Điều kiện fritz john và karush kuhn tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

AN VĂN LONG

ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ
KARUSH-KUHN-TUCKER
CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 5/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

AN VĂN LONG

ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ
KARUSH-KUHN-TUCKER
CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN, 5/2018


Mục lục
Bảng ký hiệu

i

Mở đầu

1

Chương 1. Dưới vi phân suy rộng

4

1.1. Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot 4
1.2. Dưới vi phân chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Điều kiện cần và điều kiện đủ cho nghiệm hữu
hiệu địa phương

17

2.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa phương . . . 19
2.3. Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 3. Áp dụng
36
3.1. Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ . 36
3.2. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

42


i

Bảng ký hiệu
convM

bao lồi của tập M

clconvM
coneM

bao lồi đóng của tập M
nón lồi sinh ra bởi M

X∗

không gian đối ngẫu tô pô của không gian X

T (C, x)
N (C, x)

nón tiếp tuyến Clarke của C tại x
nón pháp tuyến Clarke của C tại x

f − (x, d)
f + (x, d)

đạo hàm Dini dưới của f tại x theo phương d
đạo hàm Dini trên của f tại x theo phương d

f 0 (x, d)
f ♦ (x, d)

đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương d
đạo hàm Michel–Penot của f tại x theo phương d

∂f (x)
∂ ♦ f (x)

dưới vi phân Clarke của f tại x
dưới vi phân Michel–Penot của hàm f tại x

∂ ∗ f (x)

∂∗ f (x)

dưới vi phân suy rộng trên của f tại x
dưới vi phân suy rộng dưới của f tại x

(V EP )

bài toán cân bằng vectơ

(CV EP )
(CV V I)

bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc

(CV OP )

bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán trong tối ưu, trong
đó có bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ là một
bộ phận quan trọng của tối ưu hóa.
Năm 1999, V. Jeyakummar và D.T. Luc [5] đã đưa ra khái niệm dưới
vi phân suy rộng đóng không lồi (convexificator) cho hàm vô hướng. Dưới

vi phân suy rộng là một tổng quát hóa của các khái niệm dưới vi phân
Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman. Dưới vi phân suy rộng
là một công cụ hữu hiệu để thiết lập các điều kiện tối ưu. Khi dẫn các
điều kiện tối ưu qua các dưới vi phân người ta thường phải giả thiết hàm
ràng buộc đẳng thức là khả vi Fréchet.
Đ.V. Lưu ([6], 2016) đã thiết lập các điều kiện cần Fritz John, các điều
kiện cần và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán
cân bằng vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập
qua dưới vi phân suy rộng, trong đó hàm ràng buộc đẳng thức không khả
vi Fréchet, mà chỉ là hàm Lipschitz địa phương. Đây là đề tài được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài:
"Điều kiện Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu
của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng".
2. Mục đích của đề tài
Luận văn trình bày các điều kiện cần Fritz John, các điều kiện cần
và đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ qua dưới vi phân suy rộng của Đ.V. Lưu [6] đăng trong tạp chí J.


2

Optim.Theory Appl. 171 (2016), 643 - 665. Một số áp dụng cho bài toán
bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ cũng được trình
bày trong luận văn.
3. Nội dung của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo
Chương 1 " Dưới vi phân suy rộng" trình bày một số kiến thức cơ bản
về dưới vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng,
bao gồm: các khái niệm dưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phân

suy rộng chính quy và dưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tính
dưới vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình.
Chương 2 "Điều kiện cần và điều kiện đủ" trình bày các điều kiện
cần Fritz John và Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương
chính quy theo nghĩa Ioffe và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu
của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc trong không gian Banach của
D. V. Luu [6].
Chương 3 "Áp dụng": sử dụng các kết quả đã trình bày trong chương
2, chúng tôi trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ (CVVI) và bài toán tối ưu vectơ (CVOP).
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy
hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành
nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho


3

công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm
ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao học
Toán K10Y, nhà trường và các phòng chức năng của Trường, khoa Toán
- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động
viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên
cứu và học tập.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả luận văn

An Văn Long


4

Chương 1

Dưới vi phân suy rộng
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng
không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: các khái niệm
dưới vi phân suy rộng trên và dưới, dưới vi phân suy rộng chính quy và
dưới vi phân suy rộng tối thiểu, các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng,
định lý giá trị trung bình. Các kiến thức trình bày trong chương này được
tham khảo trong [1], [5].

