cong thuc toan hoc so cap
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.9 MB, 96 trang )
n.c
om
2008
/b
log
toa
Công Thức
Toán Học
Sơ Cấp
Handbook of Primary
Mathematics
htt
p:/
Tóm tắt các định lý, tính chất và công thức toán cơ
bản nhất, dễ hiểu nhất.
Deltaduong
TND® Corp.
12/10/2008
n.c
om
Mục lục
I. SỐ HỌC ................................................................................ 8
1. Các dấu hiệu chia hết ..................................................... 8
2. Các giá trị trung bình ..................................................... 8
II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP.......................................................... 9
A. CÁC LOẠI KẾT HỢP...................................................... 9
toa
1. Hoán vị (không lặp) ....................................................... 9
2. Hoán vị lặp .................................................................... 9
3. Chỉnh hợp (không lặp) ................................................. 10
4. Chỉnh hợp lặp .............................................................. 10
/b
log
5. Tổ hợp (không lặp) ...................................................... 11
6. Tổ hợp lặp ................................................................... 11
B. NHỊ THỨC NEWTON ................................................... 12
III. ĐẠI SỐ ............................................................................. 14
1. Các phép toán trên các biểu thức đại số ....................... 14
2. Tỷ lệ thức .................................................................... 17
p:/
3. Số phức ....................................................................... 18
4. Phương trình ............................................................... 19
5. Bất đẳng thức và bất phương trình ............................... 24
htt
6. Cấp số; một số tổng hữu hạn........................................ 29
7. Logarith ...................................................................... 30
IV. HÌNH HỌC....................................................................... 31
A. CÁC HÌNH PHẲNG ...................................................... 31
ii
n.c
om
1. Tam giác ..................................................................... 31
2. Đa giác ........................................................................ 35
3. Hình tròn ..................................................................... 37
4. Phương tích ................................................................. 39
B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH ................ 41
1. Hình lăng trụ ............................................................... 41
toa
2. Hình chóp đều ............................................................. 41
3. Hình chóp cụt đều ....................................................... 41
4. Hình trụ ....................................................................... 42
5. Hình nón ..................................................................... 42
/b
log
6. Hình nón cụt ................................................................ 42
7. Hình cầu ...................................................................... 43
V. LƯỢNG GIÁC................................................................... 44
1. Hàm số lượng giác và dấu của nó ................................ 44
2. Hàm số lượng giác của một số góc đặc biệt ................. 45
3. Một số công thức đổi góc ............................................ 46
p:/
4. Các công thức cơ bản .................................................. 46
5. Hàm số lượng giác của góc bội .................................... 47
6. Công thức hạ bậc ......................................................... 48
htt
7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các góc................ 48
8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác ......... 49
9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác....................... 50
10. Công thức góc chia đôi .............................................. 51
iii
n.c
om
11. Một số công thức đối với các góc trong một tam giác
( là các góc trong một tam giác)............................. 52
12. Một số công thức khác ............................................... 52
13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác ........... 55
VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG ................. 56
1. Điểm ........................................................................... 56
2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) ..................................... 56
toa
3. Tọa độ cực (Hình 21) .................................................. 57
4. Phép quay các trục tọa độ ............................................ 57
5. Phương trình đường thẳng ........................................... 58
/b
log
6. Hai đường thẳng .......................................................... 58
7. Đường thẳng và điểm .................................................. 59
