100 bài tập vận dụng cao lượng giác 2018 có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (565.44 KB, 47 trang )
LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………
.
2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….
.
3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…
.
4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….
5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a ; b ] ………..…………
.
6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………
7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a ; b )…….…..…
9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..……… .
Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2018
A. Hàm số y =
có tập xác định là D = ¡ .
1 + tan 2 x
sin x
B. Hàm số y =
có tập xác định là D = ¡ \ {3} .
3 - cos x
C. Hàm số y =
cos x + 1 có tập xác định là D = ¡ .
1
.
.
8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….
10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………
.
.
.
2x
cú tp xỏc nh l D = Ă .
x- 2
x sin 2 x
ổ5p
ử
2
; y2 = 2 - sin x cos ỗ
- 2x ữ
Cõu 2. Cho cỏc hm s y1 =
ữ
ỗ
ữ; y3 = sin x cos x + tan x v
ỗ
ố2
ứ
cos3 2 x
D. Hm s y = sin
y4 = x cos 2 x . Hi cú bao nhiờu hm s cú th nhn gc ta lm tõm i xng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?
C. 3.
D. 4.
Cõu 5. ng cong trong hỡnh bờn mụ t th ca
hm s y = A sin (x + a )+ B (vi A, B, a l cỏc
ộ pự
12a
hng s v a ẻ ờ0; ỳ). Tớnh S = A + B +
.
ờ
ỳ
2
p
ở ỷ
A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = 3.
D. S = 5.
Cõu 6. Mt chic gung nc cú dng hỡnh trũn bỏn kớnh 2,5m, trc ca nú
cỏch mt nc 2m . Khi gung quay u, khong cỏch h (một) t mt
chic gu gn ti im A ca gung n mt nc c tớnh theo cụng
ộ ổ 1 ửự
ỳ
x- ữ
thc h = y trong ú: y = 2,5sin ờ2p ỗ
ữ
ỗ
ữỳ+ 2 vi x l thi gian quay
ỗ
ờ
4ứ
ở ố
ỷ
ca gung vi x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn
mt nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao nht
khi no?
1
1
A. x = 0.
B. x = .
C. x = .
D. x = 1.
4
2
Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )L (1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh no sau
õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].
B. n ẻ [8;19 ].
C. n ẻ [20;26 ].
D. n ẻ [27;33].
Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món
1
1
1
2
+
+L +
=
.
sin 450.sin 46 0 sin 46 0.sin 47 0
sin134 0.sin1350 sin n 0
A. n = 1.
B. n = 45.
C. n = 46.
D. n = 91.
Cõu 9. Cho gúc a tha 0 < a <
A. P =
3
.
2
p
4
B. P =
v sin a + cos a =
1
ì
2
2
5
. Tớnh P = sin a - cos a .
2
3
1
.
C. P = - ì
D. P = 2
2
Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = 5.
A. P =
4
v a ẻ
3
ổ3p
ự
a
a
ỗ
;2p ỳ. Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỗ2
ỳ
ố
2
2
ỷ
5.
B. P = -
5
.
5
C. P = -
D. P =
5
.
5
Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ pử
ổp
ử 5
ổp
ử
+ 4 cos ỗỗ - x ữ
= . Nu t t = cos ỗ
- xữ
Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗx + ữ
thỡ phng trỡnh
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ
ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x )+ sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗx 0 + ữ
ữ
ữ bng
ỗ
ố
4ứ
A. - 1.
B. 1.
1
A. x =
p
3
C. x =
3
D.
B. x = k 2p (k ẻ Â ).
+ k 2p (k ẻ Â ).
p
.
1
.
2
2
Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no trong
cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
1
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x - 1 = 0 (1) v cos 2 x = (2). Tp cỏc nghim ca phng
2
trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l
C. -
+ k 2p (k ẻ Â ).
D. x =
2p
+ k 2p (k ẻ Â ).
3
ỡ p p p pỹ
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ùớ ; ; ; ùý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng ng vi
ùợù 6 4 3 2 ùỵ
ù
phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .
A. a =
p
6
.
B. a =
p
4
C. a =
.
p
3
.
D. a =
p
2
.
ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ- 2p; ỳ, th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao nhiờu im?
ờ
2ỳ
ở
ỷ
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 8.
Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng trũn lng
giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Cõu 18. Cú bao nhiờu giỏ tr ca a thuc [0;2p ] ba phn t ca S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trựng vi
ba phn t ca T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
n+ 1
n
*
Cõu 19. Phng trỡnh 2 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 x = 1 vi n ẻ Ơ cú tp nghim trựng vi
tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.
B. sin x = sin 2 n x .
C. sin x = sin 2 n + 1 x .
D. sin x = sin 2 n + 2 x .
Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu din cỏc nghim
ổ pử
ca phng trỡnh tan x + tan ỗ
ữ= 1.
ỗx + ữ
ỗ
ố
ứ
4ữ
A.
3 10
.
10
B.
3 10
.
5
C.
3
2.
D.
3.
Vấn đề 3. Nghiệm dương nhỏ nhất
Nghiệm âm lớn nhất
Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 có dạng
pa
với a, b là các số
b
nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.
C. S = 15.
D. S = 17.
sin x
1
pa
Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
với a, b
+
+ cot x = 2 có dạng
1 + cos x 1 - cos x
b
là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
æ
ö
æ
ö
p
p
- x÷
- 2 cos 2 ç
+ 2x ÷
. Số vị trí biểu diễn các
Câu 23. Cho phương trình sin x + sin 5 x = 2 cos 2 ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è4
ø
è4
ø
nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
3
Câu 24. Cho phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin x ). Tổng nghiệm âm lớn
nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng
A. -
p
7
.
B. -
p
18
.
C. -
p
20
.
Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) =
D.
p
7
.
1
pa
có dạng
với a, b là
2
b
các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 7.
B. S = 8.
C. S = 15.
D. S = 17.
2018
2018
2020
2020
Câu 26. Cho phương trình sin
x + cos
x = 2 (sin
x + cos
x ). Số vị trí biểu diễn các nghiệm
của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 2020.
æ pö
pa
Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 ççx + ÷
với
÷ có dạng
çè
ø
4÷
b
a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = - 3.
B. S = - 1.
C. S = 1.
D. S = 3.
Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x =
nhỏ nhất của phương trình có dạng
S = a + b.
A. S = 2.
pa
b
cos 2 x
. Nghiệm dương
1 - tan x
với a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính
B. S = 3.
C. S = 4.
D. S = 7.
1
1
1
1
Câu 29. Biết rằng phương trình
+
+
+L +
= 0 có nghiệm dạng
sin x sin 2 x sin 4 x
sin 2 2018 x
k 2p
với k Î ¢ và a, b Î ¢ + , b < 2018. Tính S = a + b.
x= a
2 - b
A. S = 2017.
B. S = 2018.
C. S = 2019.
D. S = 2020.
sin x
p
Câu 30. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
=
x
18
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Vấn đề 4. Số nghiệm của phương trình
4
Câu 31. Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) có bao nhiêu nghiệm
thuộc khoảng (0;2018) ?
A. 2565.
B. 2566.
C. 2567.
D. 2568.
(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
Câu 32. Phương trình
= 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018p ) ?
(1 + 2 cos x )sin x
A. 3025.
B. 3026.
C. 3027.
D. 3028.
ép
ù
Câu 33. Phương trình sin ê 3 x - 9 x 2 - 16 x - 80 ú= 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
ê
ú
ë4
û
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
æ
ö
p
1
Câu 34. Phương trình sin 4 x + cos 4 ççx + ÷
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2017p ) ?
÷=
ç
è
ø 4
4÷
A. 4032.
B. 4033.
C. 4034.
D. 4035.
Câu 35. Tìm số nghiệm của phương trình tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trên đoạn
[- p; p ].
(
A. 2.
)
B. 3.
C. 6.
D. 7.
Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình
trên đoạn [a ; b ]
Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0; p ) bằng
3p
5p
.
.
C. 2p.
D.
2
2
Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng
A. p.
B.
A. 0.
B. p.
C. 2p.
D. 3p.
9
= 0. Gọi S là tập các giá trị của
4
tham số a thuộc đoạn [0;4 p ] để phương trình có nghiệm kép. Tổng các phần tử của tập S bằng
Câu 38. Cho phương trình x 2 - (2 cos a - 3)x + 7 cos 2 a - 3cos a -
A.
20p
.
3
B. 15p.
C. 16p.
D. 17p.
Câu 39. Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình (2 cos 2 x + 5)(sin 4 x - cos 4 x )+ 3 = 0 trên
khoảng (0;2p ).
A. S =
7p
.
6
B. S =
11p
.
6
Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình
A.
11p
.
36
B.
p
3
.
