Bài tập vận dụng cao, ứng dụng Mũ Logarit và giải bài toán mặt cầu

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp, lăng trụ.
CHÚ Ý. Các đáp án về bài tập mặt cầu trong chương này Thầy sẽ không dùng công thức tính nhanh,
mà chỉ dụng tính toán chi tiết bình thường, mục đích là để các em phát triển tốt hơn kỹ năng hình
không gian. Khi đi thi, nếu bài nào dùng được công thức tính nhanh của mặt cầu (hầu hết là dùng
được( thì các em nên dùng công thức tính nhanh.
I. Câu hỏi nhận biết
Câu 1. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

B. đường thẳng trung trực của AB .

C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .
Hướng dẫn.
Chọn A.
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA  IB . Do đó I thuộc
mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
Câu 2. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn.
Chọn

D.

Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu (S) chính là tâm của
hình hộp chữ nhật.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Câu 3. Cho mặt cầu S  O; R  , A là một điểm ở trên mặt cầu  S  và  P  là mặt phẳng qua A sao cho
góc giữa OA và  P  bằng 600.
Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng.
A. R 2 .

B.

R 2
.
2

R 2
.
4

D.

R 2
.
8

C.

O

A

r

H

Hướng dẫn

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  P  thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của  P  và  S  .
● OA,  P    OA,AH   60 0.
Bán kính của đường tròn giao tuyến. r  HA  OA.cos600 

R
.

2

2

R
R 2
. Chọn
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến. r 2     
4
2

C.

Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu (S) theo a, b,c .
A. (a2  b2  c2 ) .

B. 2(a 2  b2  c 2 ) .

C. 4(a 2  b2  c 2 ) .

D.

 2
(a  b2  c 2 ) .
2

Hướng dẫn.
Chọn A.
Đường kính của mặt cầu (S) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu (S) có bán kính

r

1 2
a  b2  c 2 . Do đó diện tích mặt cầu (S) là. S  4r 2  (a 2  b2  c 2 ) .
2

Câu 5. Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C) và đi qua A ?
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A. 2.

Chuyên đề: Mũ - Logarit

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Hướng dẫn.
Chọn

C.

Trên đường tròn (C) lấy điểm điểm M 0

I

A

Δ

trực của AM0 và đường thẳng  là trục
O

thì mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề

M

α

cố định. Gọi () là mặt phẳng trung
của (C) . Gọi I giao điểm của () và 
bài.

Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất. Giả sử M là điểm bất kì khác nằm trên đường tròn (C) , gọi ( ')
là mặt phẳng trung trực của AM và I'  ( ')   thì mặt cầu tâm tâm I' thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta
có.
I'A  I'M  I'M0  I' thuộc mặt phẳng trung trực () của AM0 nên I'  ()   .

Từ đó suy ra I'  I . Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn.
Chọn A.

T1

+ Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng thấy

α

(C)

rằng mp () luôn cắt mặt cầu S(O;R) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có tâm O , bán kính R . Trong mp () , ta thấy từ điểm M

M

O
T2

nằm ngoài (C) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến MT1 ,MT2 với đường tròn (C) . Hai tiếp tuyến này cũng
chính là tiếp tuyến với mặt cầu S(O;R) .

+ Do có vô số mặt phẳng () chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S(O;R) theo các giao tuyến là đường
tròn (C) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Câu 7. Một đường thẳng d thay đổi qua A cố định nằm ngoài mặt cầu S(O;R) và tiếp xúc với mặt cầu
S(O;R) tại M . Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những

mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .

B. Mặt phẳng trung trực của OA .

C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM .

D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .

Hướng dẫn.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Chọn A.
Đặt

OA=k.

d

M

Trong mặt phẳng (d,O) , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là đường

cao.

R2
Ta có. OM  OH.OA  OH 
. Do đó H cố định. Vậy M thuộc mặt
k

O

2

A

H

phẳng vuông góc với OA tại H .
Câu 8. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là.
A.

4 a 3 3
.

27

B.

4 a 3
.
9

C.

a 3 3
.
54

D.

4 a 3
.
3

Hướng dẫn.
Chọn A.