8. Diện tích tam giác ....................................................... 60
9. Phương trình đường tròn ............................................. 61
10. Ellipse (Hình 23) ....................................................... 61
11. Hyperbola (Hình 24).................................................. 63
p:/
12. Parabola(Hình 25) ..................................................... 65
VII. ĐẠI SỐ VECTOR ........................................................... 67
1. Các phép toán tuyến tính trên các vector ...................... 67
htt
2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector () ..................... 68
3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34) ............ 69
4. Các phép toán tuyến tính trên các vector được cho nhờ
các tọa độ ........................................................................ 69
5. Tích vô hướng của hai vector ...................................... 69
iv
n.c
om
6. Tích vector của hai vector............................................ 71
7. Tích hỗn hợp của ba vector.......................................... 72
VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ............................................. 73
1. Giới hạn ...................................................................... 73
2. Đạo hàm và vi phân ..................................................... 74
3. Ứng dụng hình học của đạo hàm.................................. 77
toa
4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ........................ 77
IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ................................................ 84
A. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH ................................ 84
1. Định nghĩa .................................................................. 84
/b
log
2. Các tính chất đơn giản nhất ......................................... 84
3. Tích phân các hàm hữu tỷ............................................ 85
4. Tích phân các hàm vô tỷ .............................................. 87
5. Tích phân của hàm lượng giác ..................................... 90
B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ............................................... 92
1. Định nghĩa .................................................................. 92
p:/
2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định...................... 92
htt
3. Một số ứng dụng của tích phân xác định ...................... 92
v
n.c
om
MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC
Bằng
Đồng nhất bằng
Không bằng (khác)
Xấp xỉ bẳng
Nhỏ hơn
Lớn hơn
Nhỏ hơn hoặc bằng
Lớn hơn hoăc bằng
Tương đương
|…|
+
. (hoặc )
: (hoặc __)
Giá trị tuyệt đối của một số
Cộng
Trừ
Nhân
Chia
am
a lũy thừa m
Căn bậc hai
Căn bậc n
Đơn vị ảo
Logarith cơ số a của b
Logarith thập phân của a
Logarith tự nhiên (cơ số e) của a
n giai thừa
Tam giác
Góc phẳng
Cung
Đoạn thẳng AB
htt
p:/
i
log a b
lga
lna
n!
/b
log
n
AB, AB
AB
a=b
ab
a b
ab
a
ab
ab
Mệnh đề A
mệnh đề B
|a|
a+b
a-b
a.b hoặc a b
a
a:b hoặc
b
2
2 4
4 2
3
32 2
2
i 1
log3 9 2
log10=1
toa
=
<
>
Vector AB
Vuông góc
Song song
6
4!=1.2.3.4=24
ABC
ABC
AB
Song song và bằng
Đồng dạng
Song song và cùng chiều
n.c
om
#
Song song và ngược chiều
độ
phút góc phẳng hoặc cung
giây
'
htt
p:/
/b
log
toa
''
AB DC
AB CD
7
1310'35''
n.c
om
I. SỐ HỌC
1. Các dấu hiệu chia hết
Cho 2: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng chẵn hoặc bằng
không.
Cho 4: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng bằng không hoặc
làm thành một số chia hết cho 4 (quy ước 4=04; 8=08).
toa
Cho 8: Số (và chỉ số đó) có ba chữ số tận cùng bằng không hoặc
làm thành một số chia hết cho 8 (quy ước 8=008; 16=016).
Cho 3: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 3.
/b
log
Cho 9: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Cho 6: Số (và chỉ số đó) đồng thời chia hết cho 2 và 3.
Cho 5: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Cho 25: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng là 0 hoặc làm
thành một số chia hết cho 25.
p:/
Cho 11: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số ở vị trí chẵn và
tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng nhau hoặc hiệu của chúng là một
số chia hết cho 11.
htt
2. Các giá trị trung bình
a a ... an 1 n
ai
Trung bình cộng: M1 1 2
n
n i 1
Trung bình nhân: M 0 n a1.a2 ...an
8
n
n.c
om
Trung bình điều hòa: M 1
1 1
1
...
a1 a2
an
a12 a22 ... an2
n
Trung bình bình phương: M 2
toa
II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP
A. CÁC LOẠI KẾT HỢP
/b
log
1. Hoán vị (không lặp)
Một hoán vị của n phần tử là một dãy có thứ tự của n phần tử đó,
mỗi phần tử có mặt trong dãy đúng một lần.
Số hoán vị khác nhau được tạo thành của n phần tử ký hiệu là
Pn. Số này bằng tích tất cả các số nguyên liên tiếp từ 1 cho đến
n, nghĩa là bằng n!
Pn=1.2.3…n=n! (n giai thừa)
p:/
Quy ước 1!=1 và 0!=1.
htt
2. Hoán vị lặp
Cho n phần tử, trong đó có n1 phần tử giống nhau thuộc loại 1,
n2 phần tử giống nhau thuộc loại 2,… nk phần tử giống nhau
thuộc loại k, (n1+n2+…+nk=n).