C. S = 4 p.
D. S = 5p.
æ pö
3- 1
3+1
0; ÷
+
= 4 2 trên khoảng ç
÷
ç
÷ bằng
ç
è 2ø
sin x
cos x
7p
C.
D. p.
.
18
Câu 41. Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên (0;2p ) bằng
D. 4 p.
é pù
1
Câu 42. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) = trên đoạn ê0; ú bằng
ê
2
ë 2ú
û
3p
3p
37p
36p
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
7
5
70
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
= 0 trên đoạn
2 cos x + 3
[0;100p ] bằng
A. p.
B. 2p.
C. 3p.
5
14701p
14850p
D.
.
.
6
3
ổ pử
Cõu 44. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 ỗỗx - ữ
ữ= 2 sin x trờn on [0;2018] bng
ỗố
ứ
4ữ
A.
7375p
.
3
B.
7475p
.
3
C.
A.
2018p
.
4
B.
4036p
.
3
C.
412485p
.
2
D.
824967p
.
4
Cõu 45. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh cos 2 x (tan 2 x - cos 2 x ) = cos3 x - cos 2 x + 1 trờn
on [0;43p ] bng
A.
4220
p.
3
B.
4225
p.
3
C.
4230
p.
3
D.
4235
p.
3
Vn 6. Tỡm m phng trỡnh cú nghim
Cõu 46. Cú bao nhiờu giỏ tr ca tham s m thuc tp E = {- 3; - 2; - 1;0;1;2} phng trỡnh
2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 cú nghim?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Cõu 47. Cho phng trỡnh m sin 2 x + 2 sin x cos x + 3m cos 2 x = 1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s
thc m phng trỡnh cú nghim.
ỡ 4ỹ
ỡ 4ỹ
ộ 4ự
ổ 4ử
A. m ẻ ùớ 0; ùý.
B. m ẻ Ă \ ùớ 0; ùý.
C. m ẻ ờ0; ỳ.
D. m ẻ ỗ
ữ.
ỗ0; ữ
ỗ
ùợù 3 ùỵ
ù
ù
ờ
ỳ
ố 3ữ
ứ
3
3
ù
ù
ợù
ỵ
ở ỷ
ổ3p
ử
5 + 4 sin ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ
6 tan a
Cõu 48. Cho phng trỡnh
=
. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca
sin x
1 + tan 2 a
a thuc on [0;2p ] phng trỡnh cú nghim. Tng cỏc phn t ca tp S bng
B. 2p.
C. 4 p.
D. 6p.
ổ pử
ổ pử
2
x+ ữ
x- ữ
Cõu 49. Cho phng trỡnh 4 sin ỗ
ữ.cos ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ= m + 3 sin 2 x - cos 2 x . Gi S = [a; b ] l tp tt
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
3ữ
6ứ
c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cú nghim. Tớnh a + b.
1
A. a + b = - 2.
B. a + b = - .
C. a + b = 0.
D. a + b = 4.
2
m
+ 2 = 0. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca
Cõu 50. Cho phng trỡnh sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x 4
tham s m phng trỡnh cú nghim?
A. 7.
B. 9.
C. 13.
D. 15.
3
Cõu 51. Cho phng trỡnh 3 tan 2 + tan x + cot x +
= m. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn m nh hn
sin 2 x
2018 phng trỡnh cú nghim?
A. 2004.
B. 2008.
C. 2011.
D. 2012.
A. p.
Cõu 52. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sin 4 x = m.tan x cú nghim x ạ k p.
ộ 1 ử
A. m ẻ ờ- ;4ữ
ữ
ữ.
ờ
ở 2 ứ
ộ 1 ự
B. m ẻ ờ- ;4 ỳ.
ờ
ở 2 ỳ
ỷ
ổ1 ử
C. m ẻ ỗ
ữ.
ỗ- ;4ữ
ỗ
ố 2 ữ
ứ
D. m ẻ (- 1;4 ).
Cõu 53. Cho phng trỡnh cos 2 x - (2m + 1)cos x + m + 1 = 0. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s
ổp 3p ử
ữ.
; ữ
m phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗ
ỗ
ỗ
ố2 2 ữ
ứ
A. - 1 Ê m Ê 1 .
B. - 1 Ê m Ê 0 .
C. - 1 Ê m < 0 .
D. - 1 < m < 0 .
2
Cõu 54. Cho phng trỡnh cos x + 2 (1 - m )cos x + 2m - 1 = 0. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham
s m thuc on [- 10;10 ] phng trỡnh cú nghim?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
6
D. 11.
Cõu 55. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cos 4 x = cos 2 3 x + m sin 2 x cú nghim
ổ pử
thuc khong ỗỗ0; ữ
ữ
ữ.
ỗ
ố 12 ứ
ổ 1ử
ổ1 ử
ổ 1ử
0; ữ
.
;2ữ
.
A. m ẻ ỗ
B. m ẻ ỗ
C. m ẻ (0;1).
D. m ẻ ỗỗ- 1; ữ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố 2ứ
ố2 ứ
ố 4ữ
ứ
Cõu 56. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh 2 sin x + m cos x = 1 - m cú nghim x
ộ p pự
thuc on ờ- ; ỳ.
ờ
ở 2 2ỳ
ỷ
3
3
.
B. m > - .
C. - 1 Ê m Ê 3.
D. - 1 < m < 3.
2
2
Cõu 57. Cho phng trỡnh mx 2 + 4 p 2 = 4 p 2 cos x . Tng tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca tham s m
ổ pử
phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữ
ữ bng
ỗ
ố 2ữ
ứ
A. - 54.
B. - 35.
C. 35.
D. 51.
A. m -
Cõu 58. Cho hm s y = f (x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v
x
- Ơ
f ' (x )
1
- 1
- 2
+
-
0
0
4
+Ơ
+
+Ơ
3
f (x )
1
0
- 1
m
ự
Cú bao nhiờu s nguyờn
- Ơm phng trỡnh f ộ
ở3cos (x + 1)+ 1ỷ= - 2 cú nghim?
A. 2.
B. 3.
C. 9.
D. 13.
Cõu 59. Cho hm s y = f (x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v
x
- Ơ
- 1
f ' (x )
2
0
+
-
0
0
3
+Ơ
+
+Ơ
f (x )
2
1
0
- 2
Cú bao nhiờu s nguyờn
- Ơdng m phng trỡnh f (2 sin x + 1) = f (m ) cú nghim?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Cõu 60. Cho hm s f (x ) liờn tc trờn Ă , tha
f (x )> 3 vi mi x > 5 v f (x ) < - 3 vi mi
x < - 2 , cú th nh hỡnh bờn. Cú bao nhiờu giỏ
tr nguyờn ca tham s m phng trỡnh
f (3sin x + 2) = f (m ) cú nghim?
A. 6.
C. 8.
B. 7.
D. 9.
7
D. 5.
Vấn đề 7. Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm
thuộc khoảng (a ; b )
Câu 61. Cho phương trình 2 cos 2 3 x + (3 - 2m )cos 3 x + m - 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham
æ p pö
số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng çç- ; ÷
÷.
ç
è 6 3÷
ø
A. - 1 £ m £ 1.
B. 1 < m £ 2.
C. 1 £ m £ 2.
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2 x +
D. 1 £ m < 2.
æ p÷
ö
2 sin ç
x+ ÷
- 2 = m có đúng
ç
÷
ç
è
4ø
æ 3p ö
2 nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷
÷.
ç
è 4÷
ø
A. - 3 < m < - 1 + 2. B. - 3 < m £ - 1 + 2.
C. - 1 < m £ - 1 + 2.
D. - 1 < m < - 1 + 2.
2
Câu 63. Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m - 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m
æ 3p ö
thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc çç0; ÷
÷
÷. Tổng các phần tử của S bằng
ç
è 2ø
A. - 15.
B. - 14.
C. 0.
D. 15.
2
Câu 64. Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos 2 x - m cos x ) = m sin x . Số các giá trị nguyên của tham số
é 2p ù
m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ê0; ú là
ê
ë 3 ú
û
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 65. Có bao nhiêu số thực m để phương trình (sin x - 1)(2 cos 2 x - (2m + 1)cos x + m ) = 0 có đúng
4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 66. Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
é p pù
để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú.
ê
ë 4 4ú
û
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 67. Cho phương trình (sin x - 1)(cos x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
2
m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ].
1
1
1
1
.
B. - < m £ 0.
C. 0 < m < .
D. - < m < 0.
4
4
4
4
2
2
Câu 68. Biết rằng khi m = m0 thì phương trình 2 sin x - (5m + 1)sin x + 2m + 2m = 0 có đúng 5
A. 0 £ m <
æp
ö
nghiệm phân biệt thuộc khoảng çç- ;3p ÷
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
÷
÷
ç
è 2
ø
æ3 7 ù
1
A. m0 = - 3.
B. m0 = .
C. m0 Î çç ; ú.
ç
è5 10 ú
2
û
æ 3 2ö
- ;- ÷
D. m0 Î ç
÷
ç
÷.
