CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC
CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG CỦA CHÚNG BẰNG NHAU
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn tâm O đường AB và đường tròn tâm O’ đường
kính AC cắt AC và AB lần lượt tại E và F. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của các
đoạn thẳng CF và đoạn thẳng BE với đường tròn (O) và (O’)
Chứng minh:
a) tứ giác BEFC nội tiếp
b) AM = AN
b) ta có tứ giác BFEC nội tiếp => góc ABC = góc AEF => tam giác AEF đồng dạng
với tam giác ABC (g.g) => AE/AB = AF/AC => AE.AC = AF.AB
Lại có góc AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác AMB vuông
tại M có MF là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AM2 = AF.AB
Tương tự ta có AN2 = AE.AC
=> AM2 = AN2 => AM = AN
Bài toán 2.
Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD của
hai đường tròn (C thuộc (O); D thuộc (I)). Đường thẳng AB cắt CD tại K.
Chứng minh: KC = KD
Xét tam giác KBC và tam giác KCA có
Góc CKB chung; góc KCB = góc KAC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội
tiếp cùng chắn cung BC)
=> tam giác KBC đồng dạng với tam giác KCA (g.g)
=> KB/KC = KC/KA => KC2 = KA.KB
Chứng minh tương tự ta có KD2 = KA.KB
=> KC2 = KD2 => KC = KD
Bài toán 3.
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài (O), từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,
C là tiếp điểm); Vẽ dây BD của (O) song song với AC, AD cắt (O) tại điểm thứ hai E,
tia BE cắt AC tại K. Chứng minh K là trung điểm của AC
Xét tam giác KEC và tam giác KCB có
Góc EKC chung; góc KCE = góc KBC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp
cùng chắn cung EC)
=> tam giác KCE đồng dạng với tam giác KBC (g.g) => KC2 = KE.KB
Lại có góc ABE = góc ADB = góc EAK => tam giác KAE đồng dạng với tam giác
KBA => KA2 = KE.KB
=> KA2 = KC2 => KA = KC hay K là trung điểm của AC
Bài toán 4.
Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và
C là các tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm
của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O).
Chứng minh: MK = MA.
B
O
H
I
A
K
C
M
Gọi I, H là giao điểm của BC và đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC với
đường thẳng OA.
+ OBA vuông tại B có:
OB = OI.OA = (OH - HA)(OH + HA) = OH - HA
HA = CH - OB = OH - R .
+ AHM vuông tại H có:
MA = HA + MH = OH - R + MH (1)
+ OHM vuông tại H có:
OH + HM = OM
(2)
Từ (1)(2) MA = OM - R (*)
+ OKM vuông tại K có :
MK = OM - OK = OM - R (**)
Từ (*)(**) MA = MK MA = MK
Bài toán 5.
Cho đường tròn tâm O, từ điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MA và MB với
đường tròn (A, B là tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường
tròn (O) tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt (O) tại F (F khác E), đường thẳng AF
cắt MO tại N, gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh
a) tứ giác MBHF nội tiếp
b) MN = NH
a) ta có AE//MO => góc EAB = 900 => BE là đường kính (O) => góc BFE =900
mà góc MHB = 900 => tứ giác MBHF nội tiếp
b) ta có tứ giác MBHF nội tiếp => góc MHF = góc MBF = góc BAF => tam giác
NHF đồng dạng với tam giác NAH => NH2 = NF.NA
ta cũng chứng minh được tam giác NMF đồng dạng với tam giác NAM
=> NM2 = NF.NA
=> NH2 = NM2 => NM = NH
Bài toán 6.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên AB lấy điểm I, vẽ đường tròn (I; IB) cắt AB
tại C, tiếp tuyến tại C của (I) cắt (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến AE của (I) sao cho E là tiếp
điểm; E và D khác phía với AB. Chứng minh AD = AE.
Ta có góc ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác ADB vuông tại
D lại có DC vuông góc với AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AD2 = AC.AB
Lại có góc AEC = góc ABE
=> tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABE (g.g) => AE2 = AC.AB
=> AD2 = AE2 => AD = AE