Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/> /> /> />( )
( )
/> />FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
( k ) ' = 0 (k là hằng số)
Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)
( kx ) ' = k (k là hằng số)
( x a ) ' = a.x a – 1
(u a ) ' = a.u a – 1.u '
'
'
u'
1
=−
2 u
u
'
u'
u =
2 u
( sinu ) ' = u '.cos u
1
1
=− 2
x
x
'
1
x =−
2 x
( sinx ) ' = cosx
( cosu ) '
( cosx ) ' = –sinx
1
= tan 2 x + 1
2
cos x
1'
( cot x ) ' = − 2 = − ( cot 2 x + 1)
sin x
( ex ) ' = ex
( tan x ) ' =
= – u ' sin u
u'
= u ' ( tan 2 u + 1)
2
cos u
u'
( cot u ) ' = − 2 = −u ' ( cot 2 u + 1)
sin u
( eu ) ' = u '.eu
( tan u ) ' =
/>( )
( )
/> /> />a x ' = a x .lna (a là hằng số)
a u ' = u’a u .lna (a là hằng số)
1
x
1
( log a | x |) ' =
x.ln a
u'
u
u'
( log a | u |) ' =
u.ln a
( ln | x |) ' =
1. (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’
( ln | u |) ' =
Tính chất của đạo hàm
2. (ku)’ = ku’ (k là hằng số)
1
u u ' v − uv' 1
4. =
; =− 2
2
v
v
v
v
'
3. (u.v)’ = u’v + uv’
'
/> /> /> /> /> />∫
∫
∗ Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
ax 2 + bx + c
(ab'−a' b) x 2 + 2(ac'− a' c) x + (bc'−b' c)
Dạng : y =
⇒
y’
=
a ' x 2 + b' x + c '
( a ' x 2 + b' x + c ' ) 2
ax 2 + bx + c
ad .x 2 + 2ae.x + (be − dc)
⇒ y’ =
dx + e
(dx + e) 2
ax + b
ad − cb
⇒ y’ =
Dạng : y =
cx + d
(cx + d ) 2
Dạng : y =
NGUYÊN HÀM
Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
tức là u = u ( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
1. dx = x + C
du = u + C
2. ∫ k .dx = k .x + C , k là
*Trường hợp đặc biệt
u = ax + b, a ≠ 0
∫ k.du = k.u + C
hằng số
1
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
x α+1
1 (ax + b)α +1
uα +1
α
α
3. ∫ x α dx =
+ C, α ≠ −1
∫ (ax + b) .dx = a . α + 1 + C
∫ u du = α + 1 + C
α +1
/>∫
∫
∫
/> />∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
6.
1
1
dx = ln ax + b + C
(ax + b)
a
1
du = ln u + C
u
1
1
∫ 2 dx = − + C
u
u
1
dx = ln x + C
x
1
1
dx = − + C
5. ∫
x
x2
4.
1
dx = 2 x + C
x
1
du = 2 u + C
u
1
1
du = .2 ax + b + C
a
ax + b
*Nguyên hàm của hàm số mũ
7. e x dx = e x + C
eu du = eu + C
8. e− x dx = −e− x + C
9.
∫a
x dx =
ax
ln a
+ C, 0 < a ≠ 1
1
eax+b dx = eax+b + C
a
e−u du = −e−u + C
au
au du =
+C
ln a
a mx+n dx =
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
10. ∫ cos x.dx = sin x + C
∫ cos u.du = sin u + C
1 a mx+n
.
+ C, m ≠ 0
m ln a
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>1
∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
11. sin x.dx = − cos x + C
sin u.du = − cos u + C
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
12.
1
dx = tan x + C
2
cos x
1
du = tan u + C
2
cos u
∫
1
dx = tan(ax + b) + C
a
cos2 (ax + b)
13.
1
dx = − cot x + C
sin 2 x
1
du = − cot u + C
sin 2 u
∫
1
1
dx = − cot g (ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)
1
1
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt u = ax + b
1. ∫ cos kx.dx =
1
sin kx + C
Ví dụ
1
∫ cos 2 x.dx = 2 sin 2 x + C , (k = 2)
/>∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
k
1
2. sin kx.dx = − cos kx + C
k
1
3. ekx dx = ekx + C
k
1
sin 2 x.dx = − cos 2 x + C
2
1
e2 x dx = e2 x + C
2
1 (ax + b)α +1
4. (ax + b)α .dx = .
+C
α +1
a
1 (2 x + 1) 2+1
1
(2 x + 1) .dx = .
