tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý

LỜI CẢM ƠN
Trên thực tế không có sự thành công nào mà không
gắn liền với những sự hỗ trợ, giúp đỡ dù ít hay nhiều, dù
trực tiếp hay gián tiếp của người khác. Trong suốt thời gian
từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em
đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý
Thầy Cô.
Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quý
Thầy Cô ở Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Huế đã
cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn
kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tại
trường.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Đoàn Tử Nghĩa –
giảng viên môn Cơ học lý thuyết đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ, tạo điều kiện cho em có thể hoàn thành bài tiểu
luận.
Cuối cùng, em xin gửi lời lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè
đã đóng góp ý kiến, tạo điều kiện cho em trong suốt thời
gian qua để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện:

Mai Hoàng

Page 1 of 21


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ………………………………………..........................
3
I.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ …………………………………………… 3
II.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ………………………………………....3
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ………………….......................
4
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ………………………………….. 5
V.
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ………………………………….. 5
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU …………………………….. 5
B.
NỘI DUNG …………………………………………………….. 6
I.
KHÁI NIỆM VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ ĐỐI XỨNG……………… .6
1. KHÁI NIỆM ………………………………………………….6
2. MỘT SỐ VÍ DỤ …………………………….………………..7
II. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN …………………8
1. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN …………………………………8
2. ĐỐI XỨNG THỜI GIAN ……………………... ……………9
III. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ….......................…
11
1. PHƯƠNG
TRÌNH
LAGRANGE
ĐỐI
VỚI
CƠ
HỆ
HOLONOM………………………………………………………. 11
2. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ĐỐI VỚI CƠ HỆ KHÔNG
HOLONOM……………………………………….……………… 14

IV. THIẾT LẬP CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……………….. 16
1. BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG …………………………..… 16
2. BẢO TOÀN MOMEN XUNG LƯỢNG ….........................16
3. BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG ……………………………….18
V.
VAI TRÒ CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN …………….. 19
VI. VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……………… 19
C. KÊT LUẬN……………………………………….....................
… 22
A.

Page 2 of 21


PHẦN A: MỞ ĐẦU
I.

Lịch sử đề tài:

Đối xứng đã tồn tại sẵn trong tự nhiên ngay từ khi tự
nhiên xuất hiên. Tự nhiên xuất hiện khi nào cũng không ai
trả lời được. Cho đến khi con người xuất hiện với ngôn ngữ
viết, đối xứng cũng chỉ tồn tại và nảy sinh một cách tự nhiên
trong tâm trí con người. Khái niệm đối xứng đó mới chỉ dừng
lại ở cảm quan trực tiếp của con người về đối xứng hình học
của vật thể.
Trong quá trình các nhà vật lý nghiên cứu khoa học thấy các
định luật bảo toàn tỏ ra vạn năng đến nỗi sau khi được khái
quát hóa đích đáng chúng đã được áp dụng không chỉ trong
cơ học cổ điển, mà cả vào lý thuyết tương đối và vật lý lượng

tử. Nguyên nhân làm cho chúng thành vạn năng thì chưa rõ,
cho đến khi thiết lập được mối liên hệ giữa chúng và các tính
chất đối xứng của không gian và thời gian. Người đầu tiên chỉ
ra mối liên hệ đó là vào năm 1904, G. Gamel, song công
trình của ông thực sự không được biết tới tring nhiều năm. Ở
dạng thức tổng quát hơn, bản chất các định luật bảo toàn đã
được vạch ra năm 1918 bởi một nhà toàn học Emmy Noether
(1882 – 1935).
Page 3 of 21


II.

Lí do chọn đề tài :

Thế kỉ XX là thế kỉ của vật lý, đi tiên phong là Vật Lý lý
thuyết. Sự ra đời của các thuyết vật lý đã tạo cơ sở, nền tảng
cho sự phát triển vững mạnh cho ngành Vật lý học. Chính vì
thế nghiên cứu các thuyết Vật lý là con đường không thể
thiếu đối với mỗi nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà vật lý
thực nghiệm.Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên
cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu của
chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân
gây ra chuyển động, sự tương tác của các lực trong không
gian theo thời gian. Tất cả các nguyên lý của các ngành cơ
học ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quả
của cơ học lý thuyết.
Trong quá trình nghiên cứu các nhà khoa học đã tìm ra
những tính chất chung, phổ biến thậm chí như tất yếu đối với
tất cả các thuyết mà đối xứng và các định luật bảo toàn là

những tính chung nhất, phổ biến nhất và tất yếu nhất. Và
điều đặc biệt là mọi phép biến đổi đối xứng liên tục của các
định luật vật lý đều ứng với bảo toàn của một đại lượng động
lực học nhất định. Các ví dụ quan trọng nhất của phép biến
đổi như thế là dịch chuyển song song trong không gia ( tịnh
tiến ), dịch chuyển thời gian và quay trong không gian. Cái
thứ nhất là một biến đổi đối xứng, vì tính đồng nhất của
không gian, cái thứ hai là vì tính đồng nhất của thời gian, còn
cái thứ ba là vì tính đẳng hướng của không gian.
Trong lĩnh vực vật lý này các định luật kiểu như vậy
thường là nguồn thông tin cơ bản và đôi khi là duy nhất về
tính chất đối tượng được nghiên cứu. Vậy nên việc tìm kiếm

Page 4 of 21


đối xứng để rút ra những định luật bảo toàn trở nên một loại
nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của vật lý học hiện đại.
Qua tìm hiểu thấy “tính đối xứng và các định luật bảo
toàn trong vật lý” là một lĩnh vực hấp dẫn, nhiều thú vị,
bản thân là một sinh viên vật lý em quyết định chọn đề tài
này làm đề tài nghiên cứu tiểu luận cho mình

Đối tượng nghiên cứu:

III.