1.1.

Dưới vi phân suy rộng và các dưới vi phân Clarke,
Michel–Penot

Trong phần này, ta trình bày khái niệm dưới vi phân suy rộng, dưới vi
phân suy rộng chính quy dưới và trên cho hàm giá trị thực mở rộng.
Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là một hàm giá trị
thực mở rộng, trong đó R := R ∪ {±∞}. Không gian đối ngẫu của X được
kí hiệu bởi X ∗ và X ∗ được trang bị tô pô yếu∗ . Bao lồi và bao lồi đóng
của tập A trong X ∗ được kí hiệu tương ứng bởi conv(A) và conv(A). Giả
sử x ∈ X tại đó f là hữu hạn. Đạo hàm theo phương Dini dưới và trên
của f tại x theo phương v được định nghĩa tương ứng bởi

f − (x, v) := lim inf

f (x + tv) − f (x)
,
t

f + (x, v) := lim sup

f (x + tv) − f (xt)
.
t

t↓0

t↓0


5

Trong trường hợp f + (x; v) = f − (x; v), giá trị chung của chúng được ký
hiệu bởi f (x; v) và được gọi là đạo hàm Dini của f tại x theo phương v.
Hàm f được gọi là khả vi Dini được tại x nếu đạo hàm Dini tại x tồn tại
theo tất cả các phương.
Theo [5], hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên
∂ ∗ f (x) tại x nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới ∂∗ f (x) tại x
nếu ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂∗ f (x)

x∗ , v .

Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x
nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của hàm f tại x.
Điều này có nghĩa là hàm f có dưới vi phân suy rộng thì ∂ ∗ f (x) là đóng
yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v ,

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v .

Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết là lồi hoặc compắc
yếu∗ . Điều này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng bài toán với
các hàm liên tục không trơn.
Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R được xác định bởi:
√
x,
nếu x ≥ 0,
f (x) =
√
− −x, nếu x < 0
Hàm f có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với
α ∈ R.
Hàm f được cho là có dưới vi phân suy rộng nửa chính quy trên (dưới)
∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) tại x nếu ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) đóng yếu∗
và với mọi v ∈ X,
f + (x; v)

sup
ξ∈∂ ∗ f (x)

ξ, v


6

tương ứng f − (x; v)

inf

ξ, v

.

ξ∈∂∗ f (x)

Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X. Nếu f là nửa liên tục
dưới tại x thì đạo hàm trên Clarke–Rockafellar của f tại x theo phương
v được định nghĩa bởi
f x + tv − f x
,
t
v →v

f ↑ (x, v) = lim sup inf
x →f x
t↓0

trong đó x →f x có nghĩa là x → x và f (x ) → f (x).
Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì đạo hàm dưới Clarke–Rockafellar
của f tại x với phương v được xác định bởi
f (x + tv ) − f (x )
.
t
v →v

f ↓ (x, v) = lim inf sup
x →f x

t↓0

Nếu f liên tục tại x thì x →f x trong định nghĩa trên có thể viết đơn
giản là x → x. Các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x được
cho bởi công thức:
∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X ,
∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X .
Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ thì ∂ ↑ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của
X ∗ và với mỗi v ∈ X,
f ↑ (x, v) =

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ↑ f (x)

Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ thì ∂ ↓ f (x) là tập con đóng yếu∗ , lồi, khác
rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X,
f ↓ (x, v) =

inf

x∗ ∈∂ ↓ f (x)

x∗ , v .

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì
f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) ,
f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) ,

7

trong đó
f ◦ (x, v) = lim sup
x →f x

f (x + tv ) − f (x )
,
t

t↓0

f◦ (x, v) = lim inf
x →f x

f (x + tv ) − f (x )
,
t

t↓0

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại x theo
phương v. Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi (xem [2])
∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X .
Hơn nữa,
f ◦ (x, v) =
f◦ (x, v) =

max

x∗ , v ,

min

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ◦ f (x)
x∗ ∈∂ ◦ f (x)

Vì vậy, nếu f Lipschitz địa phương tại x thì ∂ ◦ f (x) là dưới vi phân suy
rộng của f tại x, bởi vì
fd− (x, v) ≤ f ◦ (x, v) và fd+ (x, v) ≥ f◦ (x, v), với mỗi v ∈ X.
Tương tự, nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì đạo hàm theo phương
dưới và trên Michel–Penot của f tại x tương ứng được xác định bởi
f (x, v) = sup lim sup λ−1 f (x + λz + λv) − f (x + λz) ,
z∈X