+ C = .(2 x + 1)3 + C
1
1
dx = ln ax + b + C
(ax + b)
a
1
1
du = .2 ax + b + C
6.
a
ax + b
1
7. eax+b dx = eax+b + C
a
1 a mx+n
+ C, m ≠ 0
8. a mx+ n du = .
m ln a
1
1
dx = ln 3x − 1 + C
3x − 1
3
1
1
2
du = .2 3x + 5 + C =
3x + 5 + C
3
3
3x + 5
1
e2 x+1dx = e2 x+1 + C
5.
2
2
2 +1
6
2
1 52 x+1
52 x+1dx = .
+C
2 ln 5
2
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/> /> />1
cos(2 x + 1)dx = sin(2 x + 1) + C
1
sin(ax + b) + C
a
1
10. sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a
1
1
dx = tan(ax + b) + C
11.
a
cos2 (ax + b)
9. cos(ax + b)dx =
12.
2
1
sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + C
3
1
1
dx = tan(2 x + 1) + C
2
cos2 (2 x + 1)
1
1
dx = − cot(3x + 1) + C
2
3
sin (3x + 1)
1
1
dx = − cot(ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính
bằng phương pháp đổi biến số đặt u = ax + b ⇒ du = .?.dx ⇒ dx = .?.du
HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT
TRỜI
du
u α+1
1. ∫ udv = uv − ∫ vdu
α
3. ∫
= ln u + C
2. ∫ u du =
+ C , α ≠ −1
u
α +1
4. ∫ e u du = e u + C
6. ∫ sin udu = − cos u + C
/>∫
∫
/>∫
∫
∫
/>)
(
∫
∫
/>∫
∫
au
+C
ln a
8. ∫ tan udu = ln cos u + C
5. ∫ a u du =
7. cos udu = sin u + C
du
10.
a −u
2
2
= arcsin
u
+C
a
11.
du
1
u−a
= ln
+C
2
2
u −a
2a u + a
13.
du
1
u
= arctan + C
2
a +u
a
a
du
17. ∫
14.
du
1
u+a
= ln
+C
2
a −u
2a u − a
2
u
a2
u 2 + a 2 + ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
16.
u 2 + a 2 du =
)
(
12.
2
u 2 + a 2 du
a + u2 + a2
2
2
= u + a − a ln
+C
u
u
15.
9. cot udu = − ln cos u + C
= ln u + u 2 + a 2 + C
u 2 + a 2 du
u2 + a2
=−
+ a ln a + u 2 + a 2 + C
2
u
u
du
1
= − ln
2
2
a
u u +a
u2 + a2 + a
+C
u
/>)
(
∫
∫
/>∫
∫
(
)
/>∫
(
)
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>u +a
2
2
18. ∫
u 2 du
u
a2
2
2
=
u + a − ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
2
2
u +a
du
u
=
+C
3
2
2
2
2
2
a
u
+
a
u +a
19.
21.
23.
u 2 a 2 − u 2 du =
25.
u
2u 2 − a 2
8
a2 − u2 +
4
a
u
arcsin + C
8
a
1 a + a2 − u2
= − ln
+C
a
u
u a2 − u2
du
20.
22.
24.
28.
29.
u2 − a2
− u2 − a2
du
=
+ ln u + u 2 − a 2 + C
u2
u
30. ∫
∫
=−
u2 + a2
+C
a 2u
a 2 − u 2 du =
u 2
a2
u
a − u 2 + arcsin + C
2
2
a
u 2 du
u 2
a2
u
a − u 2 + arcsin + C
2
2
a
a2 − u2
=−
du
u
27.
2
u2 u2 + a2
26.
u
a2
2
2
u − a du =
u − a − ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
2
du
a −u
2
2
2
=−
1
a2 − u2 + C
2
a u
u2 − a2
a
du = u 2 − a 2 − a cos + C
u
u
du
u −a
2
2
= ln u + u 2 − a 2 + C
3
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
∫
(
)
∫
∫
/>(
)
∫
/>∫
∫
/>∫
/>∫
∫
/>∫
∫
31.
32.
u 2 du
u
a2
u 2 − a 2 + ln y + u 2 − a 2 + C
2
2
=
u2 − a2
du
u2 − a2
u2 − a2
=−
u
a2 u2 − a2
+C
34.
u 2 du
1
2
= 3 ( a + bu ) − 4a ( a + bu ) + 2a 2 ln a + bu + C
a + bu 2b
du
1 b
a + bu
= − + 2 ln
+C
36. 2
u ( a + bu )
au a
u
38.
du
u ( a + bu )
2
=
40. u a + budu =
1
1
a + bu
− 2 ln
+C
a ( a + bu ) a
u
2
( bu − 2a )
15b 2
( a + bu )
3
31.
u 2 du
2
=
8a 2 + 3b 2 u 2 − 4abu ) a + bu + C
3 (
15b
a + bu
1
44. ∫ cos 2 udu = ( u + sin 2u ) + C
2
2
46. ∫ cot udu = − cot u − u + C
42. ∫
=
u2 − a2
+C
a 2u
u2 u2 − a2
udu
1
= 2 a + bu − a ln a + bu + C
33.
a + bu b
35.
