Bài tập trong Giải tích một biến số

Toán I-Phần bài tập-Tuần 1

Nguyễn Đức Hậu

Bài tập trong Giải tích một biến số (Trường ĐHTL)
1-19 (tr.87-88)
18-62 (tr.90-92)
25 (tr.251)
33-43 (tr.278)

1


Toỏn I-Phn bi tp-Tun 1

Nguyn c Hu

BI TP LUYN TP
Đ2 Hm s mt bin s
Bi 1 Kho sỏt v v th ca tt c cỏc hm s s cp c bn:
y = x ; y = a x ; y = log a x ; y = sin x ; y = cos x ; y = tan x ;
y = cot x ; y = arcsin x ; y = arccos x ; y = arctan x ; y = arccot x .
Bi 2 Tỡm min xỏc nh ca cỏc hm s sau:
1. y = 3

x 1
; 2. y = lg[1 lg(x 2 5 x )] ; 3. y = arcsin (1 x ) + lg(lg x )
x x
2

Bi 3 Chng minh cỏc ng thc sau:

1. arcsin x + arccos x =



2

; 2. arctan x + arccot x =



2
x y
x
3. arctan x arctan y = arctan
(xy<1); 4. arctan x = arcsin
1 xy
1 + x2
Bi 4 Tỡm min giỏ tr ca cỏc hm s sau:

1. y =

2
; 2. y = 2 x 1 x 2 ; 3. y = sin x 5 cos x
x +9
2

Bi 5 Tìm miền xác định và giá trị của hàm số y = ln
với x0 thoả mãn điều kiện x0 +

1 + x2

và tính y ( x0 )
1 x2

1
= 5
x0

. Hóy tỡm: 1. f [ f (x )] ; 2. f n ( x) = f [ f (...( f ( x ) )...)]
1+ x2
Bi 7 Gi s f ( x + T ) = f ( x ) vi mi giỏ tr x thuc tp xỏc nh ca hm s f.

Bi 6 Cho hm s f ( x ) =

x

Chng minh rng f(x) l hm tun hon vi chu kỡ l 2T.

Đ3 Gii hn ca dóy s thc
Bi 1 Chng minh cỏc ng thc sau õy:

2n
an
= 0 ; 4. lim
= 0;
n +
n + n!
n + n!
log a n k
n
n

6. lim n = 1 ; 7. lim nq = 0 , q < 1 ; 8. lim
= 0 (a>1).
n +
n +
n +
n
n
=0;
n + 2 n

1. lim

2. lim

n

a =1

(a>0);

3. lim

nk
= 0 (a>1);
n + a n

5. lim

Bi 2 Tỡm cỏc gii hn:

2 n +1 + 3 n +1
n sin (n!)
;
4. lim
;
n
n
n + 2 + 3
n + n 2 + 1
3
n
1 2
5. lim n 2 + n + 1 n 2 n + 1 ;
6. lim + 2 + 3 + ... + n ;
7. lim sin n 2 + 1 ;
n +
n + 2
n +
2
2
2

1

1
1
.
8. lim sin 2 n 2 + n ; 9. lim
+
+

...
+
2
n +
n +
n2 + 2
n2 + n
n +1
1
1
Bi 3 Cho dóy { xn } c xỏc nh nh sau: x0 >0; xn +1 = x n + ; n 0 . CMR lim x n = 1 .
n +
2
xn
2n
1. lim 2
;
n + n + 1

(

(

4
4
(
n + 1) (n 1)
2. lim
;
n +

(n + 1)4 + (n 1)4

3. lim

)

(

)

2

)


Toán I-Phần bài tập-Tuần 1

Bài 4 Cho dãy

{ xn }

Nguyễn Đức Hậu

được xác định như sau: x1 = a ; x2 = b ; xn =

xn −1 + xn − 2
; n ≥ 3 . Tìm
2

lim x n

n → +∞

Bµi 5 Cho d·y sè { xn } víi x0 = a ; xn+1 = 1 + bxn .