λ↓0

f (x, v) = inf lim inf λ−1 f (x + λz + λv) − f (x + λz) .
z∈X

λ↓0

Dưới vi phân Michel–Penot được định nghĩa bởi
∂ f (x) := x∗ ∈ X ∗ : f (x, v) ≥ x∗ , v , ∀v ∈ X .
Ta thấy rằng đạo hàm theo phương dưới và trên Michel–Penot f (x,. ) và
f (x,. ) là hữu hạn, dưới tuyến tính, ∂ f (x) là compact yếu∗ lồi và

f (x, v) =
f (x, v) =

max

x∗ ∈∂

f (x)

min

x∗ ∈∂

x∗ , v ,
x∗ , v .

f (x)

Vì vậy, ∂ f (x) cũng là một dưới vi phân suy rộng của f tại x, bởi vì
fd− (x, v) ≤ f (x, v) và fd+ (x, v) ≥ f (x, v), với mỗi v ∈ X.


8

Hơn nữa, nếu X = Rn thì
∂ ◦ f (x) = conv v ∈ Rn : ∃{xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v .
Như vậy, tập com pắc
v ∈ Rn : ∃{xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v
là một dưới vi phân suy rộng của f tại x, trong đó K là tập các điểm của
Rn mà f là khả vi với đạo hàm f (x) tại x.

Định lý giá trị trung bình dưới đây đóng một vai trò quan trọng trong
lý thuyết dưới vi phân suy rộng.
Định lí 1.1 (Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng)
Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] là
hữu hạn và liên tục. Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x)
tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f . Khi đó tồn tại
c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k } ⊂ conv(∂ ∗ f (c)) ∪ conv(∂∗ f (c)) sao cho
f (b) − f (a) = lim x∗k , b − a .
k→∞

Chứng minh
Xét hàm g : [0, 1] → R được xác định bởi
g(t) := f a + t(b − a) − f (a) + t f (a) − f (b) .
Khi đó, g là liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0. Như vậy, tồn tại
γ ∈ (0, 1) sao cho g đạt cực trị tại γ. Đặt
c = γb + (1 − γ)a.
Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, điều kiện cần để γ là cực tiểu là với
mỗi v ∈ R,
g − (γ, v) ≥ 0.
Bởi vì
g − (γ, v) = f − c, v(b − a) + v f (a) − f (b) , với mỗi v ∈ R,
ta có
f − c, v(b − a) ≥ v f (b) − f (a) .


9

Khi đó bằng cách đặt v = 1 và v = −1 ta có được các bất đẳng thức sau:
−f − (c, a − b) ≤ f (b) − f (a) ≤ f − (c, b − a).
Bởi vì ∂ ∗ f (c) là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại c, ta có

inf

z ∗ ∈∂ ∗ f (c)

z ∗ , b − a ≤ f (b) − f (a) ≤

sup

z∗, b − a .

(1.1)

z ∗ ∈∂ ∗ f (c)

Khi đó từ bất đẳng thức (1.1), tồn tại dãy {x∗k } ⊂ conv(∂ ∗ f (c)) thỏa mãn
f (b) − f (a) = lim x∗k , b − a .
k→∞

Nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận được
kết luận của định lí.
Từ định lý giá trị trung bình ta chứng minh được quy tắc hàm hợp cho
dưới vi phân suy rộng như sau:
Định lí 1.2
Giả sử f = (f1 , ..., fn ) là một hàm liên tục từ X vào Rn và g là một
hàm liên tục từ Rn vào R. Giả thiết rằng với mỗi i = 1, 2, ..., n, fi có một
dưới vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 và g có một dưới vi phân
suy rộng bị chặn ∂ ∗ g f (x0 ) tại f (x0 ). Với mỗi i = 1, 2, ..., n, nếu ∂ ∗ fi là
nửa liên tục trên tại x0 và ∂ ∗ g là nửa liên tục trên tại f (x0 ) thì tập
∂ ∗ (g ◦ f )(x0 ) := ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng của g ◦ f tại x0 .