37.
du
1 a + bu
= ln
+C
a ( a + bu ) a
u
udu
( a + bu )
2
=
a
1
+ 2 ln a + bu + C
b ( a + bu ) b
2
1
a2
a
+
bu
−
− 2a ln a + bu
2
3
a + bu
( a + bu ) b
udu
2
41.
= 2 ( bu − 2a ) a + bu + C
a + bu 3b
1
43. ∫ sin 2 udu = ( u − sin 2u ) + C
2
39.
+C
du
u 2 du
=
∫
/>(
)
∫
/>(
)
∫
∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
45. tan 2 udu = tan u − u + C
47. sin 3 udu = −
1
2 + sin 2 u cos u + C
3
1
tan 2 u + ln cos u + C
2
1
n −1
sin n − 2 udu
51. sin n udu = − sin n −1 u cos u +
n
n
1
53. tan n udu =
tan n −1 u − tan n − 2 udu
n −1
1
2 + cos 2 u sin u + C
3
1
50. cot 3 udu = − cot 2 u − ln sin u + C
2
1
n −1
52. cos n udu = cos n −1 u.sin u +
cos n − 2 udu
n
n
Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc
−1
54. ∫ cot n udu =
cot n −1 u − ∫ cot n − 2 udu
n −1
49. tan 3 udu =
48. cos3 udu =
55. ∫ sin au.sin budu =
sin ( a − b ) u
−
sin ( a = b ) u
+C
/>∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>)
(
)
∫ (
)
(
)
∫ (
/>∫
56. sin au.cos budu = −
cos ( a − b ) u
2(a − b)
−
cos ( a + b ) u
2 (a + b)
+C
60. u n cos udu = u n sin u − n u n −1 sin udu
62. sin au.e
64.
u
2
1
ln ( au ) ) + C
(
2
66. ln u 2 + a 2 du = u ln u 2 + a 2 + 2a.arctan
68.
bx
a.sin ax + b.cos ax ) ebx
(
dx =
+C
a 2 + b2
63. ln ( au ) du = u ln ( au ) − u + C
a 2 + b2
=
57. u sin udu = sin u − u cos u + C
61. cos ax.e
b sin au − a cos au ) ebu
(
du =
+C
ln ( au ) du
2(a − b)
59. u n sin udu = − u n cos u + n u n −1 cos udu + C
58. u cos udu = cos u + u sin u + C
bu
2(a − b)
u
− 2u + C
a
b
65. ln ( au + b ) du = u + ln ( au + b ) − u + C, a ≠ 0
a
67.
u+a
ln u 2 − a 2 du = u ln u 2 − a 2 + a.ln
− 2u + C
u −a
1
69. eau du = eau + C
a
4
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/> /> />∫
∫
/>u ln ( au + b ) du =
bu 1 2 1 2 b 2
− u + u − 2 ln ( au + b ) + C
2a 4
2
a
70. ueu du = ( u − 1) e u + C
72. u n .eau du =
u 1
71. u.eau du = − 2 eau + C
a a
2
2
1
73. u.e − au du = − e − au + C
2a
u n eau n n −1 au
− u .e du + C
a
a
I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A. Phương pháp biến đổi số thuận t = v ( x )
b
Tính tích phân I =
b
f ( x ) dx = g ( v ( x ) )v ' ( x ) dx
a
a
Bước 1: Đặt t = v ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục và đổi cận
Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt
/>∫
/>∫
∫
∫
/>( )
/>Bước 3: Tính I =
v( b )
v( a )
g ( t ) dt
Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp
b
I=
b
b
f ( x ) dx = g ( v ( x ) )v ( x ) dx = g ( v ( x ) )d (v ( x ))
'
a
a
a
B. Phương pháp biến đổi số nghịch x = u ( t )
Bước 1: Đặt x = u ( t ) , t ∈ [α ; β ] sao cho u ( t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α ; β ] , f u ( t ) được
xác định trên đoạn [α ; β ] và u (α ) = a; u ( β ) = b
Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt
β
Bước 3: Tính I = ∫ g ( t ) dt
/> />∫
∫
/>∫ ( )
/> />∫
/>∫
α
C. Phương pháp biến đổi số u ( x ) = g ( x, t )
Dạng 1: I =
β
α
Dạng 2: I =
β
α
Dạng 3: I =
1
1
f ( ln x ) dx đặt u = ln x ⇒ du = dx