A

AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên AH 

a 3
.
2

O

2
a 3
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABC , thì O  AH và OA  AH 
3
3

.
B

H

C

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh trục AH

là
3

a 3
4
4 a 3 
4a 3 3
R  OA 
. Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là. V  R 3   
(đvtt).


3

3
3  3 
27

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC  2a và B  300 . Quay tam giác vuông này quanh trục
AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S 2 là diện tích

mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số
A.

S1
 1.
S2

B.

S1 1
 .
S2 2

S1
là.
S2

C.

S1 2
 .
S2 3

D.

S1 3
 .
S2 2

Hướng dẫn.
Chọn A.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có.

B

AC  BCsin 300  a; AB  BCcos 300  a 3 .
300
A

Diện tích toàn phần hình nón là.

B

O

S1  Sxq  Sday  Rl  R 2  a.2a  a 2  3a 2 .
B

Diện tích mặt cầu đường kính AB là.

 

S 2  AB2   a 3

Từ đó suy ra, tỉ số

2

C

A

 3a 2 .

S1
 1.
S2

II. Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
Dạng 1.

Câu 10. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  a , OB  2a , OC  3a
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là.
A. a 3

B.

3a
.
2

C.

a 6
.
2

D.

a 14
.
2

Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm BC ,
suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp OBC.
Kẻ Mx   OBC  (như hình vẽ).
Suy ra Mx là trục của OBC .

Trong mặt phẳng  OA,Mx  , kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I .
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bán kính mặt cầu. R  IO  IM2  OM2 

a 14
. Chọn
2

D.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  AC  a . Cạnh bên SA vuông

góc với đáy  ABC  . Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với đáy  ABC  một góc 600. Gọi S, V lần lượt
là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số
A. a 14

B.

a 14
.
12

C.

3a 14
.
4

V
bằng ?
S

D.

a 2
.
6

Hướng dẫn
Ta có 60o  SI,  ABC   SI,AI  SIA .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

S

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
d

- Trang | 5 -

x
J

A

C


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

1
a 2
Tam giác ABC vuông cân tại A , suy ra AI  BC 
.
2
2

Trong SAI , ta có SA  AI.tan SIA 
Kẻ Ix   ABC  (như hình vẽ).

a 6
.
2

Suy ra Ix là trục của ABC .

Trong mặt phẳng  SA,Ix  , kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J . Khi đó J chính là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính. R  JA  JI 2  AI 2 

a 14
V R a 14
nên
 
. Chọn
4
S 3
12

B.

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD  1200 . Cạnh bên SA  a 3
và vuông góc với đáy  ABCD  .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị.
A.

a 13
2 3

B.

.

2a
.
3

C.

a 13
.
3

D.

a 13
3 3

.

Hướng dẫn

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD . Kẻ Gx   ACD , suy ra Gx là trục của ACD .
Trong mặt phẳng  SA,Gx  , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I .
S

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có IG  MA 

SA a 3

;
2
2

x
M

2
a 3
GA  AE 
.
3
3

d
A

Suy ra bán kính.

D
G

a 39
R  IA  IG  GA 
. Chọn A.
6
2

I

2

E

C

B

Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA  BC  a . Cạnh bên SA  2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là.
A.

a 2
.
2

B. 3a.

C.

a 6
.
2

D. a 6.

Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi I là trung điểm SC , suy ra
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

S

- Trang | 6 I


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

IM SA nên IM   ABC  .

Do đó IM là trục của ABC , suy ra
IA  IB  IC.  1

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS  IC  IA .  2 
Từ  1 và  2  , ta có IS  IA  IB  IC
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
SC
SA2  AC2 a 6
Vậy bán kính R  IS 
. Chọn
� diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA  (ABC) , cạnh
bên SC tạo với đáy góc 600. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là.
A. V 

a 3
3

B. V 

50a 3
3

C. V 

5a 3
3

D. V 

500a 3
3

Hướng dẫn.

Chọn

D.

+) Ta có. SAC vuông tại A(*).
 BC  AB
 BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông tại B(**)
+) 
 BC  SA

+) Từ (*) và (**)  Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là trung điểm đoạn SC.
+) Ta có. AC  AB2  BC2  5a.Mà

AC
1
SC
 cos600   SC  2AC  10a  R 
 5a
SC
2
2

4
500a3
 Chọn
+) Vậy V  R 3 
3
3

D.

