[HOT] Ngân hàng ĐỀ Trắc Nghiệm TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hay, Đầy Đủ (File Word Có Đáp án và Lời Giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Dạng

Đặt

Điều kiện

asin2x + bsin x + c = 0

t = sinx

−1≤ t ≤ 1

a cos2 x + bcos x + c = 0

t = cosx

−1≤ t ≤ 1

a tan2 x + btan x + c = 0

t = tanx

x≠

t = sin2 x hoaë
c t = sin x thì ñieà
u kieä
n : 0 ≤ t ≤ 1.

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

Nếu đặt:
B– BÀI TẬP
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác
2sin 2 x + sin 2 x − 1 = 0.
2sin 2 2 x − sin 2 x = 0.
A.
B.
2
cos x + cos2 x − 7 = 0.
tan 2 x + cot x − 5 = 0.
D.
C.
2
0< x<π
sin x – sin x = 0
Câu 2: Nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện:
.
π
π

x=
x=−
x=0
x =π
2
2
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
π
0≤ x<
2
2sin x − 3sin x + 1 = 0
2
Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác:
thỏa điều kiện
là:
π
π
π
5π
x=
x=
x=
x=

3
2
6
6
A.
B.
C.
D.
sin 2 x + 3sin x − 4 = 0
Câu 4: Phương trình
có nghiệm là:
π
x = + k 2π , k ∈ Z
x = π + k 2π , k ∈ Z
2
A.
B.
π
x = + kπ , k ∈ Z
x = kπ , k ∈ Z
2
C.
D.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11
−

sin x + sin x = 0
2

Câu 5: Nghiệm của phương trình

x=0
A.

.

B.

x =π

[ 0; 2π )

Câu 6: Trong
π

; π ; 2π 
A.  2
.

, phương trình

thỏa điều kiện:

π
x=
3
C.
.

.

sin x = 1 − cos2 x

B. { 0; π } .

2sin 2 x + 3 sin 2 x = 2

Câu 7: Phương trình:
π

 x = 6 + k 2π
,k ∈¢

 x = π + k 2π

2
A.
π
x = + kπ , k ∈ ¢
2
C.

π

π
2
2

.
x=
D.

có tập nghiệm là
 π 
0; ; π
C.  2  .

π
2

.

 π

0; ; π ; 2π 
D.  2
.

có nghiệm là:

B.

π


 x = 6 + kπ
,k ∈¢

 x = π + kπ

2
x=

D.

sin x − 4sin x + 3 = 0

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

2

Câu 8: Nghiệm của phương trình
π
x = − + k 2π , k ∈ ¢
2
A.
π
x = + k 2π , k ∈ ¢
2
C.

là :

x=±
B.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

x = k 2π , k ∈ ¢
D.
5 − 5sin x − 2cos x = 0
2

Câu 9: Nghiệm của phương trình

k 2π , k ∈ ¢

kπ , k ∈ ¢
A.

.
π
+ k 2π , k ∈ ¢
6

B.

.

C.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

là

.

D.

.
sin 2 x − 2sin x +

Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:
π
x = + k 2π (k ∈ ¢ )
6
A.
.
π
5π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π (k ∈ ¢ )
6
6
C.
.

B.

D.

3
=0
4

.
π
5π
x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ¢ )
6
6

.
π
π
x = + kπ ; x = − + k π ( k ∈ ¢ )
6
6

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

.

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 11: Phương trình

kπ , k ∈ ¢
A.

.

Lượng giác – ĐS và GT 11

2sin 2 x + sin x − 3 = 0

có nghiệm là:
π
π
+ kπ , k ∈ ¢
+ k 2π , k ∈ ¢
2
2
B.
.
C.
.

.
Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình
π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2

.
A.
π
2π −π
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
C.
.

cos 2 x − sin x = 0

B.

D.

−
D.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
6

là
−π
2π −π
+k
;

+ k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
−π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
0≤ x<

π
2

.

.

2sin x – 3sin x + 1 = 0
Câu 13: Nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện:
.
π
π
π
π
x=
x=
x=
x=−

6
4
2
2
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
2sin 2 x – 5sin x – 3 = 0
Câu 14: Nghiệm của phương trình
là:
π
7π
π
5π
x = − + k 2π ; x =
+ k 2π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π
6
6
3
6
A.
.
B.

.
π
π
5π
x = + kπ ; x = π + k 2π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π
2
4
4
.
D.
.
C.
sin 2 x = – sinx + 2
Câu 15: Nghiêm của pt
là:
π
π
−π
x = + k2π .
x = + kπ .
x=
+ k2π .
x = kπ .
2
2
2
B.
C.

D.
A.
3
sin 2 x − 2sin x + = 0
4
Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:
.
π
π
5π
x = + k 2π (k ∈ ¢ )
x = + kπ ; x =
+ kπ ( k ∈ ¢ )
6
6
6
A.
.
B.
.
π
5π
π
π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
x = + kπ ; x = − + kπ ( k ∈ ¢ )
6
6
6

6
C.
.
D.
.
2
cos x + sin x + 1 = 0
Câu 17: Nghiệm của phương trình
là
2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=
A.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

x=−
C.

Lượng giác – ĐS và GT 11

x=−

.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

B.

.

D.

sin x = − sin x + 2

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

.

π
x = m + k 2π , k ∈ ¢
2

.

2

Câu 18: Nghiêm của phương trình

là
x=

x = kπ , k ∈ ¢
A.

.
x=−

C.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

Câu 19: Phương trình

kπ , k ∈ ¢
A.

C.

B.

.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

.

.
2sin 2 x + 3sin x − 2 = 0

x=
D.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2
π
+ kπ , k ∈ ¢
2

.