x
x
1
1
1
f ln ( ln x )
dx đặt u = ln x ⇒ du = dx hoặc u = ln ( ln x ) ⇒ du =
dx
x ln x
x ln x
x
β
f e x e x dx đặt u = e x ⇒ du = e x dx
α
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng
Dạng 4: I =
β
α
b
Dạng 5: I =
a.e x + b ta có thể giải theo hướng đặt t = a.e x + b
f [ cos x ] .sin x dx đặt u = cos x ⇒ du = − sin dx
f [sin x ] .cos xdx đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx
a
5
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a.sin 2 x + b.sinx
Để tính tích phân dạng ∫
dx ta đổi biến bằng cách đặt t = c + d .cosx
c + d .cosx
b
sin 2 x
sin 2 x
du = sin 2 xdx
Dạng 6: I = ∫ f 2 sin 2 xdx đặt u = 2 ⇒
cos x
a
cos x −du = sin 2 xdx
/> />∫
/>(
)
∫
/>∫
/>(
)
/>∫
Dạng 7: I =
β
1
1
f tan ( ax + b )
dx đặt u = tan ( ax + b ) ⇒ du =
dx
2
2
cos ( ax + b )
cos ( ax + b )
α
Hoặc: I =
β
α
Dạng 8: I =
1
f tan ( ax + b ) 1 + tan 2 ( ax + b ) dx đặt u = tan ( ax + b ) ⇒ du =
dx
2
cos ( ax + b )
β
1
1
dx
f cot ( ax + b ) 2
dx đặt u = cot ( ax + b ) ⇒ du = − 2
sin ( ax + b )
sin ( ax + b )
α
Hoặc: I =
β
α
1
dx
f cot ( ax + b ) 1 + cot 2 ( ax + b ) dx đặt u = cot ( ax + b ) ⇒ du = − 2
sin ( ax + b )
β
Dạng 9: I = ∫ f ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) dx đặt u = sin x + cos x ⇒ du = − ( sin x − cos x ) dx
α
/>∫
∫
/> /> />Dạng 10: Tính I =
β
a 2 − x 2 .dx , ( a > 0 )
α
Hoặc: I =
β
α
1
a − x2
2
.dx
, ( a > 0)
π π
Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos t , với t ∈ − ;
2 2
(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng
a 2 − a 2 sin 2 x = a 2 cos x = a cos x
A2 tức là
π π
t = α ' ∈ − ;
x = α
2 2
Đổi cận:
⇒
.
π
π
x = β
'
t = β ∈ − ;
2 2
π π
π π
Chú ý: vì t ∈ − ; ⇒ α ' , β ' ∈ − ; ⇒ cos t > 0
2 2
2 2
/> />∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
/> />⇒I=
β
a − x .dx = I =
2
β'
2
α
a − a sin t .a cos tdt = a
2
2
2
α'
β'
2
cos 2 tdt
α'
Đến đây ta hạ bậc tính bình thường
Hoặc: I =
β
1
a 2 − x2
TỔNG QUÁT:
α
Tính I =
β
a −u
2
2
dx =
β'
α'
a cos t
a 2 − a 2 sin 2 t
( x )dx , ( a > 0 )
α
β'
dt = dt
hoặc: I =
α'
β
α
1
a2 − u2 ( x)
dx , ( a > 0 )
Tương tự: Đặt u ( x ) = a sin t
Dạng 11 : Môt số dạng khác:
6
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
1
a
ta đặt: x = sin t với
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: a 2 − b 2 x hay
2
2
b
a −b x
/> /> /> /> />∫
∫
/>a
π π
t ∈ − ; khi đó dx = cos tdt và
b
2 2
a 2 − b 2 x 2 = a cos t hoặc t = a 2 − b 2 x 2
b 2 x − a 2 hay
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng:
1
ta đặt: x =
b2 x − a 2
a
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: x ( a − bx ) ta đặt: x = sin 2 t
b
β
Dạng 12: I =
a + x .dx , ( a > 0 ) hoặc I =
2
β
1
2
α
a + x2
2
α
Đặt x = a tan t
a
b sin t
dx
a+x
a−x
Dạng 13: I =
3− x
dx .
1+ x
1
/> /> />∫
∫
/>Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫
0
Giải:
3− x
−x + 3
4
−8tdt
⇒ t2 =
⇒x= 2
− 1 ⇒ dx = 2
1+ x
x +1
t +1
(t + 1) 2
Đặt t =
x = 0 t = 3
Đổi cận:
⇒
t = 1
x = 1
−8t 2 dt
t 2 dt
.
