THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Một trường học cần xây dựng một hồ bơi mini
dang hình hộp chữ nhật kích thước dài :25m,
rộng : 10m, sâu : 2m(Tính trong lòng bể). Hãy
dự tính lượng nước cần thiết để cung cấp cho
bể bơi đó

Kim tự tháp kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào
khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều
cao là 147m, cạnh đáy dài 230m. Hãy tính thể
tích của nó.

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
I. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.

Trang | 1


GỢI Ý

+) HĐ1: Khởi động.

Người ta chứng minh được rằng: Có thể đặt tương
ứng cho mỗi khối đa diện (H) với một số dương duy
nhất V(H) thoả mãn:
a. Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì
V(H) =1

HĐ1.1. Tính thể tích của khối b. Nếu H1=H2 thì V(H1)=V(H2).
hộp chữ nhật có 3 kích thước là
c. Nếu H=H1+H2 thì V(H)=V(H1)+V(H2).
những số nguyên dương.
V(H) được gọi là thể tích khối đa diện H.
Giải:
Ta phân khối hộp chữ nhật thành m.n.k khối lập phương có
cạnh bằng 1.

Khi đó V(H)=m.n.k

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Tổng quát hoá ví dụ trên, người ta chứng minh được rằng:
Định lí: Thể tích của khối hộp chữ nhật (Hình hộp chữ nhật) bằng tích ba khích
thước của nó.
Vậy khối hộp có các cạnh lẻ thì sao???
Chú ý: Đối với các khối hộp có cạnh không nguyên, ta vẫn áp dụng công thức trên.

VD (Bài toán mở đầu):

Một trường học cần xây dựng một hồ bơi mini dang hình
hộp chữ nhật kích thước dài :25m, rộng : 10m, sâu :2m. Hãy dự tính lượng nước cần
thiết để cung cấp cho bể bơi đó
_

_

_

_

_

_
_

_

Trang | 2


Trong trường hợp đáy bể và mặt bể được thiết kế là một hình lục giác, hay một
hình khác (khi đó bể là một hình lăng trụ) để thêm đẹp mắt cho trẻ em thì chúng
ta có sử dụng được cách tính đó không???
Trả lời : Ta biết khối hộp chữ nhật cũng là một khối lăng trụ và thể tích khối

.   a.b .c  Sday.h.
hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao c là V  a.bc
Từ đó, ta có cách tính thể tích tổng quát của một hình lăng trụ như sau:
II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Ta biết khối hộp chữ nhật cũng là một khối lăng trụ và thể tích khối hộp chữ

.   a.b .c  Sday.h. Từ đó,
nhật có chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao c là V  a.bc

ta chứng minh được công thức sau.
Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V  B.h

Ví dụ: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh

bên bằng b và tạo với đáy một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C '.

Trang | 3


Bài giải:
2
Ta có B  SABC  a 3 ,
4

Do cạnh bên bằng b và hợp với đáy một góc 300 nên h  b.tan300 

b. 3
3

a2b
Vậy V  B.h 
4
Quay lại bài toán ban đầu các nhà khảo cổ sẽ tính thể tích của hình kim tự tháp
đó như thế nào??? Chúng ta sẽ học cách tính:

III. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Như bài trước, ta đã biết phân chia một khối lăng trụ tam giác thành 3 khối chóp có
cùng thể tích nên thể tích của mỗi khối bằng

1
thể tích của lăng trụ. Do đó, ta có
3

định lí sau

Trang | 4


1
Định lí: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V  B.h
3
Ví dụ: Cho hình chop SABC có SA=4cm, SB=5cm, SC=7cm đôi một vuông góc với
nhau. Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài giải: Ta có
1
1
35
SSBC = .SB .SC = .5.7 =
2
2
2
1
1 35
70
VSABC = .SSBC .SA = . .4 =
3
3 2
3

Trang | 5


C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho khối chóp S . ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông tại B ,

AB  a, AC  a 3. Tính thể tích khối chóp S . ABC biết rằng SB  a 5
a3 2
A.
3

a3 6
B.
4

a3 6
C.
6

a 3 15
D.
6

Câu 2. Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hai mặt bên  SAB 
và  SAC  cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC  a 3
A.