Các hiện tượng quá trình, các thuyết, các định luật và

các phương tiện vật lý.

Mục đích nghiên cứu:

IV.

Đề tài cần phải nêu và chứng minh được tính đối xứng

trong các định luật, các thuyết vật lý. Trên cơ sở đó mở
hướng phát triển của các thuyết vật lý, đặc biệt là các thuyết
cho thế giới siêu vi mô.

Nhiệm vụ nghiên cứu

V.

Tìm hiểu các khái niệm đối xứng
Tìm hiểu và thiết lập phương trình Lagrange
Tìm hiểu và thiết lập các định luật bảo toàn
- Tìm và phát hiện tính đối xứng, và bảo toàn các hiện tượng,
-

quá trình vật lý.
- Tìm mối liên hệ giữa tính đối xứng và các định luật
bảo toàn của các định luật, thuyết vật lý, phương
-

trình vật lý tương ứng.
Rút ra được vai trò của các định luật bảo toàn và tính
đối xứng trong vật lý.

VI.

Phương pháp nghiên cứu
-

Thu thập thông tin qua sưu tầm sách và tài liệu
Phân tích tổng hợp các tư liệu, kiến thức, thông tin sưu

-

tầm được.
Tham khảo ý kiến thầy hướng dẫn, các bạn sinh viên.
Hệ thống hóa viết thành tài liệu chuyên khảo về
“tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong
vật lý”

Page 5 of 21


PHẦN B: NỘI DUNG
I.

Khái niệm và các ví dụ về đối xứng:

Khái niệm:
Đối xứng là gì? Thuật ngữ đối xứng rất đỗi quen thuộc đối
với mỗi chúng ta. Nếu để ý một chút ta cũng nhận thấy
hầy như tất cả các vật thể vật chất đều có hình dạng đối
xứng. Chúng ta thích nhìn những biểu hiện đối xứng trong
tự nhiên, nhìn các hành tinh và mặt trời có hình cầu đối

xứng một cách lý tưởng, nhìn các tinh thể đối xứng, nhìn
các hoa tuyết và cả nhưng bông hoa gần như đối xứng.
1.

•

•

Hình 1. Các hình ảnh mang tính chất đối xứng
trong thực tế.
Hình như ý tưởng về đối xứng là rất nguyên thuỷ và nảy
sinh một cách tự nhiên trong tâm trí con người. Đối xứng
Page 6 of 21


•

•

•
-

-

-

là gì mà lại có một sức hấp dẫn đặc biệt đến vậy? Dường
như đối xứng gợi ra một cảm giác về cân đối, về kiểu mẫu
và đều đặn, về hài hoà và đẹp đẽ, và cuối cùng về thuần
khiết và hoàn hảo. Thông thường, chúng ta chỉ quan sát sự

biểu hiện của đối xứng trục, đối xứng mặt…một định luật,
định lý, lý thuyết Vật lý có đối xứng chăng? Để dễ liên
tưởng ta xét một ví dụ đối xứng hình học: nhìn vào một
người ta thấy nữa bên trái đối xứng với nữa bên phải, ít
nhất là hình dạng bên ngoài. Một lọ hoa cũng đối xứng như
vậy hoặc chỉ hơi khác một chút.
Cơ học lý thuyết, với tính chất là một học thuyết, tốt nhất
cần được xây dựng từ các nguyên lý đối xứng. Quả vậy,
các qui luật sẽ không tồn tại được nếu các qui luật thay đổi
từ ngày này sang ngày khác, từ thời điểm này sang thời
điểm khác, thì chúng sẽ không trở thành qui luật nữa. Trái
lại, như chúng ta sẽ thấy sau này, sự việc diễn biến của
các hệ cô lập không phụ thuộc vào thời điểm và vị trí trong
không gian sẽ dẫn đến những qui luật vật lý xác định: đó
là các qui luật về bảo toàn năng lượng và xung lượng. Rõ
ràng ở đây cái chốt của vấn đề là tính chất tương đương
hay là tính chất đối xứng giữa những thời điểm khác nhau
và những điểm khác nhau của không gian.
Tư duy về đối xứng đã được đề cập đến trước Einstein mặc
dầu không được rõ nét sau đó đã được Einstein phát triển
cuối cùng đã được mở rộng trong lĩnh vực vật lý lượng tử, ở
đó các nguyên lý đối xứng có liên quan cả đến những hình
thái tương tác khác nhau của vật chất ( tương tác điện từ,
tương tác yếu, tương tác mạnh, tương tác hấp dẫn).
Cho đến nay, có thể phân loại các nguyên lý đối xứng như
sau:
Các nguyên lý đối xứng trong vật lý học kinh điển, có liên
quan đến các tính chất đối xứng của không gian và thời
gian và được gọi là nguyên lý đối xứng hình học.
Các nguyên lý đối xứng khác, có liên quan đến các hình

