MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN ÔN THI THPT QUỐC GIA

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN ÔN THI THPT
QUỐC GIA
Bài toán 1: Các bài toán tính khoảng cách để áp dụng tính thể
tích khối đa diện và các bài toán khác tính khoảng cách .
Sau đây là các bài toán tính khoảng cách để áp dụng vào tính
thể tích: Trong 1 số bài toán thì người ta yêu cầu tìm thể tích khối
đa diện, vấn đề khó khăn hay gặp là tính khoảng cách hoặc tìm
diện tích đấy để đi giải quyết bài toán. Tôi sẽ đề cập đến vấn đề
khoảng cách trong các bài tính thể tích. Sau chuyên đề này tôi sẽ
biên soạn tiếp theo chuyên đề hình học là thể tích đa diện. Mong
độc giả đón đọc.
Chúng ta sẽ đi từ những bài toán cơ bản đến phức tạp.
Bài 1:
Cho khối lăng trụ
ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều
cạnh a, cạnh bên AA1 tạo với mặt
đáy 1 góc 600. Và A1 cách đều 3
đỉnh A,B,C.
a. Tính khoảng cách từ A tới (ABC).
b. Tính độ dài BC1
c. Khoảng cách từ B tới (AA1C1C).
Lời bình:


a. Do tam giác ABC có đáy là tam giác đều nên ta gọi M, N
là trung điểm của AC và BC.
Khi đó BM
AC và AN BC . Gọi H là giao điểm của
AN và BM, khi đó H là tâm của tam giác đều ABC , mặt khác
thì do A1 cách đều các đỉnh của ABC nên A1H (ABC).
(Điều này có được là dựa vào lý thuyết các em đã được học).

Điều này có nghĩa là khoảng cách từ A1 tới mặt phẳng (ABC):
d(A1/(ABC)) = A1H.
ABC có cạnh bằng a, và là tam giác đều nên ta có AN cũng là
trung tuyến, va có độ dài AN =

=> AH = AN = √a.

Gỉa thiết có rằng A1A tạo với đáy góc 600, ta đi xác định góc:
Do A1H (ABC), nên hình chiếu của A1A xuống mặt đáy là AH,
ta biết rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi
đưởng thẳng đó với hình chiếu của nó lên mặt phẳng, vì vậy góc
ở đây chính là ( 1) = 600.
Vậy trong tam giác vuông AA1H vuông tại H có (1 ) =
600.
Do đó : A1H = tan600.AH

.

A1H=


Tư duy bài toán: Đây là bài toán không khó, em nào làm nhiều
bài tập rồi thì khi gặp bài này sẽ không có vấn đề gì khó khăn cả,
song , chúng ta qua đây thấy được điều gì, đó là nếu bài toán yêu
cầu tìm thể tích lăng trụ ABC. A1B1C1 thì việc còn lại là tìm diện
tích ABC. Có 1 số bài toán có thể yêu cầu các em tìm
VA1.ABM , VA1.ACN….thì cách làm chỉ cần tìm A1H và diện tích đáy
thì rất dễ rồi.

b. Bài toán tính BC1 có thể là không dùng để tìm thể tích nhưng

nó là 1 bài toán tính độ dài đáng lưu tâm.
Nhìn vào hình vẽ, thực sự mà nói để tìm được lời giải cũng cần
mất khoảng thời gian khá dài. Các em thấy BC1 nó hầu như chưa
có mối liên hệ rõ ràng nào với các đối tượng đã biết. Vậy hướng
tư duy ở đây là, nhận thấy BC1 và BC = a có chút quan hệ với
nhau khi chúng là các cạnh của hình bình hành CC1B1B. Nhưng
tìm được BC1 như thế nào?
Liệu rằng CC1B1B có thể là 1 hình chữ nhật hoặc 1 hình nào đó
đặc biệt hơn không?
Ở đây, nó có thể là hình chữ nhật không?
Ta có: AN

BC, và A1H

BC (Do A1H

Suy ra BC
(A1AN), suy ra tiếp là BC
thuộc (A1AN))

(ABC)).
A1A ( Do A1A


Mặt khác A1A // B1B nên BC
CC1B1B là hình chữ nhật thật.

BB1, điều này có nghĩa là

Có nghĩa là CC1B vuông tại C có BC = a, vậy chúng ta chỉ cần

tìm thêm CC1 bằng

1

√


nhỉ)

Tư duy bài toán: Qua bài toán này chúng ta tư duy như
thế nào, có thể người ra đề sẽ yêu cầu các em tính CB1
thay vì tính BC1 hoặc là chứng minh CC1B1B là hình
chữ nhật chẳng hạn hoặc là tính thể tích VA1.ANB…….Bài
này nhằm mục đích giúp các em tư duy hình học nhìn
nhận vấn đề và khai thác triệt để mối tương quan của
các dữ kiện trong bài toán.

c. Gọi I là hình chiếu của B lên AA1.
Xác định khoảng cách đó như thế nào?
Ta có các kết quả sau:
 Tư duy kiểu 1:
A1H (ABC) => A1H AC, lại có AC BM, nên AC
(A1MB), điều này ta có kết quả tiếp theo là dẫn đến AC
BI (
BI thuộc (A1MB)).


