( GV đặng việt hùng ) 68 câu số phức image marked image marked

Câu 1 (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi

z1 , z 2

là hai nghiệm của phương trình

z2 − 2z + 2 = 0, ( z  C) . Tính giá trị của biểu thức P = 2 z1 + z 2 + z1 − z2 .
B. P = 3

A. P = 6

C. P = 2 2 + 2

D. P = 2 + 4

Đáp án A

z = 1 + i
z + z = 2
z = 1 + i
 z1 + z 2 = 2
PT  
 1
 1 2

P=6
 z = 1 − u z 2 = 1 − i z1 − z 2 = 2i 
 z1 − z 2 = 2

Câu 2: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn ( 3 − 4i ) z −

4
= 8. Trên mặt phẳng
z

tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào?

9

A.  ; + 
4


1 5
B.  ; 
4 4

 1
C.  0; 
 4

1 9
D.  ; 
2 4

Đáp án D
Ta có ( 3 − 4i ) z =

4
4
= 8  ( 3 − 4i ) z = 8 +

z
z

(*)

Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức z1.z2 = z1 . z2 , ta được
(*)  ( 3 − 4i ) z = 8 +

4
1
1
 3 − 4i . z = 4 2 +
 5 z = 4 2+
z
z
z

 5 z = 4 ( 2 z + 1)  5 z − 8 z − 4 = 0  z = 2
2

2

1 9
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó OM = x 2 + y 2 = z = 2   ; 
2 4
Câu 3: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính mô đun của
số phức z.
A. z = 34

B. z = 34

C. z =

5 34
3

34
3

D. z =

Đáp án A
PT  z =

1 − 13i
2
= 3 − 5i  z = 32 + ( −5 ) = 34.
2−i

(

)

Câu 4: (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và ( z + 1) z − i là số
thực.
A. z = 1 − 2i

B. z = −1 − 2i

C. z = 2 − i

D. z = 1 + 2i


Đáp án A
 a + bi − 2 = a + bi  ( a − 2 ) + b 2 = a 2 + b 2  a = 1  z = 1 + b.

Đặt z = a + bi;a, b 
Mặt

2

( z + 1) ( z − i ) = ( b2 + b + 2 ) − ( b + 2 ) i

khác

là

số

thực,

suy

ra

b + 2 = 0  b = −2  z = 1 − 2i.
Câu 5 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức

(z − z)

2

với z = a + bi ( a, b  , b  0 ) . Chọn kết luận đúng.

A. M thuộc tia Ox

B. M thuộc tia Oy

C. M thuộc tia đối của tia Ox

D. M thuộc tia đối của tia Oy

Đáp án C

(

Gọi w = z − z

)

2

= ( a + bi − a + bi ) = 0 = −4b 2 Suy ra M thuộc tia đối của tia Ox.
2

Câu 6: (Đặng Việt Hùng-2018)

(

Gọi số phức

z = a + bi ( a, b 

)

thỏa mãn

)

z − 1 = 1 và (1 + i ) z − 1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b bằng
C. a.b = −2

B. a.b = 2

A. a.b = 1

D. a.b = −1

Đáp án A
Ta có z − 1 = 1  a − 1 + bi = 1  ( a − 1) + b 2 = 1 (1) .
2

(

)

Số phức w = (1 + i ) z − 1 = (1 + i )( a − 1 − bi ) = ( a + b − 1) + ( a − b − 1) i có phần số thực bằng

a + b −1 = 1 ( 2) . (Dethithpt.com)

a + b = 2
( a − 1)2 + b 2 = 1 
b = 1
 b = 0  
 a.b = 1.
Từ (1) , ( 2 )  
a = 1
b = 1
a + b = 2

Câu 7: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 , z 2 . Chọn mệnh đề đúng
A. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2
B. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2
C. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2
D. Nếu z1 = z 2 thì thì các điểm biểu diễn cho z1 và z 2 tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ
đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
Đáp án B


Đáp án B
Lấy ví dụ z1 = 1 + i, z2 = 2 dễ thấy A, C, D sai
Câu 8 (Đặng Việt Hùng-2018): Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A. z = −2 + i.
B. z = 1 − 2i.
C. z = 2 + i.
D. z = 1 + 2i.
Đáp án A.
Câu 9 (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
4z 2 − 4z + 3 = 0. Giá trị của z1 + z2 bằng

A. 3 2

B. 2 3

C. 3

D.