T×m c¸c sè thùc a; b ®Ó d·y sè { xn } héi tô. TÝnh giíi h¹n trong c¸c tr−êng hîp ®ã.

Bµi 6 TÝnh giíi h¹n lim n.sin(n !.2π e)
n→+∞

Bµi 7 Cho d·y sè { xn } víi x1 = b ; xn +1 = xn2 + (1 − 2a ) xn + a 2 .

T×m c¸c sè thùc a; b ®Ó d·y sè { xn } héi tô. TÝnh giíi h¹n trong c¸c tr−êng hîp ®ã.

Bµi 8 Cho d·y sè {an } víi a1 = 1 ; ak = k (ak −1 + 1) ; k ≥ 2 .


1 
1  
1 
TÝnh giíi h¹n lim  1 +  1 +  ... 1 + 
n →+∞
a1  
a2  
an 

§4 Giới hạn của hàm số thực
Bài 1 Tính các giới hạn sau đây:

1 + x + x 2 − 7 + 2x − x 2

1. lim
;
x→2
x 2 − 2x

(

3

4. lim

x → +∞

x2 +1 + x

2. lim

x → +∞

)

x 3 + 3x 2 − x 2 − 2 x ;

5. lim 3
x→0

4

x +x−x
3

1+ x − 1− x
1+ x − 1− x
3

;

3. lim

;

x →8

6. lim
x →π

sin nx
sin mx

9 + 2x − 5
;
3
x −2
m, n ∈ N * ;

1 − cos x cos 2 x
ln(cos x )
sin 2 x − cos 2 x − 1
tan 3 x − 3 tan x
; 8. lim

lim
; 10. lim
;
;
9.
2
π
π
x → 0 ln (1 + x 2 )
x →0
π
cos
x
−
sin
x
x

x→
x→
4
3

7. lim

cos  x + 
6


11. lim( x + cos x )sin 3 x ;

1

12. lim

x →0

x →0

x →0

(

5. lim

(

(

1 − tan x − 1 + tan x
;
sin 2 x

16. lim (sin x + 1 − sin x ) ;
x → +∞

1
x+c
1
ln (1 + e x )
 x+a

x
x ; 18. lim
; 19. lim
; 21. lim(x + e 2 x )x .
; 20. lim

x →0
x →∞
x →∞ x + b
x →0
sin x
x



)

 x2 +1 
ln (x 2 − x + 1)
b ≠ 0;
3. lim 2
 ;
4. lim
;
x →∞ x − 2 
x → +∞ ln (x 10 + x + 1)


2
e x − (cos x )

ax − xa
6. lim
;
7. lim
; a > 0 ;a ≠1;
x →0
x→a
x2
x−a

ln (cos(ax) )
2. lim
;
x→ 0 ln (cos(bx ) )

ln nx + 1 − n 2 x 2

x →0

x →π

x 2 sin

1
x

Bài 2 Tính các giới hạn sau đây:

sin (πx α )
1. lim

;
x →1 sin (πx β )

13. lim

1

 1 + tan x  sin3 x
15. lim 
;

x → 0 1 + sin x



arcsin x − arctan x
14. lim
;
x →0
x3

17. lim 1 + tg 2

1 + x sin x − cos 2 x
;
2 x
tan
2

ln x + 1 − x 2

)

);

x2

2

8. lim [( x + 2 ) ln( x + 2 ) − 2( x + 1) ln( x + 1) + x ln x ] ;
x → +∞

3

xx − aa
9. lim
;a > 0;
x→a
x−a

x2

 x+2 
10. lim
 ;
x →∞ 2 x + 1



Toán I-Phần bài tập-Tuần 1

Nguyễn Đức Hậu
1

11. lim (1 + x
x →0



15. lim 2e
x →0

)

2
2 cot x

x
x +1



;


− 1


x

 1 + tan x  sin x
12. lim 
 ;
x → 0 1 + sin x



1
1

13. lim sin + cos  ;
x →∞
x
x


14. lim cos n
n → +∞

x
;
n

x 2 +1
x

.