thái tương tác nói trên, được gọi là nguyên lý đối xứng
động lực.
- Các nguyên lý đối xứng động lực không mang tính
chất trực quan như các nguyên lý đối xứng hình học.
Theo lệ thường, công cụ toán học dùng để nghiên cứu các
tính chất đối xứng là đại số học, nói riêng là lý thuyết
nhóm, trong đó một khái niệm hết sức quan trọng là khái
niệm bất biến.
Page 7 of 21


2.

Một số ví dụ:
Thân hình đối xứng nghĩa là nếu chuyển nữa người
bên trái bên phải và ngược lại, tức là đổi chỗ cho hai nữa
người cho nhau, thì ta thấy người đó vẫn như cũ. Hình
vuông có một dạng đối xứng đặc biệt: quay nó đi 90 0 thì
nó giống nguyên như cũ.
Bây giờ ta xét tính đối xứng của một định luật Vật lý:
Định luật coulomb về sự hút tĩnh điện giữa một electron
mang điện âm và một hạt nhân nguyên tử mang điện
dương…Ở đây ta có tính đối xứng cầu của điện trường do
electron hay hạt nhân tạo ra, đối xứng Coulomb: khi
electron hay hạt nhân di chuyển trong mặt cầu bất ký thì
lực Coulomb khôg đổi. Ta cũng có đối xứng điện tích
electron mang điện âm và điện dương của hạt nhân.
Đảo 2 vị trí của electron và hạt nhân lực Coulomb F
vẫn giữ nguyên dạng là đối xứng, di chuyển hệ electron và
hạt nhân sang một vị trí khác F vẫn giữ nguyên dạng là đối

xứng.
Như vậy, đối với trường hợp của chúng ta, một vài
tính chất của các định luật, thuyết Vật lý biểu hiện rất
giống với những tính chất của một số vật đối xứng – biến
đổi nó như thế nào đó thì ta lại được kết quả giống như
ban đầu. Ta tìm hiểu đối xứng với ý nghĩa như vậy trong
Vật lý học.
Bây giờ ta hãy nhắc lại định nghĩa đối xứng xủa nhà
toán học Đức Hermann Weyl đưa ra làm cơ sở cho việc
xét tính chất đối xứng các định luật, thuyết Vật lý của ta
một vật là đối xứng nếu ta có thể làm một thứ gì đó đối
với nó mà sau khi làm xong thì khi đó nó vẫn như trước.
Đây là một định nghĩa có tính chất thao tác – nó có thể
quyết định. Chữ “vật” ở đây là đối tượng quan tâm. Cái
mà ta làm đối với nó được gọi là pháp biến đổi đối xứng.
Còn “ nhìn vẫn như cũ” cũng chỉ là một cách gọi khác của
sự bất biến “sự bất biến”. Chữ “nhìn” tự nó là một tính
chất nào đó, nhận ra được của vật phải được giữ không
đổi, dưới tác dụng của “nhóm” biến đổi đối xứng. Như
vậy, trong trường hợp của chúng ta, ta cần chú ý rằng có
thể biến đổi các định luật, các thuyết Vật lý hoặc các
cách biểu diễn chúng như thế nào tuỳ ý nhưng không
được làm ảnh hưởng tới hệ quả của chúng. Ta hãy đi xem

Page 8 of 21


II.

xét, tìm hiểu tính chất như thế trong tất cả các lĩnh vực

của vật lý học từ cổ chí kim
Đối xứng không gian và thời gian:
1. Đối xứng không gian:
a. Không gian là đồng nhất:
Điều đó có nghĩa là vị trí tuyệt đối của một vật thể
không có nghĩa gì cả. Điều có ý nghĩa ở đây là các định
luật vật lý không thay đổi trong phép tịnh tiến không
gian. Xét một cơ hệ chuyển động tại mặt đất, lúc đó đinh
luật II Newton cho cơ hệ là:
Định luật vạn ật hấp dẫn của hai vật trong cơ hệ là:
Ta di chuyển cơ hệ này tới một vị trí khác trong không
gian, ví dụ ngoài khoảng không vũ trụ chẳng hạn, thì lúc
đó chuyển động của cơ hệ vẫn tuân theo định luật II
Newton.
Và lực hấp dẫn giữa hai vật trong cơ hệ vẫn là dạng:
Tất nhiên, tính đồng nhất trong không gian đòi hỏi ta
phải di chuyển tấtcả những điều kiện ảnh hưởng tới cơ hệ
của ta.
Tính đồng nhất của không gian còn thể hiện ở các thí
nghiệm vật lý diễn ra như nhau tại các vị trí khác nhau.
Với điều kiện ta phải kể tới tất cả những gì ảnh hưởng tới
thí nghiệm và chuyển tất cả những cái đó đi cùng với
thiết bị thí nghiệm.
Ví dụ, ta xét một hệ con lắc và thử di chuyển đi 20
nghìn dặm lên trên xa. Rõ ràng là nó sẽ hoạt động không
đúng như trước được, bởi vì con lắc cần tới sức hút của
Trái đất. Nhưng nếu ta dịch chuyển cả hành tinh của
chúng ta cùng với thiết bị thì sẽ hoạt động y như trước.
Không gian là đẳng hướng:
Tính đẳng hướng của không gian nghĩa là không có

