GIÁO ÁN ÔN TẬP HÈ TOÁN 8 LÊN 9 ( tải xuống sẽ hoàn chỉnh, không lỗi font)

TRNG THCS NHN M
NM HC 2017-2018
TUN 1: hằng đẳng thức NG NH
a. mục tiêu:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức hằng đẳng
thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức
hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
b. hoạt động dạy học:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
1. Nhân đa thức với đa thức:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phơng một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
Bình phơng một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
Hiệu hai bình phơng: A2 B2 = (A + B)(A B) (3)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV v HS
Ni dung
2
1. Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) (x + 1) (x + 2x + 4) =x3 + 2x2
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4)
+ 4x + x2 + 2x + 4 = x3 + 3x2 +
Thực hiện phép nhân rồi rút gọn
6x + 4
b) (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1)
2
5

4
2
b) (x + x + 1)(x - x + x - x + 1)
= = x7 + x2 + 1
c) (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) +
c) (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) +
(3x + 5)2
(3x + 5)2
= [(3x + 1) - (3x + 5)]2 = (3x + 1 HS ghi đề, thực hiện theo nhóm
3x - 5)2
HS cùng GV thực hiện lời giải
= (- 4)2 = 16
Bài 2: Tìm x biết:
HS ghi đề bài
2
2
3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) giải theo nhóm ít phút
= 172
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2),
(3)
áp dụng các H.đẳng thức nào để
3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x giải
3) = 172
3(x2 + 4x + 4) + 4x2 - 4x + 1 Biến đổi, rút gọn vế trái
HS ghi đề bài
7(x2 - 9) = 172 8x = 96
giải theo nhóm ít phút
x = 12
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2),
(3)

Ta có x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = a2
- 2b
x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2(xy)2
Bài 3:
= (a2 - 2b)2 - 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2
Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị
các biểu thức sau theo a và b:
a)VT = (x + y)(x3 - x2y + xy2 - y3)
2
2
4
4
x +y; x +y
= x4 - x3y + x2y2 - xy3 +x3y - x2y2
+ xy3- y4
Bài 4: chứng minh rằng
= x4 - y4 = VP (đpcm)
a) (x + y)(x3 - x2y + xy2 - y3) = x4 b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
y4

NM HC 2017-2018
a + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 2ab + b2 = 0
(a - b)2 = 0 a - b = 0 a = b
(đpcm)

c) Từ : x + y + z = 0 (x + y + z)2
b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = 0
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) =
=b
Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
0
x2 + y2 + z2 = 0 ( vì xy + yz +
điều gì?
zx = 0)
x=y=z
c) Nếu: x + y + z = 0 và
xy + yz + zx = 0 thì x = y = z
d) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )
2

Từ : x + y + z = 0
(x + y + z) =? 2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Từ đo ta có điều gì?
d) cho a + b + c = 0 và a2 + b2 +
=0
2
ab + bc + ca = -1 (1)
c =2
4
4
4
c/m: a + b + c = 2
Ta lại có:
HD cách giải tơng tự

(a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 +
HS ghi đề, tiến hành giải cùng với
2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2)
GV
Từ (1) (ab + bc + ca)2 = 1
a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3)
Từ (2) và (3) suy ra a4 + b4 + c4 =
2
2

Bài 5:
So sánh:
a) A = 1997 . 1999 và B = 19982
b)A = 4(3 + 1)(3 + 1)(3
và B = 3128 - 1
Tính 4 theo 32 - 1?
2

4

64

+ 1)

Khi đó A = ?
áp dụng hằng đẳng thức nào liên
tiếp để so sánh A và B

a) A = 1997 . 1999 = (1998 - 1)
(1998 + 1)

= 19982 - 1 < 19982 A < B
b) Vì 4 =

32 1
nên
2

A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(364
+ 1)
32 1 2
=
(3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)
2

(364 + 1)
1
2

= (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)(364 +
1)

1 8
(3 - 1)(38 + 1)(364 + 1)
2
1
= (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 +
2

=

1)
1 32
(3 - 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1
1
= (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1)
2
2
1
= B
2

=
Bài 6:
a) Cho a = 111( co n chữ số 1)
b = 100...05( có n - 1 chữ số 0)
Cmr: ab + 1 là số chính phơng
GV: NGUYN CHU ANH

Vậy: A < B
GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
b) Cho Un = 11...155...5 (có n chữ
số 1 và n chữ số 5)
Cmr: Un + 1 là số chính phơng

NM HC 2017-2018

Ta có: b = 10n + 5 = 9.9 + 6
= 9(11) + 6 = 9a + 6
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a 2 +
6a +1
= (3a + 1)2 là một số chính phơng
Ta viết:

Un =
n số 1

=

n số 5

+
n số 1

n số 0

n số 5

= 111.10n + 5. 111
Đặt: a = 111 thì 9a + 1 = 10n
Do đó : Un + 1 = 9a2 + 6a +1
=(3a + 1)2
IV. RT KINH NGHM-B SUNG

TUN 1 : hằng đẳng thức NG NH (Tiếp)
A. mục tiêu:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức

* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
B. hoạt động dạy học:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phơng một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(1)
Bình phơng một hiệu:
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
(2)
2
2
Hiệu hai bình phơng:
A - B = (A + B)(A - B)
(3)
3
3
2
2
3
Lập phơng một tổng:
(A + B) = a + 3a b + 3ab + b
(4)
Lập phơng một hiệu:
(A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(5)
Tổng hai lập phơng:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
(6)

3
3
2
2
Hiệu hai lập phơng:
a - b = (a - b)(a + ab + b )
(7)
2
2
2
2
Bình phơng tổng ba hạng tử: (A + B + C) = A + B + C + 2(AB + AC
+ BC)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV v HS
Ni dung
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) +
6x(x - 3)
Cho HS ghi đề, tiến hành bài
giải
Ta thực hiện phép tính nh thế
nào?
HS ghi đề, tiến hành bài giải