Mặt khác là BI A1M, cho nên BI (A1ACC1). Do đó khoảng
cách là BI
 Tư duy kiểu 2:

Do A1 cách đều ABC nên ta có A1AC cân tại A1, mà M là
trung điểm AC nên A1M AC, lại có AC BM =>AC (A1MB), sau
đó chúng ta làm tương tự như tư duy trên .
Tóm lại chúng ta có kết quả cần dùng là BI

(A1ACC1).

Khi đó khoảng cách từ B tới (A1ACC1): d(B/( A1ACC1)) = BI.


Tính BI như thế nào?
Tôi xin giới thiệu 1 cách tư duy cho các bạn tính:
Các bạn thấy là hoàn toàn tìm được số đo góc
1 dựa vào tam
giác vuông A1MB, vuông tại H và đã biết độ dại cạnh A1H và

MH. Sau khi tìm được số đo góc

1

thì dựa vào tam giác

và cạnh MB. ( Các bạn có thể tự trình bày được lời giải thì tốt
hơn).


Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam
giác vuông cân tại B và độ dài 2 cạnh vuông là a. Gọi B’ là
trung điểm SB và C’ là hình chiếu của A lên SC.
a. Tính khoảng cách từ A tới (SBC).

b. Tính độ dài B’C’.
Lời giải:
Phân tích đề toán: Các bạn thấy SA=BC=AB=a, điều này
sẽ có các kết luận bổ ích như ASB là tam giác vuông cân
tại A, mà B’ là trung điểm của SB nên suy ra AB’ là trung
trực của

ASB .


Điều hiển nhiên là SA (ABC) , cho nên SA
BC, mặt
khác BC AB ( giả thiết), điều này dẫn tới BC
(SAB)
suy ra BC
AB’(do AB’ thuộc mặt phẳng (SAB)). Vậy
từ các kết quả trên ta có được BC AB’ và AB’ SB cho
nên AB’ (SBC).
Điều này đồng nghĩa với việc khoảng cách từ A tới mặt
phẳng (SBC) chính là đoạn AB’.
Ta đi tính AB’:
Rõ ràng SA AB => ASB
vuông cân tại A có cạnh vuông bằng
a, do đó đường cao AB’ có
rất nhiều cách tính
AB’= sin450.SA =
AB’= a.
.
a. Theo kết quả trên thì ta có
AB’ (SBC) nên AB’ B’C’

dẫn đến AB’C’
vuông tại B’, và tam giác này đã biết độ dài AB’, khi
đó để tìm được B’C’ thì ta nên đi tìm thêm cạnh AC’,
AC’ nó thuộc vào tam giác SAC cũng vuông tại A
và đã biết cạnh SA còn AC thì có thể tìm được thông


qua ABC vuông cân có 2 cạnh vuông bằng a. Ta đi
tìm AC bằng định lý pytago với ABC
AC = √2a , suy ra AC’ sẽ được tính theo công thức
đường cao
AC'2

AS2

AC2

a2

2

2

2
a
3
111113
AC'

2a

2a

Khi đó ta dễ dàng tìm được
B’C’ =

AC '2 AB '2

23 a2

12 a2

16a

B’C’= 16a

Tư duy bài toán:
Nếu giả thiết bài toán không cho B’ khi đó các bạn phải tự
hình dung và vẽ thêm hình, bài này cho B’ là đã giúp các bạn 50%
tìm khoảng cách A tới (SBC), gặp bài toán khác, nếu họ yêu cầu
tìm khoảng cách đó mà không nói B’ là trung điểm SB thì các em
nên tự hình dung bài toán.


Còn nữa nếu bài này khai thác thêm ở chỗ SA=AB=BC, vậy nếu
độ dài 3 cạnh đó khác nhau liệu bài toán này có làm được như thế
nữa không? Câu trả lời là có.
Vì khi đó AB’ không phải là khoảng cách từ A tới (SBC) nữa mà
là đường cao hạ từ A xuống SB và hoàn toàn tính được đường cao
này.

Phát triển bài toán này thì có nhiều vấn đề cho các bạn khai thác,
mong các bạn dành nhiều thời gian nghiên cứu phát triển và tự
mình ra đề bài để làm toán.


cạnh3:sau:
Bài
ABCD.A’B’C’D’
Tính
bằCho
ng d(AC;DC’).
kho
a.hình
ảnglậcách
có
p
phương

Lời giải:
Bài toán yêu cầu tính d(AC;C’D) khoảng cách giữa 2 đường thẳng
trong không gian, cách tư duy khi làm loại toán này là đưa về 1
đường thẳng và 1 mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại sao cho
đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau.
Với bài này thì ta thấy AC//A’C’ => AC//(A’C’D) và DC’ thuộc
( A’C’D) cho nên khoảng cách d(AC;DC’) chính là
d(AC;(A’C’D).
Điều này có được là do chúng ta biết rằng: Khoảng cách giữa 2
đường thẳng chính là khoảng cách giữa mặt phẳng chứa 1 trong 2
đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại với đường
thẳng còn lại ấy.