.

có nghiệm là
π
+ kπ , k ∈ ¢
2
B.
.
π
5π
+ k 2π ;
+ k 2π , k ∈ ¢
6

6
D.
.
0< x<

π
2

2 cos x + 3sin x − 3 = 0
Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác:
thõa điều kiện
là:
π
π
π
5π
x=
x=
x=
x=
3
2
6
6
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
2
1 − 5sin x + 2cos x = 0
Câu 21: Nghiệm của phương trình
là
π
π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
,k ∈¢
,k ∈¢


 x = − π + k 2π
 x = 5π + k 2π


6
6
A.
.
B.
.
π
π



 x = 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
,k ∈¢
,k ∈¢


 x = − π + k 2π
 x = 2π + k 2π


3
3
C.
.
D.
.
2
5 − 5sin x − 2cos x = 0
Câu 22: Nghiệm của phương trình
là:
π
π
+ k 2π , k ∈ ¢
+ k 2π , k ∈ ¢
kπ , k ∈ ¢
k 2π , k ∈ ¢
2
6
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
2
sin 2 x − 2sin2x + 1 = 0
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình
là :
2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
−
A.

π
+ kπ
4

.

B.

π

+ kπ
4

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ k 2π
4

.

C.
cos 2 x + sin 2x − 1 = 0

−
.

D.

π
+ k 2π
4

.

2

Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình
π
π

+ kπ
k
2
3
A.
.
B.
.
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình
 1
π + arcsin  − ÷+ k 2π
 4
A.
.
π 1
1


− arcsin  − ÷+ kπ
2 2
4


C.
.

là
π
π
− +k

2
2

C.
2 cos 2 x + 3sin x − 1 = 0

B.

D.

Câu 27: Giải phương trình:

kπ

.

sin 2 x + 2sin x − 3 = 0

B.

π
− + kπ
2

.

.

D.

 1
π − arcsin  − ÷+ k 2π
 4

π
 1
− arcsin  − ÷+ kπ
2
 4

C.

.

.

.

( −π ; π )

trong khoảng
 π 3π 
 ; 
4 4 
C.
.

.

π

2

là

sin 2 2 x + 2sin 2 x + 1 = 0

Câu 26: Nghiệm của phương trình
 π 3π 
 π 3π 
− ; − 
− ; 
4 
 4
 4 4 
A.
.
B.
.

k

π
+ k 2π
2

là :
 π 3π 
 ;− 
4 
4

D.
.

−
.

D.

π
+ k 2π
2

.

A.
4sin 4 x + 12 cos 2  x − 7 = 0

Câu 28: Giải phương trình lượng giác
có nghiệm là:
π
π
π
π
π
x = ± + k 2π
x = +k
x = + kπ
x = − + kπ
4
4

2
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
π

π
 5
cos 2  x + ÷+ 4 cos  − x ÷ =
3

6
 2
Câu 29: Phương trình
có nghiệm là:
π
π
π
π





 x = − 3 + k 2π
 x = − 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
 x = 3 + k 2π




 x = 5π + k 2π
 x = π + k 2π
 x = 3π + k 2π
 x = π + k 2π




6
2
2
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
π



x ∈  − ;0 ÷
2 sin 2 x − ( 2m + 1) sinx + m = 0
2


Câu 30: Tìm m để phương trình
có nghiệm
.
−1 < m < 0.
1 < m < 2.
−1 < m < 0.
0 < m < 1.
A.
B.
C.
D.
2
cos x − 4 cos x + 3 = 0
Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:
.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=

x = π + k 2π (k ∈ ¢ )

A.

.

x = k 2π (k ∈ ¢ )

C.

B.

.

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
2

x = kπ ( k ∈ ¢ )

D.

.

.

2cos x − 3cos x + 1 = 0
2

Câu 32: Giải phương trình

π


π
x = − + k 2π , k ∈ ¢
k 2π , ± + k 2π , k ∈ ¢ 
3


3
A.
.
B.
.
π
x = + k 2π , k ∈ ¢
x = k 2π , k ∈ ¢
3
C.
.
D.
.
cos 2 x + 2cos x − 11 = 0
Câu 33: Phương trình
có tập nghiệm là:
x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢ x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈ ¢
A.
,
.
∅

B. .
x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈ ¢
C.
.
x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢
D.
.
Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
2cos 2 x − cos x − 1 = 0
sin x + 3 = 0
A.
.
B.
.
tan x + 3 = 0
3sin x − 2 = 0
C.
.
D.
.
x
x
sin 2 − 2 cos + 2 = 0
3
3
Câu 35: Phương trình:
có nghiệm là:
x = kπ , k ∈ ¢
x = k 2π , k ∈ ¢
x = k 3π , k ∈ ¢

x = k 6π , k ∈ ¢
A.
B.
C.
D.
3
cos 2 2 x + cos 2 x − = 0
4
Câu 36: Phương trình :
có nghiệm là
2π
π
x=±
+ kπ , k ∈ ¢
x = ± + kπ , k ∈ ¢
3
3
A.
.
B.
.
π
π
x = ± + kπ , k ∈ ¢
x = ± + k 2π , k ∈ ¢
6
6
C.
.
D.

.
2
cos x – cosx = 0
0< x <π
Câu 37: Nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện
:

x=
A.

π
6

x=
.

B.

π
2

x=
.

C.

π
4

x=−
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

D.

π
2

.

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
cos x + cos x = 0

Lượng giác – ĐS và GT 11

2

Câu 38: Nghiệm của phương trình
x =π

x=
.

B.

π
3

.

thỏa điều kiện:
3π
x=
2
C.
.

