Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp, lăng trụ.
CHÚ Ý. Các đáp án về bài tập mặt cầu trong chương này Thầy sẽ không dùng công thức tính nhanh,
mà chỉ dụng tính toán chi tiết bình thường, mục đích là để các em phát triển tốt hơn kỹ năng hình
không gian. Khi đi thi, nếu bài nào dùng được công thức tính nhanh của mặt cầu (hầu hết là dùng
được( thì các em nên dùng công thức tính nhanh.
I. Câu hỏi nhận biết
Câu 1. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
B. đường thẳng trung trực của AB .
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .
Hướng dẫn.
Chọn A.
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA IB . Do đó I thuộc
mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
Câu 2. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.
Hướng dẫn.
Chọn
D.
Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu (S) chính là tâm của
hình hộp chữ nhật.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
Câu 3. Cho mặt cầu S O; R , A là một điểm ở trên mặt cầu S và P là mặt phẳng qua A sao cho
góc giữa OA và P bằng 600.
Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng.
A. R 2 .
B.
R 2
.
2
R 2
.
4
D.
R 2
.
8
C.
O
A
r
H
Hướng dẫn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên P thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của P và S .
● OA, P OA,AH 60 0.
Bán kính của đường tròn giao tuyến. r HA OA.cos600
R
.
2
2
R
R 2
. Chọn
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến. r 2
4
2
C.
Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu (S) theo a, b,c .
A. (a2 b2 c2 ) .
B. 2(a 2 b2 c 2 ) .
C. 4(a 2 b2 c 2 ) .
D.
2
(a b2 c 2 ) .
2
Hướng dẫn.
Chọn A.
Đường kính của mặt cầu (S) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu (S) có bán kính
r
1 2
a b2 c 2 . Do đó diện tích mặt cầu (S) là. S 4r 2 (a 2 b2 c 2 ) .
2
Câu 5. Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C) và đi qua A ?
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
- Trang | 2 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
A. 2.
Chuyên đề: Mũ - Logarit
B. 0.
C. 1.
D. vô số.
Hướng dẫn.
Chọn
C.
Trên đường tròn (C) lấy điểm điểm M 0
I
A
Δ
trực của AM0 và đường thẳng là trục
O
thì mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề
M
α
cố định. Gọi () là mặt phẳng trung
của (C) . Gọi I giao điểm của () và
bài.
Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất. Giả sử M là điểm bất kì khác nằm trên đường tròn (C) , gọi ( ')
là mặt phẳng trung trực của AM và I' ( ') thì mặt cầu tâm tâm I' thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta
có.
I'A I'M I'M0 I' thuộc mặt phẳng trung trực () của AM0 nên I' () .
Từ đó suy ra I' I . Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Hướng dẫn.
Chọn A.
T1
+ Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng thấy
α
(C)
rằng mp () luôn cắt mặt cầu S(O;R) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có tâm O , bán kính R . Trong mp () , ta thấy từ điểm M
M
O
T2
nằm ngoài (C) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến MT1 ,MT2 với đường tròn (C) . Hai tiếp tuyến này cũng
chính là tiếp tuyến với mặt cầu S(O;R) .
+ Do có vô số mặt phẳng () chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S(O;R) theo các giao tuyến là đường
tròn (C) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Câu 7. Một đường thẳng d thay đổi qua A cố định nằm ngoài mặt cầu S(O;R) và tiếp xúc với mặt cầu
S(O;R) tại M . Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những
mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM .
D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .
Hướng dẫn.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
- Trang | 3 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
Chọn A.
Đặt
OA=k.
d
M
Trong mặt phẳng (d,O) , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là đường
cao.
R2
Ta có. OM OH.OA OH
. Do đó H cố định. Vậy M thuộc mặt
k
O
2
A
H
phẳng vuông góc với OA tại H .
Câu 8. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là.
A.
4 a 3 3
.
27
B.
4 a 3
.
9
C.
a 3 3
.
54
D.
4 a 3
.
3
Hướng dẫn.
Chọn A.
A
AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên AH
a 3
.
2
O
2
a 3
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABC , thì O AH và OA AH
3
3
.
B
H
C
Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh trục AH
là
3
a 3
4
4 a 3
4a 3 3
R OA
. Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là. V R 3
(đvtt).
3
3
3 3
27
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 2a và B 300 . Quay tam giác vuông này quanh trục
AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S 2 là diện tích
mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số
A.
S1
1.
S2
B.
S1 1
.
S2 2
S1
là.
S2
C.
S1 2
.
S2 3
D.
S1 3
.
S2 2
Hướng dẫn.
Chọn A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
- Trang | 4 -
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có.
B
AC BCsin 300 a; AB BCcos 300 a 3 .
300
A
Diện tích toàn phần hình nón là.
B
O
S1 Sxq Sday Rl R 2 a.2a a 2 3a 2 .
B
Diện tích mặt cầu đường kính AB là.
S 2 AB2 a 3
Từ đó suy ra, tỉ số
2
C
A
3a 2 .
S1
1.
S2
II. Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
Dạng 1.
Câu 10. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a , OB 2a , OC 3a
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là.
A. a 3
B.
3a
.
2
C.
a 6
.
2
D.
a 14
.
2
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm BC ,
suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp OBC.
Kẻ Mx OBC (như hình vẽ).
Suy ra Mx là trục của OBC .
Trong mặt phẳng OA,Mx , kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I .
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bán kính mặt cầu. R IO IM2 OM2
a 14
. Chọn
2
D.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB AC a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy ABC . Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với đáy ABC một góc 600. Gọi S, V lần lượt
là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số
A. a 14
B.
a 14
.
12
C.
3a 14
.
4
V
bằng ?
S
D.
a 2
.
6
Hướng dẫn
Ta có 60o SI, ABC SI,AI SIA .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
S
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
d
- Trang | 5 -
x
J
A
C
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
1
a 2
Tam giác ABC vuông cân tại A , suy ra AI BC
.
2
2
Trong SAI , ta có SA AI.tan SIA
Kẻ Ix ABC (như hình vẽ).
a 6
.
2
Suy ra Ix là trục của ABC .
Trong mặt phẳng SA,Ix , kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J . Khi đó J chính là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính. R JA JI 2 AI 2
a 14
V R a 14
nên
. Chọn
4
S 3
12
B.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD 1200 . Cạnh bên SA a 3
và vuông góc với đáy ABCD .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị.
A.
a 13
2 3
B.
.
2a
.
3
C.
a 13
.
3
D.
a 13
3 3
.
Hướng dẫn
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD . Kẻ Gx ACD , suy ra Gx là trục của ACD .
Trong mặt phẳng SA,Gx , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I .
S
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có IG MA
SA a 3
;
2
2
x
M
2
a 3
GA AE
.
3
3
d
A
Suy ra bán kính.
D
G
a 39
R IA IG GA
. Chọn A.
6
2
I
2
E
C
B
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA BC a . Cạnh bên SA 2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là.
A.
a 2
.
2
B. 3a.
C.
a 6
.
2
D. a 6.
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi I là trung điểm SC , suy ra
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
S
- Trang | 6 I
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)
Chuyên đề: Mũ - Logarit
IM SA nên IM ABC .
Do đó IM là trục của ABC , suy ra
IA IB IC. 1
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS IC IA . 2
Từ 1 và 2 , ta có IS IA IB IC
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
SC
SA2 AC2 a 6
Vậy bán kính R IS
. Chọn