=
8
2
2
2
2
(
t
+
1)
(
t
+
1)
1
3
1
Khi đó: I =
3
π π
Đặt t = tan u , u ∈ − ; ⇒ dt = (tan 2 u + 1)du
2 2
π
u=
t
=
1
4
Đổi cận:
⇒
t = 3
u = π
3
/> />(
)
∫
∫
∫
∫
/> />∫
/> />∫
π
⇒ I =8
3
tan u tan u + 1 du
π
2
π
2
(tan 2 u + 1) 2
=8
4
3
π
4
π
= ( 4u − 2sin 2u ) π3 =
π
4
3
π
2
π
3
3
tan udu
2
=
8
sin
udu
=
4
(1 − cos 2u )du
tan 2 u + 1
π
π
4
4
− 3+2.
Chú ý:
1
Phân tích I =
0
β
Dạng 14: I =
α
3− x
1+ x
dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.
( x − a )( b − x )dx
7
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
/>∫
∫
∫
∫
/>(
)
/> />∫ ( )
/>2a
Ví dụ: Tính tích phân sau: I =
x 2 − a 2 .dx , ( a > 0 )
a
x2 − a2 = t ⇒
Đặt
⇒ dx =
tdt
t 2 + a2
x
x2 − a2
dx = dt ⇒ xdx = x 2 − a 2 dt = tdt
a 3
t 2 dt
⇒ I=
t 2 + a2
0
a 3
=
t 2 + a 2 − a 2 dt
a 3
=
t 2 + a2
0
t + a dx = −
2
0
Dạng 15 : Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f ( x ) =
thể đặt x =
a 3
2
0
1
a +b x
2
2
2 n
a 2 dt
t 2 + a2
với n =1;2;3; …thì ta có
a
π π
tan t với t ∈ − ;
b
2 2
β
Dạng 16: Tính tích phân: I =
α
f x n +1 x n dx đặt u = x n +1 ⇒ du = ( n + 1) x n dx
Dạng 17: Tính tích phân : I = ∫ f
( x)
1
x
dx đặt u = x ⇒ du =
1
2 x
dx
/> /> />∫ ( )
/>)
∫ (
Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ( ax + b )dx đặt u = ax + b ⇒ du = adx
KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt
- Thông thường có một số dạng sau đây:
β
a. I =
α
f x n +1 x n dx đặt t = x n +1 ⇒ dt = ( n + 1) x n dx
1
Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I = x 5 1 − x 3
0
6
dx =
1
168
HD:
− dt
3x 2
1
1
1 6
1 6 7
1 t7 t8
1
I = ∫ t (1 − t )dt = ∫ ( t − t )dt = − =
30
30
3 7 8 168
/> />∫
/>∫
/> />∫
/>Đặt: t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3 x 2 dx ⇒ dx =
1
Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: I = x 3 1 − x 2 dx
0
Cách 1: Đặt t = 1 − x 2
1
1
1
2
1
I = t (1 − t )dt = t 3 − t 5 =
5 0 15
3
0
2
2
Cách 2: Đặt t = 1 − x 2
Cách 3: Đặt t = x 2
π
2
Cách 4: Đặt x = cos t ⇒ I = sin 2 t cos3 tdt
0
1
Cách 4.1. Đặt sin t = u ⇒ cos tdt = du ⇒ I = ∫ u 2 (1 − u 2 )du
0
8
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
/>∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/> />∫
/>π
2
Cách 4.2. I = sin 2 t (1 − sin 2 t )d (sint ) .