π
3π
2
2

.
x=−
D.

3π
2

.

A.
Câu 39: Nghiệm của phương trình

x = kπ

.

B.

3cos 2 x = – 8cos x – 5

x = π + k 2π

.

C.

là:

x = k 2π

x=±
.

D.

π
+ k 2π
2

A.
Câu 40: Nghiệm của pt

x=±
A.

π
+ k 2π
4

2 cos 2 x + 2 cos x – 2 = 0
x=±

π
+ kπ
4

B.
2 cos x + 3cos x − 2 = 0

x=±
C.

π
+ k 2π
3

x=±
D.

π
+ kπ
3

2

Câu 41: Phương trình
π
± + k 2π , k ∈ ¢
6
A.
.
2π
±
+ k 2π , k ∈ ¢
3
C.
.

có nghiệm là
±
B.

π
+ k 2π , k ∈ ¢
3

π
+ k 2π , k ∈ ¢
3

.

D.
.
sin x − 3cos x − 4 = 0
Câu 42: Phương trình lượng giác:
có nghiệm là
π
π
x = − + k 2π , k ∈ ¢
x = + kπ , k ∈ ¢
x
=
−
π
+
k
2
π
,
k
∈
¢
2
6
A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
2
cos x + 2cos x − 3 = 0
Câu 43: Phương trình lượng giác:

có nghiệm là
π
x = + k 2π , k ∈ ¢
x = k 2π , k ∈ ¢
x=0
2
A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
3
sin 2 2 x − 2 cos 2 x + = 0
4
Câu 44: Phương trình
có nghiệm là
π
π
x = ± + kπ , k ∈ ¢
x = ± + kπ , k ∈ ¢
6
4
A.
.
B.
.
π
2π
x = ± + kπ ,, k ∈ ¢
x=±
+ kπ , k ∈ ¢

3
3
C.
.
D.
.
2
cos 2 x − cos 2x − 2 = 0
Câu 45: Họ nghiệm của phương trình
là
2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 7

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

π
+ kπ
2

−
.

B.

π kπ
+
2 2

−π
+ k 2π
2

.
C.
3cos 4 x + 2 cos 2 x − 5 = 0

Câu 46: Họ nghiệm của phương trình
π
+ k 2π
k 2π
3
A.
.
B.
.

Lượng giác – ĐS và GT 11

.

D.

π
+ k 2π
2

là

kπ

C.
.
3sin 2 x + 3cos 2 x − 3 = 0

−
D.

.

π
+ k 2π
3

.

2

Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình
là
π
π
π

π
π
π
kπ ; + k
kπ ; − + k
kπ ; + kπ
kπ ; − + kπ
4
2
4
2
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
π
π


 3π 3π 
2 cos 2  2 x + ÷+ 3cos  2 x + ÷− 5 = 0
; ÷
−
3

3


 2 2 
Câu 48: Nghiệm của phương trình
trong khoảng
là:
 7π π 5π 
 7π π 5π 
 7π π 5π 
 7π π 5π 
; ; 
;− ; 
;− ;− 
−
 ;− ; 
−
−
6 6 
6
6 
6 6 
 6 6 6 
 6
 6
 6
A.
.
B.
.

C.
. D.
.
3cos 2 x + 2 cos x − 5 = 0
Câu 49: Giải phương trình
.
π
π
x = − + kπ
x = + k 2π
x = kπ
x = k 2π
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
sin x + sin 2 x = 1
Câu 50: Phương trình
có nghiệm là:
π
π
π



 x = 2 + kπ
x = 3 + k 2
(k ∈ ¢ )


 x = ± π + kπ
 x = − π + kπ


6
4
A.
.
B.
.
π
π

 x = 12 + k 3

 x = − π + kπ

3
C.
.
D. Vô nghiệm.
2
tan x + 5 tan x − 6 = 0

Câu 51: Phương trình
có nghiệm là:
π
x = + kπ ; x
x = arctan( −6) + kπ =
( k ∈¢) x =
4
A.
π
x = + k 2π ;x
x = arctan(−6) + k 2π =
( k ∈ ¢) x =
4
C.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=−
B.
D.

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ kπ ;x
x = arctan(−6) + k 2π =

( k ∈¢)
4

x = kπ ; x
x = arctan(−6) + kπ =
( k ∈¢) .

(

)

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

Câu 52: Giải phương trình
π
π
π
π
x = + kπ , x = + kπ , k ∈ ¢
x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢
4
6
3
4
A.
.
B.
.
π
π

π
π
x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢
x = + kπ , x = + k π , k ∈ ¢
4
6
3
6
C.
.
D.
.
tan x + 3cot x = 4
k ∈¢
Câu 53: Phương trình
(với.
.) có nghiệm là:
π
π
+ k 2π , arctan 3 + k 2π
+ kπ
4
4
A.
.
B.
.
π
+ kπ , arctan 3 + kπ
arctan 4 + kπ

4
C.
.
D.
.
tan x + 3cot x = 4
k ∈¢
Câu 54: Phương trình
(với
) có nghiệm là
π
π
+ k 2π , arctan 3 + k 2π
+ kπ
4
4
A.
.
B.
.
π
+ kπ , arctan 3 + kπ
arctan 4 + kπ
4
C.
.
D.
.
2
3 tan x − ( 3 + 3 ) tan x + 3 = 0

Câu 55: Phương trình
có nghiệm là
π
π
π
π




 x = 4 + kπ
 x = − 4 + kπ
 x = 4 + kπ
 x = − 4 + kπ




 x = π + kπ
 x = − π − kπ
 x = − π + kπ
 x = π + kπ




3
3
3
3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2 tan x + 3 tan x + 1 = 0
Câu 56: Phương trình
có nghiệm là
π
1
+ kπ ; arctan(− ) ( k ∈ ¢ )
kπ ( k ∈ ¢ )
4
2
A.
.
B.
.
π
1
π
1
+ k 2π , arctan(− ) (k ∈ ¢ )
− + kπ ; arctan(− ) + kπ (k ∈ ¢ )
2
2

4
2
C.
.
D.
.
2
tan 2 x − 3 tan 2x + 2 = 0
Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình
là

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
−
A.

