LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN – TỪ TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hương

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hương

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HIẾU

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành
tới GS.TS. Nguyễn Quang Báu, TS. Nguyễn Văn Hiếu. Cảm ơn thầy đã hướng
dẫn,chỉ bảo và tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý
lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy
cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài NAFOSTED (N0.103.012015.22)
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều
thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng10 năm 2015
Học viên: Nguyễn Thị Hương


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ...………………………………………………………………….
1
CHƯƠNG 1. HỐ LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
4
TRONG BÁN DẪN KHỐI …………………………………………………
1.1 Hố lượng tử ……………………………………………………………..
4
1.1.1 Khái quát về hố lượng tử ……………………………………………...
4
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với hố thế

5
cao vô hạn …………………………………………………………………...
1.2 Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ……………………………
7
1.2.1 Khái niệm về hiệu ứng âm – điện và hiệu ứng âm – điện – từ trong
7
bán dẫn khối ………………………………………………………………..
1.2.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ….
8
CHƯƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
15
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN ...
2.1 Hamiltonian tương tác giữa điện tử - phonon trong hố lượng tử ……….
15
2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử …………….
17
2.3 Biểu thức trường âm – điện – từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thế
25
cao vô hạn …………………………………………………………………..
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ
THUYẾT CHO TRƯỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
35
AlAs/GaAs/AlAs ……………………………………………………………
3.1 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào từ trường ngoài trong
36
trường hợp từ trường yếu ….………………………………………………..
3.2 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào từ trường ngoài trong
37
trường hợp từ trường mạnh …………………………………………………
3.3 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào tần số sóng âm

38
Thảo luận kết quả ……...……………………………………………………
40
KẾT LUẬN ……...…………………………………………………….…...
41
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ………...…………………………
42
PHỤ LỤC ……………………………………...……………………………
45


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối

Trang 7

Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ
vào từ trường ngoài trong trường hợp từ trường yếu, nhiệt độ cao

Trang 36

Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ
vào từ trường ngoài trong trường hợp từ trường mạnh, nhiệt độ cao

Trang 37

Hình 3.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ
vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của từ trường ngoài

Trang 38

Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ
vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của nhiệt độ

Trang 39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ vật
liệu mới, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo ra các cấu trúc nano
khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng
tử, chấm lượng tử...)[1-6]. Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này cho ra đời
nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật
như: các vi mạch, diot huỳnh quang điện, pin mặt trời… Khi nghiên cứu các hệ bán
dẫn thấp chiều kết quả cho thấy không những hàm sóng và phổ năng lượng của
điện tử thay đổi mà các tính chất vật lý trong các hệ bán dẫn thấp chiều hoàn toàn
khác so với hệ bán dẫn ba chiều [7-26].
Trong bán dẫn khối, nếu các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh
thể (cấu trúc 3 chiều), thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới
hạn nghiêm ngặt dọc theo một, hai, hoặc ba hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng
của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng
lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ như: tương
tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang. Khi chịu tác dụng của trường
ngoài, các bài toán trong các hệ thấp chiều như: tính toán mật độ dòng, tính toán hệ
số hấp thụ, tính toán dòng âm điện, trường âm điện, … sẽ cho các kết quả mới,
khác biệt so với trường hợp bán dẫn khối. Các vật liệu mới với cấu trúc bán dẫn
thấp chiều nói trên đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên nguyên
tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ
thuật. Đó là lý do tại sao các cấu trúc thấp chiều trên được nhiều nhà Vật lý quan

tâm nghiên cứu.
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn có các electron dẫn thì do sự
truyền năng xung lượng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng
gọi là hiệu ứng âm - điện, nếu mạch kín thì tạo ra dòng âm - điện, còn mạch hở thì
tạo ra trường âm - điện. Tuy nhiên khi có mặt của từ trường ngoài theo phương
vuông góc với chiều truyền sóng âm thì nó gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu
ứng âm - điện - từ, lúc này có một dòng xuất hiện theo phương vuông góc với

1


phương truyền sóng âm và từ trường ngoài gọi là dòng âm - điện - từ, nếu mạch hở
thì xuất hiện trường âm - điện - từ.
Trên phương diện lý thuyết, hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ trong bán dẫn
khối được xem xét dưới hai quan điểm khác nhau. Trên quan điểm lý thuyết cổ điển,
bài toán này đã được giải quyết chủ yếu dựa trên việc giải phương trình động cổ điển
Boltzmann, xem sóng âm giống như lực tác dụng. Trên quan điểm lý thuyết lượng
tử, bài toán liên quan đến hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ đã được giải quyết
bằng phương pháp lý thuyết hàm Green trong bán dẫn khối, phương pháp phương
trình động lượng tử trong bán dẫn khối với việc xem sóng âm như một dòng phonon
âm. Bên cạnh đó với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ thì các hiệu ứng
âm - điện và âm - điện - từ đã đo được bằng thực nghiệm trong siêu mạng, hố lượng
tử, ống nano cacbon. Tuy nhiên, hiện nay chưa có một lý thuyết hoàn chỉnh cho các
kết quả thực nghiệm về hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ trong hệ bán dẫn thấp
chiều trên. Và bài toán tính toán hiệu ứng âm - điện - từ trong hố lượng tử bằng
phương pháp phương trình động lượng tử vẫn còn đang bỏ ngỏ. Vì vậy đề tài lựa
chọn tiêu đề: “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử với
thế cao vô hạn” để nghiên cứu.
2. Mục tiêu và Phương pháp nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trường âm - điện - từ lượng tử trong hố lượng tử. Biểu