1HS lên giải
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2
+ 2x + 4)
Ta nên thực hiện phép tính nh
thế nào?
Bài 2: Tìm x biết
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)
(2 - x) = 1
Để tìm x ta làm thế nào?
HS ghi đề, tiến hành bài giải
Thực hiện phép tính, rút gọn
vế trái
1HS lên bảng giải

Bài 3: Viết biểu thức sau dới
dạng tổng của ba bình phơng:
A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
Cho HS suy nghĩ, tìm cách
giải
Nếu HS cha giải đợc thì gợi ý:
Hãy triển khai, tách tổng trên
thành ba tổng có dạng: A2 +
2AB + B2
Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết
giá tri Bt khác
a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10.
Tính giá trị của Bt A = x3 + y3
Cho HS giải
Viết A thành tích
Để tính giá trị của A ta cần

tính xy.
Tính xy nh thế nào?
Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. Hãy
tìm cách tính xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 +
c2 = 1
GV: NGUYN CHU ANH

NM HC 2017-2018
a) (x - 2) - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
= ...= 5x - 8
3

b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +
4)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x +
4)
= (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64

(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) =
1
x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1
x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1
x3 - 27 - x3 + 4x = 1 4x = 28
x=7

A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+
b 2+ c 2
= (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) +
(b2+ 2bc+ c2)

= (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy)
(1)
HS suy nghĩ, tìm cách tính xy
Từ x + y = 2 x2 + y2 + 2xy = 4 xy
= - 3 (2)
Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3)
= 26
HS ghi đề
Bình phơng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1
a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 +
c2a2) (1)
Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
ta phải bình phơng Bt: (ab + bc + ca)
Ta bình phơng Bt: a + b + c = 0, ta
có:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab +
bc + ca) = 0
GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
Tính giá trị của Bt: B = a4 + b4
+ c4 ?
Để có a4 + b4 + c4 ta làm thế
nào?
Nhiệm vụ bây giờ là làm gì?
Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta

phải làm gì?

NM HC 2017-2018
ab + bc + ca =

ca)2 =

1
(ab + bc +
2

1
4

a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c)
1
abc =
4
1
a2b2 + b2c2 + c2a2 =
(2)
4

Thay (2) vào (1) ta có:
Khi đó ab + bc + ca = ?

a2b2 + b2c2 + c2a2 = ?
Từ đây, làm thế nào để tính
giá trị của Bt B
Bài 5:

{ ; b = 1....1
{ và c =
Cho a = 1....1
2n
n +1
6....6
{
n

Chứng minh rằng: A = a + b +
c + 8 là một số chính phơng
Để chứng minh một tổng là
một số chính phơng, ta cần
c/m gì?

B = 1 - 2.

1
1
1
=1=
4
2
2

HS ghi đề, tìm cách giải

Để chứng minh một tổng là một số
chính phơng, ta cần c/m nó bằng
bình phơng của một số

{ + 1....1
{ + 6....6
{ +8
A = 1....1
n +1

2n

n

9 1....1
9 {
{ )+8
( {2n ) + (1....1
) + 6( 1....1
n
+
1
n
9
9
102n 1
10n +1 1
10n 1
=
+
+ 6.
+8
9
9

9
102n + 10n +1 + 10 n + 64
102n + 16.10n + 64
=
=
9
9
=

2

2

2


10n + 8 100...08
=
ữ
ữ =
ữ = 33...36
1
2
3
3 n 1
A=a+b+c+8=?
3
9
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 =
=

(11...1)
Ta có: 11...1
.
Viết
thành
{
{
0
9 n
n
(x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z
luỹ thừa 10?
+16)+ 2 = 0
(x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 =
0
Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một
số dơng với mọi x, y, z; còn vế phải
Bài 6: Tồn tại hay không các số bằng 0
Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã
x, y, z thoã mãn đẳng thức:
mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x +
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z +
4y - 8z + 23 = 0
23 = 0
Hãy biến đổi vế trái đẳng
thức thành dạng tổng các bình
phơng?
Có nhận xét gì về hai vế của
GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
NM HC 2017-2018
đẳng thức?
Ta có kết luận gì?
Ta có thể nói : Biểu thức
A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z
+ 23 có giá trị nhỏ nhất là 2
1
khi x = 2 ; y = và z = 4
2
Bài tập về nhà
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9)
b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6)
Bài 2:
a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy
b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b
Bài 3: Chứng minh rằng
Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc
C. RT KINH NGHIM-B SUNG

TUN 2 : đờng trung bình của tam giác, hình thang
GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8

TRNG THCS NHN M

NM HC 2017-2018

a. mục tiêu:
- Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đờng trung bình của
tam giác, đờng trung bình của hình thang
- Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS
- tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao
b. hoạt động dạy học:
I. Nhắc lại một số kiến thức bài học:
A
1. Đờng trung bình của tam giác
E
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam
F
giác
gọi là đờng trung bình của tam giác
B
C
- E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF
là đờng trung bình của ABC
- Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung
điểm AC
- EF là đờng trung bình của ABC thì EF // BC và EF =
4. Đờng trung bình của hình thang:
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của
hình thang gọi là đờng trung bình của hình
thang
+ Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung

điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đờng
trung bình của hình thang ABCD
+ Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC
+ MN là đờng trung bình của hình thang
ABCD
thì MN // AB // CD và MN =

1
(AB + CD)
2

II. Bài tập áp dụng:
Hot ng ca GV
Bài 1:
Cho ABC đều cạnh a. Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm của
AB và AC
a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì
sao?
b) Tính chu vi của tứ giác BCNM
theo a
Cho HS tìm lời giải ít phút
Dự đoán dạng của tứ giác BCNM?
Để c/m tứ giác BCNM là hình
thang cân
ta cần c/m gì?
Vì sao MN // BC
à =C
à?
Vì sao B

GV: NGUYN CHU ANH

1
BC
2

Hot ng ca HS
HS ghi đề bài
Viết GT, KL, vẽ hình
HS suy nghĩ, tìm lời giải
HS dự đoán
à =C
à
c/m: MN // BC và B
Từ GT MN là đờng trung bình của
ABC MN // BC (1) và MN =

1
BC
2

(2)
à =C
à = 600 (3)
ABC đều nên B
Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là
hình thang cân
Chu vi hình thang cân BCNM là
GIO N ễN TP Hẩ TON 8

TRNG THCS NHN M
Từ đó ta có KL gì?