π
+ kπ
8

.

B.

π
+ kπ

8

−

π
π
+k
8
2

.
C.
3 tan 2 x + 2 cot 2 x − 5 = 0

Câu 58: Họ nghiệm của phương trình
π
π
π
π
− +k
+k
4
2
4
2
A.
.
B.
.

C.

Lượng giác – ĐS và GT 11

.

D.

là

π
π
+k
8
2

.

1
2
π
arctan + k
2
3
2

1
2
π
− arctan + k

2
3
2

.
D.
2 tan x + 5 tan x + 3 = 0
2

Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình
π
π
π
−
−
−
3
4
6
.
B.
.
C.
.
A.

−
D.

5π

6

là :

.

 π 
 − ;π ÷
 2 

2 tan x − 2 cot x − 3 = 0
Câu 60: Số nghiệm của phương trình
trong khoảng
là :
3
2
1
4
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
2
tan x + 2 tan x + 1 = 0
Câu 61: Giải phương trình :
.

π
π
π
π
+k
− + kπ
+ k 2π
kπ
4
2
4
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
tan x + cot x = −2
Câu 62: Nghiệm của phương trình
là
π
−π
x = + k 2π , k ∈ ¢
x=
+ k 2π , k ∈ ¢
4
4

A.
.
B.
.
π
−π
x = + kπ , k ∈ ¢
x=
+ kπ , k ∈ ¢
4
4
C.
.
D.
.
tan x
1
π

= cot  x + ÷
2
1 − tan x 2
4

Câu 63: Phương trình
có nghiệm là:
x=
A.

π

+ kπ
3

x=
.

π
π
+k
6
2

x=

B.
.
C.
2 2 ( sin x + cos x ) .cos x = 3 + cos 2 x

Câu 64: Phương trình

x=
A.

,

x=
C.

π

+ kπ
k ∈¢
6

x=
.

D.

π
π
+k
12
3

.

có nghiệm là:

x=−
.

π
+ k 2π
k ∈¢
3
,

π
π

+k
8
4

B.

.

Câu 65: Giải phương trình

π
+ kπ
k ∈¢
6
,

.

D. Vô nghiệm.
sin 3 x + cos 3 x 

5  sin x +
÷ = cos 2 x + 3
1 + 2 sin 2 x 


.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 10

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=±
A.
x=±
C.

π
3

π
3

+ k 2π
,
+ kπ
,

k ∈¢

x=±

k ∈¢

.

B.
x=±

.

D.

Câu 66: Cho phương trình
phải thỏa mãn điều kiện:
5
− ≤m≤0
2
A.
.
3
1< m ≤
2
C.
.

1
4 tan x
cos 4 x +
=m
2
1 + tan 2 x

Lượng giác – ĐS và GT 11
π
6

π
6

+ k 2π
,
+ kπ
,

k ∈¢

k ∈¢

cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0

Câu 68: Phương trình
 x = k 2π

π
 x = + k 2π
3

k ∈¢
A.
,
.

.

. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số

B.

0< m ≤1

.
5
3
m < − hay m >
2
2

D.
1
2
48 −
−
( 1 + cot 2 x.cot x ) = 0
cos 4 x sin 2 x

Câu 67: Phương trình:
π
π
x = +k
16
4 k ∈¢
A.
,
.
π

π
x = +k
8
4 k ∈¢
C.
,
.

.

.

có các nghiệm là
π
π
x = +k
12
4 k ∈¢
B.
,
.
π
π
x = +k
4
4 k ∈¢
D.
,
.

có nghiệm là

x = π + k 2π k ∈ ¢
,
.
π

 x = 3 + kπ

π
 x = − π + kπ
x = + k 2π

3
k ∈¢
k ∈¢
3
C.
,
.
D.
,
.
π
π
3





cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷.sin  3 x − ÷− = 0
4
4



 2
Câu 69: Phương trình:
có nghiệm là:
x = k 2π ( k ∈ ¢ )
x = k 3π ( k ∈ ¢ )
A.
.
B.
.
π
x = + kπ ( k ∈ ¢ )
x = k 4π ( k ∈ ¢ )
4
C.
.
D.
.
sin 3x + cos 2 x = 1 + 2sin x cos 2 x
Câu 70: Phương trình
tương đương với phương trình:
B.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 11

m


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
sin x = 0
sin x = 1


A.
sin x = 0

sin x = − 1

2

.

B.

sin x = 0
sin x = −1


.

C.

Lượng giác – ĐS và GT 11

sin x = 0

sin x = 1

2

.

D.

.

[ 0; 2π ]

cos 5 x + cos 2 x + 2sin 3 x sin 2 x = 0

Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
3π
4π
5π
A.
.
B.
.
C.
.
cos 4 x
= tan 2 x
cos 2 x
Câu 72: Số nghiệm của phương trình

trong khoảng
5
2
4
B. .
C. .
A. .

 π
 0; ÷
 2

(

cos x ( cos x + 2sin x ) + 3sin x sin x + 2
sin 2 x − 1

trên
6π
D.
.

là

là :

) =1

D.

3

.

