Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ LỆ THỦY

VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------------

VŨ LỆ THỦY

VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2014

1

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Bài toán bất đẳng thức biến phân
1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert
1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . .
1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế. . . . . .
1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất . . . . . . . . . . .

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
2.1 Phát biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ.
2.2 Thuật toán và sự hội tụ. . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

2

.
.
.
.

.

4
4
4
6
7
11

.
.
.
.

20
20
23
31
32


2

Mở đầu
Bất đẳng thức biến phân là một vấn đề quan trọng của Toán học Ứng
dụng. Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Ngoài ra, nhiều bài toán quan trọng như tối ưu lồi, bài toán bù, các bài toán
phương trình vi phân và đạo hàm riêng v.v... đều có thể mô tả dưới dạng
một bất đẳng thức biến phân.
Bất đẳng thức biến phân đã được bắt đầu nghiên cứu từ thập kỷ 60 của

thế kỷ trước, tuy nhiên bài toán này vẫn là một vấn đề thời sự vì vai trò quan
trọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế. Một trong
những hướng nghiên cứu quan trọng là xây dựng các phương pháp giải.
Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà một trường hợp
riêng quan trọng là bài toán cực tiểu một chuẩn trên tập nghiệm của một
bất đẳng thức biến phân đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Bài
toán này xuất hiện trong nhiều vấn đề khác nhau, ví dụ trong vấn đề hiệu
chỉnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Việc giải bài toán này
không thể áp dụng trực tiếp được bằng các phương pháp giải bất đẳng thức
biến phân thông thường (một cấp) đã có, do cấu trúc lồng nhau và phụ thuộc
nhau của bài toán hai cấp.
Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu một cách cơ bản về bài toán
bất đẳng thức biến phân. Đặc biệt luận văn đi sâu vào một thuật toán giải
bài toán cực tiểu hàm chuẩn trên tập nghiệp của bài toán bất đẳng thức
biến phân giả đơn điệu. Thuật toán được trình bày ở luận văn được lấy từ
một bài báo gần đây của tác giả Bùi Văn Định và Lê Dũng Mưu ở tạp chí
ACTA Mathematica Vietnamica. Đây là một thuật toán dựa trên phương
pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm Armijo và siêu phẳng cắt để thu
được sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert.
Bản luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo còn có hai
chương. Chương 1 có tiêu đề "Bài toán bất đẳng thức biến phân." Trong


3

chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức
biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về việc sử
dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2 có tiêu đề là: "Bài toán bất
đẳng thức biến phân hai cấp" Chương này giành để trình bày các kiến thức

cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trình
bày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán phụ kết hợp với kỹ thuật
tìm kiếm theo tia và siêu phẳng cắt để giải bài toán này.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin bày
tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, Thầy đã dành nhiều
thời gian trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắc
của tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Qua đây tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện toán
học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn quan
tâm động viên, tạo điều kiện và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn tốt nghiệp.
Thái Nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2014.
Tác giả

Vũ Lệ Thủy


4

Chương 1
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Trong toàn bộ chương này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert
thực H. Trước tiên ta trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất
đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về
việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức trong chương
này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8].

1.1

Phát biểu bài toán và ví dụ

1.1.1

Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính. Tích vô hướng xác
định trên H là một ánh xạ được xác định:

., . : H × H −→ R
x, y

−→ x, y .

thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
iii. αx, y = α x, y với mọi x, y ∈ H. và α ∈ R;
iv. αx, x ≥ 0 với mọi x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0.

x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y .
Cặp (H, ., . ) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian


5

Unita). Sự hội tụ, khái niệm tập mở,...,trong (H, ., . ) luôn được gắn với
chuẩn sinh bởi x, y . Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta

nói (H, ., . ) là không gian Hilbert.
Định lý 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn
có bất đẳng thức sau:
| x, y |2 ≤ x, x y, y ,
bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó:

x =

x, x , x ∈ H,

xác định một chuẩn trên H.
Định lý 1.3. Cho H là không gian Hilbert, khi đó:

., . : H × H −→ R,
là một hàm liên tục.
Định lý 1.4. Với mọi x, y trong không gian tiền Hilbert, ta có:

x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+

y

2

).

Định nghĩa 1.2. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là hai vectơ trực giao với
nhau, kí hiệu là x ⊥ y, nếu x, y = 0.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất sau:
i. 0 ⊥ x, ∀x ∈ X;
ii. x ⊥ y ⇒ y ⊥ x;
iii. x ⊥ {y1 , y2 , . . . , yn } ⇒ x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + . . . + αn yn , n ∈
N ∗ , αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n;
iv. x ⊥ yn , yn → y khi n → ∞ thì x ⊥ y.
Định nghĩa 1.3. Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao của M , kí hiệu M ⊥
là tập hợp sau:

M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ H}.


6

Định lý 1.5. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn). Cho (X, · ) là một
không gian tuyến tính định chuẩn trên không gian Hilbert H. Giả sử với
mọi x, y ∈ X, thỏa mãn:

x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+

y

2

Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn x, x = x

).
2

.

Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánh
xạ: A∗ : H → H xác định như sau:

∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ ;
trong đó:

Ax, y = x, A∗ y = x, y ∗ .

Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Định lý 1.6. (Định lí F. Riesz). Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian
Hilbert H hệ thức:
f (x) = a, x .
(1.1)
Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian Hilbert H
với:
f = a .
(1.2)
Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên không gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1), trong
đó a là một vectơ của H thỏa mãn (1.2).

1.1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân.