ç
è 5 5ø
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để số vị trí biểu diễn các
nghiệm của phương trình 1 + 2 cos 2 2 x -
æ
pö
3 sin 4 x - m = m sin ç
÷ trên đường tròn lượng giác là
ç2 x - ÷
ç
è
ø
3÷
4?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 12.
Câu 70. Cho phương trình (m + 1)cos x + (m - 1)sin x = 2m + 3. Có bao nhiêu giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 =
A. 0.
B. 1.
C. 2.
8
2p
.
3
D. Vô số.
Vấn đề 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng
Câu 71. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m + sin (m + sin 3 x ) = sin (3sin x )+ 4 sin 3 x có
nghiệm thực?
A. 4.
C. 8.
B. 5.
D. 9.
3
Câu 72. Cho phương trình (8 sin 3 x - m ) = 162 sin x + 27m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
æ pö
m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷
÷?
ç
è 3÷
ø
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Câu 73. Cho phương trình 3 m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Câu 74. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m +
m + 1 + 1 + sin x = sin x có
nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng
1
- 2.
C. 3.
2
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
A. 4.
D. -
B.
1
4
2.
sin x (2 - cos 2 x )- 2 (2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2
é 2p ö
có đúng một nghiệm thuộc ê0; ÷
÷
÷?
ê
ë 3ø
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
2
Câu 76. Cho phương trình sin 2 x - cos 2 x + sin x + cos x -
2 cos x + m - m = 0. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 9.
3
3
Câu 77. Cho phương trình 4 sin x + m + sin x = sin x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 18.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 78. Cho phương trình 3 tan x + 1 (sin x + 2 cos x ) = m (sin x + 3cos x ). Có bao nhiêu giá trị
3
nguyên của tham số m thộc đoạn [- 2018;2018] để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc
æ pö
÷?
ç
0; ÷
ç
ç
è 2÷
ø
A. 2015.
B. 2016.
C. 2018.
Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 x +
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Câu 80. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nghiệm là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
9
D. 4036.
cos x + m = m có nghiệm là
D. 5.
m
có
1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x =
3
D. 5.
Vn 9. Tỡm GTLN-GTNN ca hm s
ổp
ử
sin x ữ
Cõu 81. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f (x ) = sin ỗ
ln lt l
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3
ứ
3
.
2
ộ p pự
Cõu 82. Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f (x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trờn on ờ- ; ỳ ln
ờ
ở 3 3ỳ
ỷ
lt l
1
3
19
A. - 3 v 1.
B.
v 1.
C.
v 1.
D. - 3 v .
4
4
27
A. - 1 v 1.
B. 0 v 1.
C. -
3
3
.
v
2
2
D. 0 v
2018
Cõu 83. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s y = (3 - 5sin x )
ca M + m bng
A. 2 2018 (1 + 2 4036 ).
B. 2 2018.
C. 2 4036.
. Giỏ tr
C. 2 6054.
Cõu 84. Gi M , m ln lt l giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s y = sin 2 x - 4 sin x + 5 .
Tớnh P = M - 2m 2 .
A. P = 1.
C. P = 8.
D. P = 2.
ổ 2x ử
ổ
ử
4
x
ữ
ữ
Cõu 85. Giỏ tr nh nht ca f (x ) = sin ỗỗ 2
ữ+ cos ỗ
ữ+ 1 gn nht vi s no sau õy?
ỗ
ỗ
ỗ
ốx + 1ữ
ứ
ốx 2 + 1ữ
ứ
1
1
1
A. - 1.
B. - .
C. - .
D. - .
2
4
8
cos x + 2 sin x + 3
Cõu 86. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh nht v ln nht ca hm s y =
. Tớnh
2 cos x - sin x + 4
S = 11m + M .
A. S = - 10.
B. S = 4.
C. S = 6.
D. S = 24.
sin x + cos x + 1
Cõu 87. Gi M , m ln lt l giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s y =
. Khi ú,
2 + sin 2 x
B. P = 7.
M + 3m bng
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 1 + 2 2.
2
1
Cõu 88. Bit giỏ tr nh nht ca hm s y =
cú dng a + b 2 vi a, b l cỏc s
+
1 - cos 4 x cos 4 x
nguyờn. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
Cõu 89. Cho hm s y = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x - 1. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh nht v giỏ
tr ln nht ca hm s. Khi ú giỏ tr ca M + m gn nht vi s no sau õy?
5
7
9
11
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
Cõu 90. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x ln lt l
A.
1
v 2.
21008
B.
1
v 1.
21009
C. 0 v 1.
D.
1
v 1.
21008
Vn 10. Bi toỏn GTLN-GTNN cú cha tham s m
Cõu 91. Cú bao nhiờu giỏ tr ca tham s thc a hm s y =
bng 1 ?
10
cos x + a sin x + 1
cú giỏ tr ln nht
cos x + 2
A. 0.
D. 3.
1 - m sin x
Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [0;10 ] để hàm số y =
có giá trị
cos x + 2
nhỏ nhất nhỏ hơn - 2 ?
A. 5.
B. 6.
C. 11.
D. 12.
æ
ö
æ
ö
p
x
2
2
÷
Câu 93. Cho hàm số y = 2 sin 2 ççx - ÷
÷+ 2 cos ç
÷- 3 sin x + a (với là tham số). Gọi m, M lần lượt
ç
ç
ç
è
ø
è2 ÷
ø
6÷
ép 2p ù
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ê ; ú. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a
ê6 3 û
ú
ë
để m 2 - M £
B. 1.
C. 2.
321
?
4
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
Câu 94. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin 4 x + cos 2 x + m bằng 2. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 95. Cho x , y là các số thực thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = tan 2 x + tan 2 y bằng
A.
1
.
3
B.
2
.
3
D.
8
.
3
C. 3.
Câu 96. Cho hàm số y = f (x ) xác định trên ¡ , thỏa mãn f (tan x ) =
1
sin 2 x - cos 2 x với mọi
2
æ p pö
xÎ ç
- ; ÷
÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ç
ç
è 2 2÷
ø
S = f (a ). f (b ) bằng
A.
1
.
25
B. -
1
.
2
C.
5- 3 5
.
2
D.
5+ 3 5
.
2
æ pö
Câu 97. Cho hai số thực x , y thuộc çç0; ÷
÷ và thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y + 2 sin (x + y ) = 2. Giá trị nhỏ
ç
è 2÷
ø
A.
cos 4 x cos 4 y
bằng
+
y
x
3
B. .
A. M =
1+
nhất của P =
2
5
2
C. .
D. .
.
p
p
p
3p
Câu 98. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả các
æ pù
hàm số y = a + b sin x + c cos x với x Î çç0; ú.
ç 4ú
è
û
2.
B. M = 1 +
C. M = 2 1 +
2.
2.
(
D. M = 2 1 +
)
2 .
Câu 99. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin (2 - 2ab )- sin (a + b ) = 2ab + a + b - 2. Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S = a + 2b bằng
2 10 - 3
3 10 - 7
2 10 - 1
2 10 - 5
.
.
.
.
B.
C.
D.
2
2
2
2
Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos (x + y + 1)+ 3 = cos (3 xy )+ 9 xy - 3 x - 3 y. Giá trị
A.
nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng
A.
11 + 4 7
.
9
B. 1.
C.
28 + 8 7
.
21
---------- HẾT ----------
11
D.
7+ 2 7
.
21
LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………
02
2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….
04
3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…
07
4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….
5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a ; b ] ………..…………
12
6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………
7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a ; b )…….…..…
9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..……… 31
Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
12
16
21
8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….
10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………
10
34
27
2018
cú tp xỏc nh l D = Ă .
1 + tan 2 x
sin x
B. Hm s y =
cú tp xỏc nh l D = Ă \ {3} .
3 - cos x
A. Hm s y =
C. Hm s y =
cos x + 1 cú tp xỏc nh l D = Ă .
D. Hm s y = sin
2x
cú tp xỏc nh l D = Ă .
x- 2
Li gii. Chn C.
Cõu 2. Cho cỏc hm s y1 =
x sin 2 x
3
cos 2 x
;
ổ5p
ử
y2 = 2 - sin x cos ỗ
- 2x ữ
; y3 = sin x cos 2 x + tan x v
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ
y4 = x cos 2 x . Hi cú bao nhiờu hm s cú th nhn gc ta lm tõm i xng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Li gii. Kim tra ta cú y1 v y3 l cỏc hm s l. Chn B.