Chứng minh
Lấy x0 ∈ X. Khi đó,
(g ◦ f )− (x0 , u) = lim inf
t↓0

g f (x0 + tu) − g f (x0 )
,
t

Từ định lí giá trị trung bình ta nhận được
g f (x0 + tu) − g f (x0 ) ∈ conv ∂ ∗ g(ct ), f (x0 + tu) − f (x0 ) ,
với ct nào đó ∈ [f (x0 ), f (x0 + tu)] và với mỗi i,
fi (x0 + tu) − fi (x0 )) ∈ conv ∂ ∗ fi (xti ), tu ,


10

với cti nào đó ∈ (x0 , x0 + tu). Từ giả thiết nửa liên tục trên ta suy ra với
mỗi > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho
∂ ∗ g(ct ) ⊂ ∂ ∗ g f (x0 ) + B n ,
∗

∂ ∗ fi (xti ) ⊂ ∂ ∗ fi (x0 ) + B X ,
với mỗi i và t ∈ [0, t0 ], trong đó B n là hình cầu đơn vị trong Rn . Như vậy
ta nhận được, với mỗi t ≤ t0 ,
g f (x0 + tu) − g f (x0 )
∈ conv A, u ,
t
trong đó
n

(αi + bi ) + (ξi + ηi )|α ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) ,

A :=
i=1

b ∈ B n , ξi ∈ ∂ ∗ fi (x0 ), ηi ∈ B X

∗

.

Bởi vì dưới vi phân suy rộng là bị chặn, suy ra tồn tại M > 0, không
phụ thuộc vào
i = 1, 2, ..., n,

∗

sao cho với mỗi α ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) , b ∈ B n , ξi ∈ B X ,
αi ηi + bi ξi ≤ M và bi ηi ≤ M.

Do đó,
(g ◦ f )−
d (x0 , u) ≤ sup

x∗ , u |x∗ ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 )
+( +

Bởi vì

2

)M.

là tùy ý, ta suy ra được

(g ◦ f )− (x0 , u) ≤ sup

x∗ , u |x∗ ∈ ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 )

.

Do đó, tập ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 ) là một dưới vi phân suy rộng
trên của g ◦ f tại x0 .
Lý luận tương tự như trên ta có tập ∂ ∗ g f (x0 ) ∂ ∗ f1 (x0 ), ..., ∂ ∗ fn (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng dưới của g ◦ f tại x0 . Do đó, ta có điều phải
chứng minh.


11

1.2.

Dưới vi phân chính quy

Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên
∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂ ∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) =

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Tương tự, hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới
∂∗ f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂∗ f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) =

inf

x∗ ∈∂

x∗ , v .

∗ f (x)

Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x là
dưới vi phân suy rộng trên (t.ứ. dưới) của f tại x. Theo [5], hàm f là dưới
khả vi tại x nếu nó khả vi theo phương và tồn tại một tập lồi và compăc
yếu∗ ∂ ∗ f (x) sao cho với mỗi v ∈ X,
f (x, v) =

max

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v .

Khi đó, từ định nghĩa suy ra mọi hàm dưới khả vi có dưới vi phân suy

rộng compăc yếu∗ và chính quy trên. Các hàm dưới khả vi cho ta một
lớp rộng của hàm không trơn, nó kín với phép lấy tổng và maximum theo
điểm.
Nhắc lại [2]: hàm Lipschitz địa phương f được gọi là chính quy theo
nghĩa Clarke tại x nếu với mọi v ∈ X, tồn tại f (x, v) và f (x, v) = f 0 (x, v).
Chú ý rằng dưới vi phân Clarke của f quy về đạo hàm thông thường nếu
f khả vi chặt. Trong trường hợp f là Lipschitz địa phương, dưới vi phân
Clarke là một dưới vi phân suy rộng của f tại x (xem [5]). Với những hàm
f như vậy, dưới vi phân Clarke ∂f (x) là một dưới vi phân suy rộng chính
quy trên và ánh xạ dưới vi phân suy rộng ∂f bị chặn địa phương tại x.
Hơn nữa, trong trường hợp dim X < ∞, ánh xạ ∂f nửa liên tục trên tại
x (xem [2]).
Ví dụ 1.2 Cho f là một hàm lấy giá trị thực trên tập R với

 x 1 , nếu x = 0,
f (x) := 1+e x
0,
nếu x = 0.


12

Ta có


0,
+
−
f (0; v) = f (0; v) =
v,

nếu v

0,

nếu v < 0.