3

Đáp án D.

 1 + 2i
z =
2
2
 z1 + z 2 = 3.
Ta có 4z − 4z + 3 = 0  
 1 − 2i
z =

2
Câu 10: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b 

) thỏa mãn

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z  1. Tính P = a + b.
A. P = −1.

B. P = −5.

Đáp án D.
Đặt z = a + bi  a + bi + 2 + i − a 2 + b2 (1 + i ) = 0

C. P = 3.

D. P = 7.


a = b − 1
a = b − 1
a + 2 − a 2 + b 2 = 0
a + 2 = b + 1




 b  −1
  b  −1
2
2
2
2
b
+
1
=
a
+

b

b
+
1
−
a
+
b
=
0

b 2 + 2b + 1 = a 2 + b 2


2

2b + 1 = ( b − 1)

 b = 0;a = −1

. Do z  1  a = 3, b = 4.
 b = 4;a = 3

Câu 11: (Đặng Việt Hùng-2018) Xét các số phức z = a + bi ( a, b 

) thỏa mãn điều kiện

z − 4 − 3i = 5. Tính P = a + b khi giá trị biểu thức z + 1 − 3i + z −1 + i đạt giá trị lớn nhất.

C. P = 6.

B. P = 4.

A. P = 10.

D. P = 8.

Đáp án A.
Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z.
Từ giả thiết, ta có z − 4 − 3i = 5  ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5  M thuộc đường tròn (C) tâm
2

2

I ( 4;3) , bán kính R = 5. Khi đó P = MA + MB, với A ( −1;3) , B (1; −1) .
Ta có P 2 = MA 2 + MB2 + 2MA.MB  2 ( MA 2 + MB2 ) .
Gọi E ( 0;1) là trung điểm của AB  ME 2 =

MA 2 + MB2 AB2
−
.
2
4

(

Do đó P2  4ME2 + AB2 mà ME  CE = 3 5 suy ra P 2  4. 3 5

) + (2 5 )

2

2

= 200.

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn (C).
MA = MB
 M ( 6; 4 )  a + b = 10.
Vậy P  10 2. Dấu “=” xảy ra  
M = C

Câu 12: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong tập các số phức gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương
trình z 2 − z +

2017
= 0 với z 2 có phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = 1. Giá trị
4

nhỏ nhất của P = z − z 2 là
A.

2016 − 1

B.

2017 − 1

C.

2017 − 1
2

D.

2016 − 1
2


Đáp án A
Phương trình z 2 − z +

2017
= 0  4z 2 − 4z + 2017 = 0
2


1− i
z1 =

2

 ( 2z − 1) = 2016i 2  
z = 1 + i
 2

2016
2
2016
2

Ta có z − z1 + z − z 2  ( z − z1 ) − ( z − z 2 ) = z − z 2  z1 − z 2 − z − z1 = 2016 − 1
Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin = 2016 − 1
Câu 13 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức

w = z + i.z
A. M (1;1)

B. M (1; −5)

D. M ( 5;1)

C. M ( 5; −5)

Đáp án A
Ta có z = 3 + 2i  w − z + iz = 3 − 2i + i ( 3 + 2i ) = 1 + i  M (1;1)
Câu 14: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z 2 = 3 − i . Tìm số phức liên
hợp của số phức w = z1 + z 2
A. w = −4 + i

B. w = 4 + i

C. w = −4 − i

D. w = 4 − i

Đáp án D
Ta có: w = z1 + z2 = 4 + i  w = 4 − i .
Câu 15 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z = 3 + i.
A. z = 1 − i

B. z = 1 + i

1 7
1 7
C. z = + i D. z = − i
5 5
5 5

Đáp án C
Ta có (1 − 2i ) z = 3 + i  z =

( 3 + i )(1 + 2i ) = 1 + 7i = 1 + 7 i.
3+i
=
1 − 2i (1 − 2i )(1 + 2i )
5
5 5

Câu 16 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm môđun của số phức z biết z − 4 = (1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i.
A. z = 4

B. z = 1

C. z =

1
2

D. z = 2

Đáp án D
PT  z (1 + 3i ) = ( z + 4 ) + i ( z − 4 )  1 + 3i z =

( z + 4) + ( z − 4)
2

2


 10 z = ( z + 4 ) + ( z − 4 )  z = 4  z = 2.
2

2

2

2

Câu 17 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 2 + 3i. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z,
N là điểm biểu diễn số phức z và P là điểm biểu diễn số phức (1 + i ) z. Khẳng định nào sau
đây là khẳng định sai?
B. N ( 2; −3) .