Cõu 3. Trong cỏc hm s y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x cú bao nhiờu hm s tha món
tớnh cht f (x + k p ) = f (x ), " x ẻ Ă , k ẻ Â .
A. 1.
B. 2.
Li gii. Chn C. ú l cỏc hm s y2 ; y3 ; y4 .
Cõu 4. ng cong trong hỡnh bờn l
th ca mt hm s trong bn hm
s c lit kờ bn phng ỏn A, B,
C, D di õy. Hi hm s ú l hm s
no?
C. 3.
D. 4.
A. y = sin 2 x
B. y = cos x .
C. y = - sin x
Li gii. Khi x = 0 thỡ y = 1. Chn B.
Cõu 5. ng cong trong hỡnh bờn mụ t th ca
hm s y = A sin (x + a )+ B (vi A, B, a l cỏc
D. y = - cos x .
ộ pự
12a
hng s v a ẻ ờ0; ỳ). Tớnh S = A + B +
.
ờ
ỳ
p
ở 2ỷ
A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = 3.
D. S = 5.
ỡù
ổ
ử
ùù A sin ỗỗ- 2p + a ữ
+ B= - 3
ữ
ữ
ỗố 3
ùù
ứ
ù
Li gii. Da vo th hm s ta cú h phng trỡnh ùớ A sin a + B = 0
ùù
ổp
ử
ùù
+ B=1
ữ
ùù A sin ỗỗỗ + a ữ
ữ
ố3
ứ
ùợ
ổp
ử 1- B
+ aữ
=
. (4 )
Ta thy A = 0 khụng tha món h. Do ú (3) sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3
ứ
A
ổ 2p
ử
ổp
ử
(4 )
đ - A sin ỗ
+ aữ
+ B = - 3 - A sin ỗ
T (1) ắ ắ
ữ
ữ
ỗp ỗ + aữ
ữ
ữ+ B = - 3 ắ ắđ B = ỗ
ỗ
ố
ứ
ố3
ứ
3
ỡù A sin a = 1
ùù
ổp
Thay B = - 1 vo (2) v (3) , ta cú h ớ
ắắ
đ sin ỗỗ +
ổp
ử
ỗố3
ùù A sin ỗỗ + a ữ
=
2
ữ
ữ
ỗố3
ứ
ùợù
13
ử
ứ
(1)
(2).
(3)
1.
aữ
ữ
ữ= 2 sin a
sin
p
3
cos a + cos
p
3
ộ pự
sin a = 2 sin a
3 cos a = 3sin a tan a =
3 a ẻ ờởờ0; 2 ỳỷỳ
p
ắ ắ ắđ a = .
3
6
ỡù A = 2; B = - 1
ù
12a
Vi a = ắ ắ
đ A = 2. Vy ùớ
ắắ
đ S = A+ B +
= 3. Chn C.
p
ù
6
p
ùù a =
6
ợ
Nhn xột: Cỏch trc nghim: nhỡn th oỏn c A = 2; B = - 1 (da vo min max) v dựng d
p
kin th i qua gc ta suy ra a =
p
.
6
Cõu 6. Mt chic gung nc cú dng hỡnh trũn bỏn kớnh 2,5m, trc ca nú
cỏch mt nc 2m . Khi gung quay u, khong cỏch h (một) t mt
chic gu gn ti im A ca gung n mt nc c tớnh theo cụng
ộ ổ 1 ửự
ỳ
x- ữ
thc h = y trong ú: y = 2,5sin ờ2p ỗ
ữ
ỗ
ữỳ+ 2 vi x l thi gian quay
ỗ
ờ
4ứ
ở ố
ỷ
ca gung vi x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn
mt nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao nht
khi no?
1
1
A. x = 0.
B. x = .
C. x = .
D. x = 1.
4
2
ộ ổ 1 ửự
1
ỳ
đ x = . Chn C.
Li gii. Gu v trớ cao nht khi: sin ờ2p ỗỗx - ữ
ữ
ữỳ= 1 ắ ắ
ỗ
ờ
ố
ứ
4
2
ở
ỷ
Cỏch trc nghim thay tng ỏp ỏn vo v bm mỏy so sỏnh.
Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )L (1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh no sau
õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].
B. n ẻ [8;19 ].
C. n ẻ [20;26 ].
D. n ẻ [27;33].
Li gii. Ta cú bin i: (1 + tan1).(1 + tan 2)L (1 + tan 45)
(cos 45 + sin 45)
L
cos1
cos 2
cos 45
2 sin (1 + 45)
2 sin (2 + 45)
2 sin (45 + 45)
=
L
cos1
cos 2
cos 45
45 cos 44.cos 43.....cos 2.cos1
sin 90
= 2 .
cos1.cos 2.....cos 43.cos 44 cos 45
ổ ử
ỗ
ữ
ỗ ữ
45 ỗ 1 ữ
45
ữ
ữ
= 2 .ỗ
=
2
. 2 = 2 23 ắ ắ
đ n = 23. Chn C.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố2 ữ
ứ
Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món
1
1
1
2
+
+L +
=
.
sin 450.sin 46 0 sin 46 0.sin 47 0
sin134 0.sin1350 sin n 0
A. n = 1.
B. n = 45.
C. n = 46.
D. n = 91.
1
1
1
Li gii. t P =
+
+L +
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
sin1
sin1
sin1
ị sin1.P =
+
+L +
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
ị sin1.P = cot 45- cot 46 + cot 46- cot 47 + ... + cot134- cot135
2
ị sin1.P = cot 45- cot135 = 2 ắ ắ
đ P=
ắắ
đ n = 1. Chn A.
sin1
=
(cos1 + sin1) (cos 2 + sin 2)
( )
( )
( )
Cõu 9. Cho gúc a tha 0 < a <
p
4
v sin a + cos a =
14
5
. Tớnh P = sin a - cos a .
2
A. P =
3
.
2
B. P =
1
ì
2
C. P = -
1
ì
2
D. P = -
3
.
2
Li gii. Ta cú (sin a - cos a ) + (sin a + cos a ) = 2 (sin 2 a + cos 2 a ) = 2 .
2
2
2
5 3
= .
4 4
2
Suy ra (sin a - cos a ) = 2 - (sin a + cos a ) = 2 Do 0 < a <
p
4
suy ra sin a < cos a nờn sin a - cos a < 0 . Vy P = -
Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = A. P =
5.
B. P = -
4
v a ẻ
3
3
. Chn D.
2
ổ3p
ự
a
a
ỗ
;2p ỳ. Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỗ2
ỳ
ố
2
2
ỷ
5.
C. P = -
5
.
5
D. P =
5
.
5
ổ3p
ự a ổ3p ự
ẻ ỗỗ ; p ỳ.
Li gii. Ta cú P 2 = 1 + sin a . Vi a ẻ ỗỗ ;2p ỳị
ỗ2
ỗ4 ỳ
ỳ
ố
ỷ 2 ố
ỷ
ùỡù
a
2
ùù 0 Ê sin <
a
a
2
2
Khi ú ùớ
, suy ra P = sin + cos < 0 .
ùù
2
2
a
2
ùù - 1 Ê cos < 2
2
ợù
T h thc sin 2 a + cos 2 a = 1 , suy ra sin 2 a = 1 - cos 2 a = 1 -
1
16
.
=
1 + tan 2 a 25
ổ3p
ự
4
Vỡ a ẻ ỗỗ ;2p ỳ nờn ta chn sin a = - .
ỗ2
ỳ
ố
5
ỷ
Thay sin a = -
4
1
5
vo P 2 , ta c P 2 = . Suy ra P = . Chn C.
5
5
5
Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ pử
ổp
ử 5
ổp
ử
+ 4 cos ỗỗ - x ữ
= . Nu t t = cos ỗ
Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗx + ữ
thỡ phng trỡnh
ữ
ữ
ữ
ỗ - xữ
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ
ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ pử
ổ pử
ổp
ử
x+ ữ
= 1 - 2 sin 2 ỗ
x+ ữ
= 1 - 2 cos 2 ỗ
- xữ
.
Li gii. Ta cú cos 2 ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ố
ố6
ứ
3ứ
3ứ
ổp
ử
ổp
ử 3
+ 4 cos ỗ
Do ú phng trỡnh tng ng vi - 2 cos 2 ỗỗ - x ữ
ữ
ữ
ỗ - xữ
ữ
ữ- 2 = 0
ỗ
ỗ
ố6
ứ
ố6
ứ
ổp
ử
ổp
ử
- 4 cos 2 ỗỗ - x ữ
+ 8 cos ỗỗ - x ữ
ữ
ữ- 3 = 0.