NM HC 2017-2018
PBCNM = BC
+BM + MN +
NC (4)
BM = NC =

Chu vi hình thang cân BCNM
tính nh thế nào?
Hãy tính cạnh BM, NC theo a
BC = ? vì sao?
Vậy: chu vi hình thang cân
BCNM tinh theo a là bao nhiêu?
Bài 2:
Cho ABC có ba góc đều nhọn;
AB > AC
Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm
của AB, AC, BC. Vẽ đờng cao AH
a) C/m: MP = NH
b) Giả sử: MH PN.
C/m: MN + PH = AH

A

1
2

M

1
1
AB =
BC =
2
2

a
BC = a, MN =

N

B

C

1
1
BC = a
2
2

Vậy : PBCNM = BC +BM + MN + NC
=a+

1
1

1
a+ a+ a=
2
2
2

5
a
2

Vẽ hình
A

M

B

N

P H

C

Để C/m MP = NH ta cần C/m gì?

Tứ giác MPHN là hình thang cân
hoặc C/m: MP và NH cùng bằng một
đoạn nào đó
MP là đờng Tb của ABC nên MP // AC

Từ GT suy ra MP có tính chất
gì?

và MP =

1
AC
2

Ta cần C/m NH =
Ta cần C/m gì?
Gọi I = MN AH thì ta có điều
gì? Vì sao?
Hoàn thành lời giải?

1
AC
2

M là trung điểm AB và MI // BH ( do
MN là đờng trung bình của ABC)
nên I là trung điểm AH và AI MN
(Do AH BC )
ANH cân tại N NH = NA =

Khi MH PN thì MH AB? Vì
sao?
AMH là tam giác gì? vì sao?
ABH là tam giác gì? vì sao?

GV: NGUYN CHU ANH

1
2

AC
Vậy: MP = NH
HS hoàn thành lời giải câu a
Khi MH PN thì MH AB vì NP //
AB
AMH là tam giác vuông cân tại M vì
ã
có AMH
= 900 và có MI vừa là trung
tuyến vừa là đờng cao
ã
ã
MAH
= AHM
= 450

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
Từ đó suy ra điều gì?

NM HC 2017-2018
ã
ã

ABH có AHB
= 900 mà AHM
= 450 nên
ã
HBM
= 450 ABH vuông cân tại H.
Suy ra BH = AH
Mà BH = BP + PH = MN + PH
Vậy: MN + PH = AH

Bài 3:
Cho ABC. Gọi I là giao điểm
của các tia phân giác trong. kẻ IM
AB; IN BC và IK AC. Qua A
HS ghi đề, Vẽ hình,
vẽ đờng thẳng a // MN; đờng
A
thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b
cắt NM tại D, ED lần lợt cắt AC,
AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC
D

Q

P

M

K

I

Gọi giao điểm của BC và AD là
L, của BC và AE là H
Để c/m: AM = AK ta c/m gì?,
Tơng tự hãy c/m: BN = BM, CN =
CK
Y MNHA là hình gì? Vì sao

Ta suy ra điều gì?
Y KNLA là hình gì? Vì sao? Từ
đó ta có điều gì?
Ta có thể KL gì về Mqh giữa
ND, NE trong ALH
DE có tính chất gì?

B

L

AK (5)
Từ (1), (4), (5) NL = NH (6)
NE, ND là đờng trung bình của
ALH nên: EA = EH (7) và DA = DL (8)
Từ (7) và (8) suy ra: DE là đờng trung
bình của ALH DE // LH PQ //
BC

A

D
1

Q

P
1
B

GV: NGUYN CHU ANH

H

AMI = AKI (C. huyền g. nhọn)
AM = AK (1)
BMI = BNI (C. huyền g. nhọn)
BM = BN (2)
CNI = CKI (C. huyền g. nhọn)
CN = CK (3)
Y MNHA là hình thang cân( vì có:
ã
ã
ã
ã
MN//AH, MAH
)
= BMN
= NHA
= BNM
NH = AM (4)

Y KNLA là hình thang cân NL =

M

Hãy C/m BCDE là hình thang

C

N

Bài 4:
Cho ABC có AB = c, BC = a, AC
=b
Qua A vẽ đờng thẳng song song HS vẽ hình
với BC cắt các tia phân giác của
E
góc B và góc C tại D và E. Từ A vẽ
1
AP BD; AQ CE. PQ lần lợt cắt
BE, CD tại M và N
Tính MN, PQ theo a, b, c

Dự đoán xem MN có tính chất
gì?

E

N

1

2

2
C

Dự đoán: MN là đờng trung bình
của hình thang BCDE
Từ gt BCDE là hình thang vì có
DE // BC
GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
Dự đoán và c/m dạng của BAD
Từ đó ta có điều gì?

PQ có tính chất gì?
Suy ra tính chất của MN
Hãy tính MN và PQ theo a, b, c

NM HC 2017-2018
à =B
ả mà B
ả =D
ả (so le trong do
B
1
2
2
1

à =D
ả BAD cân tại
BC // DE) B
1
1
A.
mà AP BD PB = PD; AB = AD = c
Tơng tự CAE cân tại A Và AQ CE
QC = QE và AC = AE = b
PQ là đoạn thẳng nối trung điểm
của hai đờng chéo hình thang BCDE
nên PQ // AB
MN là đờng trung bình của hình
thang BCDE nên:
BC + DE BC + AE + AD
a+b+c
=
=
2
2
2
BC + DE
PQ = MN - (MQ + NP) =
- BC
2
AD + AE - BC
b+c-a
=
=
2

2

MN =

III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
1
AB
2
kẻ CH AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH
là F
a) Tứ giác ADCH là hình gì?
b) C/m : AC BC
1
1
c) EF = DC = AB
2
4
Bài 2:
Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của hình
thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy
à = 900); AB = CD =
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, A