Câu 73: Nghiệm phương trình
π
π
x = ± + k 2π
x = − + kπ
k ∈¢
k ∈¢
4
4
A.
.
.
B.
,
.
3π
π
π
+ k 2π
x = − + k 2π x = −
x = − + k 2π
k ∈¢
k ∈¢
4
4
4

C.
,
,
.
D.
,
.
2
cos5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3cos x + 1
Câu 74: Cho phương trình
. Các nghiệm thuộc khoảng
( −π ;π )
của phương trình là:
2π π
π 2π
π π
π π
−
,
− ,
− ,
− ,
3 3
3 3
2 4
2 2
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
π
π 5


sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷ =
4
4 4


Câu 75: Phương trình:
có nghiệm là:

x=
A.

π
π
+k
8
4

x=
.

π
π

+k
4
2

x=

π
+ kπ
2

x = π + k 2π

B.
.
C.
.
D.
π
π




cos  2 x + ÷ + cos  2 x − ÷ + 4 sin x = 2 + 2 ( 1 − sin x )
4
4





Câu 76: Phương trình:
có nghiệm là:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

.

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

π

 x = 12 + k 2π

 x = 11π + k 2π

12

.

π

x
=
+ k 2π


6

 x = 5π + k 2π

6

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

x
=
+ k 2π

3

 x = 2π + k 2π

3

B.
.
C.
sin 3 x + cos 3 x  3 + cos 2 x

 sin x +
÷=
1 + 2sin 2 x 
5


Câu 77: Cho phương trình:
( 0;2π )
khoảng
là:
π 5π
π 5π
,
,
12 12
6 6
A.
.
B.
.

.

D.

π

 x = 4 + k 2π

 x = 3π + k 2π

4

.

. Các nghiệm của phương trình thuộc

π 5π
,
4 4

π 5π
,
3 3

C.
.
D.
.
2
sin x − 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m − 1) cos 2 x = m

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình
có
nghiệm?
0 ≤ m ≤1
m >1
0 < m <1
m≤0
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
2
sin x + 2 ( m + 1) sin x − 3m ( m − 2 ) = 0
Câu 79: Để phương trình:
có nghiệm, các giá trị thích hợp của
m
tham số
là:
1
1
 1
 1
−
≤
m
≤
−
≤
m
<
 3
 2
 −2 ≤ m ≤ − 1
 −1 ≤ m ≤ 1
2
3




3 ≤ m ≤ 4
1 ≤ m ≤ 2
0 ≤ m ≤ 1

1 ≤ m ≤ 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
6
sin x + cos x = a | sin 2 x |
a
Câu 80: Để phương trình
có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:
1
1
3
1
1
0≤a<
a<
a≥
8
8

8
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
6
6
2
4 sin x + cos x − 8 sin x + cos x − 4sin 4 x = m
m

(

Câu 81: Cho phương trình:

) (

)

m

trong đó

là tham

số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của
là:
3
− ≤ m ≤ −1
−1 ≤ m ≤ 0
2
A.
.
B.
.
3
−2 ≤ m ≤ −
m < −2 hay m > 0
2
C.
.
D.
.
6
6
sin x + cos x
= 2m.tan 2 x
m
cos 2 x − sin 2 x
Câu 82: Cho phương trình:
, trong đó
là tham số. Để phương trình có

m
nghiệm, các giá trị thích hợp của
là

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
m≤−
A.
m<−
C.

1
8
1
8

m≥
hay
m>
hay

1
8
1
8

m≤−
.

B.
m<−

.

D.

Lượng giác – ĐS và GT 11
1
4
1
4

m≥
hay
m>
hay

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

1
4
1
4

.

.

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

f (sin x,cos x) = 0
+ Là phương trình có dạng
lẻ.

trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng

cosk x ≠ 0

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
(k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là
tan x
.
Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
π
⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2

Lưu ý: cosx = 0
• Khi

cos2 x ≠ 0

cos x ≠ 0
, chia hai vế phương trình (1) cho
2

ta được:

2

a.tan x + b.tan x + c = d(1+ tan x)

• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a − d)t2 + bt
. + c− d = 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1− cos2x
sin2x
1+ cos2x
(1) ⇔ a.
+ b.
+ c.
= d
2
2
2

⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
B– BÀI TẬP

6sin 2 x + 7 3 sin 2 x − 8cos 2 x = 6

Câu 1: Phương trình
π

 x = 2 + kπ

 x = π + kπ

6
k ∈¢
A.
,
.
π

 x = 8 + kπ

 x = π + kπ

12
k ∈¢
C.
,
.

có các nghiệm là:
π

 x = 4 + kπ

 x = π + kπ

3
k ∈¢
B.
,
.
3π

 x = 4 + kπ

 x = 2π + kπ

3
k ∈¢
D.
,
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

(

)

3 + 1 sin 2 x − 2 3 sin x cos x +

(

Lượng giác – ĐS và GT 11

)

3 − 1 cos 2 x = 0

Câu 2: Phương trình
có các nghiệm là:
π
π


 x = − 4 + kπ vôù
 x = 4 + kπ
i tanα = −2 + 3
vôù
i tan α = 2 − 3


k ∈¢
k ∈¢

 x = α + kπ
 x = α + kπ
A.
,
.
B.
,
.
π
π


x = + kπ
 x = − 8 + kπ vôù

i tan α = −1 + 3
vôù
i tan α = 1 − 3
8


 x = α + kπ
 x = α + kπ
k ∈¢
k ∈¢
C.
,
.
D.
,

.
2
2
3sin 2 x − 2sin 2 x cos 2 x − 4 cos 2 x = 2.
Câu 3: Giải phương trình
1
kπ
1
kπ
x = arctan 3 +
, x = arctan( −2) +
, k ∈ ¢.
2
2
2
2
A.
1 + 73 kπ
1 − 73 kπ
x = arctan
+
, x = arctan
+
, k ∈ ¢.
12
2
12
2
B.
1

