Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch bán vô hạn (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

✣➱ ❍Ú❯ ◆●❍➚

✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨
❍❖❸❈❍ ❇⑩◆ ❱➷ ❍❸◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✹✴✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

✣➱ ❍Ú❯ ◆●❍➚

✣■➋❯ ❑■➏◆ ❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ◗❯❨
❍❖❸❈❍ ❇⑩◆ ❱➷ ❍❸◆
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈

P●❙✳❚❙✳ ✣➱ ❱❿◆ ▲×❯

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✹✴✷✵✶✽


✶

▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
✷
▼ð ✤➛✉
✸
✶ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤ì♥
♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥
✻
✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉②

✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛
♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥
✷✸

✷✳✶✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✺
✸✼


✷

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
M

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ M

❝♦♥✈M

❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ t➟♣ M

❝♦♥❡M

♥â♥ ❧ç✐ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ M

∅

t➟♣ ré♥❣

T (M, x)

♥â♥ t✐➳♣ ❧✐➯♥ ❝õ❛ M t↕✐ x

A(M, x)

♥â♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ M t↕✐ x

ϕ0 (x, d)

✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d

∂c ϕ(x)

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x

∂ϕ(x)

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ ϕ t↕✐ x

(GCQ)

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ●✉✐❣❛r❞

(KT CQ)

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r

(CCQ)

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❈♦tt❧❡

(ACQ)

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❆❜❛❞✐❡

(BCQ)

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝ì ❜↔♥

T x0

t➟♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➼❝❤ ❝ü❝

(SIP )

❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉

(M OSIP ) ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉


✸

▼ð ✤➛✉
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
❇➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❝â ✈æ ❤↕♥ r➔♥❣
❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❧➔ ♠ët ❜ë ♣❤➟♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧þ
t❤✉②➳t tè✐ ÷✉ ❤â❛✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ
❤↕♥ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥
q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛r✉s❤ ✲ ❑✉❤♥ ✲ ❚✉❝❦❡r ✤÷ñ❝ ❞➝♥ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤
q✉② ●✉✐❣♥❛r❞✱ ❑✉❤♥ ✲ ❚✉❝❦❡r✱ ❈♦tt❧❡✳ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✭❬✻❪✱
✷✵✶✹✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥✳ ✣➙② ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝â
t➼♥❤ t❤í✐ sü tr♦♥❣ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟②✱ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿

❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥✧✳

✧✣✐➲✉

✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐

▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥
✈æ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✤➠♥❣ tr➯♥ t↕♣ ❝❤➼

❏♦✉r♥❛❧

♦❢ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✹✾ ✭✷✵✶✶✮✱ ✼✶✸ ✲ ✼✷✺✱ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦
❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔
❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✤➠♥❣ tr➯♥ t↕♣ ❝❤➼

❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ▲❡tt❡rs ✽ ✭✷✵✶✹✮✱ ✶✺✶✼ ✲

✶✺✷✽✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳




ữỡ

tố ữ t q ổ trỡ
ỡ ử t ổ trỡ tr t q ừ
q tố ữ rsr
t q ổ ỡ ử t st ữỡ ợ
r ở t tự
ữỡ

tố ữ t q ổ ử

t ổ trỡ tr t q ừ t

tố ữ t q t ồ ổ
ử t st ữỡ ợ r ở t tự
q ữủ ữ tố ữ rs
r ỳ ừ ữủ ự
ợ tt t ỗ s rở
ữủ tỹ t rữớ ồ ồ ồ
t ữợ sỹ ữợ ừ P ộ
ữ ữủ tọ ỏ t ỡ t s s tợ t

ữợ ồ ừ ữớ t ự
tớ ữợ t t ỳ t ừ t
tr sốt q tr
ụ ồ t ữủ rt tự ờ
ổ t ự ừ t tọ ỏ
ỡ s s tợ t ổ t ợ ồ
trữớ ỏ ự ừ trữớ
trữớ ồ ồ ồ q t
ú ù t tr sốt tớ ồ t t trữớ
t ỡ ợ ồ ỗ
tr ờ ở t tr q tr ồ t
ự