C. RT KINH NGHIM-B SUNG

GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8

TRNG THCS NHN M

NM HC 2017-2018

TUN 2: phân tích đa thức thành nhân tử
a. mục tiêu:
* Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức
thành nhân tử
* HS sử dụng thành thạo các phơng pháp để phân tích đa thức thành
nhân tử
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán
chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến
b. hoạt động dạy học:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức
thành tích
* Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để
làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
* Phơng pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm nh sau:
Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b.
Tách bx = (b1x + b2x) nếu b = b1 + b2
Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) =
* Phơng pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đa biểu thức cần phân tích
thành một biểu thức dễ phân tích hơn
* Phơng pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng
tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức

* Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để
phân tích
II. Bài tập vận dụng:
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của học sinh
Bài 1: Phân tích thành nhân
HS: áp dụng PP dùng Hđt
tử:
25x4 - 10x2y + y2 = (5x2)2 - 2. 5x2.y
a) 25x4 - 10x2y + y2
+ y2
áp dụng phơng pháp nào để
= (5x2 - y)2
phân tích đa thức này
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 +
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
27n3
= (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 +
GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M

NM HC 2017-2018
(3n)
= (2m + 3n)3
c) (4x2 - 3x -18)2 - (4x2 + 3x)2
= [(4x2 - 3x -18) - (4x2 + 3x)][(4x2 - 3x

-18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 - 18) (-6x 18)
= 2(4x2 - 9)[- 6(x + 3)]
= -12(2x + 3)(2x - 3)(x + 3)
3

c) (4x2 - 3x -18)2 - (4x2 + 3x)2

Bài 2: Phân tích thành nhân
tử
a) x4 + 2x3 - 4x - 4
Ta áp dụng phơng pháp nào để
phân tích

áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử
a) x4 + 2x3 - 4x - 4 = (x4 - 4 ) + (2x3 4x)
= (x2 + 2)(x2 - 2) + 2x(x2 - 2)
b) x3 +2x2y - x - 2y
= (x2 - 2)(x2 + 2x + 2)
b) x3 +2x2y - x - 2y = x2 (x + 2y) - (x
c) ac2x - adx - bc2x + cdx +bdx - + 2y)
c3x
= (x + 2y)(x2 - 1) = (x + 2y)(x - 1)(x +
1)
c) ac2x - adx - bc2x + cdx + bdx - c3x
= (- adx + bdx + cdx) + (ac2x - bc2x
- c3x)
3. Bài 3: Phân tích thành
= dx( -a + b + c) + c2x(a - b - c)
nhân tử
= x[(b + c - a)d - c2(b + c - a)]

a) x2 - 6x + 8
= x(b + c - a) (d - c2)
áp dụng phơng pháp nào để
phân tích? Phân tích bằng
HS ghi đề
cách tách hạng tử nào? tách nh
Cách 1:
thế nào?
Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (Có thể tách nh thế nào khác
4)
nữa để xuất hiện hằng đẳng nên ta có: x2 - 6x + 8 = (x2 - 2x) - (4x
thức rồi tiếp tục phân tích
- 8)
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Tơng tự, GV cùng HS tìm ra các Cách 2: x2 - 6x + 8 = (x2 - 6x + 9) - 1
cách phân tích khác trong ph= ?
ơng pháp tách hạng tử
Cách 3: x2 - 6x + 8 = (x2 - 4) - 6x + 12
4
2
b) a + a + 1
=?
Hãy tách a2 thành 2 hạng tử để
Cách 4: x2 - 6x + 8 = (x2 - 16) - 6x +
phân tích
24 =..?
3
c) x - 19x - 30
HS về nhà tìm thêm cách khác
Hãy tách hạng tử -19x để phân

tích
b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) - a2
= (a2 + 1)2 - a2 = (a2 - a + 1)(a2 + a
+ 1)
Bài 4: Phân tích thành nhân
tử
GV: NGUYN CHU ANH

c) x3 - 19x - 30 = (x3 - 9x) - (10x + 30)
= x(x2 - 9) - 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x - 3) - 10] = (x + 3)(x 2 GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M
a) a4 + 64
Dạng a2 + b2 nên ta thêm và bớt
hạng tử nào để xuất hiện một
hằng đẳng thức
b) x5 - x4 - 1

c) a3 + b3 + c3 - 3abc
Ta đã có a3 + b3, vậy nên thêm
bớt các hạng tử nào để xuất
hiện hằng đẳng thức
Hãy phân tích đa thức trên
thành nhân tử
Bài 5: Phân tích thành nhân
tử
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
Ta sử dụng phơng pháp nào để

phân tích

b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) +
15
Yc HS làm tơng tự nh câu a

Bài 6:
a) Cho a + b + c = 0 c/m rằng:
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +
c 2a 2)
Từ a + b + c = 0 ?

b) cho xy 0; (a2+b2)(x2+y2) =
(ax + by)2 C/m:

a b
=
x y

GV: NGUYN CHU ANH

NM HC 2017-2018
3x - 10)
= (x + 3) [(x2 - 5x) + (2x - 10)]
= (x + 3)[x(x - 5) + 2(x - 5)]
= (x + 3)(x - 5)(x + 2)
thêm và bớt 2ab ta có;
a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 - 2.8a2
= (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 4a + 8)
b) x5 - x4 - 1

= (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x +
1)
= x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x
+ 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x - 1)
HS suy nghĩ, trả lời
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+
3ab2+3abc)
= (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc)
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) - 12 (*)
Đặt (x2 + x ) = y ta có
(*) = y2 + 4y - 12 = (y2 + 4y + 4) - 16
= (y + 2)2 - 42 = (y + 6)(y - 2)
= (x2 + x +6 )(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6 )[(x2 - x) + (2x - 2)]
= (x2 + x +6 )[x(x - 1) + 2(x - 1)]
= (x2 + x +6 )(x 1)(x + 2)
b) Đặt y = x2 + 8x + 7 thì x2 + 8x +
15 = y + 8
ta có:
(x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) +
15
= y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 8y +16 - 1 = (y + 4)2 - 1
= (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 +
8x + 12)

a) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )2
=0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
(a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc +
ca)]2
a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRNG THCS NHN M