thức giải tích trường âm - điện - từ được thu nhận. Các kết quả thu được trong hố
được so sánh với kết quả đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối cho thấy sự khác
biệt cả định tính lẫn định lượng.
Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp
lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green phương pháp
tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử. Trong luận văn này, tôi sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử sóng âm ngoài trong hố lượng tử, sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg
thiết lập phương trình cho hàm phân bố điện tử, từ đó tìm ra từ trường âm - điện từ lượng tử trong hố lượng tử.

2


3. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục gồm 3 chương:
Chương 1. Hố lượng tử và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối.
Chương 2. Biểu thức giải tích trường âm - điện - từ trong hố lượng tử với hố
thế cao vô hạn.
Chương 3. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho trường âm - điện từ trong hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3.
Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của trường âm - điện - từ trong hố lượng
tử với thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng được thực hiện và cho thấy sự phụ
thuộc của trường âm - điện - từ vào từ trường ngoài trong 2 trường hợp: từ trường
yếu và từ trường mạnh. Kết quả thu được là mới, có những điểm khác biệt so với
trường hợp trường âm - điện - từ trong bán dẫn khối.

3


Chương 1

HỐ LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Hố lượng tử
1.1.1. Khái quát về hố lượng tử
Hố lượng tử (quantum wells) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn
hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có
cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau
có độ rộng vùng cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở
vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng
hóa trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử,
làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên
cạnh (tức là không có hiệu ứng đường ngầm). Do vậy, trong cấu trúc hố lượng tử,
các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế
năng hai chiều. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là
chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường chọn là hướng z) bị giới
hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ
còn thành phần xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử
là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều,
mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật ε 1/2 (với ε là năng lượng
của điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng
thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lượng cho phép thấp nhất

( ε = 0)

và tăng theo quy luật khác ε 1/2 .

Hố lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụ như
phương pháp epitaxy (Molecular beam epitaxy - MBE), phương pháp kết tủa hóa
hữu cơ kim loại (Metal organic chemical vapor deposition - MOCVD). Với công
nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạo ra hố lượng tử có thế giam

giữ khác nhau, việc khảo sát lý thuyết về hố lượng tử chủ yếu dựa trên hàm sóng
và phổ năng lượng của điện tử thu được nhờ giải phương trình Schrodinger với hố
4


thế đặc trưng của nó. Ngoài ra, khi chuyển từ hệ ba chiều sang hệ hai chiều thì mật
độ trạng thái cũng thay đổi, mật độ trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác không.
Sự thay đổi mật độ trạng thái của hệ điện tử trong hố lượng tử đóng vai trò quan
trọng trong việc chế tạo laser bán dẫn hố lượng tử. Trong luận văn này, chúng tôi
quan tâm đến hố lượng tử với thế giam giữ cao vô hạn.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với hố thế
cao vô hạn
a, Trường hợp vắng mặt của từ trường
Chúng ta xét một hố lượng tử với hố thế cao vô hạn. Điện tử bên trong hố
V(z)
được giam giữ bởi một hố thế cao vô hạn có dạng:
V(z) =

(1.1)
z
0

Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm

L

trong hố lượng tử với thế tương ứng thu được từ việc giải phương trình
Schrodinger[2,6]
Hàm sóng: ψ(x,y,z) =

Phổ năng lượng:

.exp(

=

+

).sin(

+

,

,

(1.2)

(1.3)

Trong đó n=1,2... là chỉ số mức năng lượng gián đoạn trong hố lượng tử,
Lz=L là độ rộng hố lượng tử, L x, Ly là độ dài chuẩn hóa theo phương Ox và Oy, m
và e lần lượt là khối lượng và điện tích hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử.
b, Trường hợp có mặt của từ trường
b.1. Từ trường vuông góc với thành hố lượng tử

5


Bây giờ chúng ta đặt thêm một từ trường không đổi

vuông góc với hố lượng tử, tức là song song với phương Ox. Đối với từ trường này
ta sử dụng thế vector A =

. Trong trường hợp này hàm Hamilton đối với

điện tử có dạng:
H=

=

(1.4)

Phương trình Schrodinger đối với điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn:
ψ = εψ,
ψ = εψ ,

Hay

(1.5)

Giải phương trình (1.5) bằng phương pháp tách biến ta thu được hàm sóng và
phổ năng lượng của điện tử như sau:
ψ=

exp(i

= (N + )ħ

y)sin(

)

+

,

,

(1.6)

(1.7)
Với

là hàm sóng của dao động từ điều hòa quanh tâm
tần số cyclotron,

với tần số

=

là đa thức Hermite, N=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

b.2. Từ trường song song với thành hố lượng tử
6


Giả sử từ trường ngoài được đặt vào như hình vẽ, khi đó ta có

=(B,0,0).