1 + 73 kπ
1
1 − 73 kπ
x = arctan
+
, x = arctan
+
, k ∈ ¢.
2
6
2
2
6
2
C.
3 kπ
kπ
x = arctan +
, x = arctan( −1) +
, k ∈ ¢.
2 2
2
D.
2sin 2 x + sin x cos x − cos 2 x = 0
Câu 4: Phương trình
có nghiệm là:
π
1
π
+ kπ , arctan  ÷+ kπ

+ kπ
4
2
k ∈¢
k ∈¢
4
A.
,
.
B.
,
.
π
π
1
1
− + kπ , arctan  ÷+ kπ
− + k 2π , arctan  ÷+ k 2π
4
4
2
2
k ∈¢
k ∈¢
C.
,
.
D.
,
.

2
2
2sin x − 5sin x cos x − cos x = −2
Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình
là
π
π
π
π
+ kπ
− + kπ
+ kπ
− + kπ
k ∈¢
k ∈¢
k ∈¢
k ∈¢
6
4
4
6
A.
,
.
B.
,
.
C.
,
.

D.
,
.
2 3 cos 2 x + 6sin x cos x = 3 + 3
Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình
là
3π
π
π
π
+ k 2π
+ kπ
− + kπ
− + k 2π
k ∈¢
k ∈¢
k ∈¢
4
4
4
4
,
v
.
B.
,
.
C.
,
.

D.
,
A.
k ∈¢
.

(

)

(

)

(

)

(

)

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình

−3sin x cos x + sin 2 x = 2

là
1
π
arctan ( −2 ) + k
2
2 k ∈¢
B.
,
.

arctan ( −2 ) + kπ k ∈ ¢
,
.
A.
1
π
− arctan ( −2 ) + k
2
2 k ∈¢
,
.
C.

arctan ( 2 ) + kπ k ∈ ¢
D.
,
.

Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình
 3
arctan  − ÷+ kπ
 2
k ∈¢
A.
,
.
3
arctan  ÷+ kπ
2
k ∈¢
,
.
C.
Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình

π
− + k 2π
k ∈¢
4

A.
k ∈¢

,

.

B.

Lượng giác – ĐS và GT 11

2sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x = 0

 3
− arctan  − ÷+ kπ
 2
k ∈¢
B.
,
.
3
− arctan  ÷+ kπ
2
k ∈¢
D.
,
.

3sin 2 x − 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2

π
+ kπ
k ∈¢
4
,

là

.

C.

π
− + kπ
k ∈¢
4
,

là

.

D.

3π
+ k 2π
4

,

.
sin 2 x − ( 3 + 1)sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Câu 10: Phương trình :

π
+ kπ
k ∈¢

4

có họ nghiệm là

3π
+ kπ
k ∈¢
4
A.
,
.
B.
,
.
π
π
π
+ kπ
+ kπ
+ kπ
k ∈¢
k ∈¢
4
3
± 3
C.
,
.
D.
,

,
.
2
2
3cos 4 x + 5sin 4 x = 2 − 2 3 sin 4 x cos 4 x
Câu 11: Phương trình
có nghiệm là:
π
π
π
x = − + kπ
x=− +k
k ∈¢
6
12
2 k ∈¢
A.
,
.
B.
,
.
π
π
π
π
x=− +k
x =− +k
18
3 k ∈¢

24
4 k ∈¢
C.
,
.
D.
,
.
 π
 0 ; ÷,
 2
sin 2 4 x + 3.sin 4 x.cos 4 x − 4.cos 2 4 x = 0
Câu 12: Trong khoảng
phương trình
có:
A. Ba nghiệm.
B. Một nghiệm.
C. Hai nghiệm.
D. Bốn nghiệm.
2 cos 2 x − 3 3 sin 2 x − 4sin 2 x = −4
Câu 13: Phương trình
có họ nghiệm là
−

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

π

 x = 2 + kπ

 x = π + kπ

6
k ∈¢
A.
,
.
x=
C.

π
+ kπ
6

,

x=
B.

π
+ k 2π
k ∈¢
2
,

x=

k ∈¢

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ kπ
k ∈¢
2

.

.
D.
,
.
2
2
2sin x + sin x cos x − cos x = 0
k ∈¢
Câu 14: Phương trình
(với
) có nghiệm là:
π
1
π
− + k 2π ,arctan( ) + k 2π
+ kπ
4

2
4
A.
.
B.
.
π
1
π
1
+ kπ ,arctan( ) + kπ
− + kπ ,arctan( ) + kπ
4
2
4
2
C.
.
D.
.
3
3
5
5
cos x + sin x = 2 ( cos x + sin x )
Câu 15: Giải phương trình
π
π
1
π

1
π
x = ± + k 2π
x=± +k π
x = ± +k π
x = ± + kπ
4
4
2
4
3
4
A.
B.
C.
D.
sin 2 x + 3 tan x = cos x ( 4sin x − cos x )
Câu 16: Giải phương trình
π
π
1
1
x = + k 2π , x = arctan −1 ± 2 + k 2π
⇔ x = + k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
4
4
2
2
A.
B.

π
2
2
π
x = + k π , x = arctan −1 ± 2 + k π
⇔ x = + kπ , x = arctan −1 ± 2 + kπ
4
3
3
4
C.
D.