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , AD  a . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối
chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h
là.
5 5
4
h.
A. 4R  5h.
B. 5R  4h.
C. R 
D. R 
h.
4
5 5
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hướng dẫn
Ta có 450  SC,  ABCD   SC,AC  SCA .
Trong SAC , ta có h  SA  AC  a 5.

 BC  AB
Ta có 
 BC   SAB   BC  BN .
 BC  SA

Lại có NA  AC . Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC
nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC , bán kính
2

NC 1
 SA 
5a
R  JN 
 . AC2  
  . Chọn A.
2
2
4
 2 

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy
 ABCD . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD
có giá trị nào sau đây?
Hướng dẫn
Gọi O  AC  BD .

Vì ABCD là hình vuông nên OB  OD  OC .  1
CB  AB
 CB   SAB   CB  AH .
Ta có 

CB  SA

Lại có AH  SB .

Suy ra AH   SBC  AH  HC nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền
AC nên suy ra OH  OC .  2 

Từ  1 và  2  , suy ra
R  OH  OB  OD  OC 

a 2
. Chọn
2

C.

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC  6  cm  , các cạnh bên
cùng tạo với đáy một góc 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. 48cm 2 .

B. 12cm 2 .

C. 16cm 2 .

D. 24cm 2 .

Hướng dẫn
Chọn A.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  . Gọi O là trung điểm của BC .

Tam giác ABC vuông tại A , O là trung điểm của cạnh huyền BC , suy ra OA  OB  OC (1) .
Xét các tam giác SHA, SHB, SHC có.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

SH chung


SHA  SHB  SHC  90  SHA  SHB  SHC(g.c.g)  HA  HB  HC (2) .


SAH  SBH  SCH  60

Từ  1 và  2  suy ra H trùng O . Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .

S

Trong SAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I .
Khi đó IA  IB  IC  IS . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
I

2
2
SBC đều cạnh bằng 6  cm   SO  3 3  SI  .SO  .3 3  2 3 .
3
3

 

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là. S  4 2 3

2



A

60

60



C

H

 48 cm 2 .

O
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD  2a , AB  BC  CD  a .

B S.ABCD . Tỉ
Cạnh bên SA  2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
R
số
nhận giá trị nào sau đây?
a
A. a 2.
B. a.
C. 1
D. 2.
Hướng dẫn
60

Ta có SA  AD hay SAD  900.
Gọi E là trung điểm AD .
Ta có EA  AB  BC nên ABCE là hình thoi.
1
Suy ra CE  EA  AD .
2
Do đó tam giác ACD vuông tại C . Ta có.

 DC  AC
 DC   SAC   DC  SC hay SCD  900.

 DC  SA

Tương tự, ta cũng có SB  BD hay SBD  900.
Ta có SAD  SBD  SCD  900 nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại
tiếp, bán kính R 

SD
SA2  AD2
R

 a 2 . Suy ra  2. Chọn
2
2
a

D.

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA  a 2
vuông góc với đáy  ABCD  . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng    đi qua hai điểm A và M đồng
thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F
nhận giá trị nào sau đây?
a
a 2
A. a 2.
B. a .
C.
D. .
.
2
2
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 16 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hướng dẫn

Mặt phẳng    song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F nên EF BD .
SAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM  SC .  1

 BD  AC
Ta có 
 BD   SAC   BD  SC .
 BD  SA

Do đó EF  SC .  2 
Từ  1 và  2  , suy ra SC      SC  AE .  * 

S

I
F

M
E

A

 BC  AB

Lại có 
*
 BC   SAB   BC  AE .  * B
 BC  SA

D
O
C

Từ  *  và  * *  , suy ra AE   SBC   AE  SB . Tương tự ta cũng có AF  SD.
Do đó SEA  SMA  SFA  900 nên năm điểm S, A, E, M, F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm
của SA , bán kính R 

SA a 2
. Chọn

2
2

C.

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC  a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy  ABC  . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích
của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là.
a 3
2a 3
.
A.
B. 2a 3 .
C.