ữ
ữ
ỗ6
ỗ6
ố
ứ
ố
ứ
ổp
ử
2
2
Nu t t = cos ỗỗ - x ữ
ữ
ữ thỡ phng trỡnh tr thnh - 4 t + 8t - 3 = 0 4 t - 8t + 3 = 0. Chn A.
ỗ
ố6
ứ
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x )+ sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗx 0 + ữ
ữ
ữ bng
ỗ
ố
4ứ
1
1
.
.
A. - 1.
B. 1.
C. D.
2
2
ổ pử
1- t 2
x+ ữ
Li gii. t t = sin x - cos x = - 2 cos ỗ
Suy
ra
2
Ê
t
Ê
2
.
sin
x
cos
x
=
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
4ứ
2
ột = - 1
1- t 2
+ 6= 0 ờ
Phng trỡnh ó cho tr thnh 6t +
ờt = 13 (loaùi )
2
ở
ổ pử
ổ
ử
p
1
ỗ
ắắ
đ - 2 cos ỗ
ữ
ữ
ỗx + ữ
ỗx + ữ
ữ= - 1 cos ỗ
ữ= 2 . Chn D.
ỗ
ố
ố
4ứ
4ứ
(
)
15
Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no trong
cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = - 2.
2
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi (2 sin x + 2 cos 2 x )- 2.2 sin x cos x + (2 cos 2 x - 1) = 0
2 - 2 sin 2 x + cos 2 x = 0 cos 2 x - 2 sin 2 x = - 2. Chn C.
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x - 1 = 0 (1) v cos 2 x = -
1
2
(2). Tp cỏc nghim ca phng
trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l
A. x =
p
3
p
C. x =
B. x = k 2p (k ẻ Â ).
+ k 2p (k ẻ Â ).
3
+ k 2p (k ẻ Â ).
D. x =
Li gii. Phng trỡnh (1) cos 3 x = 1 3 x = k 2p x =
2p
+ k 2p (k ẻ Â ).
3
k 2p
(k ẻ Â ).
3
2p
2p
p
2x =
+ k 2p x = + k p (k ẻ Â ).
3
3
3
Biu din nghim trờn ng trũn lng giỏc ta thy c nghim chung ca hai phng trỡnh l
2p
x=
+ k 2p (k ẻ Â ). Chn D.
3
ỡ p p p pỹ
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ùớ ; ; ; ùý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng ng vi
ùùợ 6 4 3 2 ùùỵ
Phng trỡnh (2) cos 2 x = cos
phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .
A. a =
p
B. a =
.
6
Li gii. Ta cú
p
4
C. a =
.
cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0
p
3
.
D. a =
p
2
.
ổ
1
3
pử
cos 2 x +
sin 2 x = cos x cos ỗỗ2 x - ữ
ữ= cos x .
ỗ
ố
ứ
2
2
3ữ
ỡ p p p pỹ
T ú cho thy vi a ẻ ùớ ; ; ; ùý hai phng trỡnh ó cho tng ng vi nhau thỡ ch cú duy
ùợù 6 4 3 2 ùỵ
ù
nht a =
p
3
tha món. Chn C.
ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ- 2p; ỳ, th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao nhiờu im?
ờ
2ỳ
ở
ỷ
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 8.
Li gii. Phng trỡnh honh giao im ca hai th hm s l: sin x = cos x
tan x = 1 x =
p
4
+ k p (k ẻ Â ).
ộ
5p ự
p
5p
9
9
ẻÂ
đ - 2p Ê + k p Ê
- Ê k Ê ắ kắắ
đ k ẻ {- 2; - 1;0;1;2} .
Do x ẻ ờ- 2p; ỳắ ắ
ờ
ỳ
2ỷ
4
2
4
4
ở
ộ
5p ự
Vy th hai hm s ó cho ct nhau ti 5 im trờn on ờ- 2p; ỳ. Chn C.
ờ
2ỳ
ở
ỷ
Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng trũn lng
giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Li gii. Ta cú cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 2 cos 2 x cos x + cos 2 x = 0
16
ộ
p k 2p
ộcos 2 x = 0
ờx = +
đ 4 diem
ờ
ờ
4
4
ờ
(k ẻ Â ) v cỏc im ny khụng trựng nhau nờn tp
ờ
1
ờcos x = p
ờ
ờ
ờx = + k 2p đ 2 diem
2
ở
ờ
3
ở
nghim ca phng trỡnh ó cho cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn D.
Cõu 18. Cú bao nhiờu giỏ tr ca a thuc [0;2p ] ba phn t ca S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trựng vi
ba phn t ca T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Li gii. Vỡ S = T ắ ắ
đ sin a + sin 2a + sin 3a = cos a + cos 2a + cos 3a
2 sin 2a cos a + sin 2a = 2 cos 2a cos a + cos 2a sin 2a (2 cos a + 1) = cos 2a (2 cos a + 1)
ộ
p
p
ộsin 2a = cos 2a
ờa = + k
ờ
ờ
8
2
ờ
ờ
(k ẻ Â ).
1
ờcos a = ờ
2p
ờ
a
=
+
k
2
p
ờ
2
ở
ờ
3
ở
Th li ta thy ch cú a =
p
8
+k
p
2
(k ẻ Â ) tha S = T .
p
1
15 k ẻ Â
+ k Ê 2p - Ê k Ê
ắ ắắ
đ k ẻ {0;1;2;3} . Chn D.
8
2
4
4
Cõu 19. Phng trỡnh 2 n + 1 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = 1 vi n ẻ Ơ * cú tp nghim trựng vi
tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.
B. sin x = sin 2 n x .
C. sin x = sin 2 n + 1 x .
D. sin x = sin 2 n + 2 x .
Li gii. Vỡ x = k p khụng l nghim ca phng trỡnh ó cho nờn nhõn hai v phng trỡnh cho
sin x , ta c 2 n + 1 (sin x cos x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
Vỡ a ẻ [0;2p ]ắ ắ
đ 0Ê
p
2 n (sin 2 x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n (sin 2 x .cos 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n- 1 (sin 2 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
M
sin 2 n + 2 x = sin x . Chn D.
Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu din cỏc nghim
ổ pử
ca phng trỡnh tan x + tan ỗ
x+ ữ
ữ= 1.
ỗ
ỗ
ố
ứ
4ữ
A.
3 10
.
10
B.
3 10
.
5
C.
2.
D.
ỡù
ùù x ạ p + k p
ùù
2
(k ẻ Â ).
ớ
ùù
p
x
ạ
+
k
p
ùù
4
ùợ
tan x + 1
1 tan x +
=1
1 - tan x
ùỡù cos x ạ 0
ù
Li gii. iu kin: ớ
ổ pử
ùù cos ỗ
x+ ữ
ạ 0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
4ứ
ùợù
ổ pử
x+ ữ
Ta cú tan x + tan ỗ
ữ
ỗ
ữ=
ỗ
ố
4ứ
tan x - tan 2 x + tan x + 1 = 1 - tan x
ộtan x = 0
ộx = k p
tan 2 x - 3 tan x = 0 ờ
ờ
(k ẻ Â ).
ờtan x = 3
ờx = arctan 3 + k p
ở
ở
Nghim x = k p biu din trờn ng trũn lng giỏc l hai im
A, B (xem hỡnh v).
Nghim x = arctan 3 + k p biu din trờn ng trũn lng giỏc l hai
im M , N (xem hỡnh v).
17
3.
y
T
3
1
M
H
O
x
A
B
N -1
Ta cú SD AMN =
1
1
AO. AT
3 10
3 10
MN . AH = .MN .
=
ắắ
đ S AMBN =
. Chn B.
2
2
2
2
10
5
AO + AT
Vn 3. Nghim dng nh nht
Nghim õm ln nht
Cõu 21. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 cú dng
pa
b
vi a, b l cỏc s
nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.
C. S = 15.
D. S = 17.
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin 5 x = 1 - 2 cos 2 x sin 5 x = - cos 2 x
ộ
p
2p
ờx = - + k
ổ
ử
p
ờ
6
3
sin 5 x = sin ỗỗ2 x - ữ
ờ
ữ
ữ
ỗố
ứ
ờ
3
p
2
p
2
+k
ờx =
ờ
7
ở 14
ỡ
a
=
3
ù
3p
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = 17. Chn D.
ắắ
đ nghim dng nh nht l
ùùợ b = 14
14
sin x
1
pa
vi a, b
+
+ cot x = 2 cú dng
1 + cos x 1 - cos x
b
l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
ùỡù cos x ạ 1
x ạ k p (k ẻ Â ).
Li gii. iu kin: ớ
ùùợ sin x ạ 0
Cõu 22. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh
Phng trỡnh
sin x (1 - cos x )+ 1 + cos x
2
sin x
sin x + cos x + 1 = 2 sin 2 x
sin x + cos x + cos 2 x = 0
+
cos x
= 2
sin x
(sin x + cos x )(1 + cos x - sin x ) = 0.
sin x + cos x = 0 tan x = - 1 x = -
p
4
+ k p (k ẻ Â )(thoỷ
a maừ
n).