Bài 3 Tính các giới hạn sau đây:

q

1. lim

x p −1

;

xr −1
tgx − sin x
4. lim
;
x →0
sin 3 x
x →1 s

4

7. lim x 3
x → +∞

(

3

11. lim(sin x)
x→

2

x →0

a+x −n a−x
;
x

sin( a + x) − sin( a − x)
;
x →0
x

3. lim

1 − cosα x
1 + 2 sin x − cos x
;α ∈ R ;
;
6. lim
x →0
x →0
x
x2
sin
2
3x+2
1
πx
 2x + 2 
3
x

(
)
; 9. lim
8. lim(1 − x) tan
;
10.
lim
1
−
2
x
;

x →1
x →∞ 2 x − 2
x →0
2



)

π

2. lim

5. lim

x 2 +1 − 3 x 2 −1 ;
1

cos x

n

p, q , r , s ∈ N ;

3

 x+2 
; 12. lim

x →∞ 2 x + 1



2x

Bài 4 Tính các giới hạn sau đây:

cos x − cos 2 x
;
x →0
1 − cos x

1 − cos x
;
x → 0 tan 2 x

2. lim

1. lim

x2 + a x
5. lim 2
;
x → +∞ x + x

3

3. lim
x →0

1 + tan 2 x − 3 1 − tan 2 x

x + 3 x2

 

sin 2 x + 2 arctan 3 x + 3 x 2
6. lim
;
x → 0 ln(1 + 3 x + sin 2 x) + xe x

a>1;

sin 3 x sin 5 x
;
x →0
(x − x3 )2

4. lim

;

x

x

7. lim x ln1 +  − ln  ;
x → +∞
2
  2

π
ln(cos x)
x 
π
; 9. lim x  − arctan
; 10. lim x − arcsin

2
x →0 tan( x )
x →+∞
x → +∞
x +1
4
2

8. lim


chx − 1
 ; 11. lim
;
x →0
x2
x2 +1 

x

x2

1
 x2 + 2 
e αx − e β x
ln(2 + e x )
12. lim
 ; 15. lim (sin x) x ; 16. lim x 1− x ;
; 13. lim
; 14. lim
x →1
x → 0 sin(αx ) − sin( β x )
x →∞
x →∞ 2 x + 1
x→0
x


+

tgx

 1 
17. lim
x x −1 ; 19. lim [sin ln( x + 1) − sin ln x ] ; 20. lim arccos( x 2 + x − x) ;
 ; 18. lim
x → 0 sin 2 x
x →0
x → +∞
x → +∞


21. lim sin sin ... sin x ; 22. lim n 1 + x n ; x>0.
x

n → +∞

n → +∞

n

Bài 5 Tính các giới hạn một phía:
1

1. lim± 2 x −1 ; 2. lim±
x →1

x →0

1

1+ e

1
x

; 3. lim±
x→3

1
x+2

1
x −3

; 4. lim±
x→

π

2

2
sin(πx)
; 5. lim
tgx
π
1+ 2
x
x→
±

2

6. lim± f ( x) nếu f(x)=1+cosx khi x > π ; f(x)=2 khi x = π ; f(x)=1-x2 khi x < π
x →π

§5 Hàm số liên tục
Xét tính liên tục và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau đây:
1. f ( x) =

sin x
sin x
nếu x ≠ 0 ; f(x) = 1 nếu x=0; 2. f ( x) =
nếu x ≠ 0 ; f(x)=1 nếu x=0
x
x

3.f(x)=2ex nếu x<0; f(x)=a+2x nếu x ≥ 0 ; 4.f(x)=2x+a nếu x ∈ [ 0,1] ; f(x)= ax2+2 nếu x ∈ [1, 2]