một hướng nào tuyệt đối, mọi hướng là tương đương
nhau. Nếu ta tiến hành một thí nghiệm nào đó, rồi quay
toàn bộ thị nghiệm sang một hướng mới và lặp lại thí
nghiệm đó thì kết quả vẫn như cũ. Các quy luật chi phối
thí nghiệm vẫn diễn ra như cũ.
Ví dụ, ở hướng này, lực hấp dẫn tỷ lệ với tích hai khối
lượng m1, m2, tỷ lệ với , thì ở hướng kia ta vẫn có tỷ lệ với
b.

Page 9 of 21


m1.m2 và …Và khi quay thí nghiệm thì ta nhớ quay cả
những gì ảnh hưởng tới thí nghiệm.
Ví dụ, dao động của con lắc đơn trong đồng hồ ngày
xưa, nếu ta quay nó đi 900 thì con lắc sẽ vướng vào thành
hộp. Nhưng nếu ta quay Trái đất đi cùng với nớ thì con lắc
vẫn dao động như lúc chưa quay.
2. Đối xứng thời gian
a.
Thời gian là đồng nhất
Thời gian là đồng nhất, nghĩa là mọi thời điểm đều
như nhau, không có gốc thời gian tuyệt đối. Các định luật
Vật lý như nhau ở quá khứ, ở hiện tại, ở tương lai. Các
định luật Vật lý cổ điển được phát hiện từ rất lâu đến nay
nó vẫn giữ nguyên, nghiệm đúng cho các hiện tượng, quá
trình mà ta xét trước đây. Và trong tương lai, với các quá
trình, hiện tượng đó, định luật vẫn cho nghiệm đúng. Như
Newton phát hiện các hệ quy chiếu quán tính là tương
đương nhau và dùng các thí nghiệm cơ học ta vẫn chứng

minh được tính đối xứng của các hệ quy chiếu quán tính
và ở trong tương lai cũng thế.
Quả táo rơi xuống đất khi nó rụng theo định luật vạn
vật hấp dẫn của Newton. Đến nay, khi rụng qua táo cúng
vẫn rơi xuống đất và công thức tính lực hấp dẫn vẫn là:
Các hiện tượng vật lý diễn ra với quy luật như nhau
khôn phụ thuộc vào quá khứ, hiện tại, tương lai.
Ta phóng một hành tinh quay quanh mặt trời, theo
một hướng xác định. Và giả sử ta có thể phòng nó một lần
nữa sau hai năm và trong lần thứ hai này, cách phóng từ
điểm xuất phát cũng như vị trí tương đối của hành tinh và
mặt trời lúc bắt đầu phóng hoàn toàn giống như lần trước,
thì chuyển động nó vẫn diễn ra

Hình 2. Đối xứng theo thời gian
Thế kỉ III TCN
Thế kỉ XXI
b. Tính đối xứng thuận nghịch của thời gian:
Page 10 of 21


Tính đối xứng của thời gian còn thể hiện ở tính thuận
nghịch vủa thời gian. Nghĩa là một hiện tượng quán tính
diễn ra thì nó có thể diễn ra theo chiều ngược lại. Tính
chất này của thời gian được quan sat nhiều trong thế giới
vi mô, các quá trình “thuận” và “nghịch” có xác suất như
nhau. Các phân tử trong một thể tích khi nhỏ do va chạm
nên khi thì chạy dồn lại với nhau, khi lại chạy đi tứ tán
làm cho mất độ phân tử chỉ tính trung bình mới là không
đổi

III.

Các phương trình lagrange loại II:

Phép tính biến phân ( biến thiên )
qk thì qk ( t )
hàm qk biểu thị:
qk = qk ( t, α ) với α = 0 thì mô tả chuyển động thực
của hệ
với α ≠ 0 thì mô tả chuyển động khã dĩ
của hệ
α là số thực bất kì
Nếu chọn α : δα  δqk =
Tính chất 1: δ() = δ =
Tính chất 2: δ =

IV. Thiết lập các định luật bảo toàn:
1. Bảo toàn động lượng:

Định luật này được quy ra từ tính đồng nhất của không
gian.
Không gian là đồng nhất,nghĩa là mọi điểm của không
gian là bình đẳng như nhau. Từ đó nếu hệ tịnh tiến đến
một vị trí mới thì tính chất vật lí của hệ sẽ không thay đổi,
do đó hàm Lagrange mô tả hệ phải bất biến trong phép
tịnh tiến này.