NM HC 2017-2018
= 4[a b + b c + c2a2 + 2abc(a + b
+ c)
a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 +
c2a2)
= 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). Vì a + b +
c=0
a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
b) Từ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
(a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 2abxy - b2y2 = 0 a2y2 - 2abxy +
b2x2 = 0
(ay bx)2 = 0 ay - bx = 0
2

2

2 2

ay = bx

a b
= (đpcm)
x y

III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x2 - 20xy + 4y2
b) x3 - 4x2 - 9x + 36
c) x2 - 7xy + 10y2
d) (x 2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
Bài 2: Chứng minh rằng
a) Hiệu các bình phơng của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phơng khác 1 với
n N
C. RT KINH NGHIM B SUNG

GV: NGUYN CHU ANH

GIO N ễN TP Hẩ TON 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
NĂM HỌC 2017-2018
TUẦN 2: h×nh b×nh hµnh - h×nh ch÷ nhËt
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình
chữ nhật
* Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và

hcn
* HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Kiến
Hình bình hành
Hình chữ nhật
thức
1.
ABCD là Hcn
AB // CD
⇔
ABCD
là
Hbh
µ =B
µ =C
µ =D
µ = 900
Đònh
⇔A
AD // BC
nghóa
2. Tính
ABCD là Hbh , AC ∩ BD =
ABCD là Hcn , AC ∩ BD = O
chất
O
AB = CD, AD = BC
µ µ µ µ

A = C , B = D
⇒
OA = OC, OD = OB
AC = BD


AB = CD, AD = BC
µ µ µ µ
⇒ A
=C,B=D
OA = OC, OD = OB


3.
Dấu
hiệu
nhận
biết

AB // CD, AD // BC 
AB = CD, AD = BC 

µ =B
µ ,C
µ =D
µ
A
⇒
OA = OC, OB = OD 


( O = AC ∩ BD) 


ABCD
là
Hbh

+
+ ABCD có AB // CD
Và
+ ABCD là Hbh có:
- AC = BD

⇒

ABCD
Là hcn

II. Bài tập vận dụng:
Hoạt động của GV
1. Bài 1:
µ = 1200 . Đường
Cho Hbh ABCD có A
phân giác của góc D đi qua
trung điểm của AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Gọi F là trung điểm của CD.
C/m ∆ADF đều, ∆AFC cân
c) C/m AC ⊥ AD
Giải

Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có ∆ADE là tam giác gì? Vì
sao?
Hãy C/m điều đó
Hãy C/m ∆ADF cân tại A có
một góc 600
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

Hoạt động của HS
HS ghi đề, vẽ hình
E

A

D

F

B

C

a) ∆ADE là tam giác cân
µ = 1200 , mà ABCD là Hbh
Ta có A
nên
µ = 600 ⇒ ADE
·
·
D

= AED
= 300 ⇒ ∆ ADE
cân tại A ⇒ AD = AE mà AB =
2 AE
GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
Hãy C/m ∆AFC cân tại F

NĂM HỌC 2017-2018
Nên AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD là Hbh)
mà DF =

1
1
CD, AD =
AB. Suy
2
2

ra
AD = DF ⇒ ∆ADF cân trại D có
Từ ∆ AFC cân tại F ta suy ra điều
gì?
Góc DFA bằng hai lần góc nào
của ∆ AFC
·
=?

DAC
2. Bài 2:
Cho ∆ ABC và O là điểm thuộc
miền trong của tam giác đó.
Gọi D, E, F lần lượt là trung
điểm của AB, BC, CA và L, M, N
lần lượt là trung điểm của OA,
OB, OC
Chứng minh rằng các đoạn
thẳng EL, FM, DN đồng quy
Giải
Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM,
DN đồng quy ta C/m gì?
Ta C/m các đoạn thẳng đó là
đường chéo của hai hbh có
chung một đường chéo
Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta
c/m như thế nào?
Tương tự ta có tứ giác NLDE là
hình gì?
Hai Hbh này có chung đường
chéo nào?
Từ đó ta có kết luận gì?
Những Hbh nào có tâm trùng
nhau?

µ = 600
D

vậy: ∆ADF là tam giác đều

Ta có AF = DF (do ∆ADF đều)
Mà DF = FC (F là trung điểm
của BC)
Suy ra AF = FC ⇒ ∆ AFC cân tại F
·
·
c) ∆ AFC cân tại F ⇒ DFA
= 2FAC
(Góc ngoài tại đỉnh của tam
giác cân)
·
Mà FDA
= 600 (do ∆ADF đều).
Suy ra
·
·
FAC
= 300 ⇒ DAC
= 900 hay AC ⊥ AD
HS ghi đề, vẽ hình
A
L
D

F

O

M
B

N
C

E

HS suy nghó , phát biểu
HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F là trung điểm của BC, CA
⇒ EF là đường trung bình của
∆ ABC suy ra
EF // AB, EF =

1
AB (1)
2

Tương tự LM là đường trung
bình của ∆ OAB suy ra LM // AB,
3. Bài 3:
Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH ⊥
AC. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của AH, CD. Chứng minh
BE ⊥ EF
Giải
Gọi K là trung điểm của AB ta
có điều gì? Vì sao?
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

1

2

LM = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác
EFLM là Hbh
C/m tương tự ta có tứ giác
NLDE là Hbh
(Vì có NE //= LD)
Hai Hbh EFLM và NLDE có
chung đường chéo LE hay ba
đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ

Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao?

NĂM HỌC 2017-2018
quy tại trung điểm của LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM và
NLDE có
F
D
tâm
H
trùng
nhau
E

EI có tính chất gì? Vì sao?

∆ BFE là tam giác gì? Vìa sao?