Tập hợp {0; 1} là một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên của f
tại x = 0. Nó cũng là một dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại
x = 0.
Mệnh đề sau đây cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính
quy.
Mệnh đề 1.1 Hàm f : X → R là khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f
là khả vi theo phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy
trên và dưới tại x0 .
Chứng minh
Nếu f là khả vi Gâteaux tại x0 thì f là khả vi theo phương và đạo hàm
Gâteaux {f (x0 )} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới
của f tại x0 . Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂ ∗ f (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi v ∈ X,
f (x0 , v) = fd− (x0 , v) =
= fd+ (x0 , v) =

inf

x∗ , v

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂∗ f (x)
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó, ∂ ∗ f (x0 ) là tập một điểm và f là khả vi Gâteaux tại x0 .
Giả sử ta có hàm f là hữu hạn và liên tục tại x. Ta nói f là chính quy
trên tại x nếu với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) = f ↑ (x, v) .
Tương tự, hàm f là chính quy dưới tại x nếu với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) = f ↓ (x, v) .
Lưu ý rằng, nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và nếu với
mỗi v ∈ X, f + (·, v) [f − (·, v)] là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi x ∈ X
và v ∈ X,
f + (x, v) = f ◦ (x, v) = f ↑ (x, v)[f − (x, v) = f◦ (x, v) = f ↓ (x, v)],


13

và như vậy f là chính quy trên [dưới] tại x.
Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ và f là chính quy trên tại x, thì ∂ ↑ f (x)) là tập con
đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) = f ↑ (x, v) =

x∗ , v .

sup
x∗ ∈∂ ↑ f (x)

Do đó, ∂ ↑ f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f tại x.
Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ và f là chính quy dưới tại x, thì ∂ ↓ f (x) là

tập con đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X,
fd− (x, v) = f ↓ (x, v) =

x∗ , v ,

sup
x∗ ∈∂ ↓ f (x)

và như vậy ∂ ↓ f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại x.
Nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và chính quy trên tại
x, thì với mỗi v ∈ X,
fd+ (x, v) = f ↑ (x, v) = f ◦ (x, v) =

max

x∗ ∈∂ ◦ f (x)

x∗ , v .

Định lí 1.3
Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) tại x ∈ X.
Nếu f đạt cực trị tại x thì
0 ∈ conv(∂ ∗ f (x)).
Chứng minh
Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≥ 0.
Như vậy,
x∗ , v ≥ 0,

sup

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

bởi vì ∂ ∗ f (x) là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Ta định nghĩa
hàm φ : X → R như sau:
φ(v) =

sup
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v .


14

φ là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới. Do đó, theo [19], với mỗi
v ∈ X,
φ(v) ≥ 0

nếu và chỉ nếu

0 ∈ ∂φ(0),

trong đó
∂φ(0) = conv(∂ ∗ f (x)).
Mặt khác, nếu f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ X,
inf

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

x∗ , v ≤ f + (x, v) ≤ 0.

Như vậy, với mỗi v ∈ X,
sup

x∗ , v ≥ 0.

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó ta có điều cần chứng minh.

1.3.

Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng

Quy tắc 1.1
Giả sử ∂ ∗ f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên
và dưới của f tại x. Nếu λ > 0 thì λ∂ ∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng
trên của λf tại x. Nếu λ < 0 thì λ∂∗ f (x) là một dưới vi phân suy rộng
trên của λf tại x.
Chứng minh
Kết luận của quy tắc được suy ra từ định nghĩa.
Chú ý rằng quy tắc này cũng đúng với các dưới vi phân suy rộng chính
quy dưới và trên
Quy tắc 1.2
Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂ ∗ f (x) và ∂ ∗ g(x) tương ứng
là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suy
rộng là chính quy trên tại x. Khi đó ∂ ∗ f (x) + ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy
rộng trên của f + g tại x.
Chứng minh

15

Giả sử ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x. Khi
đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)− (x, v) ≤ f − (x, v) + g + (x, v)
≤

sup

x∗ , v +

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

sup

y∗, v .

y ∗ ∈∂ ∗ g(x)

Do đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)− (x, v) ≤

z∗, v .

sup
z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+∂ ∗ g(x)