ộ
p
ờx = + k 2p (thoỷ
a maừ
n)
ổ pử
2
ờ
1 + cos x - sin x = 0 sin ỗỗx - ữ
=
2
(k ẻ Â ).
ữ
ữ
ỗ
ờ
ố
4ứ 2
ờ
ởx = p + k 2p (loaùi )
ùỡ a = - 1
p
đ ùớ
ắắ
đ S = 3. Chn A.
ắắ
đ nghim õm ln nht l - ắ ắ
ùùợ b = 4
4
ổp
ử
ử
p
2ổ
- xữ
+ 2x ữ
. S v trớ biu din cỏc
Cõu 23. Cho phng trỡnh sin x + sin 5 x = 2 cos 2 ỗ
ữ- 2 cos ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ4
ỗ4
ố
ứ
ố
ứ
nghim ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
ổ
ử
ổ
ử
ùỡù
p
p
2
= 1 + cos ỗ
= 1 + sin 2 x
ữ
ữ
ùù 2 cos ỗ
ỗ - xữ
ỗ - 2x ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
4
2
ù
Li gii. Ta cú ớ
.
ùù
ổp
ử
ổp
ử
ữ
ữ
ỗ
+
2
x
=
1
+
cos
+
4
x
=
1
sin
4
x
ùù 2 cos 2 ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ4
ỗ2
ố
ứ
ố
ứ
ùợ
Do ú phng trỡnh tng ng vi sin x + sin 5 x = sin 2 x + sin 4 x
2 sin 3 x cos 2 x = 2 sin 3 x cos x
2 sin 3 x (cos 2 x - cos x ) = 0.
sin 3 x = 0 x =
kp
(k ẻ Â ).
3
18
ộx = k 2p
ờ
cos 2 x - cos x = 0 cos 2 x = cos x ờ
k 2p (k ẻ Â ).
ờx =
ờ
3
ở
Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =
k p k 2p
=
(k ẻ Â )
3
6
ắắ
đ cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn D.
Cõu 24. Cho phng trỡnh sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tng nghim õm ln
nht v nghim dng nh nht ca phng trỡnh bng
p
7
.
p
p
p
C. D. .
.
.
18
20
7
1
3sin x - sin 3 x
Li gii. Phng trỡnh sin x + (sin 3 x + sin x )+ 3 cos 3 x = 2 cos 4 x +
2
2
sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x
ổ
pử
sin ỗ
ữ
ỗ3 x + ữ
ữ= cos 4 x
ỗ
ố
3ứ
ộ
p k 2p
ờx =
+
ổ
ử
ổ
ử
p
p
ờ
42
7
ữ
ỗ
sin ỗ
3x + ữ
=
sin
4
x
(k ẻ Â ).
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố2
ứ ờ
p
3ứ
ờx = - + k 2p
ờ
6
ở
A. -
B. -
Suy ra nghim õm ln nht l -
p
6
; nghim dng nh nht l
p
42
. Chn A.
Cõu 25. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh cos 3 x (2 cos 2 x + 1) =
1
pa
cú dng
vi a, b l
2
b
cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 7.
B. S = 8.
C. S = 15.
Li gii. Phng trỡnh 4 cos 3 x cos 2 x + 2 cos 3 x = 1
2 (cos 5 x + cos x )+ 2 cos 3 x = 1
D. S = 17.
2 cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x = 1.
Nhn thy sin x = 0 x = k p (k ẻ Â ) khụng tha món phng trỡnh.
Nhõn hai v cho sin x ta c 2 sin x cos x + 2 sin x cos 3 x + 2 sin x cos 5 x = sin x
sin 2 x + (sin 4 x - sin 2 x )+ (sin 6 x - sin 4 x ) = sin x
ộ
k 2p
ờx =
ờ
5
sin 6 x = sin x ờ
(k ẻ Â ).
ờ
p k 2p
x
=
+
ờ
ờ
7
7
ở
ùỡ a = 1
p
đ ùớ
ắắ
đ S = 8. Chn B.
Suy ra nghim dng nh nht l ắ ắ
ùùợ b = 7
7
Cõu 26. Cho phng trỡnh sin 2018 x + cos 2018 x = 2 (sin 2020 x + cos 2020 x ). S v trớ biu din cỏc nghim
ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
2018
2
2018
Li gii. Phng trỡnh sin
x (1 - 2 sin x )+ cos
x (1 - 2 cos 2 x ) = 0
sin 2018 x .cos 2 x - cos 2018 x cos 2 x = 0
ộcos 2 x = 0
ờ 2018
.
ờsin
x = cos 2018 x
ở
p kp
cos 2 x = 0 x = +
(k ẻ Â ).
4
2
sin 2018 x = cos 2018 x tan 2018 x = 1 tan x = 1 x =
19
p
4
+ k p (k ẻ Â ).
D. 2020.
Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =
p
4
+
kp
(k ẻ Â )
2
ắắ
đ cú 4 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn B.
ổ pử
ữ cú dng p a vi
Cõu 27. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 ỗỗx + ữ
ỗố
ứ
4ữ
b
a, b l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = - 3.
B. S = - 1.
C. S = 1.
D. S = 3.
ỡù tan 2018 x + cot 2018 x 2
ùù
Li gii. Ta cú ùớ
.
ổ
ử
ùù 2 sin 2017 ỗỗx + p ữ
Ê 2
ữ
ữ
ỗ
ùùợ
ố
ứ
4
ỡù
ỡù tan x = cot x
ùù x = p + k p
ùù
p
ù
4
ùớ
x = + k 2p (k ẻ Â ).
Do ú phng trỡnh tng ng vi ớ
ổ pử
ữ
ùù sin ỗ
ù
x
+
=
1
p
4
ữ
ỗ
ùù x = + k 2p
ỗ
ố
ứ
ùùợ
4ữ
ùùợ
4
ùỡù a = - 7
7p
ắắ
đớ
ắắ
đ S = - 3. Chn A.
ắắ
đ nghim õm ln nht l ùùợ b = 4
4
Cõu 28. Cho phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x =
nh nht ca phng trỡnh cú dng
pa
b
cos 2 x
. Nghim dng
1 - tan x
vi a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh
S = a + b.
A. S = 2.
B. S = 3.
ỡùù cos x ạ 0
.
Li gii. iu kin: ớ
ùùợ tan x ạ 1
C. S = 4.
D. S = 7.
cos 2 x
cos 2 x - sin 2 x
=
= cos x (cos x + sin x ).
sin x
1 - tan x
1cos x
Do ú phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x = (sin x + cos x )cos x
Ta cú
2017
2018
cos x (sin x + cos x ). ộ
x + cos 2018 x )- 1ự
ờ2 (sin
ỳ= 0.
ở
ỷ
cos x = 0 : (loaùi ).
p
+ k p (k ẻ Â ).
4
2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )- 1 = 0 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) = 1 : vụ nghim vỡ
sin x + cos x = 0 tan x = - 1 x = -
1009
ổa1009 + b1009 ử
ổa + b ử
ữ
ữ = 1 vi a = sin 2 x , b = cos 2 x .
ỗỗ
ữ
sin 2018 x + cos 2018 x = 2.ỗỗỗ
2
ữ
ữ
ữ
ỗ 2 ứ
ữ ố
2
21008
ố
ứ
ắắ
đ nghim dng nh nht l
3p
ắắ
đ
4
Cõu 29. Bit rng phng trỡnh
ỡùù a = 3
ắắ
đ S = 7. Chn D.
ớ
ùùợ b = 4
1
1
1
1
+
+
+L +
= 0 cú nghim dng
sin x sin 2 x sin 4 x
sin 2 2018 x
k 2p
vi k ẻ Â v a, b ẻ Â + , b < 2018. Tớnh S = a + b.
2a - b
A. S = 2017.
B. S = 2018.
C. S = 2019.
D. S = 2020.
Li gii. iu kin: sin 2 2018 x ạ 0.
cos a cos 2a 2 cos 2 a - cos 2a
1
=
=
.
Ta cú cot a - cot 2a =
sin a sin 2a
sin 2a
sin 2a
ổ x
ử
+ (cot x - cot 2 x )+ ... + (cot 2 2017 x - cot 2 2018 x ) = 0
Do ú phng trỡnh ỗỗcot - cot x ữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ
x=
20
x
- cot 2 2018 x = 0
2
x
x
k 2p
cot 2 2018 x = cot 2 2018 x = + k p x = 2019
(k ẻ Â )
2
2
2 - 1
cot
ùỡ a = 2019
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = a + b = 2020. Chn D.