4. Bài 4:
Cho ∆ ABC cân tại A. Từ điểm D
trên BC kẻ đường vuông góc
với BC cắt AB, AC lần lượt tại E,
F. Dựng các hình chữ nhật BDEH
và CDFK
a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng
hàng
b) C/m: A là trung điểm của HK
c) Goi I, J theo thứ tự là tâm
của các hình chữ nhật BDEH
và CDFK. Tìm tập hợp trung
điểm M của đoạn thẳng IJ khi D
di động trên BC
Để C/m A, H, K thẳng hàng ta
c/m gì?
Hãy C/m AH, AK cùng song song
với một đường thẳng nào ?
Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh?
Như thế nào?
Từ I, J là tâm của các hình
chữ nhật BDEH và CDFK và M
là trung điểm của IJ ta suy ra
điều gì?
Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra
điều gì

Có cách C/m nào khác?
Ta đã có A, H, K thẳng hàng
nên để c/m A là trung điểm
của HK ta C/m gì?
Hãy C/m AB // DK và kết hợp
với I là trung điểm của DH để
⇒ AH = AK
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

HS ghi
đề, vẽ
hình

A

C

I
K

B

Gọi K là trung điểm của AB ta
có EK // HB (Vì EK là đường
trung bình của ∆ AHB) mà BH ⊥
·
AC ⇒ EK ⊥ AC suy ra CEK
= 900
⇒ ∆ CEK vuông tại E
Tứ giác BCFK có BK //= CF và

có
µ = 900 nên là hình chữ nhật
B
nên hai đường chéo BF và CK
cắt nhau tại I và BF = CK
⇒ I là trung điểm của BF , CK
⇒ EI là trung tuyến thuộc
cạnh huyền CK của ∆ CEK
⇒ EI =

1
1
CK = BF
2
2

∆ BFE có trung tuyến EI =

1
BF
2

nên là tam giác vuông tại E
⇒ BE ⊥ EF
HS ghi
đề ,
vẽ
hình

H

F

A
I
P

E
M

K
Q
J

B

G N D

C

HS phát biểu
C/m AH, AK cùng song song với
IJ
HS nêu cách c/m
Từ I, J là tâm của các hình
chữ nhật BDEH và CDFK và M
GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ

NĂM HỌC 2017-2018
Kẻ MN ⊥ BC và đường cao AG thì là trung điểm của IJ ta suy ra
MN có tính chất gì?
MI và MJ lần lượt là đường
trung bình của các tam giác
M cách BC một khoảng không
AHD và AKD
đổi thì m nằm trên đường
Nên MI // AH và MJ // AK hay AH
nào?
và AK cùng song song với IJ
nên A, H, K thẳng hàng (theo
tiên đề Ơclít)
HS nêu cách C/m khác
·
·
∆ ABC cân tại A nên ABC
= ACB
(1)
I là tâm của hcn BDEH nên
suy ra ∆ BID cân tại I ⇒
·
·
·
·
hay ABD
(2)
BDI
= DBI
= BDI

Từ (1) và (2) suy ra AB // DK
mà IH = ID nên AH = AK mà A,
H, K thẳng hàng nên A là
trung điểm của HK
c) Kẻ MN ⊥ BC (N ∈ BC); đường
1
AH (vì MN
2
là đường trung bình của ∆ ADG

cao AG ta có MN =

)không đổi, nên M nằm trên
đường thẳng song song với BC
và cách BC một khoảng
bằng

1
AH không đổi chính
2

là đường trung bình PQ của ∆
ABC (PQ // BC)
III. Bài tập về nhà:
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K
theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Chứng minh BM
vuông góc với MK
2. cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các
tam giác đều ABM, AND. Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm
của BD, AN, AM

a) tam giác MNC là tam giác gì? Vì sao?
·
b) Tính FEQ
C. RÚT KINH NGHIỆM – BỔ SUNG

GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ

NĂM HỌC 2017-2018

TUẦN 3 : PHÉP CHIA ĐA THỨC
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức
* Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia
đa thức vào các bài toán khác
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng
vào thực tiễ
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức:
1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong
A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó trong B
2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q
3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A không chia
hết cho b khi R ≠ 0
II. Xác đònh hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B:
1. Phương pháp:

1.1- Cách 1: + Chia A cho B được thương là Q, dư là R
+ Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng bằng đồng nhất
thức
2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất đònh
Đa thức bò chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo
thương có bậc là m – n
Nếu gọi thương là xm – n + C (C là một đa thức chưa xác đònh) Thì
A = (xm – n + C ). B
A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế
phải bằng nhau
3.1 - Cách 3: dùng giá trò riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bò
chia có nghiệm)
Gọi thương của phép chia A cho B là C thì A = B.C
Tìm một giá trò của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất đònh
để xác đònh hệ số
III. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
III.1 - Dạng 1:
Bài 1: xác đònh a, b để A(x) = HS ghi đề , tìm cách giải
x3 + ax + b chia hết cho B(x) = x2
+x–2
HS thực hiện phép chia:
Hãy thực hiện phép chia A(x)
x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a +
cho B(x)
3)x + b - 2
Để A(x) MB(x) ⇔ (a + 3)x + b - 2 =
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
NĂM HỌC 2017-2018
Để A(x) chia hết cho B(x) thì
0
phải có Đk gì
a + 3 = 0
a = - 3
⇔
⇔
Hãy dùng hệ số bất dònh để
b - 2 = 0
b = 2
tìm a và b
HS thử lại:
Thử lại xem có đúng không
HS ghi đề và tìm cách giải
Bài 2: Tìm a, b ∈ Q để A = x4 + Gọi thương là x2 + c ta có đẳng
ax + b chia hết cho B = x2 – 4
thức
Gọi thương là x2 + c ta có đẳng
x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )
thức nào?
⇔ x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c
Đẳng thức xẩy ra với ∀x ∈ Q
nên
Đẳng thức xẩy ra với ∀x ∈ Q
a = 0

a = 0
nên ta có điều gì?


c − 4 = 0 ⇔ c = 4
Hãy tìm a, b, c tương ứng
III.2 – Dạng 2: Các bài toán
chứng minh
1. Bài 1: Chứng minh đònh lí
Bơ-du
“ Số dư trong phép chia f(x) cho
nhò thức
x – a bằng giá trò đa thức ấy
tại x = a”
Nếu gọi thương là q(x) dư là r
thì f(x) = ?
Khi x = a thì f(x) = ?
2. Bài 2: chứng minh rằng:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx
–1
p dụng đònh lí Bơ- du ta có
điều gì?

b = −4c


b = −16


HS tiếp cận yêu cầu

Ta có f(x) = (x – a). q(x) + r
Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r
⇒ f(x) = r (số dư của f(x) : (x –
a))
HS tiếp cận đề bài
Ta có: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x +
1)10 - 2
= (x – 1). Q(x) + r (đònh lí Bơ-du)
f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 –
2=0
⇒ (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2
Mx – 1
HS tiếp cận đề bài

3. Bài 3: Chứng minh rằng
Với m, n ∈ Z thì: A = (x3m + 1 + x3n +
2
+ 1) chia hết cho B = x2 + x +
1
Để C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1)
chia hết cho B = x2 + x + 1 ta
C/m A M(x3 – 1)
Vì sao? Để C/m điều này ta
làm thế nào?