Trong trường hợp này nếu thế vectơ được chọn A=A y=-zB thì phương trình
Schrodinger có thể viết dưới dạng sau:
ψ = εψ

ψ = εψ.

hay

Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến ta thu được phổ năng
lượng và hàm sóng
= (n + )ħ

+

,

(1.8)
ψ=

exp[i(

y)].

(1.9)

1.2. Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
1.2.1. Khái niệm về hiệu ứng âm - điện và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán
dẫn khối
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn thì do sự truyền năng lượng và
xung lượng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu

ứng âm - điện. Tuy nhiên, trong sự có mặt của từ trường, sóng âm truyền trong vật
dẫn có thể gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu ứng âm - điện - từ. Hiệu ứng âm điện - từ tạo ra một dòng âm điện từ nếu mạch kín và tạo ra một trường âm - điện từ nếu mạch hở.


H

W

0

V
y
7

x


Hình 1.1: Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Hiệu ứng âm - điện - từ tương tự như hiệu ứng Hall trong bán dẫn, ở đây


dòng âm W đóng vai trò của dòng điện jx. Về bản chất nguyên nhân xuất hiện ứng
âm - điện - từ là sự tồn tại các dòng riêng của các nhóm hạt tải mang năng lượng
khác nhau, khi dòng trung bình toàn phần trong mẫu bằng không.
Do sự phụ thuộc vào năng lượng ε của thời gian phục hồi xung lượng, độ linh
động trung bình của hạt tải trong các dòng riêng này nói chung sẽ khác nhau. Vì
vậy nếu như toàn bộ mẫu được đặt trong từ trường ngoài thì dòng Hall tạo bởi các
nhóm hạt tải này sẽ không triệt tiêu nhau và xuất hiện dòng âm - điện - từ (nếu mẫu
đóng mạch theo phương Oy) hoặc trường âm - điện - từ (nếu mẫu đóng mạch theo
phương Oy hở ).

1.2.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Lý thuyết lượng về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối đã được
A.D.Margulis và V.I.A.Margulis nghiên cứu và công bố 1994, tác giả xem sóng âm
δ(

như những dòng phonon kết hợp với hàm phân bố Delta N( )=

tác giả bắt đầu từ việc xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-sóng âm
ur

H= H0 + He-ph =

r

∑ ε ( p )a a + ∑ C U ( q )a
ur
n, p

n

+
ur ur
p p

ur r
p ,q

r
q

a c exp(− i ωqr t)

+
ur r ur r
p+q p q

(1.10)

Trong đó:
lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái |

.

r r
p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

ωqr là tần số của phonon ngoài. Cqr là hằng số tương tác điện tử - phonon âm.

8

)


ur
ε n ( p ) là năng lượng của điện tử trong từ trường ngoài.

là yếu tố ma trận của toán tử U = exp(iqy − λl z ) .
Để thu được trường âm - điện - từ chúng ta cần thiết lập phương trình động
lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối. Bắt đầu từ phương trình động cho toán tử

i

số hạt

∂f p (t )
∂t

[

= a p a p , Hˆ
+

]

(1.11)
t

Sử dụng Hamilton (1.10) và hệ thức giao hoán của toán tử, thực hiện các phép
biến đổi chúng ta thu được phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
∂f p (t )
∂t

= i∑

+∞

∑C

q s ,l = −∞

2
q



 eEq 
 eEq 
J 
 exp(−ilΩt )
J s 
2  s +l 
2 
m
Ω
m
Ω





 n p+ q (1 − n p )( N q + 1) − n p (1 − n p+ q ) N q n p− q (1 − n p ) N q − n p (1 − n p− q )( N q + 1) 
×
−

ε p+ q − ε p − ω q − sΩ + iδ
ε p−q − ε p + ω q − sΩ + iδ



Theo tính chất của hàm Delta Dirac ta có :
∂f p (t )
∂t

Hay

= π ∑ C q N q {(n p+ q − n p )δ (ε p+ q − ε p − ω q ) + (n p− q − n p )δ (ε p− q − ε p − ω q )}
2

q

∂f p (t )
∂t


W
{[ f p+q − f p ]δ (ε p+q − ε p − ωq ) + [ f p−q − f p ]δ (ε p−q − ε p − ωq )}
= πC1
ρv s 3
2