Sắp xếp n phần tử đã cho thành mọi dãy (cùng độ dài) có thể có.
Mỗi dãy thu được như vậy gọi là một hoán vị lặp của n phần tử
đã cho.
9
Pn n1 , n2 ,..., nk
n
n1 !n2 !...nk !
n1 n2 ... nk n, k laø soá loaïi
toa
3. Chỉnh hợp (không lặp)
Cho n phần tử khác nhau, k n .
n.c
om
Số lượng Pn n1 , n2 ,..., nk hoán vị lặp bằng:
Ta gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một dãy có thứ tự
gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, mỗi phần tử có mặt
trong dãy không quá một lần.
/b
log
Số chỉnh hợp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng:
Ank n n 1 n 2 ... n k 1
n n 1 n 2 ... n k 1
Hay Ank
n!
n k !
p:/
Đặc biệt khi k=n, ta có Ank n ! Pn
4. Chỉnh hợp lặp
Cho n phần tử khác nhau, có k là một số tự nhiên bất kỳ ( k n ).
htt
Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu ở mục 3 nếu ta cho phép mỗi
phần tử có thể có mặt trên một lần thì ta có định nghĩa của chỉnh
hợp lặp chập k.
Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo thành tử n phần tử:
10
n.c
om
Ank nk
5. Tổ hợp (không lặp)
Từ n phần tử khác nhau ta tạo nên những nhóm gồm k phần tử
khác nhau không để ý đến thứ tự của các phần tử trong nhóm tạo
thành. Mỗi nhóm thu được theo cách đó gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử đã cho ( k n ).
toa
Số lượng tổ hợp chập k có thể thành lập từ n phần tử bằng:
Ank n n 1 ... n k 1
C
k!
k!
k
n
Cnk
/b
log
Hay:
n!
(quy ước Cn0 1 )
k ! n k !
Các tính chất của Cnk :
(0.1)
Cnk1 Cnk 1 Cnk ;
(0.2)
p:/
Cnk Cnnk ;
Cnk Pn k ; n k .
htt
6. Tổ hợp lặp
Nếu trong định nghĩa của tổ hợp ở mục 5 ta cho phép mỗi phần
tử được có mặt nhiều lần thì mỗi nhóm thu được gọi là tổ hợp
lặp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp lặp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng:
11
n k 1!
k ! n 1!
Hay:
Cnk Pn k 1 k ; n 1
B. NHỊ THỨC NEWTON
n.c
om
Cnk Cnk k 1
n
Hay là:
a b
n
n n 1 n 2 2
a b ...
2!
n n 1 ... n k 1 n k k
a b ... b n
k!
a n na n 1b
/b
log
a b
toa
Nhị thức Newton1 là công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n
nguyên dương, dưới dạng đa thức theo các ẩn số a và b:
n
a n Cn1a n1b Cn2 a n2b 2 ... Cnk a n k b k ... b n Cnk a n k b k
k 0
p:/
Các hệ số:
1, n,
n n 1
n n 1 ... n k 1
,...,
,... 0 k n
2!
k!
htt
Gọi là các hệ số của nhị thức.
1
Sir Isaac Newton, FRS (4 January 1643 – 31 March 1727) was an English
physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist,
theologian and one of the most influential men[5] in human history. More…
12
n.c
om
Tính chất của các hệ số:
Các hệ số ở các số hạng cách đều hai mút bằng nhau;
Biết các hệ số Cnk 1 và Cnk của khai triển a b ta tìm được
n
các hệ số Cnk1 của khai triển a b
n 1
5.
theo công thức (1.2) mục
toa
Dựa vào các tính chất này,người ta lập ra tam giác số cho các hệ
số của khai triển, gọi là tam giác Pascal:
1
1
2
1
3
1
1
1
.
4
3
6
5
6
.
1
/b
log
1
1
10
15
4
10
20
.
.
1
1
5
15
.
1
6
.
1
.
.
p:/
Dòng thứ n(n=0,1,2,…) trong bảng trên liệt kê các hệ số của
khai triển (a+b)n.
Công thức nhị thức Newton có thể tổng quát cho trường hợp lũy
thừa bậc n nguyên dương của tổng k số hạng:
htt
a1 a2 ... ak
n
n!
a1n1 a2n2 ...aknk
n1 !n2 !...nk !