0
π
Cách 4.3. I =
π
π
π
1
1 1 − cos 4t
1
12
sin 2 2t costdt =
cos tdt =
cos tdt = − cos 4t cos tdt
40
40
2
80
80
2
2
2
1
1
1
3
1
1
1
(1 − x 2 − 1) 1 − x 2 d (1 − x 2 ) =
(1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
1 − x 2 d (1 − x 2 )
Cách 5: I =
20
20
20
KĨ THUẬT NHÂN
2
dx
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =
x 1 + x3
1
Giải:
2
Ta có:
∫x
dx
2
=∫
x 2 dx
/> /> />∫
∫
∫
∫
/>(
)
( )
( )
1
1 + x3
1
x 3 1 + x3
Đặt: t = 1 + x3 ⇒ t 2 = 1 + x 3 ⇒ 2tdt = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx =
x = 1
t = 2
Đổi cận:
⇒
x = 2 t = 3
Khi đó:
2
2
dx
x 2 dx
2
I=
=
=
3
3
1 + x3 3
1 x 1+ x
1 x
=
3
dt
1
=
2
t −1 3
2
2tdt
3
3
1
1
−
dt
t
−
1
t
+
1
2
3
1
1 t −1 3
1 1
2 −1 1
2 +1
1
ln t − 1 − ln t + 1
= ln
= ln − ln
= ln
= ln
3
2 3 t +1 2 3 2
2 +1 3 2 2 −1 3
1
2 −1
2
/> />)
)
(
(
)
∫
∫
∫ (
∫(
)
)(
)
(
/>∫
∫
∫
∫
/> /> />1
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I = ∫
0
x3
x + x2 + 1
dx
Giải:
1
I=
0
1
x3
1
x3
x + x +1
2
dx =
0
1
x2 + 1 − x
x2 + 1 + x
x2 + 1 − x
1
= x3 x 2 + 1dx − x 4 dx = x 2 x 2 + 1.xdx −
0
0
0
1
dx =
x2 + 1 − x
x3
x +1− x
2
0
2
1
dx =
x 3 x 2 + 1 − x 4 dx
0
1
x5 1
1
= x 2 x 2 + 1.xdx −
5 0 0
5
J
Đặt: t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx
x = 0 t = 1
Đổi cận:
⇒
x = 1
t = 2
Khi đó:
9
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
∫
∫
∫
/> /> /> /> />∫
2
J=
2
3
1
2 3
2 1
5
1
1 2
1 2
1 2
1 2 2 2 32 2
2
t . dt =
t
−
t
dt
=
t
dt
−
t
dt
=
t
− t
1
1
2
2 1
2
2
5
3
1
1
( t − 1)
1
5
2
3
2
1 22 1 4 2 2 2 2 2 2 2
=
− −
+ =
−
+ =
+
5 5 3 3
5
3
15
15 15
KĨ THUẬT CHIA
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:
β
1
1
1
1
- Một số dạng: I = f x ± 1 ∓ 2 dx đặt t = x ± ⇒ dt = 1 ∓ 2 dx
x
x
x
x
α
1+ 5
2
∫
Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I =
x2 + 1
π
dx =
4
2
4
x − x +1
/> />∫
∫
∫
/> />1
Giải:
1+ 5
2
Ta có:
x +1
dx =
x − x2 + 1
2
1+ 5
2
4
1
1
1+
1
x2
1
x −1+ 2
x
dx =
2
1+ 5
2
1
1
1 + 2
x
dx
2
1
x − +1
x
1
1
⇒ dt = 1 + 2 dx
x
x
x = 1
t = 0
Đổi cận:
1 + 5 ⇒ t = 1
x =
2
1
dt
Khi đó: I = ∫
1+ t2
0
Đặt: t = x −
/>(
)
/> />∫
∫
∫
/> />∫
/>Đặt: t = tan u ⇒ dt = 1 + tan 2 u du
u = 0
t = 0
Đổi cận:
⇒
π
t = 1
u = 4
π
π
π
4
4
dt
1 + tan 2 u
π
=
du
=
du = u 4 = .
Khi đó: I =
2
2
4
0 1+ t
0 1 + tan u
0
0
1
KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ
1
Ví dụ : Tính tích phân sau: I =
x3
dx
8
1
+
x
0
Giải:
10
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
1
1
x3
x3
dx
=
Ta có: ∫
∫0 1 + x 4 2 dx
1 + x8
0
( )
/>(
)
/> /> />∫
∫
∫
∫
( )
/> />Đặt: x 4 = tan t ⇒ x3 dx =
1
π π
1 + tan 2 t dt với t ∈ − ; .
4
2 2
t = 0
x = 0
⇒ π
Đổi cận:
x = 1
t = 4
π
1
1
3
3
π
x
x
dx =
Khi đó: I =
8
4
0 1+ x
0 1+ x
2
π
1 1 + tan t
14
1
π
dx =
dt
=
dt = t 4 = .