ùùợ b = 1
sin x
p
Cõu 30. Phng trỡnh
cú bao nhiờu nghim?
=
x
18
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vụ s.
Li gii. iu kin: x ạ 0 .
sin x
p
p
Phng trỡnh
=
ắắ
đ sin x =
x . (1)
x
18
18
Phng trỡnh (1) l phng trỡnh honh giao im ca th hm s y = sin x (cú th l mu
xanh nh hỡnh v) vi th hm s y =
p
18
x (cú th l mu nh hỡnh v).
Da vo hỡnh v ta thy hai th hm s ct nhau ti 3 im phõn bit nờn phng trỡnh (1) cú 3
nghim phõn bit ắ ắ
đ i chiu iu kin bi toỏn ta loi nghim x = 0 nờn phng trỡnh ó cho
cú 2 nghim. Chn B.
Vn 4. S nghim ca phng trỡnh
Cõu 31. Phng trỡnh 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) cú bao nhiờu nghim
thuc khong (0;2018) ?
A. 2565.
B. 2566.
C. 2567.
D. 2568.
Li gii. Phng trỡnh (1 + cos 2 x )+ (1 + cos 4 x )+ (1 + cos 6 x )- 3 = 2 cos 4 x sin 2 x + cos 4 x
cos 6 x + cos 2 x = 2 cos 4 x sin 2 x
2 cos 4 x cos 2 x - 2 cos 4 x sin 2 x = 0
2 cos 4 x (cos 2 x - sin 2 x ) = 0
p
p
(k ẻ Â ).
8
4
( cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x = (cos 2 x - sin 2 x )(cos 2 x + sin 2 x ) nờn cha luụn cos 2 x - sin 2 x )
cos 4 x = 0 x =
đ 0<
Vỡ x ẻ (0;2018) ắ ắ
p
8
+k
p
4
+k
< 2018 -
1
< k<
2
ổ
p ử4
ỗ
2018 - ữ
ữ
ỗ
ữp - 0,5 < k < 2565,39
ỗ
ố
8ứ
ắắ
đ k ẻ {0;1;2;3;...;2565} . Vy cú 2566 nghim. Chn B.
Cõu 32. Phng trỡnh
(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
= 1 cú bao nhiờu nghim thuc khong (0;2018p ) ?
(1 + 2 cos x )sin x
A. 3025.
B. 3026.
Li gii. iu kin: (1 + 2 cos x )sin x ạ 0.
C. 3027.
Phng trỡnh 1 - cos x - 2 cos 2 x = sin x + 2 sin x cos x
21
D. 3028.
cos 2 x + cos x + sin 2 x + sin x = 0
3x
x
3x
x
cos + 2 sin cos = 0
2
2
2
2
ộ x
ờcos = 0 (loaùi )
ử
xổ
3
x
3
x
3x
p
2p
ờ 2
2 cos ỗ
sin
+ cos ữ
=
0
tan
= - 1 x = - + k
(k ẻ Â ).
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
3x
ờ 3x
2ố
2
2ứ
2
6
3
sin
+
cos
=
0
ờ
ờ
2
ở 2
ổ
p
2p
1
1ử 3
1
đ 0< - + k
< 2018p < k < ỗ
2018 + ữ
Vỡ x ẻ (0; 2018p ) ắ ắ
ữ
ỗ
ữ. 2 4 < k < 3027,25.
ỗ
ố
6
3
4
6ứ
2 cos
ắắ
đ k ẻ {1;2;3;...;3027} . Vy cú 3027 nghim. Chn C.
ộp
Cõu 33. Phng trỡnh sin ờ 3 x ờ4
ở
A. 1.
B. 2.
(
Li gii. Phng trỡnh
p
4
3x
(3x -
ự
9 x 2 - 16 x - 80 ỳ= 0 cú bao nhiờu nghim nguyờn dng?
ỳ
ỷ
)
C. 3.
D. 4.
)
9 x 2 - 16 x - 80 = k p
9 x 2 - 16 x - 80 = 4 k
9 x 2 - 16 x - 80 = 3 x - 4 k
ỡù 3 x 4 k
(1)
ùớ 2
.
2
2
ùù 9 x - 16 x - 80 = 9 x - 24 kx + 16 k (2)
ợ
2 (9 k 2 - 4 )+ 98
2 k 2 + 10
98
Phng trỡnh (2) x =
ắắ
đ 9x =
= 2 (3k + 2)+
.
3k - 2
3k - 2
3k - 2
ộk = 1 ị x = 12
ờ
kẻ Â
+
đ ờ
. Chn B.
Vỡ x ẻ Â nờn ta cn cú 3k - 2 = {1;2;7;14;49;98} ắ ắắ
ờk = 3 ị x = 4
ờ
ờ
ởk = 17 ị x = 12 (loaùi )
ổ pử 1
Cõu 34. Phng trỡnh sin 4 x + cos 4 ỗỗx + ữ
cú bao nhiờu nghim thuc khong (0;2017p ) ?
ữ=
ỗ
ố
ứ 4
4ữ
A. 4032.
B. 4033.
C. 4034.
D. 4035.
1 - cos 2 x
ùỡù
2
ùù sin x =
2
Li gii. Ta cú ùớ
.
ổ pử
ùù
ữ
ỗ
ùù cos x - sin x = 2 cos ỗỗx + ữ
ữ
ố
4ứ
ùợ
4
2
ổ1 ử
ổ1 - cos 2 x ử
1
4
ữ
+ ỗỗ ữ
Phng trỡnh ỗỗ
ữ (cos x - sin x ) =
ữ
ữ
ỗố
ỗ
ữ
ứ ố 2ứ
2
4
2
2
(1 - cos 2 x ) + (1 - sin 2 x ) = 1
3 - 2 (cos 2 x + sin 2 x ) = 1
ộx = k p
ổ
ờ
pử
1
ữ
ờ
sin ỗ
2
x
+
=
(k ẻ Â ).
ữ
p
ỗ
ữ
ỗ
ờx = + k p
ố
4ứ
2
ờ
4
ở
Vỡ x ẻ (0;2017p ) nờn
0 < k p < 2017p 0 < k < 2017 ắ ắ
đ cú 2016 nghim
p
1
8067
ắắ
đ cú 2017 nghim.
0 < + k p < 2017p - < k <
4
4
4
Vy cú tng cng 4033 nghim. Chn B.
Cõu 35. Tỡm s nghim ca phng trỡnh tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trờn on
[- p; p ].
A. 2.
B. 3.
C. 6.
22
D. 7.
ỡù cos x ạ 0
ùù
Li gii. iu kin: ùớ cos 2 x ạ 0.
ùù
ùùợ cos 4 x ạ 0
Phng trỡnh tan 4 x - tan 2 x = 4 tan x (1 + tan 4 x .tan 2 x )
tan 4 x - tan 2 x
= 4 tan x (vỡ cos 2 x ạ 0 ắ ắ
đ 1 + tan 4 x .tan 2 x ạ 0 )
1 + tan 4 x .tan 2 x
tan 2 x = 4 tan x
tan x + tan x
= 4 tan x
1 - tan x tan x
tan x (2 tan 2 x - 1) = 0
ộx = k p
ộtan x = 0 (thoỷ
a maừ
n)
ờ
ờ
ờ
ờ
ổ 2ử
ờ
(k ẻ Â ).
ữ
ờ
ỗ
2
(thoỷa maừn) ờx = arc tan ỗỗỗ 2 ữữữ+ k p
ờtan x =
ố
ứ
ờ
ờ
2
ở
ở
đ cú tt c 6 nghim tha món. Chn C.
Vỡ x ẻ [- p; p ]ắ ắ
Vn 5. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh
trờn on [a ; b ]
Cõu 36. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh tan 5 x - tan x = 0 trờn [0; p ) bng
3p
.
2
ùỡ cos 5 x ạ 0
.
Li gii. iu kin: ùớ
ùùợ cos x ạ 0
A. p.
C. 2p.
B.
Phng trỡnh tan 5 x = tan x 5 x = x + k p x = k
đ 0Ê k
Vỡ x ẻ [0; p ) ắ ắ
p
4
D.
5p
.
2
(k ẻ Â ).
p
ẻÂ
< p 0 Ê k < 4 ắ kắắ
đ k ẻ {0;1;2;3} .
4
ỡù k = 0 ắ ắ
đ x= 0
ùù
ùù
p
ùù k = 1 ắ ắ
đ x=
ùù
4
p 3p
Suy ra ùớ
ắắ
đ +
= p. Chn A.
p
ùù k = 2 ắ ắ
4
4
đ x=
loaùi )
(
ùù
2
ùù
3p
ùù k = 3 ắ ắ
đ x=
ùùợ
4
Cõu 37. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh cos (sin x ) = 1 trờn on [0;2p ] bng
A. 0.
B. p.
C. 2p.
D. 3p.
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin x = k 2p, k ẻ Â .