A. M ( 2;3) .

C. P (1;5) .

D. z = 13.

Đáp án C.
Ta có: N ( 2; −3) ; (1 + i ) z = (1 + i )( 2 + 3i ) = −1 + 5i do đó P ( −1;5) .

(

)

2
1
Câu 18(Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức z thỏa mãn z =  1 − 2i − z  .

3 

3
B. − + 2i
4

3
A. − − 2i
4

3
D. 2 − i
4

3
C. 2 + i
4

Đáp án A.

(

)

2
1
1
1
2
z =  1 − 2i − z  = (1 + 2i ) − z  = ( −3; 4i − z )  3z = −3 + 4i − z




 3
3
3

3a = −3 − a
Đặt z = a + bi  3 ( a − bi ) = −3 + 4i − ( a + bi )  3a − 3bi = −3 − a + ( 4 − b ) i  
3b = b − 4

3

3
a = −

4 → z = − − 2i.
4

b = −2
Câu 19(Đặng Việt Hùng-2018)Trên tập

, cho số phức z =

i+m
, với m là tham số thực khác
i −1

-1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để z.z = 5.
A. m = −3.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Đáp án D.
Ta có z.z = 5  z = 5 
2

m2 + 1
= 5  m 2 = 9  m = 3.
2

Câu 20 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn

z
= 1. Biết rằng tập các điểm

i+2

biễu diễn số phức z là một đường tròn ( C ) . Tính bán kính r của đường tròn ( C ) .
A. r = 1.

B. r = 5.

C. r = 2.

D. r = 3.


Đáp án B.
Ta có

z
i+2

=2

a 2 + b2
= 1  a 2 + b 2 = 5  5.
5

Câu 21 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z − 3i + 1  5. Tập
hợp các điểm biểu diễn của
Z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó.
C. S = 4.

B. S = 8.

A. S = 25.

D. S = 16.

Đáp án D.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z. Xét điểm A ( −1;3) thì theo điều kiện, ta có:

3  z − 3i + 1  5  3  AM  5. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là phần hình phẳng nằm
giữa 2 đường tròn tâm A, bán kính lần lượt là 3 và 5  S =  ( 52 − 33 ) = 16.
Câu 22 (Đặng Việt Hùng-2018): Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự
biểu diễn các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z12 + z 22 − z1z 2 = 0, khi đó tam giác
OAB (O là gốc tọa độ)
A. Là tam giác đều.

B. Là tam giác vuông.

C. Là tam giác cân, không đều.

D. Là tam giác tù.

Đáp án A.
2

z  z
z 1 i 3
Cách 1: Ta có: z + z − z1z 2 = 0  z − z1z 2 + z = 0   1  − 1 + 1 = 0  1 =
z2
2
 z2  z2

2
1



2
2

2
1

2
2

z1 1  i 3
=
= 1  z1 = z 2 ,
z2
2

mặt khác

z1 1  i 3
z −z
−1  i 3
=
 1 2 =
 z1 − z 2 = z 2
z2
2

2
2

Do đó tam giác OAB là tam giác đều. (Dethithpt.com)
Cách 2: Chọn z1 = 1  z 2 =

1 i 3
−1  i 3
 z 2 − z1 =
.
2
2

Câu 23 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z thỏa z − 3 + 4i = 2 và w = 2z +1 − i. Khi đó

w có giá trị lớn nhất là
A. 4 + 74

B. 2 + 130

C. 4 + 130

D. 16 + 74


Đáp án C.
Từ giả thiết, ta có z − 3 + 4i = 2  2z − 6 + 8i = 4  2z + 1 − i − 7 + 9i = 4 mà w = 2z +1 − i.
2
2
w

 max = 7 + 9 + 4 = 130 + 4
Khi đó w − 7 + 9i = 4  
.
2
2

 w min = 7 + 9 − 4 = 130 − 4

Câu 24 (Đặng Việt Hùng-2018)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn
là M và M’. Số phức z ( 4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N, N’. Biết
rằng M, M’, N , N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i − 5 .
A.

5
34.

B.