.
6
3
Hướng dẫn

D.

a 3
.
2

Theo giả thiết, ta có
ABC  900 và AKC  900 .  1

AH  SB
Do 
BC  AH



 BC   SAB

 AH  HC.  2 

Từ  1 và  2  , suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 900 nên hình chóp A.HKCB
nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC , bán kính R 

AC AB 2 a 2
.



2
2
2

4
2a 3
Vậy thể tích khối cầu V  R 3 
(đvtt). Chọn A.
3
3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD  a . Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy  ABCD  là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một

góc bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A.

a
.

4

B.

a
.
3

Chuyên đề: Mũ - Logarit

C.

a
.
2

D. a.

Hướng dẫn
Ta có 600  SD,  ABCD   SD,HD  SDH .
Trong tam giác vuông SHD , có
SH 

BD
a 3
HD
a
và SD 
.tan SDH 
 .

4
4
cos SDH 2

Trong tam giác vuông SHB , có
SB  SH2  HB2 

a 3
.
2

Xét tam giác SBD , ta có SB2  SD2  a2  BD2 .
Suy ra tam giác SBD vuông tại S .
Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD là O , bán kính R 

1
a
BD  . Chọn
2
2

C.

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là.
A.

2a 3
.

3

B.

11 11a 3
.
162

C.

a 3
.
6

D.

a 3
.
3

Hướng dẫn
Gọi O  AC  BD

Suy ra OA  OB  OC  OD.  1
Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB vuông tại S nên MS  MA  MB .
Gọi H là hình chiếu của S trên AB .
Từ giả thiết suy ra SH   ABCD .

OM  AB
 OM   SAB  nên OM là trục của tam giác SAB , suy ra OA  OB  OS.  2 

Ta có 
OM

SH


Từ  1 và  2  , ta có OS  OA  OB  OC  OD.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD , bán kính R  OA 

a 2
.
2

4
2a 3
Suy ra V  R 3 
(đvtt). Chọn A.
3
3
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 18 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC 
bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt
phẳng  SAB  . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. R  d G,  SAB .
C.

R2
S ABC



4 3
.
39

B. 3 13R  2SH.
D.

R
 13.
a

Hướng dẫn
Ta có 600  SA,  ABC   SA,HA  SAH .
Tam giác ABC đều cạnh a nên AH 

a 3
.

2

Trong tam giác vuông SHA , ta có SH  AH.tan SAH 

3a
.
2

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với  SAB  nên bán kính mặt cầu R  d G,  SAB  .
1
2
Ta có d G,  SAB   d C,  SAB   d H,  SAB  .
3
3
Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB .

CM  AB
HE  AB


Suy ra 
a 3 và 
1
a 3.
HE  CM 
CM 
2
4
2




Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK  SE .  1
HE  AB
 AB   SHE   AB  HK.  2 
Ta có 
AB  SH

Từ  1 và  2  , suy ra HK   SAB nên d H,  SAB   HK .
Trong tam giác vuông SHE , ta có HK 
2
a
Vậy R  HK 
. Chọn
3
13

SH.HE
SH2  HE2



3a
2 13

.

D.

III. Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Câu 34. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 19 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A.

a 39
.
6

B.

a 12
.
6

Chuyên đề: Mũ - Logarit

C.

2a 3

.
3

D.

4a
3

.

Hướng dẫn.
A'

Chọn C.

C'
G'

Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A' B'C' . Gọi G,G' lần lượt là tâm của hai đáy
ABC và A' B'C' . Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A' B'C' .

B'
2a

O

Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ nên
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là R  OA .
Xét tam giác OAG vuông tại G , ta có. OA  AG2  GO2 
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R 

A

a2
2a 3
 a2 
.
3
3

C
a

G
B

2a 3
.
3

Câu 35. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng a 2 2 . Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S.V bằng.
A. S.V 

3 3 2 a 5
2

B. S.V 

3 2 a 5

2

C.

S.V 

32 a 5
2

D. S.V 

3 6 2a 5
2

Hướng dẫn.
Chọn A.
+) Đặt AB  x  BD  x 2
+) Ta có. S BDD ' B'  a 2 2  x.x 2  x  a  BD'  a 3  R 

a 3
.
2

4
a 3 3
+) Khi đó ta có. V  R 3 
và S  4R 2  3a 2
3
2

+) Vậy SV 

3 3 2 a 5
 Chọn A.
2

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' có độ dài mỗi cạnh là 10cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là.
A. S  150 (cm2 ); V  125 3(cm 3 ) .