2
Blaise Pascal (June 19, 1623 – August 19, 1662) was a French
mathematician, physicist, and religious philosopher. More…
13
n!
a1n1 a2n2 ...aknk
n1 !n2 !...nk !
Với 0 ni n và n1 n2 ... nk n.
toa
III. ĐẠI SỐ
n.c
om
Trong đó lấy tổng ( ) được lấy theo mọi số hạng có thể có
dạng:
1. Các phép toán trên các biểu thức đại số
Giá trị tuyệt đối của một số
/b
log
|a|=a nếu a 0, |a|=-a nếu a<0
Quy tắc về dấu khi nhân và chia:
Các phép toán trên các đa thức
p:/
a b c x ax bx cx;
a b c m n a m n b m n c m n
am an bm bn cm cn;
htt
abc a b c
x
x x x
Các phép toán trên các phân thức
14
n.c
om
a c ad cd
;
b d
bd
a c ac
.
;
b d bd
a c ad
:
.
b d bc
Một số đồng nhất thức:
a b a 2 2ab b 2 ;
3
a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 ;
a 2 b 2 a b a b ;
a 3 b3 a b a 2 ab b 2 ;
a 3 b3 a b a 2 ab b 2 ;
a m b m a b a m 1 a m 2b ... ab m 2 b m 1 ;
/b
log
toa
2
a 4 b 4 a 2 b 2 2a 2 b 2
2
a 2 2ab b 2 a 2 2ab b 2 ;
a b c a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc;
2
a b c a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc;
2
a b c a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc;
3
a b c a 3 b3 c3 6abc
htt
p:/
2
a1 a2 ... an
3 a 2b ab 2 b 2 c bc 2 c 2 a ca 2 ;
2
a12 a22 ... an2 2 a1a2 a1a3 ... an 1an ;
a m b m a b a m 1 a m 2b a m 3b 2 ... b m 1 .
15
n.c
om
(nếu m là số tự nhiên lẻ)
Các phép toán với lũy thừa
a m a
.a...a
am
a mn ;
n
a
a m .a n a m n ;
a.b
m
a
m n
a mb m ;
a m .n ;
m
am
m
n
/b
log
am
a
b 0 ;
bm
b
a 0 1, a 0 ;
toa
m laàn
1
, a 0 ;
am
a n am .
htt
p:/
Các phép toán với căn số (nếu căn có nghĩa)
16
n
am
n
a.b n a . n b ;
n
a na
, b 0 ;
b nb
n
a a ;
n.c
om
m
n am ;
x
x n a n 1
, a 0 ;
n
a
a
toa
a m.n a ;
a
n
a m. p ;
m
n
m
m n
n. p
/b
log
x a b
x
, a b.
a b
a b
2. Tỷ lệ thức
a c
Định nghĩa:
b d
Tính chất cơ bản: ad=bc
p:/
Tìm các số hạng của tỷ lệ thức: a
htt
Các dẫn xuất:
17
bc
ad
;b
d
c
i 1
toa
3. Số phức
Các phép toán trên số phức
n.c
om
a b d c d b a b cd
; ; ;
;
c d b a c a b
d
ab cd ab cd
;
;
a b c d a
c
a
c
b
d
;
.
ab cd ab cd
i 2 1, i 3 i 2 .i i, i 4 i 3 .i i.i 1,..., i 4 n 1,
/b
log
i 4 n 1 i, i 4 n 2 1, i 4 n 3 i;
a bi a ' b ' i a a ' b b ' i;
a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' ba ' i;
a bi a bi a 2 b 2 ;
a bi aa ' bb ' ba ' ab '
.
a ' b ' i a '2 b '2 a '2 b '2
htt
p:/
Biểu diễn hình học số phức
Hình 1
18
n.c
om
Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1)
r OM a bi a 2 b2 là module của số phức.
xOM là argument của số phức,
b
a
b
tan ;cos
;sin
2
2
2
a
a b
a b2
a bi r cos i sin
/b
log
Công thức Moivre3:
toa
Dạng lượng giác của số phức:
r cos i sin r n cos n i sin n
n
4. Phương trình
a) Phương trình tương đương
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa trong miền xác định của phương
trình A(x)=B(x), thì:
p:/
A x B x A x C x B x C x
3
htt
Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for
de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for
his work on the normal distribution and probability theory. He was elected a
Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton,
Edmund Halley, and James Stirling. Among his fellow Huguenot exiles in
England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux.