Ở đây: ρ là mật độ tinh thể, vs là vận tốc sóng âm, C1 là thế biến dạng.
Vậy ta thu được phương trình đối với hàm phân bố f p của điện tử tương tác
với phonon ngoài qua thế biến dạng C12 :
f p − f 0

[ ]

 
  ∂f p 

−  eE + ω H p, h ,   =
τ (ε p ) 
∂p 

πC12W  
{[ f p + q − f p ]δ (ε p+ q − ε p − ωq ) + [ f p− q − f p ]δ (ε p− q − ε p − ωq )}
3
ρvs

9

(1.12)


Ở đây ω H =

eH
gọi là tần số cyclotron , τ (ε p ) là sự phụ thuộc của thời gian
mc

phục hồi xung lượng vào năng lượng của điện tử .

e 
pδ (ε − ε p ) và tổng theo toàn bộ p ta nhận được
m

phương trình cho mật độ dòng riêng R(ε ) :

Nhân cả 2 vế của (1.12) với

e 

∑ m pf

p

e 

δ (ε − ε p )


p

−

τ (ε p )

∑ m pf δ (ε − ε

p

0

τ (ε p )


p

)

−∑

p

   ∂f p 
e 
pδ (ε − ε p )ω H  [ p, h ],  
m
∂p 


  ∂f p 
e 
pδ (ε − ε p ) E ,  

p m
 ∂p 


πeC1 2W p
=∑
f pδ (ε − ε p ){[ f p+ q − f p ]δ (ε p+ q − ε p − ω q ) + [ f p−q − f p ]δ (ε p−q − ε p − ω q )}
3

m
ρ
v
p
s
− e∑

e 

⇔

∑ m pf δ (ε − ε

p


p


p

)

τ (ε p )

e 
pf δ (ε − ε p )

∑
 ∂f p  p m 0
 p
− ω H ∑ ep [ δ (ε − ε p ), h ],   −

∂p 
τ (ε p )
p

 m


p   ∂f p 
= e ∑  E ,  δ (ε − ε p )

∂p 
p m
 
2
πeC1 W p 
+∑
f pδ (ε − ε p ){[ f p + q − f p ]δ (ε p + q − ε p − ωq ) + [ f p − q − f p ]δ (ε p − q − ε p − ωq )}
3

m
ρ
v
p
s
2

e 

⇔

∑ m pf δ (ε − ε

p


p


p

)

τ (ε p )

e 
pf 0δ (ε − ε p )

∑


ep 
p m
+ ω H [h , ∑ f pδ (ε − ε p )] −

τ (ε p )
p m


p   ∂f p 
Đ
= e ∑  E ,  δ (ε − ε p )
 m
∂
p

p




2
πeC1 W
p 
+
f pδ (ε − ε p ){[ f p + q − f p ]δ (ε p + q − ε p − ωq ) + [ f p − q − f p ]δ (ε p − q − ε p − ωq )}
∑
3

m
ρvs
p
2


ặt: R(ε ) =


ep
∑p m f pδ (ε − ε p )



p   ∂f p 
2
 E ,  δ (ε − ε p )

Q(ε ) = e ∑

∂p 
p m




πeC12W
p 
S (ε ) =
∑p m f pδ (ε − ε p ){[ f p+ q − f p ]δ (ε p+ q − ε p − ωq ) + [ f p− q − f p ]δ (ε p− q − ε p − ωq )}
3
ρvs

10


r
r r


R(ε )
+ ωH [ h , R (ε )] = Q (ε ) + S (ε )
Suy ra
τ (ε pr )

(1.13)




Trong gần đúng tuyến tính theo E và W , thay thế hàm f p bằng hàm phân bố


điện tử cân bằng f 0 , ta biến đổi tổng theo tích phân trong biểu thức của Q(ε ) và

S (ε ) , sau đó tích phân trên hệ tọa độ cầu :



2π
π
∞
p   ∂f p 
e2
p   ∂f 0 
2

 E ,  δ (ε − ε p ) =
dϕ ∫ sin θ ∫ p dp  E  δ (ε − ε p )
3 ∫
 m
∂
p
(
2
π
)
m  ∂p 

p


0
0
0

∞

4πe 2
p ∂f 0
2
=−
p
dp
 δ (ε − ε p ) E
3 ∫
(2π ) 0
m ∂p


Q (ε ) = e 2 ∑

e2
=−
2π 2
=−

2
r

∂f 0
p
r )E
p
pdp
δ
(
ε
−
ε
p
∫0  m ÷
∂ε pr


∞

∞

e 2 p 3 ∂f 0
pdpδ (ε − ε p ) E
2 ∫
2
2π 0 m ∂ε p
3/2

ε

3 
+ 1÷ (ε )3/ 2

÷
e 2 (2mn ) 2  ε g
∂f 0 r

=−
E
2
2π mn
∂ε
 2ε 
1 + ÷
÷
 εg 

(1.14)