✺

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✵✺ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥

✣é ❍ú✉ ◆❣❤à


✻

❈❤÷ì♥❣ ✶

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉②
❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉
❦❤æ♥❣ trì♥
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✭❬✺❪✱ ✷✵✶✶✮ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥
✤ì♥ ♠ö❝ t✐➯✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❈→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ●✉✐❣♥❛r❞✱ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r✕❈♦tt❧❡ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t Ps❤❡♥✐❝❤♥②✐✕
▲❡✈✐♥✕❱❛❧❛❞✐r❡ ✭P▲❱✮ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕
❚✉❝❦❡r ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ ✈î✐ ♠ët tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤â✳

✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ
❇➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✭❙■P✮ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈î✐ t➟♣
❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✱ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❜ð✐ ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ s❛✉ ✤➙②✿




inf f (x),
gi (x) 0, i I,

P

x Rn ,
tr õ f gi , i I st ữỡ tứ Rn R{+}
t số I tũ ỵ ổ t tt ỳ tỷ
ởt t M = tr Rn M , conv(M ) cone(M )
ữủt õ ỗ õ ỗ ự 0 s M õ ỹ
õ ỹ t ừ M ữủ

M 0 := {d Rn | x, d 0, x M }
M s := {d Rn | x, d < 0, x M },
tr õ ã, ã t ổ ữợ tr Rn ú ỵ r M 0 õ ỗ õ

r r M s = t M s = M 0 ỵ s ỹ t
r M 00 = cone(M ) tr õ cone(M ) õ ỗ õ ừ

M
ởt số ừ t st tr



sỷ M Rn x M
õ t ừ M t x ữủ

T (M, x) := h Rn |tỗ t {tk } R+ , tk 0, {hk } Rn , hk h
s x + tk hk M ợ ồ k N .
õ ữỡ ữủ ừ M ữủ

A(M, x) := h Rn | ợ ồ {tk } R+ , tk 0, tỗ t {hk } Rn ,
hk h, s x + tk hk M ợ ồ k N .


✽

❈❤ó þ r➡♥❣ T (M, x) ✈➔ A(M, x) ❧➔ ❝→❝ ♥â♥ ✤â♥❣ ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐✮
tr♦♥❣ Rn ✱ ✈➔ t❛ ❧✉æ♥ ❝â q✉❛♥ ❤➺

A(M, x) ⊆ T (M, x).

✭✶✳✶✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷
●✐↔ sû ϕ : Rn → R ∪ {+∞} ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ x ∈ dom(ϕ)✳

■✳ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d ∈ Rn ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐

ϕ(y + td) − ϕ(y)
;
t
y→x;t→0

ϕ0 (x; d) := lim sup

■■✳ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

∂c ϕ(x) := ξ ∈ Rn |ϕ0 (x; d) ≥ ξ, d , ∀d ∈ Rn ;
■■■✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ϕ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❧❛r❦❡ t↕✐ x ♥➳✉

ϕ0 (x; d) = ϕ (x, d), ∀d ∈ Rn ,
tr♦♥❣ ✤â ϕ (x, d) ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣

d✳
❈❤ó þ r➡♥❣ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ♠å✐
✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t❤➻ ❧✉æ♥ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ ❧ç✐✳ ❉÷î✐
✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ q✉② ✈➲ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ q✉②
✈➲ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤❡♦ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ç✐ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳
❈→❝ ❤➔♠ ❧ç✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❧➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤
q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❧❛r❦❡✳ ▼ët ❧î♣ rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛
❈❧❛r❦❡ ❧➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➔♠ trì♥✳
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐ ❬✶❪ ♠➔ t❛ s➩ sû ❞ö♥❣ s❛✉
♥➔②✳

sỷ {M| } ởt ồ t ý t ỗ rộ tr Rn
õ ồ tỡ ổ ừ conv(M) ữủ
t tờ ủ t t ổ ừ n t ỡ tỡ ở
t t ộ tỡ tở M



sỷ M ởt t rộ ừ Rn s 0 / conv(M )
õ cone(M ) ởt õ õ
t q s ừ t st ổ ử ự
t q ừ ữỡ



sỷ st ữỡ tứ Rn R x dom()
dom() õ t t s ú
0(x; d) = max { , d | c(x)} d Rn
d 0(x; d) ởt ỗ
c (x) = 0 (x; ã)(0).