Cho một tập con K của H và ánh xạ F : K → H.
Bài toán bất đẳng thức được kí hiệu là V IP (K; F ) là bài toán tìm x∗ sao cho:
x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
(1.3)
Tập hợp những điểm x∗ thỏa mãn (1.3) được gọi là tập nghiệm của V IP (K; F )
và kí hiệu là SOL − V IP (K; F ).


7

1.1.3

Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế.

Một trong những lớp bài toán quan trọng và là một trường hợp riêng của
bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, K ∗
là nón đối ngẫu của K và cho ánh xạ: F : K → H. Bài toán bù, kí hiệu là
N CP (K; F ) là bài toán:

 Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho :
F (x∗ ) ∈ K ∗
(N CP (K; F ))

x∗ , F (x∗ ) = 0
Tập hợp nghiệm của N CP (K; F ) được kí hiệu là SOL − N CP (K; F ).
Mệnh đề 1.1. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bài
toán N CP (K; F ) và bài toán V IP (K; F ) là trùng nhau, tức là:

SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ).
Chứng minh
Giả sử x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:

x∗ ∈ K;
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Bằng cách lấy x = 0 ∈ K suy ra:
F (x∗ , −x∗ ) ≥ 0.
Bằng cách lấy x = 2x∗ ∈ K ta thu được:
F (x∗ ), x∗ ≥ 0.
Từ (1.4) và (1.5) ta kết luận:
F (x∗ ), x∗ = 0.
Mặt khác từ định nghĩa ta có:

0 ≤ F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x , ∀x ∈ K.
Điều này chứng tỏ: F (x∗ ) ∈ K ∗ . Kết hợp với (1.6) ta có:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F );
hay:

SOL − V IP (K; F ) ⊂ SOL − N CP (K; F ).

(1.4)
(1.5)
(1.6)


8

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:

F (x∗ ) ∈ K ∗ ;
x∗ , F (x∗ ) = 0.
Mặt khác vì F (x∗ ) ∈ K ∗ nên với mọi x ∈ K ta có:

F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0.
Điều này suy ra:

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F );
hay

SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ).
Kết luận lại ta có:

SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ).
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ

F : K → K.
Điểm x
¯ ∈ K được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều
kiện:
¯ = x¯.
F (x)
BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI.
Cho K là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f : K → R là một hàm lồi
trên K . Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ ) = minf (x) | x ∈ K.
(OP)
Mệnh đề 1.2. Giả sử : f : K → R là hàm lồi khả vi trên tập lồi K ∈ H.
Khi đó x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (OP) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân:
Tìm x∗ ∈ K sao cho ∇f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K;
trong đó: ∇f (x∗ ) là đạo hàm của f tại x∗ .
Ta xét các ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân.


9

Ví dụ 1.1. Bài toán cân bằng mạng giao thông.
Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồn hữu hạn. Gọi:

N : là tập các nút mạng.
A: là tập hợp các cạnh ( mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng ).

Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử O được gọi là
điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn
và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi
là một tuyến đường). Kí hiệu:
• fai là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt
f là vectơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các
phương tiện giao thông).
• cia là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A.
Đặt c là vectơ có các thành phần là cia với i ∈ I và a ∈ A.
• diw là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w =
(O, D) với O ∈ O, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là: c = c(f )
là một hàm của f .
• λia là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D.
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:
diw =
(1.7)
xip , ∀i ∈ I, w ∈ O × D,
p∈Pw

trong đó: Pw là kí hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm
nguồn O và điểm đích D). Theo phương trình (1.7) thì nhu cầu sử dụng loại
phương tiện i trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến
đường đó. Khi đó ta có:
fai =
xip δap, ∀i ∈ I, w ∈ O × D,
(1.8)
p∈Pw

trong đó:

δap :=

1 nếu a ∈ P
0 nếu a ∈
/ P.

Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt:
cip =
cia δap.

(1.9)

a∈A

Như vậy, cia là chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Đặt d
là vectơ có thành phần là diw , (i ∈ I, a ∈ O × D). Một cặp (d∗ , f ∗ ) thỏa mãn


10

điều kiện (1.7) và (1.8) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu:

cip

= λiw (d∗ ) khi xip > 0,
> λiw
khi xip = 0,

với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng

đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp
nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Trái lại, chi phí sẽ không
phải thấp nhất.
Đặt
K = (f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.7) và (1.8) đúng .
Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 1.7. Một cặp vectơ (f ∗ , d∗ ) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng
giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
sau:
Tìm (f ∗ , d∗ ) ∈ K : (c(f ∗ ), λ(d∗ )), (f, d) − (f ∗ , d∗ ) ≥ 0, ∀(f, d) ∈ K.
Ví dụ 1.2. Bài toán kinh tế bán độc quyền.
Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi của
mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công
n

ty σ :=

xj . Kí hiệu hi (xi ) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra lượng
j=1

hàng hóa xi . Giả sử rằng lợi nhuận của công ty i được cho bởi:
n

fi (x1 , . . . , xn ) = xi pi (

xj ) − hi (xi ) (i = 1, . . . , n),

(1.10)

j=1

n

trong đó p(

xj ) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sản

j=1

phẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuất
của công ty đó.
Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, . . . , n) là tập chiến lược của công ty i. Lẽ dĩ nhiên
mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi
nhuận cao nhất. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công
ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được. Vì vậy người ta dùng đến
khái niệm cân bằng:
Một điểm x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) ∈ U := U1 × . . . × Un được gọi là điểm cân bằng
Nash nếu:

fi (x∗1 , . . . , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , . . . , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , . . . , x∗n ) ∀yi ∈ Ui , ∀i = 1, . . . , n.


Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full