HS phát biểu:
Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M(x2
+ x + 1)
A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2
+ x + 1)

= x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 +
x + 1)
x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + …
+ 1) chia hết cho x3 – 1 nên chia
hết cho
3m
3
3m – 1
3m – 2
x – 1 = (x – 1)(x
+x
+ … x2 + x + 1 ⇒ x(x3m – 1) Mx2 + x + 1
3
+ 1) có chia hết cho x – 1?
(1)
Tương tự: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
Tương tự ta có kết luận gì?

NĂM HỌC 2017-2018
(2)
Và x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm

III. 3- Dạng 3: Các bài toán

khác

1. Bài 1: Tìm số dư của phép
chia
A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho
B(x) = x2 – 1
Gọi thương là Q(x) , dư là R(x) =
?
Khi đó A(x) =?
Đẳng thức đúng với mọi x
nên ta có điều gì?

Gọi thương là Q(x), dư là R(x) =
ax + b ta có: A(x) = B(x). Q(x) +
ax + b
Đẳng thức đúng với mọi x
nên x2 – 1 = 0
⇒ x = 1 hoặc x = -1
 A(1) = a + b
51 = a + b
 a = 25
⇔
⇔

 A(-1) = - a + b
1=-a+b
 b = 26

Vậy R(x) = 25x + 26
HS ghi đề bài

x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phát biểu

2. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết
rằng f(x) chia x – 3 thì dư 2; chia x
+ 4 thì dư 9 và chia cho x2 + x –
12 được thương là x2 + 3 còn dư
* So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)
(x + 4) ?
Gọi dư của f(x) : (x2 + x – 12 ) là
ax + b
Thương của f(x) chia cho x + 3; x
+ 4 lần lượt là p(x), q(x) ta có
điều gì?
Từ (1) và (3) suy ra điều gì?

f(x) = (x - 3).p(x) + 2
(1)

(2)
f(x) = (x + 4).q(x) + 9
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3)

Từ (1) ⇒ f(3) = 2 ; từ (3) ⇒ f(3)

= 3a + b
⇒ 3a + b = 2 (4)
Từ (2) và (3) sy ra : -4a + b = 9
(5)
Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = 5

Vậy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) –
x+5
= x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31

Từ (2) và (3) suy ra điều gì?
Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ?
Vậy đa thức cần tìm là đa
thức nào?
IV. Bài tập về nhà:
Bài 1: Xác đònh a; b để
a) A = x4 + a x2 + b chia hết cho B = x2 + x + 1
b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 có dư là R = 2x –
3
c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21
Bài 2: Chưng minh rằng
a) mn(m2 – n2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n
b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
Bài 3:
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
NĂM HỌC 2017-2018
a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009
cho B = x2 + 8x + 11
b) Tìm số nguyên x để giá trò biểu thức A = x 3 – 3x2 – 3x – 1 chia
hết cho giá trò biểu thức:
B = x2 + x + 1

C. RÚT KINH NGHIỆM –BỔ SUNG

TUẦN 3 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính
chất và dấu hiệu nhận biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài
toán chứng minh các đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng
vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Hệ thống kiến thức:
Hình thoi
Hình vuông
Đòn Tứ giác có 4 cạnh bằng
Tứ giác có 4 cạnh bằng
h
nhau
nhau và 4 góc bằng nhau
ngh
óa
- Các cạnh đối song somg,
- Các cạnh đối song somg,
bằng nhau
bằng nhau
Tính - các góc đối bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
chấ - Hai đường chéo vuông
- Hai đường chéo bằng
t

góc với nhau tại trung điểm nhau, vuông góc với nhau
mỗi đường, là trục đói
tại trung điểm mỗi đường,
xứng của hình thoi
là trục đói xứng của hình
- mỗi đường chéo là phân
vuông
giác của hai góc đối nhau
- mỗi đường chéo là phân
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
- Tâm đối xứng là giao
điểm hai đường chéo

Dấ
u
hiệ
u
nha
än
biế
t

NĂM HỌC 2017-2018
giác của hai góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao

điểm hai đường chéo
- Đường trung bình là trục
đối xứng
- Tứ giác có 4 cạnh và 4
góc bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông
- hình thoi có 2 đường chéo
bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh
kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường
chéo vuông góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường
chéo là tia phân giác của
1 góc

- Tứ giác có 4 cạnh bằng
nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng
nhau
- Hbh có 2 đường chéo
vuông góc với nhau
- hbh có đường chéo là tia
phân giác của 1 góc

II. Hệ thống Bài tập
Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD AB //
CD, AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần
lượt là trung điểm của CD, AB,

DB, CA
a) C/m: NM là tia phân giác
·
của PNQ
b) Tính số đo các góc của tứ
giác MPNQ biết các góc nhọn
của hình thang ABCD là
µ =D
µ = 500
C

c) Hình thang ABCD thoã mãn
điều kiện gì thì tứ giác MPNQ
là hình vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác
·
của PNQ
Ta cần C/m gì?
Để C/m MPNQ là hình thoi ta
C/m như thế nào?
Hãy C/m MPNQ là Hình bình
hành
Bằng cách C/m có hai cạnh
đối vừa song song vừa bằng
nhau, đó là hai cạnh nào?
Hãy C/m NP //= MQ ?
C/m MP = MQ để suy ra H.b.h
MPNQ là hình thoi
MPNQ là hình thoi ta suy ra điều
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