tr õ 0(x; ã) ữợ ừ ỗ 0(x; ã)
x c(x) ởt tr ỷ tử tr
c( + )(x) c(x) + c(x)
ỡ ỳ q t r t x t +
ũ q t r t x tự ú tr ổ
tự tr

x ởt ỹ t ừ tr Rn t 0 c(x)




tr tr r

sỷ x, y Rn st ữỡ tứ Rn R
õ tỗ t u tr (x, y) s
(y) (x) c (u), y x .

q
r ử t ữ s s ởt số q ồ
tt ởt ổ st ữỡ
sỷ I ởt t số t ữ rộ sỷ {gi :

Rn R|i I} ởt ồ st ữỡ t
ổ r ở ồ tt
t sỷ r t ữủ ừ t rộ
tự

P := {x Rn |gi (x) 0, i I} = .
ợ x P t q ữợ i Xi =

I x := {i I|gi (x) = 0},


Z(x) :=

c gi (x).

iI x

ỹ õ t õ ữủ ữợ
r ú tổ tr rở q


sỷ x P õ r tọ
q r t x Z 0 (x)

conv(T (P, x)) tr õ Z 0 (x) õ ỹ ừ Z(x)
q r t x Z 0 (x)

A(P, x)




q tt t x Z s (x) = tr
õ Z s (x) õ ỹ t ừ Z(x)

t
q ố q ừ õ ợ
q q ỡ ữủ
ự tr
ỵ s r r tữỡ ữỡ ợ tự Z 0 (x) =

conv(T (P, x))

sỷ x P ợ ộ i I x gi ởt q t
r t x õ conv(T (P, x)) Z 0(x)
ự
sỷ d T (P, x) tỷ t õ tỗ t tk 0 dk d

s x + tk dk P ữ t ừ P t õ

gi (x + tk dk ) 0, i I.
sỷ r i0 I x õ gi0 (x) = 0

gi0 (x + tk dk ) gi0 (x + tk d) gi0 (x + tk d) gi0 (x)
+
tk
tk
k
gi (x + tk d )
= 0
0.
tk
số st ừ gi x Li tk ừ 0
t õ

gi0 (x + tk dk ) gi0 (x + tk d)
Li0 dk d 0 ( tk 0).
tk




ỷ ử q ừ gi0 t x t ữủ

gi00 (x; d) = gi0 (x; d)
gi0 (x + tk d) gi0 (x)
tk 0
tk
gi (x + tk d) gi0 (x)
gi0 (x + tk dk ) gi0 (x + tk d)
+ lim 0
= lim
tk 0
tk 0
tk
tk
= lim

0.
i0 ởt số t tr I x ỵ t
ữủ

d Z 0 (x).
õ

T (P, x) Z 0 (x).
ỷ ử t ỗ t õ ừ Z 0 (x) t s r ự

t

G(x) := sup gi (x), x P.
iI

ởt õ rở t q tứ ởt ỳ t
tự r ổ t tt tr trữớ ủ ỳ
G(ã) st ữỡ t õ

C G(x) conv

c gi (x)

= conv(Z(x)), x P.



iI x

ữ õ ổ ú P ổ
ú t ữ s


õ r õ t t Psr P t x

P G(ã) st x ú




t
ởt ừ t t st ừ G x õ t
t tr

t

t r ợ ồ i P gi ỗ t t tr ởt
ổ tr ợ ộ x P i gi (x) ỷ tử tr
t õ t t P t ồ x P
ổ õ ố q ỳ q t t
P t ợ ộ ỳ t t t P ú t
tữớ ữ õ õ t ổ tọ ộ q
r ử s tọ tt q t x = 0
ữ P ổ ú t