More…
19
n.c
om
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa và khác không trong miền xác định
của phương trình A(x)=B(x), thì:
A x B x A x .C x B x .C x
Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì:
A x B x A x
2 n 1
B x
2 n 1
toa
b) Một số phương trình đại số
/b
log
Phương trình bậc nhất
b
ax+b=0, a 0; nghiệm x
a
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Nếu
c1
b1
p:/
x
y
a1 b1
hệ có nghiệm duy nhất:
a2 b2
htt
c2 b2
cb c b
1 2 2 1
a1 b1 a1b2 a2b1
a2 b2
a1
c1
a2
a1
c2 a1c2 a2 c1
b1 a1b2 a2b1
b2
a2
20
x tuøy yù
y c1 b1 x b1 0
b1
y tuøy yù
c b y
x 1 1 a1 0
a1
Nếu
n.c
om
a1 b1 c1
thì hệ vô định:
a2 b2 c2
toa
Nếu
a1 b1 c1
hệ vô nghiệm.
a2 b2 c2
/b
log
Phương trình bậc hai
ax2 bx c 0, a 0
Nghiệm x
b b 2 4ac
2a
Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực và khác nhau;
p:/
Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực và bằng nhau (nghiệm kép);
Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm là cặp số phức liên hợp.
htt
Tính chất của nghiệm (công thức viết)
b
x1 x2 ;
a
c
x1.x2 .
a
21
n.c
om
Phương trình bậc ba
3
2
Dạng tổng quát: ax bx cx d 0, a 0
Dạng chính tắc với x y
b
3a
y3 py q 0
b2 c
2b3
bc d
;
q
2
3
3a a
27a 3a2 a
Công thức Cardano4
toa
Trong đó p
/b
log
q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
y3
2
4 27
2
4 27
Tính chất các nghiệm
htt
p:/
b
x1 x2 x3 ;
a
c
x1 x2 x2 x3 x3 x1 ;
a
d
x1.x2 .x3 .
a
4
Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin
Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an
Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler.
More…
22
Phương trình mũ
a c, a 0
x
Với
n.c
om
c) Phương trình mũ và phương trình logarith cơ bản
c>0, a 1 có duy nhất nghiệm x log a c;
c=1, a=1 vô số nghiệm;
c 0 vô nghiệm
toa
c 1, a=1 vô nghiệm;
Phương trình logarith
/b
log
log a x c, a 0, a 1
Với mọi c phương trình có nghiệm duy nhất x=ac.
d) Phương trình lượng giác cơ bản
cos x m
m 1 có vô số nghiệm x 2k , arccos m,0 ;
p:/
|m|>1 vô nghiệm
sin x m
htt
m 1 có vô số nghiệm
23
arcsin m,
2
2
|m|>1 vô nghiệm
tan x m
x k
toa
Với mọi m thực có vô số nghiệm:
n.c
om
x1 2k1
x2 2k2
/b
log
arctan m,
2
2
cot tan x m
Với mọi m thực có vô số nghiệm
x k
arc cot tan m, 0
p:/
5. Bất đẳng thức và bất phương trình
a) Bất đẳng thức
Định nghĩa: a b a b a b 0 0
htt
Các tính chất cơ bản:
Nếu a>b thì b
Nếu a>b bà c>d thì a+c>b+d
Nếu a>b bà c<d thì a-c>b-d
Nếu a>b và m>0 thì am bm.
a b
m m
toa
Nếu a>b và m<0 thì am
n.c
om
Nếu a>b thì a+c>b+c
Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd
b) Bất phương trình
/b
log
Bất phương trình tương đương
A B B A
A B C A B C (với C có nghĩa trong miền xác định của
bất phương trình A B ).
Nếu C có nghĩa và >0 trong miền xác định của bất phương trình
A>B, thì:
p:/
A B AC
. B.C
Nếu C có nghĩa và <0 trong miền xác định của bất phương trình
A>B, thì:
htt
A B AC
. B.C
Nếu B 0 trong miền xác định thì:
A
0 A.B 0
B
25