→ + thì δL = 0
Mà L = L ( , , t ) i = 1, 2, …, n
δL = + + = 0

Chỉ tịnh tiến vị trí, không có tịnh tiến thời gian nên δt =
0. Giữ nguyên vector vận tốc các hạt nên δ= 0

Vậy δL = = = 0
Suy ra: = 0

Theo phương trình Lagrange:

=
Page 11 of 21


Nên ta có:

=

Đặt P = : gọi là xung lượng của hệ.
P = const
Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ :
Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ kín liên hệ
chặt chẽ với tính đẳng hướng của không gian. Không gian
được gọi là đẳng hướng nếu mọi hướng của không gian của
nó đều đóng vai trò như nhau về mặt vật lý. Điều đó có ý
nghĩa rằng khi quay toàn bộ cơ hệ kín xung quanh một trục
bất kì với một góc ( mọi chất điểm của cơ hệ đều cùng quay
với một góc δϕ, vector vận tốc cảu mỗi chất điểm vẫn giữ
2.

nguyên về độ lớn vầ chỉ thay đổi về chiều) thì mọi tính
chất vật lý của cơ hệ kín không thay đổi và do đó hàm

Lagrange của hệ kín là bất biến, nghĩa là :

=0

(43)

Ta hãy tính các đại lượng và liên quan đến phép quay
toàn bộ cơ hệ kín quanh một trục nào đó với một góc . Trục
quay và góc quay hoàn toàn tùy ý. Từ hình (3) dễ thấy rằng

=

(44)

ở đó vector đặt trên trục quay và có độ lớn
bằng góc quay δϕ. Tương tự như (44) ta
0
có :

=

bang

(45)

Đặt (45) và (44) vào (43) và lưu ý rằng :

= mk=
= = = (46)

Ta được :
=

)=0

(47)

Do tính chất tùy ý của cho nên từ (47) suy ra :
) = 0 hay = =
Đại lượng gọi là momen xung lượng của chất điểm k và
đại lượng = gọi là momen xung lượng của cơ hệ đối với
điểm O.

Page 12 of 21


Như vậy, đối với cơ hệ kín thì momen xung lượng của cơ
hệ đối với gốc O bất kì là đại lượng được bảo toàn.
Thực hiện phép tính đạo hàm theo thời gian đẳng thức
(47) với sự chú ý = 0 và = ta được :

=0

(48)

Lực là lực do các chất điểm của cơ hệ tác dụng lên chất
điểm Mk, nó là nội lực và là momen của nội lực đặt lên cơ
hệ đối với gốc O bất kì bằng không.
Trong đó : được gọi là momen xung lượng của hệ
= const

3. Định luật bảo toàn cơ năng :
Theo cơ học cổ điển cho rằng định luật bảo toàn năng
lượng được phát biểu như sau :
Trong một hệ cô lập năng lượng có thể chuyển đổi
từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng toàn
phần thì không đổi.
Phương trình biểu diễn tổng quát :
∆K + ∆U + ∆Eint + ( độ biến đổi các dạng năng lượng
khác ) = 0
Nhưng nếu lực tác dụng xuyên qua biên của hệ và thực
hiện công W trên các vật trong hệ thì hệ không không còn cô
lập, và không thể áp dụng phương trình trên nên phương
trình được viết lại :
E = ∆K + ∆U + ∆Eint
Còn theo cơ học lý thuyết thì :
Định luật bảo toàn năng lượng của cơ hệ kín liên hệ chặt
chẽ với tính đồng nhất của thời gian. Thời gian được gọi là
đồng nhất nếu mọi thời điểm đểu tương đương với nhau về
măt vật lý. Điều đó có nghĩa rằng khi thay t bằng t + δt thì
hàm Lagrange của cơ hệ không thay đổi, nghĩa là :

) – L( t,) = = 0 (49)

Do tính chất tùy ý của δt cho nên, ta có :

=0

(50)

Lấy đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm

Lagrange và lưu ý rằng = và = 0, ta được :

+ =

ay

=0
Từ đó suy ra :

(51)

E = = = + U( = Const
E = T + U = const

(52)
Page 13 of 21


Đó là định luật bảo toàn cơ năng E của cơ hệ kín.
Trong lịch sử vật lý tuy nhiều lần định luật bảo toàn
năng lượng tưởng chừng bị thất bại bề ngoài như thế luôn
kích thích nghiên cứu để tìm nguyên nhân thất bại. Cho
đến ngày nay người ta luôn tìm được nguyên nhân và
định luật bảo toàn năng lượng luôn đúng,có thể ở dạng
tổng quát hơn.