ử
I = N {0}, x = 0

g0 (x) = 2x,
1
, k = 0, 1, 2, ã ã ã ,
k+1
1
g2k (x) = 3x ,
k = 1, 2, ã ã ã .
k
g2k+1 (x) = x

ỵ r

P = (; 0], I x = {0}, Z(x) = {2}.



x, x < 0,
G(x) = supiN {g0 (x), gi (x)} =

3x, x 0.


Z s (x) = (; 0) = ,
Z 0 (x) = (; 0] = conv(, P (x)) = A(P.x),
c G(x) = [1; 3]

conv(Z(x)),


✶✹

❝❤♦ ♥➯♥ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮✱ ♥❤÷♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈❈◗✮✱✭❑❚❈◗✮
✈➔ ✭●❈◗✮ t❤ä❛ ♠➣♥ t↕✐ x✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻ ❬✺❪

●✐↔ sû π t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮ t↕✐ x✳ ❑❤✐ ✤â✱ (CCQ) ❦➨♦ t❤❡♦
✭❑❚❈◗✮ t↕✐ x✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
▲➜② d ∈ Z s (x)✳ ❇í✐ ✈➻

Z s (x) = (conv(Z(x)))s ,
❝❤♦ ♥➯♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭P▲❱✮ ❦➨♦ t❤❡♦

d ∈ (conv(Z(x)))s ⊆ (∂c G(x))s .
❱➻ ✈➟②✱

G0 (x; d) < 0.
❉♦ ✤â✱ tç♥ t↕✐ sè δ > 0 s❛♦ ❝❤♦

G(x + βd) < G(x) ≤ 0, ∀β ∈ (0, δ].
◆❤÷ ✈➟②✱ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ β ∈ (0, δ]✱ t❛ ❝â

gi (x + βd) < 0.
❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ β ∈ (0, δ]✱ t❛ ❝â x + βd ∈ P ✳ ❱➻ ✈➟②✱

d ∈ A(P, x).
◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

Z s (x) ⊆ A(P, x).
❱➻ ✈➟②✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

Z 0 (x) = Z s (x) ⊆ A(P, x) = A(P, x).
✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛② ✤õ✳


✶✺

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹
❇ð✐ ✈➻ A(P, x) = conv(T (P, x))✱ ❝❤♦ ♥➯♥ ✭❑❚❈◗✮ ❦➨♦ t❤❡♦ ✭●❈◗✮ t↕✐

x✳ ❱➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷ ❈❤♦ I = N ✈➔
g1 (x1 , x2 ) = −x1 ,
g2 (x1 , x2 ) = −x2 ,
1
gk (x1 , x2 ) = x1 x2 − , k = 3, 4, · · · .
k

◆➳✉ ①➨t ✤✐➸♠ x = (0, 0)✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

P = ({0} × [0, +∞)) ∪ ([0, +∞) × {0}) ,
I x = {1, 2},
Z(x) = {(−1, 0), (0, −1)},
A(P, x) = P = T (P, x),
conv(T (P, x)) = [0, +∞) × [0, +∞) = Z 0 (x).
◆❤÷ ✈➟②✱ ❤➺ ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ✭●❈◗✮ t↕✐ x ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭❑❚❈◗✮
t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺
❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ π t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r ✭❙❈◗✮ ♥➳✉