(

)

(

(

)

(

)

)

sin 2 x ( tan x + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3

Câu 17: Giải phương trình
π
2
π
π
1
π




x = − 4 + k 3 π
 x = − 4 + k 2π
x = − 4 + k 2 π
 x = − 4 + kπ




x = ± π + k 2 π
 x = ± π + k 2π
x = ± π + k 1 π
 x = ± π + kπ




3
3
2

3
3
3


A.
B.
C.
D.
4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0
Câu 18: Giải phương trình
π
π
π
1
π
1
x = + k 2π , x = ± + k 2π
x = + k π, x = ± + k π
4
3
4
2
3
2
A.
B.
π
1
π

1
π
π
x = + k π, x = ± + k π
x = + kπ , x = ± + kπ
4
3
3
3
4
3
C.
D.
2 cos 3 x = sin 3 x
Câu 19: Giải phương trình
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

C.

 x = arctan(−2) + k 2π

 x = π + k 2π


4

B.

2

 x = arctan( −2) + k 3 π

x = π + k 2 π

4
3

Lượng giác – ĐS và GT 11

1

 x = arctan( −2) + k 2 π

x = π + k 1 π

4
2

 x = arctan( −2) + kπ

 x = π + kπ

4

D.
cos x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x
2

Câu 20: Giải phương trình

A.

 x = k 2π

 x = π + k 2π
3


1

x
=
k
π

2

x = π + k 1 π

3
2

2


x
=
k
π

3

x = π + k 2 π

3
3

 x = kπ

 x = π + kπ
3


B.
C.
D.
2
2
2 cos x + 6sin x cos x + 6sin x = 1
Câu 21: Giải phương trình
π
π
2
2
 1

 1
x = − + k 2π ; x = arctan  − ÷+ k 2π
x = − + k π ; x = arctan  − ÷+ k π
4
4
3
3
 5
 5
A.
B.
π
1
1
π
 1
 1
x = − + k π ; x = arctan  − ÷+ k π
x = − + kπ ; x = arctan  − ÷+ kπ
4
4
4
4
 5
 5
C.
D.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Là phương trình có dạng:
a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = 0
(3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

π
t = cos x + sin x = 2.cos x + ÷; t ≤ 2.

4
Đặt:
1
⇒ t2 = 1+ 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = (t2 − 1).
2
Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

a(sin x − cos x) + bsin x cos x + c = 0

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
(3’)

t ∈  − 2; 2



π  
t = sin x − cos x = 2sin  x − ÷⇒ 
2
4  sin x cos x = 1− t


2

Để giải phương trình này ta cũng đặt
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
Lưu ý:


π
π
cos x + sin x = 2cos x − ÷ = 2sin x + ÷

4

4
•


π
π
cos x − sin x = 2cos x + ÷ = − 2sin x − ÷

4


4
•
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

π
t = cos x ± sin x = 2. cos x m ÷ ; Ñk : 0 ≤ t ≤ 2.

4
• Đặt:
1
⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1).
2

• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
B– BÀI TẬP

Câu 1: Phương trình

1
sin x + cos x = 1 − sin 2 x
2

có nghiệm là:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 20

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

π
π

x = 6 + k 2

x = k π

4
k ∈¢
A.
,
.
π

 x = 4 + kπ

k ∈¢
 x = kπ
C.
,
.

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

 x = 8 + kπ


x = k π

2
k ∈¢
B.
,
.
π

 x = 2 + k 2π

k ∈¢
 x = k 2π
D.
,
.

1
sin 3 x + cos3 x = 1 − sin 2 x
2

Câu 2: Phương trình
có nghiệm là:
π
π


 x = 4 + kπ
 x = 2 + k 2π



k ∈¢
k ∈¢
 x = kπ
 x = k 2π
A.
,
.
B.
,
.
3π

3π
 x = 4 + kπ

x
=
+ kπ


2
x = k π


 x = ( 2k + 1) π k ∈ ¢
2
k ∈¢
C.
,

.
D.
,
.
2sin 2 x − ( sin x + cos x ) + 1 = 0
Câu 3: Giải phương trình
π
1 

π
x = ± arccos  −
x = kπ , x = + kπ
÷+ kπ
4
 2 2
2
A.
hoặc
π
1 
1

1
π
1
x = ± arccos  −
+k π
x = k π,x = +k π
÷
4

3
 2 2
3
2
3
B.
hoặc
π
1 
2

2
π
2
x = ± arccos  −
+k π
x = k π,x = + k π
÷
4
3
 2 2
3
2
3
C.
hoặc
π
1 

π

x = ± arccos  −
x = k 2π , x = + k 2π
÷+ k 2π
4
 2 2
2
D.
hoặc
sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0
Câu 4: Giải phương trình
π
π
2
x = + kπ , x = −π + k 2π
x = + k 2π , x = −π + k π
2
2
3
A.
B.
π
1
2
π
x = + k π , x = −π + k π
x = + k 2π , x = −π + k 2π
2
3
3
2

C.
D.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1
4


Câu 5: Giải phương trình
π
π
π
1
π
1
1
x = + kπ , x = + kπ , x = π + k 2π
x = + k π,x = +k π, x =π + k π
4
2

4
2
2
2
2
A.
B.
π
2
π
2
π
π
x = + k π , x = + k π , x = π + k 2π
x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π
4
3
2
3
4
2
C.
D.
1 + tan x = 2 2 sin x
Câu 6: Giải phương trình
π
11π
5π
x = + kπ , x =
+ kπ , x = −

+ kπ
4
12
12
A.
π
2
11π
2
5π
2
x = + k π,x =
+ k π,x = −
+k π
4
3
12
3
12
3
B.
π
11π
1
5π
x = + k 2π , x =
+k π,x = −
+ k 2π
4
12

4
12
C.
π
11π
5π
x = + k 2π , x =
+ k 2π x =, x = −
+ k 2π
4
12
12
D.
cos x − sin x + 2sin 2 x = 1
Câu 7: Giải phương trình
k 3π
k 5π
k 7π
kπ
x=
x=
x=
x=
2
2
2
2
A.
B.
C.