2
4 0 1 + tan t
40
4
16
0
2
4
KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
/> />∫
∫
/> />1
Ví dụ: Tính tích phân sau: I = ∫
( 7 x − 1)99
101
0 ( 2 x + 1)
dx
HD:
dx
1 7x −1
7x −1
7x −1
=
Phân tích: I =
d
2
9 0 2x + 1
2 x + 1 ( 2 x + 1)
2x + 1
0
99
1
1 1 7x − 1
= ⋅
9 100 2 x + 1
100
1
0
=
99
1
1
2100 − 1
900
KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
/>∫
/> /> />∫
∫
∫
/> />∫
∫
π
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =
2
0
sin x
sin x + cosx
dx
Giải:
x = 0
π
t =
Đặt: x = − t ⇒ dx = − dt . Đổi cận:
π ⇒ 2
2
x = 2
t = 0
Khi đó:
π
0
I =−
π
2
π
sin − t
2
π
π
sin − t + cos − t
2
2
π
Vậy I + I = 2 I =
2
0
π
dt =
2
0
π
sin x + cos x
2
π
cos t
cos t + sin t
π
π
dt =
2
cos x
cos x + sin x
0
dx
π
dx = dx = x 2 = ⇒ I =
2
4
sin x + cos x
0
0
11
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/>∫
/> /> />∫
∫
∫
/> />∫
∫
π
sin 3 x
dx
3
3
sin
x
+
cos
x
0
2
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I =
Giải:
x = 0
π
t =
Đăt x = − t ⇒ dx = − dt . Đổi cận:
π ⇒ 2
2
x = 2
t = 0
Khi đó:
π
π
π
sin 3 − t
0
3
2
2
cos t
cos3 x
2
I =−
dt =
dt
=
dx
cos3 t + sin 3 t
cos3 x + sin 3 x
3 π
3 π
π
0
0
sin − t + cos − t
2
2
2
π
π
π
π
2
sin x + cos x
π
π
dx
=
dx = x 2 = ⇒ I =
Vậy I + I = 2 I =
3
3
2
4
0 sin x + cos x
0
0
3
2
3
e− x
ex
dx
dx và J = ∫ x
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I = ∫ x
e + e− x
e + e− x
0
0
1
1
/>∫
/>(
)
(
)
∫
∫
/> />Giải:
1
Ta có I + J = dx = 1
0
1 d e x + e− x
1
e x − e− x
e2 + 1
x
−x
−1
I−J = x
dx
=
=
ln
e
+
e
=
ln
e
+
e
−
ln
2
=
ln
−x
0
2e
e x + e− x
0 e +e
0
1
Từ đó suy ra: I =
1
e2 + 1
1
2e
1
ln
+
và J = 1 + ln 2
2
2e
2
e + 1
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
1
1
∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x )
/> />∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>1.Ta luôn có :
n
m
n
0
m
dx
0
2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [− a, a ] thì :
a
I=
f ( x )dx = 0
−a
3.Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
f (x )
dx = f ( x )dx
ax + 1
−α
0
α
Ta có :
α
4.Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0,1] . Ta luôn có :
π
x. f (sin x )dx =
0
π
2
π
f (sin x )dx
0
5.Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
a +T
Ta luôn có :
a
T
f ( x )dx = f ( x )dx
0
12
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :
/>∫
∫
/> />∫
/>∫
/>∫
/>T
f ( x )dx =
T
2
f ( x )dx
T
−
2
0
II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN
b
Muốn tính I =
f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [a, b] , khử trị tuyệt đối
a
b
Muốn tính I = max[ f ( x ), g (x )]dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [a, b]
a
b
Muốn tính I = min[ f ( x ), g ( x )]dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [a, b]
a
Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
/>)
∫ (
/> />)
) ∫(
∫ (
/>Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
a > 0
− ∆ 2ax + b
2
→ ax + bx + c =
1 +
4a − ∆
∆ < 0
R x, ax 2 + bx + c dx =
S t , 1 + t 2 dt Tới đây , đặt t = tan u .
t=
2 ax +b
−∆
2
a < 0
− ∆ 2ax + b
2
Dạng 2:
→ ax + bx + c =
1 −
4a − ∆
∆ < 0
∫ R (x,
)
∫ S (t ,
)
/> />) ∫(
)
∫ (
/>∫
∫
/> />)
∫ (
/>)
∫ (
ax 2 + bx + c dx =
t=
1 − t 2 dt Tới đây , đặt t = sin u .
2 ax + b
−∆
2
a > 0
∆ 2ax + b
2
Dạng 3:
→ ax + bx + c =
− 1
4a − ∆
∆ > 0
R x, ax 2 + bx + c dx =
S t , t 2 − 1 dt Tới đây, đặt t =
t=
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
2 ax + b
1
.
sin u
∆
dx
(αx + β )
ax 2 + bx + c
dt
=
t=
1
αx + β
αt 2 + µt + ζ
Một số cách đặt thường gặp :
S x , a 2 − x 2 dx
đặt x = a. cos t
0≤t ≤π
S x , a 2 + x 2 dx
đặt x = a. tan t
−
π
2
π
2
13
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a
π
2
2
∫ S x, x − a dx đặt x = cos t t ≠ 2 + kπ
ax 2 + bx + c = xt ± c ; c > 0
2
ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0
S
x
,
ax
+
bx
+
c
d
x
đặ
t
∫
ax 2 + bx + c = ± a .x ± t
; a>0
ax + b
ax + b
; ad − cb ≠ 0
đặt t = m
∫ S x, m cx + d
cx + d
)
(
/> />)
(
/> /> /> />V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
/>∫
∫
/> /> />Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] , thì ta có :
b
b
udv = [uv ] a − vdu
b
a
a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
Nhớ “NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.