B. S  100 3 (cm2 ); V  500 (cm 3 ) .

C. S  300 (cm2 ); V  500 3 (cm 3 ) .

D. S  250 (cm2 ); V  500 6 (cm 3 ) .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 20 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hướng dẫn.
A

Chọn C.

D

Dễ thấy tâm O của mặt cầu chính là tâm của hình lập phương.
Trong tam giác vuông AA'C có. AC'2  AA'2  A'C'2 .

B

Trong tam giác vuông A' B'C' có. A'C'2  A' B'2  B'C'2 .

C
O

A'

D'

Do đó AC2  100  100  100  300  AC  10 3 (cm).
1
+ Bán kính mặt cầu tâm O là R  OA  AC  5 3 (cm)
2

 

+ Diện tích mặt cầu. S  4R 2  4. 5 3

2

 

4
4
+ Thể tích khối cầu. V  R 3   5 3
3
3

C'

B'

 300 (cm 2 ) .
3

 500 3 (cm 3 ) .

Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB  2a 3 . Đường chéo
BC tạo với mặt phẳng  AACC  một góc bằng 60 . Gọi  S  là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã

cho. Bán kính của mặt cầu  S  bằng
A.

a
.
2

B. a.

C. 3a.

D. 2a.

Hướng dẫn
Chọn D.
Gọi M là trung điểm BC , I là trung điểm BC . Khi đó, IM là trục của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt khác, IB  IC  IB  IC  IA . Do
đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.ABC . Bán kính
R

1
1 AB
4a
 BC  

 2a .
2
2 sin 60 2

Câu 38. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AC  a 3 , góc ACB bằng 300 . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng.
A.

3a
.
4

B.

a 21
.
4

C.

a 21
.
2

D.

a 21
.
8

Hướng dẫn
Ta có 600  AB',  ABC   AB',AB  B'AB .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 21 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Trong ABC , ta có
AB  AC.sin ACB 

a 3
.
2

Trong B' BA , ta có
BB'  AB.tan B' AB 

3a
.
2

Gọi N là trung điểm AC ,
suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Gọi I là trung điểm A'C ,

suy ra IN AA'  IN   ABC .
Do đó IN là trục của ABC , suy ra IA  IB  IC.  1
Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'  IC  IA .  2 
Từ  1 và  2  , ta có IA'  IA  IB  IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán
kính R  IA' 

A'C
AA'2  AC2 a 21
. Chọn



2
2
4

B.

Câu 39. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB'C'  tạo với
mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
G.A' B'C' bằng.

A.

85a
.
108

B.

3a
.
2

C.

3a
.
4

31a
.

36

D.

Hướng dẫn
A

Gọi M là trung điểm B'C' , ta có
600   AB'C'  ,  A' B'C'   AM,A'M  AMA' .

Trong AA'M , có A'M 
AA'  A'M.tan AMA' 

C
G
B

a 3
;
2

P

3a
.
2

I
A'

Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A' B'C' , suy ra G' cũng là tâm đường
tròn ngoại tiếp A' B'C'.

C'
G'
B'

Vì lặng trụ đứng nên GG'   A' B'C'  .
Do đó GG' là trục của tam giác A' B'C' .

Trong mặt phẳng  GC'G'  , kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I . Khi đó I là tâm mặt
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 22 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

cầu ngoại tiếp khối chóp G.A' B'C' , bán kính R  GI.
Ta có GPI
 R  GI 

GG'C' 

GP GG'


GI GC'

GP.GC' GC'2 GG'2  G'C'2 31a
. Chọn D.



GG'
2GG'
2GG'
36

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1.A

5.C

9.A

13.C

17.C

21.D

25.A

29.C

33.D

37.D

2.D

6.A

10.D

14.C

18.B

22.C

26.C

30.A

34.C

38.B

3.C

7.A

11.B

15.C

19.D

23.D

27.A

31.C

35.A

39.D

4.A

8.A

12.A

16.B

20.A

24.D

28.D

32.A

36.C

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Giáo viên

: Lê Anh Tuấn

Nguồn

:

Hocmai.vn

- Trang | 23 -