2
5.

C.

1
.
2

D.

4

.
13

Đáp án C.
Giả sử z = a + bi với a, b 

 M ( a, b ) , M' ( a, −b ) .

Ta có. z ( 4 + 3i ) = ( a + bi )( 4 + 3i ) = 4a − 3b + i ( 4b + 3a )

 N ( 4a − 3b;4b + 3a ) , N' ( 4a − 3b; −4b − 3a )
Để M, M’, N, N’ là 4 đỉnh của hình chữ nhật thì M phải có cùng tọa độ với N và N’
 b = −a
 b =  ( 4b + 3a )  
 M nằm trên đường thẳng 1 : x + y = 0 hoặc
 b = − 3a
5


2 : 3x + 5y = 0 (Dethithpt.com)
Xét điểm I ( 5; −4 )  z + 5i − 5 = MI = Min d ( I, 1 ) , d ( I, 1 ) =

1
.
2

Câu 25: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn

3 4
5

+ =
,
z w z+w

biết w = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

a 10
.
3

B.

4 10
.
5

C.

8 10
.
3

D.

8 10
.
5

Đáp án C.
Từ giả thiết, ta có

3 4
5
3w + 4z
5
+ =

=
 ( 3w + 4z )( w + z ) = 5zw
z w z+w
zw
z+w


2

w
1 i 11
w
w
 3w 2 + 7zw + 4z 2 = 5zw  3w 2 + 2zw + 4z 2 = 0  3   + 2   + 4 = 0  = − 
.
z
3
3
z
z
2

2
w
w
1 i 11
2
3
 1   11 
=
=− 
=   + 
z =
.
Lấy moodun hai vế, ta được
 =
z
z
3
3
2
3
3  3 

Câu 26 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
z=

(

5 +i

) (1 − 5i )
2

A. Phần thực bằng −14 và phần ảo bằng 2 5
B. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5i
C. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5
D. Phần thực bằng −14 và phần ảo bằng 2 5i
Đáp án C

(

)(

)

Ta có z = 4 + 2i 5 1 − i 5 = 14 − 2i 5  z = 14 + 2i 5
Do đó số phức z có phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5

Câu 27 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 = 2 + 4i và z2 = 1 − 3i . Tính môđun
của số phức z1 + 2iz2
A. z1 + 2iz2 = 8

B. z1 + 2iz2 = 10

D. z1 + 2iz2 = 10

C. z1 + 2iz2 = 1

Đáp án D
Ta có z1 + 2iz2 = 2 + 4i + 2i (1 − 3i ) = 8 + 6i  z1 + 2iz2 = 10

Câu 28: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b 

) . Biết tập hợp các điểm A

biểu diễn hình học số phức z là đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;3) và bán kính R = 3. Đặt M là giá
trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b −1. Tính giá trị M + m.
A. M + m = 63

B. M + m = 48

C. M + m = 50

D. M + m = 41

Đáp án B

( a − 4 )2 + ( b − 3)2 = 9
 x2 + y 2 = 9
x = a − 4
Theo đề ta có 
với 

y = b −3
 F = 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3) + 24  F − 24 = 4 x + 3 y


 ( F − 24) = ( 4 x + 3 y )  ( 42 + 32 )( x2 + y 2 ) = 225
2

2

 −15  F − 24  15  9  F  39  M + m = 48
Câu 29 (Đặng Việt Hùng-2018)Biết rằng phương trình z2 + bz + c = 0 ( b,c 

) có một

nghiệm phức là z1 = 1 + 2i, Khi đó
A. b + c = 0

B. b + c = 3

C. b + c = 2

D. b + c = 7

Đáp án B
Do 1 + 2i là nghiệm của phương trình nên ta có:

(1 + 2i )

2

+ b (1 + 2i ) + c = 0

b + c − 3 = 0
 −3 + 4i + b + 2bi + c = 0  
 b+c =3
2b + 4 = 0
Câu 30 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thay đổi, luôn có z = 2. Khi đó tập hợp
điểm biểu diễn số phức w = (1 − 2i ) z + 3i là:

A. Đường tròn x 2 + ( y − 3) = 2 5

B. Đường tròn x 2 + ( y + 3) = 20

C. Đường tròn x 2 + ( y − 3) = 20

D. Đường tròn ( x − 3) + y 2 = 2 5

2

2

2

2

Đáp án C
Giả sử w = a + bi ( a, b 
z=

a + ( b − 3) i

)  a + bi = (1 − 2i ) z + 3i

a + ( b − 3) i  (1 − 2i ) a − 2 ( b − 3) + ( 2a + b − 3 ) i
=
=
5
5

1 − 2i
2
1
2
z =z =
a − 2 ( b − 3)  + ( 2a + b − 3 ) = 2
5
 ( a − 2b + 6 ) + ( 2a + b − 3) = 100
2

2

 ( a − 2b ) + ( 2a + b ) + 12 ( a − 2b ) − 6 ( 2a + b ) = 55
2

2

 5a 2 + 5b 2 − 30b = 55  a 2 + b 2 − 6b = 11  a 2 + ( b − 3 ) = 20
2

Câu 31: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z, w khác 0 sao cho z − w = 2 z = w . Phần
thực của số phức u =
A. a = −

1
8

z
là
w

B. a =

1
4

C. a = 1

D. a =

1
8


Đáp án D
Giả sử u = a + bi ( a, b 

)

Từ giả thiết đầu bài z − w = 2 z = w . ta có hệ sau

z 1
=
1
 2
u =
2
w
2
3

1
2

a + b = 4

 ( a − 1) + a 2 = −2a + 1 =  a =

4
8
 z − w = u − 1 = 1 ( a − 1)2 + b 2 = 1

 w


z + 2−i
= 2. Tìm z min
z +1− i

Câu 32 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa
A. z min = −3 + 10

C. z min = 3 − 10

B. z min = −3 − 10

D. z min = 3 + 10

Đáp án C
Giả thiết

z + 2−i
= 2  z + 2 − i = 2 z +1− i  z + 2 − i = 1+ i z +1− i
z +1− i

 z + 2 − i = (1 + i ) z + (1 + i )(1 − i ) = (1 + i ) z + 2 (*)
Đặt z = x + yi ( x; y 

)  z = x − yi, khi đó (*) 

 x + 2 + ( y − 1) i = x + y + 2 + ( x − y ) i 

x + 2 + ( y − 1) i = (1 + i )( x − yi ) + 2

( x + 2 ) + ( y − 1)

( x + y + 2) + ( x − y )
2
 x 2 + y 2 + 4x − 2y + 5 = 2x 2 + 2y 2 + 4x + 4y + 4  x 2 + y 2 + 6y − 1 = 0  x 2 + ( y + 3) = 10
2

2

=

2

 Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I ( 0; −3) , bán kính R = 10

z = OM  OMmin = OI − R = 02 + 32 − 10 = 3 − 10

Câu 33 (Đặng Việt Hùng-2018): Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z 2 − z + 2 = 0. Tính z1 + z 2
2

A. −

11
9

B.

2

8
3

Đáp án D

z2 − z + 2 = 0  z =

1  i 23
2
 z1 = z 2 =
6
3

C.

2
3

D.

4
3

2


Khi đó z1 + z 2 =
2

2

4
3

Câu 34 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoa mãn
z + 2−i = 3
A. Đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 1
B. Đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3
C. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 3
D. Đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3
Đáp án D
Đặt z = x + yi ( x; y 

)

khi đó

( x + 2) + ( y −1)
2

2

= 3  ( x + 2 ) + ( y − 1) = 9
2

2

Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3

1
+ 2m, trong đó m là số
m2
thực dương tùy ý. Biết rằng với mỗi m, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

Câu 35: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z =

( )

w = ( 2i + 1) i + z − 5 + 3i là một đường tròn bán kính r. Tìm giá trị nhỏ nhất của r
B. 2 3

A. 3 2

C. 3 5

D. 5 3

Đáp án C

( )

Ta có w = ( 2i + 1) i + z − 5 + 3i = 2i 2 + i + ( 2i + 1) z − 5 + 3i = −7 + 4i + ( 2i + 1) z

 1

 w + 7 − 4i = ( 2i + 1) z  w + 7 − 4i = ( 2i + 1) z  w + 7 − 4i = 5 z = 5 z = 5  2 + 2m 
m

1
1
1
theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 + 2m = 2 + m + m  3 3 2 .m.m = 3  rmin = 3 5
m
m
m
Câu 36 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho hai số phức z1 = 4 − i;z 2 = −2 + 3i. Tìm phần ảo của số
z 
phức  1 .
 z2 

A. −

10
.
13

B.