V. Vai trò các định luật bảo toàn :

Các định luật bảo toàn có vai trò vô cùng to lớn trong cơ
học cổ điển cũng như cơ học lý và trong kỹ thuật và đời

sống. Sau đây là một số vai trò cực ký quan trọng của các
định luật bảo toàn :
1. Nói chung, không thể giải thích chính xác các phương
trình chuyển động Lagrange là những phương trình vi phân
cấp hai. Nhưng ngay trong trường hợp có thể giải được các
phương trình đó một cách trọn vẹn hay bằng công cụ máy
tính điện tử, thì bản thân các qui luật chuyển động được
diễn ra dưới dạng các hàm xác định của thời gian nhiều khi
cũng không cung cấp được những thông tin có nghĩa và hữu
ích so với các thông tin suy từ các định luật bảo toàn.
2. Các đinh luật bảo toàn là những phương trình vi phân cấp
I, nói chung đơn giản hơn các phương trình chuyển động có
cấp cao hơn.
3. Sự phát hiện một định luật bảo toàn đánh dấu một sự tiến
bộ của Vật lý học. có thể nói rằng sự phát triển của vật lý
học cũng đồng thời là sự phát triển của nội dung và số
lượng của các định luật bảo toàn, tức là sự phát triển của
khái niệm đại lượng động lực. Nếu các học thuyết vật lý
hiện đại phong phú và sâu sắc hơn so với cơ học kinh điển
như định luật bảo toàn là phong phú hơn. Điều này lại có ý
nghĩa là các tính chất đối xứng ở các học thuyết đó là
phong phú hơn. Có thể nêu lên các định luật bảo toàn
không có mặt trong kinh điển như các định luật bảo toàn số
chẵn lẻ, định luật bảo toàn số barion, số lạ v.v… Mặt khác,
khi nghiên cứu tính đẳng hướng của không gian, nội dung
cảu định luật bảo toàn momen xung lượng trong cơ học
lượng tử trở nên sâu sắc hơn với sự có mặt của một khái
niệm mới là khái niệm spin v.v….
VI. Vận dụng các định luật bảo toàn :
Bài tập 1. Hai đĩa cùng được gắn vào một trục quay cố

định. Người ta cho trục hơi xoắn rồi lại nhả ra. Hãy xác định
Page 14 of 21

v


S

hệ thức giữa các vận tốc góc và các góc quay của các đĩa
khi chúng dao động xoắn. Cho khối lượng của trục bé không
đáng kể, còn các momen quán tính của đĩa đôi với trục
x là J1_và J2 là
m
các đại lượng đã biết.
Bài giải :
h
Để bỏ qua các lực đàn hồi chưa biết và có tác dụng
gây ra dao động cho các đĩa, ta xem trục và các đĩa
như một hệ. Các lực ngoài tác dụng lên hệ ( phản lực
của các gối đỡ và trọng lực ) đều cắt trục x ; vì vậy
= 0 và Kx = const, Nhưng vì ở thời điểm ban
đầu ( Kx ) = 0 nên ta luôn có Kx = J1ω1 + J2ω2 = 0
( vì momen động lượng của hệ đối với trục x bằng
tổng momen động lượng của các đĩa đối với cùng
trục đó). Từ đó :

ω1 = ω2 và ,

c.

Trong đó ϕ1 và ϕ2 là các góc xoắn của đĩa kể từ vị trí ban
đầu.
Bởi vậy, dao động sẽ xảy ra ngược chiều nhau, biên
độ dao động góc tỷ lệ nghịch với momen quán tính
lớn hơn.
Bài tập 2. Một hòn bi thép khối lượng m = 5,2g được
bắn xuống theo phương thẳng đứng từ độ cao h 1 = 18m với
tốc
độ đầu v0 = 14m/s ( hình bên ). Nó đi sâu vào cát một đoạn
h2 = 21cm.
a. Hỏi độ thay đổi cơ năng của hòn bi là bao nhiêu ?
b. Độ thay đổi nội năng của hệ hòn bi – Trái Đất – cát là bao
nhiêu ?
Độ lớn của lực trung bình F mà cát tác dụng lên hòn bi là
bao nhiêu ?
Giải :
a. Tại điểm dừng ở độ cao h 2 tốc độ hòn bi bằng không, và
động năng của nó cũng bằng không. Độ thay đổi cơ năng
của quả cầu là

∆E = ∆K + ∆U
∆E = ( 0 - ) – mg ( h1 + h2 )

Hay
trong đó : ( h1 + h2 ) là độ dịch chuyển xuống tổng cộng của
hòn bi. Thay số ta tìm được :

∆E = ( 5,2 × ) (14m/s)2
(5,2 × 10-3kg) (9,8m/s2) ( 18m + 0,21m )

Page 15 of 21

h

v

F


= 1,437f = 1,4 J

Đây là hệ cô lập, vì khi hòn bi được bắn ra thì nó chỉ có
trong lượng là mg ( do trái đất ) và lực trung bình F hướng
lên cát tác dụng vào nó. Thay ∆E = ∆K + ∆U vào phương
trình bảo toàn năng lượng đối với hệ cô lập (∆K + ∆U + ∆Eint
= 0) ta tìm được cho hệ hòn bi – Trái Đất – cát như sau :

b.