HS ghi đề và vẽ hình

A

/

N

Q

P
D

//

B

/

M

//

C

Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi
C/m MPNQ là hình bình hành có
hai cạnh kề bằng nhau
Từ GT ⇒ NP là đường trung bình

của ∆ ADE nên NP // AD và NP =
1
AD (1)
2

MQ là đường trung bình của ∆
ADC nên
MQ // AD và MQ =

1
AD (2)
2

Từ (1) và (2) ⇒ NP // MQ và NP =
MQ suy ra tứ giác MPNQ là H.b.h
Mặt khác MP =

1
1
CB = AD (Vì
2
2

AD = CB). Suy ra MP = MQ ⇒ MPNQ
GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8


TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
gì ?
·

bằng góc nào? Vì sao?
CMQ
·
bằng góc nào? Vì sao?
PMD
·
·
·
=?
CMQ
+ PMD
= ? ⇒ PNQ
·
·
=?
MPN
= MQN

Hình thoi MPNQ là hình vuông
khi nào?

NĂM HỌC 2017-2018
là hình thoi (H.b.h có 2 cạnh kề
bằng nhau) ⇒ NM là tia phân
·
giác của PNQ
·
·
b) MQ // AD ⇒ ADC
= CMQ

= 500 (3)
·
·
MP // CE ⇒ ECD
= PMD
= 500 (4)
·
·
Từ (3) và (4) ⇒ CMQ
+ PMD
= 1000
·
·
⇒ PMQ
= 800 ⇒ PNQ
= 800 ⇒
·
·
MPN
= MQN
= 1000

c) Hình thoi MPNQ là hình vuông
·
·
·
⇔ PMQ
= 900 ⇔ CMQ
+ PMD
= 900

µ +D
µ = 900 ⇔ C
µ =D
µ = 45 0
⇔ C

Bài 2:
Cho ∆ ABC vuông cân tại B. từ
điểm D thuộc cạnh AB vẽ DE
⊥ AC tại E, tia ED cắt tia CB tại
F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AD, DF, FC, CA
Chứng minh MNPQ là hình
vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình
vuông ta cần C/m điều gì?

Vậy: Hình
thang cân
ABCD có
µ =D
µ = 45 0 thì
C
tứ giác
MPNQ là
hình vuông

A
E

M

Q

D
N
F

HS ghi đề
bài và vẽ hình

B

P

C

Để C/m tứ giác MNPQ là hình
chữ nhật ta cần C/m gì?
Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình
bình hành?

Để C/m tứ giác MNPQ là hình
vuông ta cần C/m MNPQ vừa là
hình chữ nhật vừa là hình thoi
MNPQ là hình bình hành có
một góc vuông
Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ Từ Gt ⇒ MN là đường trung bình
nhật thì ta C/m gì?
của ∆ FCA

0
·
1
Hãy C/m MNP = 90
⇒ MN // FA và MN = FA (1)
2

Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =
1
FA (2)
2

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là
H.b.h
Mặt khác D là giao điểm của 2
đường cao AB và FE của ∆ FAC
Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi nên CD là đường cao còn lại
bằng cách C/m NP = MN
của ∆ FAC ⇒ CD ⊥ FA ⇒ PN ⊥ FA
·
⇒ PN ⊥ MN (Vì MN // FA) ⇒ MNP
= 900
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ
nhật (*)
Bài 3:
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8

TRƯỜNG THCS NHƠN MỸ
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K
lần lượt là trung điểm của AD,
DC; E là giao điểm của BI và
AK
a) chứng minh: BI ⊥ AK
b) Chứng minh CE = AB
c) So sánh AK, BI, BK
d) C/m: BD là phân giác của
·
IBK

* Để C/m BI ⊥ AK ta C/m gì?

NĂM HỌC 2017-2018
µ = 450 (
∆ FCE vuông tại E và có C
∆ ABC vuông cân tại A) ⇒ ∆ FCE
vuông cân tại E
⇒ ∆ DBF vuông cân tại B ⇒ BD =
BF nên suy ra ∆ ABF = ∆ CBD ⇒ FA
= CD
Mặt khác NP là đường trung
bình của ∆ FCD, nên NP =

1
CD =
2

1

FA = MN ⇒ hình bình hành MNPQ
2

µ1 +$
µ1
Để C/m A
I1 = 900 ta C/m A
bằng góc nào? Vì sao?

là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là
hình vuông

Hãy C/m ∆ AIB = ∆ DKA?

HS ghi đề
và vẽ
hình

Để C/m CE = AB ta C/m gì?
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta
C/m
CE = CB bằng cách C/m hai tam
giác nào bằng nhau? Hay tam
giác nào cân?

AK = BI? Vì sao?
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI
= BK)

·
·
hay không? Vì sao?
IBD
= KBD

A

/
_1
1

I

F

/
M 1

B

/

C

E

_
D

/

K

a) HS suy
nghó, trả lời:
µ1 +$
C/m A
I1 = 900
µ1 + $
B
I1 = 900 do ∆ ABI vuông tại A
Ta cần C/m ∆ AIB = ∆ DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình
vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông
ABCD)
µ =D
µ = 900 ⇒ ∆ AIB = ∆ DKA(c.g.c)
A
µ1 = A
µ 1 mà B
µ1 + $
⇒B
I1 = 900 ⇒

µ1 +$
A
I1 = 900
µ1 +$

·
ta có A
I1 = 900 ⇒ AEI
= 900 ⇒ BI ⊥

AK
b) Gọi F là trung điểm AB
⇒ AKCF là H.b.h vì có FA //= CK
⇒ AK // CF ⇒ CM ⊥ BE hay CM là
đường cao của của ∆ BCE (1)
F là trung điểm AB mà MF // AK
nên M là trung điển BE hay CM
là đường trung tuyến của ∆ BCE
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆ BCE cân
tại B suy ra
GV: NGUYỄN CHÂU ANH

GIÁO ÁN ƠN TẬP HÈ TỐN 8