De thi toan lop 9 quan hoan kiem

UBND QUẬN HOÀN KIẾM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề thi lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC
x
1
1
2+ x
−
+
Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A =
và B =
với x > 0 và
x−4 2− x
x +2
x
x ≠ 4.
1
1) Tính giá trị của A khi x = .
4
2) Rút gọn B.
A
3
3) Cho P = . Tìm các giá trị nguyên của x để Px ≤ ( x − 1).
B
2
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ôtô tải khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài 270 km. Sau đó 45
phút, một ôtô con cũng khởi hành từ A để đi đến B trên cùng quãng đường. Hai ôtô đến

B cùng một lúc. Biết vận tốc của ôtô tải nhỏ hơn vận tốc ôtô con là 5 km/h. Tính vận
tốc của mỗi xe.
Bài III (2,0 điểm)
1
 8
+
 x − 3 2 y −1 = 5

.
1) Giải hệ phương trình 
4
1

+
=3
 x − 3 2 y − 1
2) Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y =  mx + m + 1 (với m là tham số) trong
mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) Với giá trị nào của m thì d tiếp xúc với (P)? Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía đối với trục
tung, có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 2 x1 − 3 x2 = 5.
Bài IV(3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H.
1) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.
2) Trên cung nhỏ EC của (O), lấy điểm I sao cho IC > IE , DI cắt CE tại N. Chứng minh
NI .ND = NE.NC.
3) Gọi M là giao điểm của EF với IC. Chứng minh MN song song AB.
4) Đường thẳng HM cắt (O) tại K, KN cắt (O) tại G (khác K), MN cắt BC tại T. Chứng
minh H, T, G thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức K = 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1.
----- HẾT ----Ghi chú:
- Học sinh không sử dụng tài liệu, không trao đổi khi làm bài;
- Giáo viên trông kiểm tra không giải thích gì thêm.
Họ tên học sinh:............................................Lớp ……… Trường THCS:................………..
Chúc các em học sinh làm bài kiểm tra đạt kết quả tốt!
HƯỚNG DẪN CHẤM


ĐỀ ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN 9
QUẬN HOÀN KIẾM, NĂM HỌC 2017-2018
Bài
Ý
Bài I
1)
(2,0 điểm)

Đáp án – Hướng dẫn chấm
Tính giá trị của A
Thay x =

2)

Điểm
0,75

1
(TMĐK x > 0 và x ≠ 4) vào A, ta được A =
4

Tìm được A = 5 và kết luận.
Rút gọn B
x + ( x + 2) + ( x − 2)
Biến đổi B =
( x − 2)( x + 2)

2+
1
4

1
4.

x
và kết luận.
x −2
Tìm các giá trị nguyên của x …
Tìm được B =

3)

x−4
.
x
3
Biến đổi Px ≤ ( x − 1) ⇔ 2 x − 3 x − 5 ≤ 0
2
25
Suy ra được 0 < x ≤ .
4

0,25
0,50
0,75
0,25
0,5
0,5

Tìm được P =

Bài II
(2,0 điểm)

Kết luận hợp điều kiện thu được x ∈ { 1; 2;3;5;6} .
Giải bài toán…
Gọi vận tốc của ôtô tải là x (km/h, x > 0).
Vận tốc ôtô con là x + 5 (km/h).
270
(giờ).
x
270
Thời gian ôtô con đi từ A đến B là
(giờ).
x+5
Ô tô con khởi hành sau 45 phút nhưng hai xe đến B cùng một lúc nên
ta có phương trình:
270 270 3
−
= .
x

x+5 4
Thời gian ôtô tải đi từ A đến B là

Bài III 1)
(2,0 điểm)

0,25

0,25
2,0
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25

Giải phương trình ta được x = 40 và kết luận.

0,5

Giải hệ phương trình

1,0

1
ĐKXĐ: 0 ≤ x ≠ 9; y ≠ .
2
1
1

8a + b = 5
= a,
= b, ta có 
.
Đặt
2 y −1
x −3
 4a + b = 3
1
Giải ra ta được a = , b = 1.
2
Từ đó tìm được các nghiệm của hệ là (25;1) và (25;0).

0,25
0,25
0,25
0,25


2)

Đường thẳng và parabol

1,0

a)

Tìm m để d tiếp xúc (P)…

0,50

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
x 2 − mx − m − 1 = 0

(1).