Tính toán tương tự ta có

2

πeC1 Wq 1
S (ε ) = − 3
ρvs ( 2π ) 2 1 + 2ε
εg

 mnε g

 2

1/ 2





1/ 2

2
 ε


 2 + 1 − 1

 ε g





∂f 0
θ (ε − ε1 )
∂ε

1/ 2
1/ 2

1/ 2
1/ 2
2
 ∂f 0

πeC1 Wq 1  mn   ε g   ε   ε

=−
2
+1
θ (ε − ε1 )
   
3
ρvs (2π ) 2 1 + 2ε  2   2   ε g   ε g  ∂ε
εg
1/ 2

1/ 2
2

 ∂f 0
eC1 Wq 1  mn 
1/ 2  ε
=−
θ (ε − ε1 )
  ε  + 1
ε
∂
ε
ρvs 3 2π 1 + 2ε  2 
 g

εg

Gọi Γ là hệ số hấp thụ sóng âm , công thức: Γ =

11

2

2

C1 mn q
f 0 (ε1 )
πρvs


εg
θ (ε − ε 1 ) là hàm bậc thang têta với ε1 =
2

1/ 2


q2 




1
+
−
1




2mn 





1/ 2

r
S (ε ) = −

ε

ε 1/ 2  + 1÷
 εg
÷ ∂f
1


0
θ (ε − ε 1 ) .
2ε
f 0 (ε1 )
∂
ε
1+
εg

r
eΓW

vs 2 (2mn )3/ 2



(1.15)



Giải phương trình (1.13) với Q(ε ) và S (ε ) biết từ (1.14) và (1.15) ta được:

(

)

([

] [

 
 




−1
 Q (ε ) + S (ε ) τ (ε ) − ωHτ (ε ) h , Q (ε ) + h , S (ε )
2 2
R(ε ) = 1 + ωH τ (ε ) τ (ε )




2 2

+
ω
τ
(
ε
)
Q
(
ε
)
+
S
(
ε
),
h
h
 H

{

}

(

)

])




(1.16)

Ta sẽ tính mật độ dòng điện toàn phần trong mẫu theo công thức:

 ∞

j = L0 (Q) + L0 ( S ) = ∫ R (ε )dε
0

Thực hiện một số phép biến đổi tích phân và ten-xơ ta thu được:
ji = σ ij E j + nijW j

(1.17)

Ở đây: σ ij là ten-xơ độ dẫn điện, nij ten-xơ “độ dẫn âm” có dạng như sau:
e2 n
σ ij =
a1δ ij + ω H a2ε ijk hk + ω H 2 a3 hi h j } ,
{
mn
nij =

eΓ
{ b1δij + ωH b2ε ijk hk + ωH2 hi h j } .
vs (2mn )3/ 2

2

Với n là nồng độ điện tử ở vùng dẫn.
ε ijk là ten-xơ phản đối xứng bậc 3.
0(i ≠ j )

1(i =j )


δ ij = 

12






Giả sử dòng sóng âm W và từ trường ngoài H cũng lần lượt được hướng dọc


theo các trục Ox và Oz và giả thiết rằng mẫu hoàn toàn cách điện ( j = 0 ). Khi đó từ
(1.17) thiết lập hệ phương trình jx = jy =0 và giải ra ta thu được biểu thức của trường
âm - điện - từ EAME xuất hiện theo phương Oz của mẫu :
Ta có phương trình :
jx = σ xj E j + η xjW j = σ xx E x + σ xy E y + σ xz E z + η xxWx + η xyWy + η xzWz = 0
j y = σ yj E j + η yjW j = σ yx E x + σ yy E y + σ yz E z + η yxWx + η yyWy + η yzWz = 0
σ xy E y + η xxWx = 0
σ yxσ xy E y + σ yxη xxWx = 0
⇒

⇔
σ yy E y + η yxWx = 0 σ yyσ yy E y + σ yyη yxWx = 0
⇒ E y (σ yxσ xy − σ yyσ yy ) + Wx (σ yxη xx − σ yyη yx ) = 0
⇒ Ey =

(σ yxη xx − σ yyη yx )Wx

σ xy2 + σ 2yy

(σ yx = −σ xy )

(1.18)

(1.18) là biểu thức tổng quát để tính trường âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Kane khi có sự phụ thuộc của thời gian phục hồi xung lượng vào năng lượng của
điện tử.
Xét trường hợp thời gian phục hồi xung lượng của điện tử theo quy luật lũy thừa:


1 + ε 
v 
ε g 
ε 
τ (ε ) = τ 0   
 T  1+ 2 ε
εg

Ta có: σ yx = −
η xx =

v

e2n
e2n
ω H a2 ; σ yy =
(a1 + ω H2 a3 )
mn
mn

; σ xy = −σ yx =

e2n
ω H a2
mn

eΓ
eΓ
(b1 + ω H2 b3 ) ; η yx = −
ωH b2
2
3/ 2 2
(2mn ) vs
(2mn )3 / 2 vs

 e2 n

eΓ
e2 n
eΓ
2

−
ω
a
(
b
+
ω
b
)
+
ω H b2
(a1 + ω H2 a3 )  W
H 3
 m H 2 (2m )3/ 2 v 2 1
3/ 2 2
mn
(2mn ) vs
n
s

Suy ra E y =  n
4 2
en
ω 2 a 2 + (a1 + ωH2 a3 ) 2 
2  H 2
mn

13

Suy ra
Ey =

 a1b2 + ωH2 a3b2 − a2b1 − ωH2 a2b3 
ω H ΓW


23/2 e(mn )1/2 nvs2 
ωH2 a22 + (a1 + ωH2 a3 ) 2


ΓW

Đặt EW = nv e trường Weinreich
s
eτ H

0
Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường yếu : m c << 1 ⇒ ωHτ 0 << 1
n

 π 2 n  eτ 0 H  −1
−2


E y = E AME = EW 
2
 m c  f 0 (0, z )[ Fv +3 / 2, 2 ( z , β )]
4
m

v
T
 n s  n 
{Fv + 3 / 2, 2 ( z , β ) F2 v +1 / 2,3 ( z , β ) − F2 v + 3 / 2,3 ( z, β ) Fv +1 / 2, 2 ( z , β )}

(1.19)

∞

v
 ∂f 0  ( x + β x)
dx : tích phân Fermi tổng quát hay tích phân 2

∂x  (1 + 2β x ) k
0

Với Fv, k ( z , β ) = ∫  −
tham số Fermi.

eτ H

0
Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường mạnh : m c >> 1 ⇒ ωHτ 0 >> 1
n

E y = E AME

 π 2 n  eτ 0 H

= EW 

2

 4mn v s T  mn c

−1


 f 0−1 (0, z )[ Fv +3 / 2, 4 ( z, β )]− 2


{F3v + 3 / 2, 4 ( z , β ) F2 v +1 / 2,3 ( z , β ) − F2 v + 3 / 2,3 ( z , β ) F3v +1 / 2, 4 ( z , β )}

(1.20)

Từ công thức (1.19) và (1.20) ta có nhận xét rằng trong từ trường yếu trường
âm - điện - từ EAME tỉ lệ thuận với từ trường ngoài H , còn trong từ trường mạnh
trường âm - điện - từ EAME tỉ lệ nghịch với từ trường ngoài H.

14


Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN - TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
2.1. Hamiltonian tương tác giữa điện tử - phonon trong hố lượng tử.

Xét hố lượng tử với hố thế cao vô hạn. Trong hố lượng tử điện tử bị giam
cầm trong thế dọc theo trục Oz, điện tử chuyển động tự do trong mặt phẳng (x,y).
Đặt từ trường không đổi theo phương

= (0,B,0) song song với thành hố lượng tử,

sóng âm truyền dọc theo trục Oz. Trong trường hợp này nếu thế vectơ được chọn

15


A=Ay=-zB.Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến ta thu được phổ
năng lượng và hàm sóng:
= (n + )ħ

+

ψ=

,

exp[i(

y)],

Với Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo phương Ox, Oy.

là hàm sóng của dao động từ điều hòa quanh tâm
cyclotron,

với tần số

=

tần số

là đa thức Hermite, n=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử có dạng:
H = H 0 + H e − ph ,

(2.1)

H 0 = ∑ ε n , pr an+, pr an , pr + ∑
hωkr bkr+bkr ,
r
r
n, p
k
x

x

(2.2)

x

x

H e− ph =

∑

r r

n ,n ' , p x , q

r
CqrU n ,n (q )an+, pr + qr an , pr b qr exp(−iωqrt )
'

x

'

x

Trong đó:
an+, pr x , an , pr x lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử.

bqr+ , bqr lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon.

r r
p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

ωqr là tần số của phonon ngoài.
ωkr là tần số của phonon trong

16

(2.3)


Cqr là hằng số tương tác điện tử - phonon ngoài.
1

1 + σ l 2 σ l
1+ σ t2 
Ξ = q
+ ( − 2)
;
σt
2σ t 
 2σ l

 ωqr 3  2
2
r
÷ ;
Cq = iΛCl 
 2 ρΞS ÷


1

1

 C 2 2
σ t = 1 − s 2 ÷ ;
 Ct 

 C 2 2
σ l = 1 − s 2 ÷ .
 Cl 

với Cs là vận tốc sóng âm, ρ là mật độ khối trung bình, Λ là thế biến dạng
Ct , Cl là vận tốc sóng âm ngang và dọc hố; S=LxLy là diện tích bề mặt.

r
U n ,n' (q ) là yếu tố ma trận của toán tử U = exp(iqy − λl z ) .