Vỡ - 1 Ê sin x Ê 1 nờn suy ra k = 0 , khi ú phng trỡnh tr thnh sin x = 0 x = l p (l ẻ Â ).
đ x ẻ {0; p;2p } . Suy ra tng cỏc nghim 0 + p + 2p = 3p. Chn D.
Vỡ x ẻ [0;2p ]ắ ắ
9
= 0. Gi S l tp cỏc giỏ tr ca
4
tham s a thuc on [0;4 p ] phng trỡnh cú nghim kộp. Tng cỏc phn t ca tp S bng
Cõu 38. Cho phng trỡnh x 2 - (2 cos a - 3)x + 7 cos 2 a - 3cos a -
A.
20p
.
3
B. 15p.
C. 16p.
ổ
9ử
2
2
ữ= 0
Li gii. Yờu cu bi toỏn D = (2 cos a - 3) - 4 ỗỗỗ7 cos a - 3cos a - ữ
ố
ứ
4ữ
23
D. 17p.
ộ
ùỡ p 11p 13p 23p ùỹ
ẻ [0;4 p ]
ờcos a = 3 ắ aắ
ắắ
đaẻ ớ ;
;
;
ý
ờ
ùợù 6 6
2
6
6 ùỵ
ù
6 (3 - 4 cos 2 a ) = 0 ờ
.
ờ
3 a ẻ [0;4 p ]
ùỡ 5p 7p 17p 19p ùỹ
ờ
ắ ắ ắắ
đaẻ ớ
; ;
;
ý
ờcos a = ùợù 6 6 6
2
6 ùỵ
ờ
ù
ở
p 11p 13p 23p 5p 7p 17p 19p
Vy +
+
+
+
+
+
+
= 16p. Chn C.
6
6
6
6
6
6
6
6
Cõu 39. Tớnh tng S tt c cỏc nghim ca phng trỡnh (2 cos 2 x + 5)(sin 4 x - cos 4 x )+ 3 = 0 trờn
khong (0;2p ).
A. S =
7p
.
6
B. S =
11p
.
6
C. S = 4 p.
D. S = 5p.
Li gii. Phng trỡnh (2 cos 2 x + 5)(sin 2 x - cos 2 x )+ 3 = 0
- (2 cos 2 x + 5)cos 2 x + 3 = 0
- 2 cos 2 2 x - 5cos 2 x + 3 = 0
ộ
1
ờcos 2 x =
p
ờ
x = + k p (k ẻ Â ).
2
ờ
6
ờ
ởcos 2 x = - 3 (loaùi )
ỡ p 5p 7p 11p ỹ
ùý ắ ắ
đ x ẻ ùớ ; ; ;
đ S = 4 p. Chn C.
Vỡ x ẻ (0;2p ) ắ ắ
ùợù 6 6 6 6 ùỵ
ù
Cõu 40. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh
A.
11p
.
36
B.
p
3
.
ổ pử
3- 1
3+1
0; ữ
+
= 4 2 trờn khong ỗ
ữ bng
ỗ
ỗ
ố 2ữ
ứ
sin x
cos x
7p
C.
D. p.
.
18
ỡù sin x ạ 0
p
x ạ k (k ẻ Â ).
Li gii. iu kin: ùớ
ùùợ cos x ạ 0
2
3
1
3
1
cos x + sin x +
sin x - cos x = 2 sin 2 x
Phng trỡnh
2
2
2
2
ổp
ử
ổ
ử
pữ
ữ+ sin ỗ
sin ỗ
+ xữ
x- ữ
= 2 sin 2 x
ỗ
ỗ
ữ
ỗ3
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
6ữ
ổp
ử
p
.
2 cos .sin ỗ
+ xữ
= 2 sin 2 x
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố12
ứ
4
ộ
p
ờx =
+ k 2p
ổp
ử
ờ
12
ữ
sin ỗ
+
x
=
sin
2
x
(k ẻ Â ).
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
ố12
ứ
ờ 11p k 2p
+
ờx =
ờ
36
3
ở
ổ pử
ỡ
ỹ
p
11
p
p
11
p
7
p
ùý ắ ắ
0; ữ
đ x ẻ ùớ ;
đ
+
=
. Chn C.
Vỡ x ẻ ỗ
ữắ ắ
ỗ
ỗ
ố 2ữ
ứ
12 36
18
ùù
ợùù 12 36 ỵ
Cõu 41. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh sin x cos x + sin x + cos x = 1 trờn (0;2p ) bng
A. p.
B. 2p.
Li gii. t t = sin x + cos x
Phng trỡnh tr thnh:
(0 Ê t Ê
C. 3p.
)
2 , suy ra sin x cos x =
t - 1
.
2
ột = 1
ờ
ờt = - 3 (loaùi ).
ở
ổ pử
ổ pử
1
2 cos ỗ
x- ữ
= 1 cos ỗ
x- ữ
=
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố
4ứ
4ứ
2
t2 - 1
+ t = 1 t 2 + 2t - 3 = 0
2
Vi t = 1, ta c sin x + cos x = 1
D. 4 p.
2
24
ộx =
ờ
ờ
ộ p
p
ờx =
ờx = + k 2p
ờ
ờ
4
ờ 4
ờ
ờx =
3p
ờ p
ờ
=
+ k 2p
ờx ờ
ờ
4
ở 4
ờx =
ờ
ở
k 2p
p
2
+ k 2p
p + k 2p
p
-
2
ỡù p
3p ỹ
ẻ (0;2 p )
ắắ
đ x ẻ ớ ; p; ùý. Chn C.
(k ẻ Â ) ắ xắ
ùợù 2
2 ùỵ
ù
+ k 2p
Cõu 42. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) =
3p
3p
37p
B.
C.
.
.
.
7
5
70
Li gii. Nhn thy cos x = 0 khụng l nghim ca phng trỡnh.
Nhõn hai v phng trỡnh vi cos x ta c
1
sin 3 x (cos x - 4 sin 2 x cos x ) = cos x
2
3
2 sin 3 x (4 cos x - 3cos x ) = cos x
A.
ộ pự
1
trờn on ờ0; ỳ bng
ờ
2
ở 2ỳ
ỷ
36p
D.
.
35
2 sin 3 x cos 3 x = cos x
ộ
p k 2p
ờx =
+
ổp
ử
ờ
14
7
ữ
ỗ
sin 6 x = sin ỗ - x ữ
ờ
(k ẻ Â ).
ữ
ỗ
ố2
ứ ờ
p k 2p
+
ờx =
ờ 10
5
ở
ộ
ộ
p
ờk = 0 đ x =
ờk = 0 đ x =
p k 2p p k ẻ Â ờ
p k 2p p k ẻ Â ờ
14
+
Ê ắ ắắ
đ ờ
. 0Ê
+
Ê ắ ắắ
đ ờ
0Ê
5p
ờ
ờ
14
7
2
10
5
2
ờk = 1 đ x =
ờk = 1 đ x =
ờ
ờ
14
ở
ở
p 5p p p 36p
Vy tng
+
+
+ =
. Chn D.
14 14 10 2
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
Cõu 43. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh
=
2 cos x + 3
[0;100p ] bng
A.
7375p
.
3
B.
7475p
.
3
C.
14701p
.
6
D.
p
10
p
.
2
0 trờn on
14850p
.
3
3
.
2
Phng trỡnh tng ng vi sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2 = 0
(sin 2 x - cos x )+ (2 sin 2 x - 5sin x + 2) = 0
Li gii. iu kin: cos x ạ -
cos x (2 sin x - 1)+ (sin x - 2)(2 sin x - 1) = 0
(2 sin x - 1)(sin x + cos x - 2) = 0.
sin x + cos x - 2 = 0 : vụ nghim.
ộ
p
ờx = + k 2p ắ ắ
đ k ẻ [0;49 ]
1
ờ
6
.
2 sin x - 1 = 0 sin x = ờ
ờ 5p
2
+ k 2p (loaùi )
ờx =
ờ
6
ở
49
49
ổp
ử
p
7375p
=
50.
+
2
p
k=
. Chn A.
Vy tng cỏc nghim cn tớnh ồ ỗỗ + k 2p ữ
ữ
ồ
ữ
ỗ
ứ
6
3
k = 0 ố6
k= 0
ổ pử
Cõu 44. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 ỗỗx - ữ
ữ= 2 sin x trờn on [0;2018] bng
ỗố
ứ
4ữ
A.
2018p
.
4
B.
4036p
.
3
C.
25
412485p
.
2
D.
824967p
.
4