• ❱î✐ ♠å✐ i ∈ I ✱ gi ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✱
• I ∈ Rm ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✱
• gi (x) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ (i, x) t❤✉ë❝ I × R✱
• ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ x0 ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ gi (x0 ) < 0✱ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✳






sỷ tọ x P õ
tọ t x
cone(Z(x)) õ
t õ ừ cone(Z(x)) ởt ốt tr t
t
ự
ừ tỗ t x0 s

gi (x0 ) < 0 ợ ồ i I.
sỷ i0 I x gi0 (x) õ

, x0 x gi0 (x0 ) gi0 (x) = gi0 (x0 ) < 0.
x0 x Z s (x)
Z s (x) = t õ 0
/ conv(Z(x))
t t Z(x) t t
t s r ự

ỡ ỗ s tõ tt ố q ỳ q
t t P

(SCQ) = (CCQ) + (P LV ) = (KT CQ) = (GCQ).
ữ ởt q trỹ t ừ t t
ữủ q s

q

sỷ tọ (SCQ) x P tũ ỵ t tọ
t x cone(Z(x)) õ




tố ữ
r t sỷ ử q ữ
trữợ ự rs r P
õ r P tọ ởt q t x r

ở tữỡ ự tọ q õ t x

ờ

sỷ x tố ữ ừ P d f 0(x; d) ó t
(c f (x))s conv(T (P ; x)) = .

ự
ự ữủ

sỷ d ởt tỡ tũ ỵ tr T (P ; x) ừ T (P ; x)
tỗ t (tk , dk ) (0+ ; d) s

{x + tk dk }
k=1 P.
ỷ ử ỵ t õ t t r ợ ộ k N tỗ t uk
tr t (x, x + tk dk ) tỗ t k c f (uk ) s

f (x + tk dk ) f (x) = tk k , dk

k N.



x + tk dk P x ởt tố ữ ừ P t õ

f (x + tk dk ) f (x) 0.

t ữủ

k , dk 0.



t uk x x c f (x) ỷ tử tr
tỗ t ởt km ừ k s km c f (x)
t t õ

, d 0, d T (P, x).




õ ỵ t t ữủ r

f 0 (x, d) 0, d T (P, x).



sỷ d conv(T (P, x)) õ tỗ t số 1 , 2 , . . . , l 0
tỡ d1 , . . . , dl T (P, x) s
l

l

v dv .

v = 1, d =

v=1

v=1

ỷ ử t ó ừ f 0 (x, .) t tự t ữủ
l
0

f (x; d) = f

0

l

v d

x;
v=1

v

v f 0 (x; dv ) 0.

=



v=1

õ

(c f (x))s conv(T (P, x)) = .



ỷ ử t tử ừ f 0 (x; ã) t s r ự


ờ ồ x ởt tố ữ ừ P õ
(C f (x))s A(P, x) = .

ự
r ờ trữợ t ó ừ f 0 (x, ã) ữủ sỷ ử
õ ợ t s r ự
ớ t õ t t t q






sỷ r x ởt tố ữ ừ t P
ú t x õ

0 c f (x) + cone(Z(x));



t (Z(x)) õ t tỗ t số ổ
i , i I x ởt số ỳ số tr õ ổ trt t s

0 c f (x) +

i c gi (x)



iI x

ự
sỷ d Z 0 (x) t õ f 0 (x; d) 0 ờ ú


Z 0 (x) = (cone(Z(x)))0 ,
t ữủ

f 0 (x; d) 0, d (cone(Z(x)))0 := V (x).
ữ ỗ s õ ỹ t t d = 0

(ã) := V (x) (ã) + f 0 (x; ã),
tr õ X (ã) ừ X Rn ữủ ữ s

0,
y X,
X (y) :=
+, y
/ X.
t ừ ỵ t õ

0 (0) = V (x) (0) + f 0 (x, ã)(0) = cone(Z(x)) + c f (x).
r tứ ỵ

sỷ x tố ữ ừ t P tọ
t x ỡ ỳ sỷ r f 0(x, .i) ó õ
tr tọ
ự
ứ ờ t s r ự
ữ q ừ t õ t q s