ω2
λl =  q 2 − 2 q

cl


1

2
÷
÷ là thừa số tắt dần của thế trong trường dịch chuyển.


Ta có:
Un,n’( = ∫ Ψ U ΨdV
∗

−ip y y
ip y y
−ipx x
ip ' x x
1
∗
Φ

(
z
−
z
)
exp(
)
exp(
)
×
exp(iqy
−
λ
z)
exp(
)
exp(
)Φ n ' ( z − z0 ) dV
n
0
l
Lx Ly ∫
h
h
h
h
'

=

1

i

i

∗
'
'
= L L ∫ Φ n ( z − z0 ) exp( h ( p x − px ) x) exp( h ( p y − p y + hq) y) exp(−λl z)Φ n ' ( z − z0 ) dV
x y

1

= L L ( 2π h) δ p
x y
Tính

2

∫Φ

∗
n

'

x , px

δ p'

y , p y + hq

∫Φ

∗
n

( z − z0 ) exp(−λl z)Φ n ' ( z − z0 ) dV

( z − z0 ) exp(−λl z)Φ n ' ( z − z0 ) dV


mΩc
1 mΩ c 12
) ∫ exp(−λl z) H 2 n  (z − z 0 )
= n (
2 n! π h
h



 −mΩ c

(z − z 0 ) 2 dz
 exp 
 h




 − mΩ c
λ 2h
mΩc 
λh 
1 mΩc 12
) exp( −λl z 0 + l ) ∫ H 2 n (z − z 0 )
(z − z 0 + l ) 2 dz
= n (
 exp 
2 n! π h
4mΩ c
h 
2mΩc 
 h


17


Tra bảng tích phân có:

 −mΩ c
mΩc 
λl h 2 
π h 1/2 n
h
2
H
(z

−
z
)
exp
(z
−
z
+
) dz = (
) 2 .n ! L0n ( −λl2
)



n
0
0
∫
h 
2mΩc 
mΩc
mΩc
 h


Như vậy ta có:

λl2 h
1
h

2
0
2
U=
) exp(− z0 λl +
)
( 2π h) δ px' , px δ p'y , py + hq Ln (−λl
Lx Ly
mΩc
4mΩc
2

λ 4 h2
h
) = 3 + 4 l2 2
Với L ( −λ
mΩ c
mΩ
0
n

2
l

2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử.
+
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử nn, pr x ( t ) = an, pr x an , pr x t có

dạng:

ih

∂nn, pr x ( t )
∂t

=  an+, pr x an , pr x , H  .
t

(2.4)

Hay:
ih

∂nn , pr x ( t )
∂t



=  an+, pr x an, pr x , ∑ ε n' , pr ' an+', pr 'x an ', pr 'x 
x
r
n' , px'





+  an+, pr x an, pr x , ∑
hωkr bkr+bkr 
r

k



t



+  an+, pr x an , pr x , ∑ CqrU n ', n1 ' ( q z ) an+', pr 'x + qr an' , pr ' b qr exp(−iωqr t ) 
1
x
r r

n ', n1 ', p 'x , q


+
t

(2.5)
t

Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson:

{a

r
n , px

}

{

} {

bqr , bqr+'  = bqr bqr+' − bqr+'bqr = δ qr ,qr ' ; bqr , bqr '  = bqr+ , bqr+'  = 0 .

Ta có:
 an+, pr an , pr , a + r a r  = an+, pr an , pr a + r a r − a + r a r an+, pr an , pr
n ,p n ,p 
n ,p n ,p
n ,p n ,p

x

}

, an+', pr ' x = an, pr x an+', pr ' x + an, pr x an+', pr ' x = δ n ,n 'δ pr x , pr 'x ; an, pr x , an ', pr 'x = an+, pr x , an+', pr 'x = 0 ,

x

'

'
x

'

'
x

x

x

'

'
x

'

'
x

18

'

'
x

'

'
x

x

x

= an+, pr (δ n ,n δ pr
'

x

r'
x , px

− an+ , pr an , pr ) an , pr − an+ , pr (δ n ,n δ pr
'

'
x

'

x

'
x

'

'
x

'

− an+, pr an , pr )an , pr

r'
x , px

'

x

'
x

x

= an+, pr an , pr δ n ,n δ pr pr − an+, pr an+ , pr ' an , pr an ', pr ' − an+', pr ' an , pr δ n ,n δ pr pr + an+', pr ' an+, pr an ', pr ' an , pr
'

x

'
x

'

'
x x

'

x

x

x

x

x

'

x

'
x x

x

x

x

x

=0





Suy ra:  an , pr an , pr , ∑r ε n ', pr ' an ', pr ' an ', pr ' 
+



+

x

x

x

n ', p ' x

x

=0 ,



x

(2.6)

t

 an+, pr an , pr , b +kr bkr  = an+, pr an , pr bk+r bkr − b k+r bkr an+, pr an , pr = 0 .
x

x

x

x

x



x



+
hωkr bkr+ bkr  = 0 ,
Suy ra:  an , pr an , pr , ∑
r
k


x

(2.7)

x

t

 an+, pr an , pr , an+', pr '


x

x

x

r
+q

an '