Hay

∆E + ∆Eint = 0
∆Eint = ∆E = ( 1,437J) ≈ 1,4 J

Kết quả này cho thấy khi hòn bi đi vào cát thì F phân tán
toàn bộ cơ năng của nó, chuyển cơ năng thành nội năng
( chủ yếu là nhiệt năng ) của hòn bi và cát.
c. Cơ năng của hòn bi được bảo toàn trước khi nó đi vào cát.
Sau đó, khi hòn bi đi qua đoạn h2 trong cát thì cơ năng của
nó thay đổi một lượng ∆E, mà ta có (∆E = fd ) có thể viết lại

như sau :

= ∆E

suy ra : F = = = 6,48N.
Bài tập 3. Một đầu đạn khối lượng m bay theo phương
nằm ngang với vận tốc u rồi rơi vào thùng xe chở cát. Hỏi
sau khi va chạm xe từ trạng thái đứng yên sẽ chuyển
động với vận tốc bằng bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng
xe chở cát là M.

Giải :
Ta xem đầu đạn và xe như một hệ. Điều đó cho phép khi
giải bài toán không cần để ý đến các lực do va chạm đầu
đạn với xe chở cát. Tổng hình chiếu của các lực ngoài tác
dụng vào hệ trên trục nằm ngang Ox bằng không. Do đó
Qx = const hay Q0x = Q1x, trong dó Q0 là động lượng của
hệ trước lúc va chạm. Vì trước lúc va chạm xe đứng yên,
nên
Q0x = mu
Sau khi va chạm, xe và đầu đạn cùng chuyển động
với vận tốc như nhau. Ta kí hiệu vận tốc đó là v. Khi đó :
Q1x = ( m + M ) v
So sánh các vế của biểu thức của Q 0x = Q1x, ta có

( m + M) v = mu

⇒

v= u

Bài tập 4. Vận dụng định luật bảo toàn động lượng
trong khi phóng tàu vũ trụ. Để giữ sự ổn định của vệ tinh,
trước khi phóng lên từ cửa khoang hàng của một tàu vũ
trụ con thoi, vệ tinh được làm cho quay quanh trục giữa
của nó vì hướng của vận tốc một hạt đang chuyển động
Page 16 of 21


thì nó khó thay đổi hơn ( bởi một xung ngang đã cho ) khi
động lượng của hạt lớn so với khi nó nhỏ. Cũng như vậy,
sự định hướng của một vật đang quay khó thay đổi hơn
( do một momen quay, cho trước, từ ngoài) khi momen
động lượng của vật lớn, so với một momen quay ngoài
rất nhỏ. Sự định hướng của một vệ tinh không quay có
thể thay đổi ngay cả với một momen quay ngoài rất nhỏ,
chẳng hạn do khí quyển loãng còn dư hoặc do áp suất
ánh sáng của Mặt Trời. Một vệ tinh quay thì không bị thế.
Bài tập 5 . Sự định hướng của con tàu vũ trụ. Khi một hệ
hạt cô lập không có momen động lượng, thì sự định
hướng của nó trong vũ trụ liệu có thể bị thay đổi, bằng
cách tạo ra tạo ra những thay đổi bên trong hệ? Nếu hệ
không phải là một vật rắn, thì câu trả lời là: “ được, với
một số điều kiện”.
Hình
Bài tập 8. Hình 11 trình bày một sính viên, ngồi trên cái
ghê có thể quay được quanh một trục thẳng đứng. Ban
đầu, anh sinh viên ở trạng thái nghỉ và cầm một cái bánh
xe đạp mà vành được đổ chì cho nặng, và có quán tính
quay I đối với trục giữa chừng 1,2kg.m 2. Bánh xe quay

với tốc độ góc ban đầu là ωi là 3,9 vòng/s ; nhìn từ trên
xuống, thì bánh quay ngược chiều kim đồng hồ. Trục
bánh xe thẳng đứng và momen động lượng của bánh xe
hướng thẳng đứng lên trên. Bây giờ, anh sinh viên lật
ngược cái bánh xe lại hình 11.b ; kết quả là anh ta cùng
với ghế quanh quay trục ghế. Anh sinh viên quay với tốc
độ góc bao nhiêu, và theo chiều nào? ( quán tính quay I0
của hệ : sinh viên + ghế + bánh x, đối với trục ghê là
6,8kg.m2 )
Giải :
Không có momen quay ngoài nào tác dụng vào hệ
sinh viên + ghế + bánh xe phải đạt được một momen
động lượng của hệ đối với bất kì trục thẳng đứng nào.
Momen động lượng ban đầu của của hệ là momen động
lượng của riêng một mình bánh xe. Sau khi bánh xe bị lật
ngược, thì hệ vẫn phải có một momen động lượng toàn
phần cùng độ lớn và cùng hướng.
Sau khi lật, momen động lượng của bánh xe là -.
Ngoài ra, hệ sinh viên + ghế + bánh xe phải đạt được
một momen động lượng nào đó ; ta gọi nó là . Khi đó,
theo hình 11.c ta có
Page 17 of 21


Li = L + ( -Li )
Hay là : L = 2Li = I0ω
Trong đó ω là tốc độ góc mà anh sinh viên có được,
dau khi lật bánh xe. Ta được :