Từ đó ta có kết luận cần chứng minh.
Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với

một điều kiện khả vi.
Quy tắc 1.3
Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂ ∗ f (x) tại x và
g : X → R là khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g (x) thì ∂ ∗ f (x) + {g (x)}
là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x.
Chứng minh
Ta có
(f + g)+ (x, v) = f + (x, v) + g (x), v
=

sup

x∗ , v + g (x), v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do đó, với mỗi v ∈ X,
(f + g)+ (x, v) =

z∗, v .

sup
z ∗ ∈∂ ∗ f (x)+{g

(x)}

Cho I = {1, 2}, x0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử fi : X → R là một hàm
liên tục. Hàm h : X → R được xác định bởi
h(x) = max{f1 (x), f2 (x)}.
Đặt

I(x0 ) = {i ∈ I : h(x0 ) = fi (x0 )}.


16

Quy tắc 1.4
Với mỗi i ∈ I, nếu fi có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ fi (x0 ) tại x0 thì
∂ ∗ h(x0 ) :=

∂ ∗ fi (x0 )
i∈I(x0 )

là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .
Chứng minh
Nếu f1 (x0 ) > f2 (x0 ) thì I(x0 ) = {1} và h(x) = f1 (x) với mỗi x trong
một lân cận của x0 . Do đó,
h− (x0 , v) = f − (x0 , v) ≤

sup

x∗ , v ,

x∗ ∈∂ ∗ f1 (x)

và như vậy
∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f1 (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .
Tương tự, nếu f1 (x0 ) < f2 (x0 ) thì
∂ ∗ h(x0 ) = ∂ ∗ f2 (x0 )
là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 . Bây giờ giả thiết rằng

f1 (x0 ) = f2 (x0 ). Khi đó,
h(x0 ) = f1 (x0 ) = f2 (x0 ),
và với mỗi v ∈ X,
h− (x0 , v)
max f1 (x0 + tv), f2 (x0 + tv) − h(x0 )
t↓0
t
f1 (x0 + tv) − f1 (x0 ) f2 (x0 + tv) − f2 (x0 )
= lim inf max
,
t↓0
t
t
f1 (x0 + tv) − f1 (x0 )
f2 (x0 + tv) − f2 (x0 )
, lim inf
= max lim inf
t↓0
t↓0
t
t
= lim inf

≤

sup

x∗ , v .

x∗ ∈ ∂ ∗ f1 (x0 )∪∂ ∗ f2 (x0 )

Do đó, ∂ ∗ f1 (x0 ) ∪ ∂ ∗ f2 (x0 ) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0 .
Chú ý rằng với dưới vi phân suy rộng dưới ta có kết quả tương tự.


17

Chương 2

Điều kiện cần và điều kiện đủ cho
nghiệm hữu hiệu địa phương
Chương 2 trình bày các điều kiện cần Fritz John và Karush–Kuhn–
Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương chính quy theo nghĩa Ioffe và các
điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ có
ràng buộc trong không gian Banach của D. V. Luu [6].

2.1.

Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Giả sử X là một không gian Bannach thực và X ∗ là không gian đối
ngẫu tô pô của X. Cho f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ X vào R, Rn ,
Rl và C là một tập con đóng của X. Ta có g = (g1 , ..., gn ), h = (h1 , ..., hl ),
trong đó f, g(i), h(j) (với i ∈ I := {1, ..., n}, j ∈ L := {1, ..., l}) là các
hàm giá trị thực mở rộng xác định trên X . Ta xét bài toán tối ưu có ràng
buộc (P) sau đây:
min f (x), x ∈ M1 := x ∈ C : gi (x)

0, i ∈ I, h(x) = 0 .

(P)

Trong [4], Ioffe giới thiệu một cách tiếp cận cho lý thuyết các điều kiện
cần tối ưu cho bài toán (P) thông qua xấp xỉ cấp 1 bằng cách thiết lập
một định lý rút gọn, trong đó (P) được thay thế bởi một bài toán không
có ràng buộc.
Nhắc lại [4]: điểm x được gọi là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe của h


18

theo C nếu tồn tại các số K > 0 và δ > 0 sao cho với mọi x ∈ C ∩ B(x; δ),
dQ (x)

h(x) − h(x) ,

K

trong đó Q := {x ∈ C : h(x) = h(x)}, dQ (x) kí hiệu khoảng cách từ x tới
Q, B(x; δ) là hình cầu mở bán kính δ và tâm x.
Khái niệm điểm chính quy theo nghĩa Ioffe [4] được minh họa bởi ví dụ
sau.
Ví dụ 2.1 Cho h là một hàm giá trị thực xác định trên R như sau:

| x | ( 2 − x sin 1 ), nếu x = 0,
π
x
h(x) :=
0,
nếu x = 0.