q

sỷ x tố ữ ừ t P t t P tọ
t x ú t x õ tr
tọ
ứ q t s r t q s

q

sỷ x tố ữ ừ t P ỗ ú t x
õ tỗ t số ổ i, i I x ỳ số tr õ ổ
trt t s
0 f (x) +

i gi (x).
iI x

ú ỵ r Z(x) ữủ tt õ tr
ử s r r tt ổ t ọ ữủ

ử
ợ t i I = {2, 3, ã ã ã } sỷ

Di = conv{(h, hi )|0 h 1}.
sỷ r f (x1 , x2 ) = x1 .x = (0, 0) gi tỹ ừ Di tự

gi (x) = sup b, x .
bDi




ữủ

P = {(x1 , x2 ) R2 |x1 0, x1 + x2 0},
I x = I.
c gi (x) = Di ,
Z(x) = (x1 , x2 ) R2 | 1 < x1 < 0, x1 x2 < x21 {(0, 0), (1, 1)}
Z 0 (x) = P = A(P, x) = conv(T (P, x)),
f (x) = (1, 0),


cone(Z(x)) = (x1 , x2 ) R2 |x2 x1 , x1 < 0, x2 < 0 {0, 0}
ú ỵ r cone(Z(x)) ổ õ tọ t

x, f 0 (x, ã) t t x ởt tố ữ ừ t t
r ổ tỗ t số ữ tr ỵ tọ

ỡ ỳ t õ

(0, 0)

f (x) + cone(Z(x)).

t
tr t P trỡ
t t ữủ s

M max :=

x Rn | max gk (x, y) 0, ợ ồ y Rm ,
0ks

ợ tử gk (ã, ã)

M max t ữủ ừ t P ổ trỡ
t x M max ữ s
tỗ t Rn s , v > 0 ợ ồ v Z(x),




✷✷

tr♦♥❣ ✤â

∂cx

Z(x) =
y∈M (x)

M (x) =

conv (Dx gk (x, y), k ∈ K0 (x, y)) ,

max gk (x, y) =

0≤k≤s

y∈M (x)

y ∈ Rm | max gk (x, y) = 0 ,
0≤k≤s

K0 (x, y) = {k ∈ {0, 1, . . . , s}|gk (x, y) = 0} , y ∈ M (x).
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝❤➾ ♠ët sè tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ Z(x) ❧➔ ❝➛♥ t❤✐➳t✳ ❈ö
t❤➸ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s②♠✲▼❋❈◗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤ä❛ ♠➣♥ t↕✐ x ∈ M max ♥➳✉
tç♥ t↕✐ ξ ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ ξ, v > 0 ✈î✐ ♠å✐ v ∈ V (x),

✭✶✳✶✷✮

tr♦♥❣ ✤â




V (x) =
y∈M (x)



k∈K0 (x,y)

λk Dx gk (x, y)

λk Dy gk (x, y) = 0,
k∈K0 (x,y)

k∈K0 (x,y)



λi = 1, λi ≥ 0 .


❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s②♠✲▼❋❈◗ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r✳


✷✸

❈❤÷ì♥❣ ✷

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉②
❤♦↕❝❤ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉
❦❤æ♥❣ trì♥
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆✳ ❑❛♥③✐ ✈➔ ❙✳ ◆♦❜❛❦❤t✐❛♥ ✭❬✻❪✱
✷✵✶✹✮ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜→♥ ✈æ ❤↕♥
✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❈→❝ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤➸ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕
❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ✤÷ñ❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐ s✉② rë♥❣✳

✷✳✶✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ
❈❤♦ t➟♣ D ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ D ⊂ Rn ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ D, conv(D) ✈➔ cone(D) ❧➔
❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ D✱ ❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ D ✈➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✭❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ❣è❝✮ s✐♥❤ ❜ð✐ D✳
◆â♥ ❝ü❝ ➙♠ ✈➔ ♥â♥ ❝ü❝ ➙♠ ❝❤➦t ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

D≤ := {d ∈ Rn | x, d ≤ 0, ∀x ∈ D } ,
D< := {d ∈ Rn | x, d < 0, ∀x ∈ D } .