ω = = = = 1,4 vòng/s

Kết quả dương cho ta thấy rằng anh sinh viên quay
ngược chiều kim đồng hồ, quanh trục của ghế, khi nhìn
từ trên xuống. Nếu anh sinh viên muốn ngừng quay, thì
anh chỉ việc lật ngược cái bánh xe lần nữa.
Khi lật ngược bánh xe, anh sinh viên nhận thức rất rõ
ràng phải tác dụng một momen quay. Tuy nhiên, momen
quay này là trong hệ sinh viên + ghế + bánh xe và như
thế, không thể làm thay đổi momen động lượng toàn
phần của hệ đó.
Tuy nhiên, ta có thể chấp nhận hệ của ta chỉ gồm có
sinh viên + ghế còn bánh xe, thì để ngoài hệ mới. Làm
cách đó, thi khi anh sinh viên tác dụng một momen quay
vào bánh xe thì bánh xe tác dụng một phản momen quay
vào anh và momen quay này bây giờ lại là một momen
ngoài. Chính là tác dụng của momen ngoài này đã làm
thay đổi momen động lượng của hệ sinh viên + ghế
khiến nó quay. Momen quay là ngoài, hay trong, chỉ phụ
thuộc vào bạn chọn cách xác định hệ của bạn như thế
nào.

Hình 11. Bài toán mẫu. a) anh sinh viên cầm một
bánh xe đạp đang quay quanh trục thẳng đứng. b)
anh sinh viên lật ngược bánh xe lại, làm cho bản
thân anh cũng quay. c) momen động lượng toàn
phần của hệ vẫn giữ cùng một giá trị, bất chấp sự
lật ngược bánh xe
Bài tập 9. Một tàu vu trụ có khối lượng M đi trong
không gian sâu thẳm với vận tốc v i = 2100km/h so với
Page 18 of 21

Mặt trời. Nó ném đi tầng cuối có khối lượng 0,20M với tốc
độ tương đối là u = 500km/h. Hỏi sau đó tốc độ của con
tàu là bao nhiêu?
Giải :
Ta lấy hệ con tàu và tầng cuối. Ta cũng coi vận tốc là
dương nếu nó có chiều của chiều tàu chuyển động. Vì hệ
kín và cô lập nên động lượng của hệ được bảo toàn, tức
là :
Pi = Pf
(*)
Trong đó các kí hiệu i và f là chỉ các giá trị trước và
sau khi ném. Trước khi ném ta có : Pi = Mvi (**)
Gọi U là vận tốc của tầng bị ném và vf là vận tốc của
tàu sau khi bị ném, cả hai vận tốc đều được đo đối với
Mặt trời. Động lượng toàn phần của hệ sau khi ném là : Pf
= 0,20MU + 0,80Mvf
(***)
Trong đó số hạng thứ nhất ở vế phải là động lượng của
tầng và số hạng thứ hai là của tàu.
Tốc độ tương đối u của tầng bị ném là hiệu tốc độ con
tàu và tốc độ tầng :
u = vf – U
Hay là :
U = vf – u
Thay biểu thức này của U vào (***) và sau đó thay vào
các phương trình ( ** ) và ( * ) thì tìm được :
Mvi = 0,20M(vf – u) + 0,80Mvf
và cho ta
vf = vi + 0,2u

hay
vf = 2100km/h + ( 0,2 )( 500km/h ) =
2200km/h

Page 19 of 21


PHẦN C : KẾT LUẬN
Đến đây ta có thể kết luận rằng nguyên lý đối xứng và
các định luật bảo toàn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Nếu một quá trình, hiện tượng có những tính chất không
thay đổi khi có sự thay đổi các điều kiện đặt vào hệ thì hệ
đó bảo toàn. Tạo hứng
Tiểu luận đã hoàn thành được mục tiêu, nhiệm vụ đề ra.
Bản thân thu được nhiều điều bổ ích.
Về kiến thức hiểu rõ cơ bản về nguyên lý đối xứng và các
định luật bảo toàn. Trên cơ sở đó hiểu được tính đối xứng và
các định luật bảo toàn của các hiện tượng, quá trình vật lý.
Thiết lập các định luật, phương trình Lagrange. Xác định
được vai trò của các định luật bảo toàn
Về phương pháp nghiên cứu khoa học : biết thu thập lựa
chọn thông tin tài liệu ; biết phân tích, tổng hợp, xử lý tài
liệu một cách khoa học và hiệu quả hơn. Trên cơ sở đó hình
thành sơ bộ thói quen nghiên cứu khoa học và biết cách tìm
hướng giải quyết vấn đề hơn.
Về hứng thú nghiên cứu khoa học : nghiên cứu tiểu luận
có nhiều thú vị, bất ngờ tạo hứng thú trong quá trình làm
tiểu luận. Đồng thời kích thích mong muốn tìm hiểu sâu
rộng hơn về tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong
vật lý, khoa học và giới tự nhiên. Cũng như tạo ra sự tự tin

khi nghiên cứu một đề tài khoa học sau này.

Page 20 of 21


CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Cơ học lý thuyết của Nguyễn Hoàng Phương
Vật lý cơ sở tập I và tập II của David Haliday
Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết của X.M.Targ
Giáo trình cơ học lý thuyết của Nguyễn Hữu Mình
Khóa luận tốt nghiệp về đề tài đối xứng trong vật lý của
Trần Thị Dung
Cơ học Lan - đao

Page 21 of 21