/>∫
/> /> /> /> />Câu 1: Một nguyên hàm ( x − 2) sin 3 xdx = −
( x − a ) cos 3 x 1
+ sin 3 x + 2017 thì tổng S= ab +c
b
c
bằng
A. S = 14
Giải
Sơ đồ giải
Đạo hàm
B. S = 15
C. S = 3
D.S = 10.
Nguyên hàm
x-2
(+)
sin3x
1
(-)
−
cos 3 x
3
−
sin 3 x
9
0
14
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a = 2
cos 3x sin 3x
Theo sơ đồ ta có I = − ( x − 2)
+
+ C ⇒ b = 3 ⇒ S = ab + c =15( B)
3
9
c = 9
/> />∫
/> /> /> />Câu 2 : Biết
x 2 e x dx = ( x 2 + mx + n)e x + C. Giá trị mn là
A.6
B.4
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
C.0
D.-4
Nguyên Hàm
x2
(+)
ex
2x
(-)
ex
2
(+)
ex
0
ex
/> />∫
/> />I = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + C = ( x 2 − 2 x + 2)e x ≡ ( x 2 + mx + n)e x + C
Vây
m = −2
⇒
⇒ mn = − 4( D)
n = 2
a
15 a
4− x
là phân số tối giản,
Câu 3 : Biết I = I = x.ln
dx = − ln − c, Với a,b,c ∈ N * và
b
2 b
4+ x
0
khẳng định nào sau đây đúng.
A. a + b = 2c.
B. a + b = 3c.
C. a + b = c.
D. a + b = 4c.
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
x
4− x
ln
(+)
4+ x
8
x 2 − 16
(
)
( kỹ thuật thêm bớt trong từng phần)
x 2 − 16
2
a = 3
x 2 − 16 4 − x
1
15 3
Vậy ta có I =
ln
− 4 x = − ln − 4 ⇒ b = 5 ⇒ a + b = 2c (C )
4+ x
2 5
2
0
c = 4
Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì
dừng.
2
a
b
b
Câu 4 : Biết I = ∫ ( x 2 + x) ln xdx = ln 2 − với a, b, c∈ Z* và tối giản. Tính S = ab + c
3
c
c
1
A.806.
B.559.
C.1445.
C.1994
Giải.
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
lnx
(+)
x2 + x
1
x3 x 2
(-)
+
x
3 2
1
/> /> /> /> /> />15
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a = 14
x3 x2
x 3 x 2 2 14
55
Ta có I = + ln x − + = ln 2 − ⇒ b = 55 ⇒ S = ab + c = 806 ( A)
36
9 4 1 3
3 2
c = 36
/> />∫
/> /> /> />π
a − beπ
Chọn đáp án đúng
c
B. c − a − b = 9
C. c − a − b =12
2
Câu 5: Cho I = e 2 x .sin 3 xdx =
0
A. c − a − b = 8
Giải .
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
sin 3x
(+)
3cos 3x
(-)
−9sin 3x
D. c − a − b = 7 .
Nguyên Hàm
e2 x
e2 x
2
(+)
e2 x
4
/>∫
/> /> />π
π
e
3e
9 2 2x
Vậy I =
sin 3 x −
cos 3 x 2 −
e .sin 3 xdx
3
2
0 40
2x
2x
I
a = 3
π
4 e2 x
3e2 x
3 − 2eπ
⇒I=
sin 3x −
cos 3x 2 =
⇒ b = 2 ⇒ ( A)
13 2
4
13
0
c = 13
Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm lượng
giác quay về ban đầu thì dừng
VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
/> /> />∫
/>∫
/> />a. Công thức tính diện tích :
•
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là:
b
S=
f ( x) dx .
a
•
Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a , x = b là:
b
S=
f ( x) − g ( x) dx .
a
b. Công thức tính thể tích :
16
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
/> /> />∫
/> /> />•
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x ) , trục Ox ( y = 0 ) và hai đường thẳng x = a , x = b quay xung quanh trục Ox tạo
thành một khối tròn xoay có thể tích là: V = π
b
[ f ( x)]
2
dx .
a
c. Thể tích vật thể.
d. Bài toán vật lí.
e. Tính tổng.
f. Tính độ dài dây cung.
/> /> /> />
/> /> /> /> /> />17
Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3