10
.
13

C.

11
.
13

D. −

11
.
13


Đáp án B.
z  z
( 4 + i )( 2 − 3i ) = −11 + 10i = − 11 + 10 i 
4+i
=
Ta có  1  = 1 =
phần ảo của số phức
13
13 13
 z 2  z 2 −2 − 3i ( 3i − 2 )( 3i + 2 )
10
.

là
13

Câu 37 (Đặng Việt Hùng-2018)Giả sử z1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn

iz + 2 − i = 1 và z1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z2 bằng
B. 2 3.

A. 3.

C. 3 2.

D. 4.

Đáp án D.
Ta có: iz + 2 − i = 1  i ( x + yi ) + 2 − i = 1 (với z = x + yi ( x; y 

(

 ( x − 1) + y − 2
2

)

2

))

(

)

= 1  M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 bán kính

R = 1.
Giả sử A ( z1 ) ;B ( z2 ) do z1 − z2 = 2  AB = 2 = 2R nên B là đường kính của đường tròn

( I;R )
Lại có: z1 + z2 = OA + OB
Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: OI2 =

OA 2 + OB2 AB2
−
 OA 2 + OB2 = 8.
2
4

Theo BĐT Bunhiascopky ta có: 2 ( OA2 + OB2 )  ( OA + OB)  OA + OB  4.
2

 1+ i   1− i 
Câu 38 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tính giá trị của của P = 
 +
 .
 1− i   1+ i 
4

A. P = 1.

C. P = −2.

B. P = 0.

4

D. P = 2.

Đáp án D.
4
 1+ i   1− i 
4
4
Sử dụng máy tính ta có P = 
 +
 = i +   = 1 + ( −1) = 1 + 1 = 2.
 1− i   1+ i 
i
4

4

4

Câu 39 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z = 3 + 2i. Điểm nào trong các điểm M, N, P, Q
hình bên là điểm biểu diễn số phức liên hợp z của z?


A. N

B. M

C. P

D. Q

Đáp án D.
x = 3
tức điểm Q.
z = 3 + 2i  z = 3 − 2i  
 y = −2

Câu 40 : (Đặng Việt Hùng-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 = z + z ?
2

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Đáp án C.
Giả sử z = x + yi ( x, y 

)  ( x + yi )

2

= ( x 2 + y2 ) + ( x − yi )

2xy = − y
 x 2 − y2 + 2xyi = x 2 + y2 + x − yi   2
2
2
2
x − y = x + y + x

 y = 0
x = y = 0

 y = 0

x = 0


x = − 1
1


1
 x=−
 x=−
  
2


2

2




1

 y = 
 y 2 + x = 0
 2 1
 
2
 y − = 0
2

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.
Câu 41: (Đặng Việt Hùng-2018) Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i )
A.

1
5

Đáp án D

B.

5

C.

1
25

D.

1
5

2


z = (1 − 2i ) = −3 − 4i  z =
2

( −3) + ( −4 )
2

2

=5

1 1 1
= =
z z 5

Câu 42: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn

30i
= 9 − 3i. Gọi M là điểm biểu
1− z

diễn số phức z. Tìm tung độ của M

A. 2

D. −1

C. −3

B. 3

Câu 43: (Đặng Việt Hùng-2018) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z − (1 + i ) = z + 2i là đường nào trong các đường cho dưới đây?

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Elip

D. Parabo

Đáp án C
Ta có

10i ( 3 + i )
30i
10i
= 9 − 3i  1 − z =
 1− z =
 z = 2 − 3i
1− z
3−i

10

Đáp án A
Giả sử z = x + yi
Ta có z − (1 + i ) = z + 2i  ( x − 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y + 2 )  x + 3y + 1 = 0
2

2

2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (1 + i ) = z + 2i là đường thẳng

(

)

Câu 44 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm môđun của số phức z = −4 + i 48 ( 2 + i )
A. 8 5

B. 5 5

C. 6 5

D. 9 5

Đáp án A

(

)

(

)

z = −4 + i 48 ( 2 + i ) = −8 − 48 + 2 48 − 4 i
Khi đó z =

(8 +

) + (2
2

48

48 − 4

)

2

=8 5

Câu 45: (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z
thỏa mãn điều kiện 2 z là một số thực âm
A. Trục hoành (trừ gốc tọa độ O).