4


Toỏn I-Phn bi tp-Tun 1

5. f ( x) =

Nguyn c Hu

1 cos x
nu x 0 ; f(0)=A trong ú A l mt hng s no ú

x2

6.f(x)=x2 nu x [ 0,1] ; f(x)=2-x nu x (1, 2]

x

nu x 1 ; f ( x) = x 1 nu x > 1
2
n x nx
1
8. f ( x) = lim x
; x ( , + ) ; 9. f ( x) = lim
; x [ 0, + )

x
n + n + n
n + 1 + x n
7. f ( x ) = cos

10.f[g(x)] v g[f(x)] bit: a. f(x)=sgnx; g(x)=1+x2; b. f(x)=sgnx v g(x)=x(1-x2); 11.f(x)=1/lg|x|
ễn tp chng I

Bi 1 Xột ỏnh x t R vo R nh sau: x y =

2x 1
1
1
vi x v y = 1 .
2x + 1
2

2

Chng minh ánh xạ đã cho l song ỏnh và tỡm ỏnh x ngc của nó.
Bi 2 Cho ỏnh x x y = x + 1 2 x vi x 0
a) Chng minh rng nú khụng l n ỏnh
b) Xỏc nh hai khong m trong mi khong y nú l n ỏnh. Tỡm ỏnh x ngc trong mi
trờng hp y
Bi 3 Xột tớnh chn l ca cỏc hm s sau:
1. y = x x cos x ;
3

6. y =

2.

y = x+2 x2 ;

3. y = lg(sin x) ;

a x 1
5. y = x
;
a +1

2

4.y=lg(sin x);

16 x 1
x+3

; 7. y = 1 + x + x 2 1 x + x 2 ; 8. y = x + lg
x
4
x3

Bi 4 Xột s tun hon v tỡm chu kỡ (nu cú) ca cỏc hm s sau:
1. y = tan x ; 2. y=cos2x; 3. y = sin x + cos x ;
Bi 5 Tớnh gii hn ca dóy s:

5
2n 1
1 2 + 3 4 + ... + ( 2n 1) 2n
1 3
+ 2 + 3 + ... + n ;
2. lim
;
n + 2
n +
2
2
2

n2 +1
12 + 32 + 5 2 + ... + (2n 1) 2
1 + 2 + 3 + ... + n
2
3
n 1
1
3. lim 2

; 4. lim
; 5. lim 2 + 2 + 2 + ... + 2 ;
4
n + n
n + 2 + 4 2 + 6 2 + ... + ( 2 n ) 2
n +
n
n
n

9n + 1
1
1
1

6. lim 1 2 1 2 ...1 2 ; 7. lim (1 + x )(1 + x 2 )(1 + x 4 )... 1 + x 2 vi x < 1
n +
n+
2 3 n
1. lim

(

n

)

Bi 6 Tớnh cỏc gii hn sau õy:
1. lim
x 0

(1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3x ) 1 ;

2. lim 5
x 0

x

x2
;
1 + 5 x (1 + x)

3. lim
x 0

ln(1 + 3 x sin x)
;
tan 2 x

ln(1 + x 3x 2 + 2 x 3 )
;
x 0 ln(1 + 3 x 4 x 2 + x 3 )

sin 3 x tan 5 x
;
x 0
( x x3 )2

5. lim

4. lim

1 + x 4 1 2x
(1 cos x) arctan x
6. lim
;7. lim
x 0
x 0
x tan 2 x
x + x2
8. lim n ( x + a1 )( x + a2 )...( x + an ) x
x+
Bi 7 Xỏc nh f(0) cỏc hm s sau liờn tc ti x=0
3

1. f ( x) = x cos

2

1
e ax e bx
ln(1 + x) ln(1 x)
; 2. f ( x) =
; 3.f(x)=(1+x)a; 4. f ( x) =
x
x
x
5