Lấy x = 0 và C = [− 23 , 23 ]. Hàm này là Lipschitz địa phương tại x = 0.
Ta chứng minh rằng x = 0 là điểm chính quy theo theo nghĩa Ioffe
(xem [4]). Thật vậy, ta có Q = {x ∈ C : h(x) = h(x)} = {0; ± π2 }. Bởi vì
x sin x1 → 0 khi x → 0, ta suy ra với 0 < α < π2 , tồn tại số δ > 0 sao cho
2
−α
π

2
1
− x sin
π
x

Do đó, với mọi x ∈ (−δ, δ), ta có |
dQ (x)

| x−x | = | x |

2
π

2
+ α (∀x ∈ (−δ, δ)).
π
2
π

− x sin x1 | /( π2 − α)

1
2
1
π
| x || −x sin | =
π
x
2 − απ
−α

1, và
h(x)−h(x)

Do đó, x = 0 là điểm chính quy theo nghĩa Ioffe [22] của h theo C.
Ta nhắc lại Định lý 1 của Ioffe [4]. Kết quả này sẽ cần dùng trong phần
tiếp theo.
Mệnh đề 2.1
(i) Giả sử x là điểm chính quy của h theo C theo nghĩa Ioffe. Giả sử f ,
h1 , . . . , h là Lipschitz địa phương tại x. Nếu x là một nghiệm địa phương
(địa phương cô lập) của (P), thì với mọi r > 0 đủ lớn, hàm sau đây đạt
cực tiểu địa phương (tương ứng địa phương chặt) tại x:
Mr1 (x) := max f (x) − f (x), max gi (x) + r
i∈I(x)

h(x)

+dC (x) ,

.

19

trong đó I(x) := {i ∈ I : gi (x) = 0}.
(ii) Ngược lại, nếu Mr1 (x) đạt cực tiểu địa phương chặt tại x với số r > 0
nào đó, thì x là một nghiệm địa phương cô lập của (P).
Nón tiếp tuyến Clarke của C tại x được định nghĩa như sau:
T (C; x) := v ∈ X : ∀ xn ∈ C, xn → x,∀ tn ↓ 0, ∃ vn → v
sao cho xn + tn vn ∈ C, ∀ n .
Nón pháp tuyến Clarke của C tại x là:
N (C; x) := ξ ∈ X ∗ : ξ, v

2.2.

0 ∀ v ∈ T (C; x) .

Điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa
phương

Giả sử X là một không gian Banach và M là một tập hợp con khác rỗng
của X. Cho F là một ánh xạ từ X × X vào Rm . Ta có F = (F1 , . . . , Fm ).
Cho P là một nón lồi, đóng, nhọn trong Rm . Ta xét bài toán cân bằng
vectơ sau đây, mà ta kí hiệu (VEP): Tìm x ∈ M sao cho với mọi y ∈ M ,
F (x, y) ∈
/ −P \ {0}.

(2.1)

Một vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu địa phương của (VEP) nếu
tồn tại một số δ > 0 sao cho (2.1) đúng với mọi y ∈ M ∩ B(x; δ).

Trong trường hợp intP = ∅, x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương
của (VEP) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi y ∈ M ∩ B(x; δ),
F (x, y) ∈
/ −intP.
Đặt Fx (y) := F (x, y), Fk,x (y) := Fk (x, y), ∀k ∈ J := {1, . . . , m}. Giả sử
Fx (x) = 0. Trong trường hợp P = Rm
+ , điểm x ∈ M là một nghiệm hữu
hiệu địa phương (tương ứng nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) của (VEP)
nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho không có y ∈ M ∩ B(x; δ) thỏa mãn
Fk,x (y)

0 (∀ k ∈ J),

Fs,x (y) < 0 với ít nhất một s ∈ J,
(tương ứng Fk,x (y) < 0, ∀k ∈ J).


20

Cho L(X; Rm ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X tới
Rm và T là ánh xạ từ X tới L(X; Rm ). Bài toán cân bằng vectơ (VEP)
bao gồm bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI) như một trường
hợp đặc biệt: Tìm một x ∈ M sao cho
(T x)(y − x) ∈
/ −P \ {0} (∀y ∈ M ).

