  y x y 
 x
x y  xy

a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.



4. Cho biểu thức P 

1

 x  x 1

a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.



 2


x  1  2  2  x
x 3

b/ Rút gọn biểu thức P.

x 2


2 x  x 
c/ Tính giá trị của P với x 3  2 2 .


TÀI LIỆU ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI CẬP NHẬT CÁC ĐỀ THI MỚI NHẤT

Dạng 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC
Bai 7. Giải phương trình:
a)

x  x  1 = 0

d) 5  2 x  x  1

b)

x x 1  0

e) 3  x  x  1

c)

x  5  x
x2

0