1,

r
p 'x

bqr  = an+, pr an , pr an+', pr '
x

x

= an+, pr (δ n ,n 'δ pr
x

x

r
+q

r

x , p 'x

an '

1,

r
+q

r
p 'x

bqr − an+', pr '

− an+', pr '

x

x

r
+q

an '

1,

an , pr )an '

r
+q

x

1,

b an+, pr an , pr

r
r
p 'x q

x

x

b −

r
r
p 'x q

− an+', pr ' + qr (δ n ,n ' δ pr pr ' − an+, pr an ' pr ' )an , pr bqr
x

1

x

x

b δ n ,n 'δ pr

= an+, pr an '
x

x

r
r
p 'x q

1,

r
r
x , p 'x + q

,

x

− an+', pr '

x

r
x +q

an , pr bqrδ n ,n ' δ pr pr '
x

1

x

.
x

Suy ra:

 a + r a r , C rU (q )a + r r a
q n ', n '
n ', p ' + q n '
 n , p n , p nr∑
', n 'r
p' q

x

x

1

x

1,

1

x,

=

∑CU
r
q

nr',n '1r
p 'x , q

n ', n '1

an+, pr an '
x

1,

b δ n ,n 'δ pr

r
r
p 'x q

r

x , p 'x


r
r
p ' bq



=

x

−

r
+q
t

t

∑CU
r
q

nr', n '1r
p 'x , q

n ', n '1

an+', pr '

x

r
+q

= −∑ CqrU nn ' (an+', pr + qr an , pr bqr − an+, pr an ', pr − qr bqr ) ,
r
n ',q
x

x

x

x

Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8)vào (2.5) và đặt:

19

an , p bqrδ n ,n ' δ p p '
x

1

x

x

t

(2.8)


Fn1 , pr1 ,n2 , pr 2 ,qr ( t ) = an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr

Fn+1 , pr1 ,n2 , pr 2 ,qr ( t ) = an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr

,
t

+
t

= an+2 , pr2 an1 , pr1 bqr+

.
t

Ta thu được phương trình:
ih

∂nn , pr x ( t )
∂t

= −∑ CqrU nn ' ( Fn ', pr x + qr,n , pr x ,qr − Fn , pr x ,n ', pr x −qr ,qr )
r
n ', q

(2.9)

Hay:
∂nn , pr x ( t )

=

∂t

i
CqU nn '[Fn+, pr x ,n ', pr x + qr ,qr (t ) − Fn+', pr x −qr ,n , pr x ,qr (t)] ,
∑
r
h n ',q

(2.10)
 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 , an+', pr 'x an ', pr 'x  = an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 an+', pr 'x an ', pr 'x − an+', pr 'x an ', pr 'x an+1 , pr1 an2 , pr 2 bqr+1 =

(

)

(

)

= an+1 , pr1 δ n2n 'δ pr2 pr 'x − an+', pr 'x an2 , pr2 an ', pr 'x bqr+1 − an+', pr 'x δ n2n 'δ pr1 pr 'x − an+1 , pr1 an ', pr 'x an2 , pr2 bqr+1 =

= an+1 , pr1 an ', pr 'x bqr+1δ n2n 'δ pr 2 pr 'x − an+1 , pr1 an+', pr 'x an2 , pr2 an ', pr 'x bqr+1 −
− an+', pr 'x an2 , pr2 bqr+1δ n2n 'δ pr1 pr 'x + an+', pr 'x an+1 , pr1 an ', pr 'x an2 , pr2 bqr+1 =
= an+1 , pr1 an ', pr 'x bqr+1δ n2 n 'δ pr2 pr 'x − an+', pr 'x an2 , pr2 bqr+1δ n2n 'δ pr1 pr 'x .

 +

+
ε n ',p'r x an+', pr 'x an ', pr 'x 
 an1 , pr1 an2 , pr 2 bqr1 , ∑
r
n ',p' x



Suy ra:

=

∑ε

r
n ', p ' x

r
n ',p' x

(a

b δ

=
t

δ pr2 pr 'x − an+', pr 'x an2 , pr2 bqr+1δ n2n 'δ pr1 pr 'x )

+
+
r
r
r
n1 , p1 n ', p 'x q1 n2 n '

a

= ε n2 ,pr 2 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1

=
t

t

− ε n1 ,pr1 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1

t

(

= − ε n1 ,pr1 − ε n2 ,pr 2

)

 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 , b +kr bkr  = an+1 , pr1 an2 , pr 2 bqr+1 b +kr bkr − b +kr bkr an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 =

20

an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1

t