0,25

Ta có ∆ = (m + 2) .
2

b)

Từ đó tìm được d tiếp xúc (P) ⇔ m = −2.
Tìm được x = −1 và kết luận tọa độ tiếp điểm A(−1;1).

0,25

Tìm m để …

0,50

Chỉ ra được (1) luôn có một nghiệm x = −1, một nghiệm x = m + 1
Điều kiện để hai giao điểm nằm khác phía trục tung là m > −1.

0,25

 x1 = −1
10
, tìm được m = −

Trường hợp 1: Với 
(loại).
3
 x2 = m + 1

Bài IV 1)
(3,5 điểm)

 x1 = m + 1
, tìm được m = 0 (TMĐK) và kết
Trường hợp 2: Với 
 x2 = −1
luận.
Chứng minh
DHEC …
Vẽ hình đúng
Tứ giác DHEC có:
·
·
HEC
= HDC
= 90°.
Lập luận suy ra
DHEC là tứ giác
nội tiếp.
Chỉ ra được tâm O
là trung điểm HC.

2)

Chứng minh NI .N D = N E .NC
·
·
·
· .
Chỉ ra được END
và DEN
= INC
= CIN
Suy ra hai tam giác END và INC đồng dạng với nhau.
NE NI
=
⇔ NI .ND = NE.EC.
ND NC
Chứng minh MN song song AB
Thiết lập được tỉ số

3)

4)

0,25

1,0
0,25
0,25
0,25

0,25

1,0
0,5
0,25
0,25
1,0

Chứng minh được tứ giác BFEC và DEIC nội tiếp.

0,25

·
Suy ra ·AFE = ·ACB =DIE
.

0,25

·
·
Chứng minh được MENI là tứ giác nội tiếp, tức là DIE
= EMN
.
·
Từ đó ta có ·AFE = EMN
mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên

0,25

suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh H, T, G thẳng hàng
·

·
·
Chỉ ra được HGN
(1)
= HCK
= KMN
.
Chứng minh được hai tam giác TGN và KMN đồng dạng với nhau,

0,25
0,5
0,25
0,25


·
·
tức là KMN
= TGN
.
Câu V
(0,5 điểm)

(2)

·
·
Từ (1) và (2) suy ra HGN
và kết luận.
= TGN

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của K

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy:
1
1 4 + 3a + 1 3a + 5
3a + 1 =
4(3a + 1) ≤ .
=
.
2
2
2
4
3b + 5
3c + 5
.
Tương tự ta có 3b + 1 ≤
và 3c + 1 ≤
4
4
3(a + b + c) + 15
= 6.
Từ đó K ≤
4
Tìm được K max ⇔ a = b = c = 1.
Cách 1. Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c.
Do a + b + c = 3 nên a ≥ 1.

0,25

Ta có ( 3b + 1 + 3c + 1) 2 = 3(b + c) + 2 + 2 (3b + 1)(3c + 1)
≥ 3(3 − a ) + 4 = 13 − 3a (do b, c ≥ 0).
Khi đó K ≥ 3a + 1 + 13 − 3a ⇒ K 2 ≥ 14 + 2 (3a + 1)(13 − 3a ).
Chứng minh được (3a + 1)(13 − 3a ) ≥ 40 với 1 ≤ a ≤ 3.
⇒ K 2 ≥ 14 + 4 10 ⇒ K ≥ 2 + 10.
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 3, b = c = 0
0,25

Vậy K min = 2 + 10 ⇔ a = 3, b = c = 0 và các hoán vị.
10 − 1
a +1
3
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương a (3 − a) ≥ 0 (luôn đúng)
Cách 2. Ta có

3a + 1 ≥

Chứng minh tương tự
Do đó K ≥

3b + 1 ≥

10 − 1
b + 1 và
3

3c + 1 ≥

10 − 1
c +1
3

10 − 1
( a + b + c ) + 3 = 10 + 2
3

Vậy K min = 2 + 10 ⇔ a = 3, b = c = 0 và các hoán vị.

Lưu ý:
- Học sinh có các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài IV: Học sinh vẽ sai hình trong phạm vi câu nào thì không tính điểm câu đó.
- Tổng điểm bài kiểm tra làm tròn đến 0,5.
- Giáo viên cần chữa bài kiểm tra cho học sinh đồng thời hướng dẫn học sinh cách suy
nghĩ làm các câu khó.