D.
cos3 x + sin 3 x = cos 2 x
Câu 8: Giải phương trình
π
π
π
2
π
x = − + k 2π , x = − + kπ , x = kπ
x = − + k π , x = − + kπ , x = kπ
4
2
4
3
2
A.
B.
π
1
π
2
π
π
x = − + k π , x = − + k π , x = k 2π
x = − + kπ , x = − + k 2π , x = k 2π
4
3
2
3
4

2
C.
D.
cos 3 x + sin 3 x = 2sin 2 x + sin x + cos x
Câu 9: Giải phương trình
k 3π
k 5π
kπ
x=
x=
x=
x = kπ
2
2
2
A.
B.
C.
D.
1
1
10
cosx +
+ sinx +
=
cos x
sin x 3
Câu 10: Giải phương trình
π
2 + 19

π
2 + 19
x = ± arccos
+ k 2π
x = ± arccos
+ k 2π
4
4
3 2
2
A.
B.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=

π
2 + 19
± arccos
+ kπ
4
2

C.
Câu 11: Cho phương trình

x=

π
2 − 19
± arccos
+ k 2π
4
3 2

D.
sin x cos x − sin x − cos x + m = 0
m

Lượng giác – ĐS và GT 11

, trong đó

m

là tham số thực. Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của là
1
1
1
1
−2 ≤ m ≤ − − 2
− − 2 ≤ m ≤1
1≤ m ≤ + 2

+ 2 ≤m≤2
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2sin 2 x − 3 6 sin x + cos x + 8 = 0
Câu 12: Phương trình
có nghiệm là
π

 x = 3 + kπ
π

x = + kπ


4
 x = 5π + kπ


x
=

5
π + kπ k ∈ ¢
3
k ∈¢

A.
,
.
B.
,
.
π
π


 x = 6 + kπ
 x = 12 + kπ


 x = 5π + kπ
 x = 5π + kπ


12
4
k ∈¢
k ∈¢
C.
,
.

D.
,
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 23


ST&BS: Th.S ng Vit ụng Trng THPT Nho Quan A

Lng giỏc S v GT 11

PHN II: HNG DN GII
PHNG TRèNH BC HAI V QUY V BC HAI VI MT HM S LNG GIC
A Lí THUYT V PHNG PHP
1. Phng trỡnh bc hai vi mt hm s lng giỏc
Dng

t

iu kin

asin2x + bsin x + c = 0

t = sinx

1 t 1

a cos2 x + bcos x + c = 0

t = cosx

1 t 1

a tan2 x + btan x + c = 0

t = tanx

x

t = sin2 x hoaở
c t = sin x thỡ ủie
u kieọ
n : 0 t 1.


+ k (k Z)
2

Nu t:
B BI TP
Cõu 1: Trong cỏc phng trỡnh sau, phng trỡnh no l phng trỡnh bc 2 theo 1 hm s lng giỏc
2sin 2 x + sin 2 x 1 = 0.
2sin 2 2 x sin 2 x = 0.
A.
B.
2
cos x + cos2 x 7 = 0.
tan 2 x + cot x 5 = 0.

D.
C.
Hng dn gii:.
Chn B.
0< x <
sin 2 x sin x = 0
Cõu 2: Nghim ca phng trỡnh
tha iu kin:
.


x=
x=
x=0
x =
2
2
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
Hng dn gii::
Chn A.
x = k
sin x = 0
2

sin x sin x = 0

( k Â)
x = + k 2
sin
x
=
1


2

Vỡ

0< x <

x=
nờn nghim ca phng trỡnh l


2

.

2sin x 3sin x + 1 = 0

0 x<

2

Cõu 3: Nghim ca phng trỡnh lng giỏc:

tha iu kin

ST liờn h: 0978064165 - Email:


2

l:

Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=

π
3

x=

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B.

π
2

x=
C.

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
6

x=
D.

5π
6

t = 1
2t − 3t + 1 = 0 ⇔  1
t =
 2
2

t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1)

Đặt

Với

t =1

, phương trình trở thành:

π
sin x = 1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

, ta có:
π
π
π
−1
0≤ x<
0 ≤ + k 2π < ⇔
≤ k < 0.
k ∈¢
2
2
2
4
Do
nên
Vì
nên không tồn tại k.
π

 x = 6 + k 2π
⇔
1
1
π
 x = 5π + k 2π
t=

sin x = = sin

6
2
2
6
Với
, ta có:
.
π
π
0≤ x<
x= .
2
6
Do
nên
π
π
x=
0≤ x<
6
2
Vậy phương trình có nghiệm
thỏa điều kiện
.
2
sin x + 3sin x − 4 = 0
Câu 4: Phương trình
có nghiệm là:

π
x = + k 2π , k ∈ Z
x = π + k 2π , k ∈ Z
2
A.
B.
π
x = + kπ , k ∈ Z
x = kπ , k ∈ Z
2
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
t = 1
⇔
2
t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1)
t + 3t − 4 = 0
t = −4 (l )
Đặt
, phương trình trở thành:
.
π
⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
t =1
sin x = 1
2
Với
, ta có:

π
π
− 2
sin x + sin x = 0
2
2
Câu 5: Nghiệm của phương trình
thỏa điều kiện:
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email:

Trang 25