2a 3 6
9

B.

a3 6
12

C.

a3 3
4

D.

a3 3
2

Câu 3. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC)
cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
A.

a3 3
12

B.

a3 3
4

C.

a3 3
6

D.

a3 2
12

Câu 4. Cho hình chóp SA BC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a
biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình
chóp
A.

a3 6
24

B.

a3 3
24

C.

a3 6
8

D.

a3 6
48

Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp
a3 3
A.
8

a3 3
B.
12

a3
C.
4

a3 3
D.
4

Câu 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông
góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp
SA BCD
A.

a3 3
3

B.

2a 3 3
3

C.

a3 3
6

D. a 3 3

Câu 7. Cho khối chóp S . ABCD có đay ABCD là hình chữa nhật tâm O , AC  2 AB  2a,
SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SD  a 5
A.

a3 5
3

B.

a 3 15
3

C. a3 6

D.

a3 6
3
Trang | 6


Câu 8. Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng

 SAB  ,  SAD  cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết
3
A. a 3

9

3
B. a 3

3

C. a3

SC  a 3

3
D. a

3

Câu 9. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD  2a, AB  a . Gọi H
là trung điểm của AD , biết SH   ABCD  . Tính thể tích khối chóp biết SA  a 5 .
A.

2a 3 3
3

B.

4a 3 3
3

C.

4a 3

3

D.

2a 3
3

Câu 10. Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Gọi H là trung điểm
cạnh AB biết SH   ABCD  . Tính thể tích khối chóp biết tam giác SAB đều
A.

2a 3 3
3

B.

4a 3 3
3

C.

a3
6

D.

a3
3

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.

Bài 1: Kim tự thắp Kê - Ốp ở Ai Cập
(hình bên) được xây dựng vào khoảng
năm 2500 trước công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều
có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m.
Hãy tính thể tích của nó.

Bài giải:
1
1
V  B.h  .2302.147  7.776.300 m3
3
3

Trang | 7


Bài 2. Từ một miếng bìa tam giác đều cạnh bằng 2 người ta gấp thành một tứ diện
đều (quan sát hình vẽ minh họa). Tính thể tích của khối tứ diện đều gấp được.

Hướng dẫn giải:
Gọi S là đỉnh của khối tứ diện gấp được, ABC là tam giác đáy, G là trọng tâm của tam
giác ABC. Do tứ diện gấp được là tứ diện đều nên SG   ABC  .
Ta có AG 

2
3
6
Suy ra: SG  SA2  AG2 

AB.sin600 
3
3
3

1 3 6
2
Vậy thể tích khối tứ diện gấp được là V  . .

3 4 3 12

Bài 3. Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi một tấm bạt
hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 6m (gấp theo đường trong hình minh họa)
sau đó dùng hai cái gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào
hai mép gấp. Hãy tính xem khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao nhiêu thì không
gian trong lều là lớn nhất.

Trang | 8


Hướng dẫn giải:
Không gian trong lều lớn nhất khi diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Ta có SABC

1
32
9
9
 .AB.AC.sin A  .sin A � sin900 
2

2
2
2

�  900 . Do đó chiều cao cảu cây gậy là: 3 2
Đẳng thức xảy ra khi góc BAC
2

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
Vấn đề xây dựng: Người ta cần xây một đoạn cống bằng gạch thiết diện hình chữ U,
bề dày 10cm (như hình vẽ). Một viên gạch có kích thước là 20cm*10cm*5cm. Hỏi số
lượng gạch tối thiểu dung để xây cống là bao nhiêu? (giả sử lượng vữa là không đáng
kể)

Vấn đề rắn ngủ đông: Rắn thường ngủ đông bằng cách cuốn tròn mình lại….

Trang | 9