(2.2)

Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu địa phương của (VVI) nếu tồn tại
một số δ > 0 sao cho (2.2) đúng với mọi y ∈ M ∩ B(x; δ).

Trong trường hợp intP = ∅, x được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu địa
phương của (VVI) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho
/ −intP (∀y ∈ M ∩ B(x; δ)).
(T x)(y − x) ∈
Chú ý rằng định nghĩa của nghiệm hữu hiệu địa phương trong trường
m
hợp P = Rm
+ (nghiệm hữu hiệu yếu địa phương trong trường hợp P = R++ )
có dạng : không tồn tại y ∈ M ∩ B(x; δ) sao cho
T (x)k (y − x)

0 với mọi k ∈ J,

T (x)s (y − x) < 0 với ít nhất một s ∈ J,
tương ứng T (x)k (y − x) < 0 với mọi k ∈ J
m
với T (x) = (T (x)1 , . . . , T (x)m ), T (x)k : X → R (k ∈ J), Rm
++ = intR+ .

Nếu F (x, y) = f (y) − f (x) (x, y ∈ M ), với f : X → Rm , (VEP) trở
thành bài toán tối ưu vectơ (VOP) sau đây:
min{f (x) : x ∈ M }.
Khi đó, định nghĩa về cực tiểu Pareto địa phương (nghiệm hữu hiệu địa
phương) trong trường hợp P = Rm
+ ( tương ứng cực tiểu Pareto địa phương
hoặc nghiệm hữu hiệu yếu địa phương trong trường hợp P = Rm
++ ) có
dạng: không tồn tại x ∈ M ∩ B(x; δ) thỏa mãn
fk (x)

fk (x) (∀ k ∈ J),

fs (x) < fs (x) với ít nhất một s ∈ J,
(tương ứng fk (x) < fk (x) ∀k ∈ J).


21

Bây giờ, chúng ta xét đến bài toán cân bằng vectơ (VEP) với tập chấp
nhận được M = M1 được ký hiệu bởi (CVEP). Với tập chấp nhận được
M1 , ta cũng có bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI) và
bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP).
Trong phần này, ta trình bày các điều kiện cần Fritz John cho nghiệm
hữu hiệu địa phương của (CVEP) chính quy theo nghĩa Ioffe qua dưới vi
phân chính quy trên và dưới. Để chứng minh các điều kiện cần Fritz John
cho nghiệm hữu hiệu địa phương x của (CVEP), ta đưa vào một số giả
thiết sau.
Giả thiết 2.1
Hàm Fs,x (.) (với s nào đó ∈ J) và hàm h1 , . . . , h là Lipschitz địa phương
tại x; Fk,x (.)(k ∈ J, k = s) và gi (i ∈ I(x)) liên tục; C lồi.
Nhận xét 2.1
Sử dụng Hệ quả 5.2 [5], các hàm Lipchitz địa phương Fs,x (.), h1 , . . . , h
ta có ánh xạ dưới vi phân suy rộng bị chặn địa phương ∂ ∗ Fs,x , ∂ ∗ h1 , . . . , ∂ ∗ h
tại x, chẳng hạn ánh xạ dưới vi phân Clarke ∂Fs,x , ∂h1 , . . . , ∂h . Nói riêng,
∂ ∗ Fs,x (x), ∂ ∗ h1 (x), . . . , ∂ ∗ h (x) là các dưới vi phân suy rộng bị chặn của
Fs,x (.), h1 , . . . , h tại x.
Giả thiết 2.2
Các hàm Fk,x (.) và gi có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ Fk,x (x) (k ∈
J, k = s) và ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I(x)) tại x, các hàm | hj | (j ∈ L) là chính quy
theo nghĩa Clarke tại x.

Nhận xét 2.2
Nếu với mỗi j ∈ L, hàm | hj | là chính quy theo nghĩa Clarke [2] tại x,
thì có thể chọn sao cho ∂ ∗ (| hj (x) |) là chính quy trên tại x, chẳng hạn
dưới vi phân Clarke ∂(| hj (x) |) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên
của | hj | tại x. Chú ý rằng | hj | chính quy theo nghĩa Clarke tại x, nhưng
hj có thể không chính quy theo nghĩa Clarke.
Chúng ta trình bày điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa
phương của bài toán (CVEP).