Vậy ta có khoảng cách đó tính thế nào?


AC//(A’C’D) nên mọi điểm trên AC đều có chung khoảng cách
tới
(A’C’D)
hay
ta
có
các
kết
quả
sau:
d(A/(A’C’D))=d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)).
Tại sao lại có d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)) , có được điều này
là vì ta thấy C và D’ có khoảng cách tới DC’ là như nhau. Nên
theo tính chất về khoảng cách ta có kết quả đó.
Vậy tóm lại : d(AC;DC’) = d(D’;(A’C’D))
Ta có D’.A’C’D là chóp tứ diện vuông tại D’ ta cócông thức sau:
1 1

1

A’C’D

1

1

D ' A'2

3

d

D’;

A’C’D

a
3

Tư duy bài toán:

1
D 'C '2

1

3d2

D ' D2

a2

D’;
a2

a2

a2

Đây là 1 bài toán với mức độ khó bình thường, nếu bạn học sinh
nào làm quen nhiều với hình lập phương thì bài này không là vấn
đề gì.

Tôi có 1 số tư duy cho những ai còn kém về phần này: Để
làm được loại này thì các em học sinh cần phải nắm chắc được
kiến thức về khoảng cách từ 2 đường thẳng, khoảng cách điểm
đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng,
sau đó tìm mối liên hệ giữa chúng. Ví dụ như: Khoảng cách giữa
đường thẳng đến mặt phẳng thì có mối liên hệ thế nào với khoảng
cách từ 1 điểm đến mặt thẳng, mối quan hệ của nó là tất cả các
điểm nằm trên đường thẳng đều có chung 1 khoảng cách tới mặt
phẳng, vậy nên ta chỉ cần tìm được khoảng cách từ 1 điểm là suy
ra được khoảng cách của đường thẳng đến mặt
( Đương nhiên đường thẳng và mặt phẳng là song song với nhau
thì mới có khoảng cách nhé các em)
Một lưu ý nữa là vấn đề vẽ hình là 1 việc vô cùng quan trọng
trong giải toán hình học, các em cũng nên vẽ hình 1 cách dễ nhìn,
rõ ràng và phải để phô ra những dữ kiện đã biết của bài toán.
Các em nên rèn luyện kỷ năng vẽ hình cho mình, tìm hiểu
các tính chất của tất cả các hình học trong không gian để có được
những kiến thức hữu ích phục vụ giải toán.


Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ,
=
=900 , BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA=√2a.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính d(H;(SCD)).
Lời giải:
Cách giải bài này khá là hay và cần 1 cái nhìn tinh tế với bài toán:
Sẽ có nhiều cách giải, nhưng tôi xin đề cập đến vấn đề áp dụng tứ
diện vuông để tính.
Gọi N là giao điểm của AB và CD thì ta được 1 tứ diện vuông
S.AND .
Gọi K là giao điểm của AH với SN khi đó ta có các tư duy sau
đây:
Thay vì tính trực tiếp d(H;(SCD)) ta sẽ đi tính d(A;(SCD)) và dựa
vào mối quan


SHSB

cos(HSA).SA
SA
23 cos(HSA)

cos2(HSA)

cos2(BSA)

SA2SA

2

AB2

a22 a22a2

Mặt khác ta có thể chứng minh được B là trung điểm của AN
không.Ta có tỷ lệ: NBNA BCAD 2aa 12 vậy B là trung điểm của
AN, mặt khác SH

2

điều này chứng tỏ H phải là trọng tâm của tam

SB 3

giác SAN mà A,H,K thẳng hàng cho nên ta có tỷ lệ cần tìm
= = ;;(( ))
Suy ra H;(SND) = ;( )
Ta có ;( ) tính dựa vào tứ diện vuông A.SND theo công thức:
1
2
d (A;(SND))

1

1

1

1

1

2

2

2

2

SA

NA

DA

2a

1
2

7

2

a

4a

4a2

d(H;(SCD))=

d (A;(SND))

d (H ;(SND))

2

7a
7

2

7a
21

2217a

d (H ;(SCD))


Tư duy bài toán:
Bài toán này đã vận dụng sự đặc biệt của điểm H để đi giải
quyết kết hợp với tính gián tiếp qua A, lý do là A đã thuộc 1 tứ
diện vuông A.SND rất dễ tính toán, và dựa vào mối tương quan
của H và A để tìm tỷ lệ khoảng cách. Các bạn có thể tính gián.