B. Đường thẳng y = x (trừ gốc tọa độ O).

D. Đường thẳng y = − x (trừ gốc tọa độ O).

C. Trục tung (trừ gốc tọa độ O)
Đáp án C
Giả sử z = x + yi, ( x, y 

).

Ta có z 2 = ( x + yi ) = x 2 − y 2 + 2xyi
2

x 2 − y2  0
x = 0
Để z 2 là một số thực âm thì 

 biểu diễn là trục tung (trừ gốc tọa độ
y

0
2xy
=
0


O)

Câu 46(Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của A = 1 + z + 3 1 − z
B. 2 15

A. 4 8

D. 2 10

C. 10

Đáp án D
Đặt z = a + bi  a 2 + b 2 = 1.

( a + 1)

Khi đó A =

2

+ b2 + 3

( a −1)

2

+ b2 = 2a + 2 + 3 2 − 2a

Xét hàm số f ( a ) = 2a + 2 + 3 2 − 2a với a   −1;1 ta có

f '(a ) =

1
3

−
=0
2a + 2
2 − 2a

 9 ( 2a + 2 ) = 2 − 2a  a = −

4
5

Khi đó Amax = 2 10
Câu 47: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình
2

2017z 2 − 2016z + 2017 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 1 − z1.z 2 − z1 − z 2

A. 3

B.

1
3

C. 1

2

D. 6

Đáp án D

(

)

P = 1 − z1.z 2 − z1 − z 2 = 1 − z1.z 2 1 − z1.z 2 − ( z1 − z 2 ) z1 − z 2
2

(

)(

2

)

(

)

(

= 1 − z1.z 2 1 − z1.z 2 − ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = 1 − z1 − z 2 + z1 . z 2 = 1 − z1
2

2

2

2

2

)(1 − z )
2

2


2

Dễ thấy z1 = z 2 = 1 suy ra P = 1 − z1.z 2 − z1 − z 2 = 0
2

Câu 48: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b 

) thỏa điề u kiê ̣n

( 2 − 3i ) z − 7i.z = 22 − 20i. Tiń h a+b
A. 3

B. -4

C. -6

D. 2

Đáp án B.
Ta có ( 2 − 3i )( a + bi ) − 7i ( a − bi ) = 22 − 20i  ( 2a − 4b ) + ( 2b −10a ) i = 22 − 20i
2a − 4b = 22

a = 1


 a + b = −4.
2b − 10a = −20
b = −5

Câu 49: (Đặng Việt Hùng-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z = 1?
A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Đáp án C.
Đă ̣t z = a + bi với a, b 

 z = a − bi  z + z = 2a.

1

 2 1
a=
a
=




2
a + b = 1 
4 
Ta có: z = z + z = 1   2

.

3
3
4a
=
1
2


b =
b = 



4

2
2

2

Vâ ̣y có tấ t cả 4 số phức thảo mañ .
Câu 50 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1. Go ̣i

M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính giá trị của biểu thức ( M 2 + m 2 )
A. M 2 + m 2 = 28.

B. M 2 + m 2 = 26.

C. M 2 + m 2 = 24.

D. M 2 + m 2 = 20.

(

(

Đáp án A.

)

Ta có 1 = z − 2 − 3i = ( z − 2 − 3i ) .( z − 2 − 3i ) = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i
2

Lấ y môđun hai vế , ta đươ ̣c z − 2 − 3i . z − 2 + 3i = 1  z − 2 + 3i = 1 (*)
Đă ̣t w = z + 1 + i  z = w − 1 − i, khi đó (*)  w − 1 − 2 − 3i = 1  w − 3 + 2i = 1.

)


 w = 32 + 22 − 1 = 13 − 1 M = 13 + 1
 min




 M 2 + m2 =
2
2

m = 13 − 1
 w min = 3 + 2 − 1 = 13 + 1 

Câu 51: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn

(

) (
2

13 + 1 +

)

2

13 − 1 = 28.

z −1
+ i = 5. Biết rằng tập hợp
2−i

biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + 2i có da ̣ng ( x + 2 ) + y 2 = k. Tim
̀ k.
2

B. k = 100.

A. k = 92.

C. k = 50.

D. k = 96.

Đáp án C.
Ta có

z −1
+ i = 5  z + 2i = 5  w + 2 = (1 − i )( z + 2i ) = 5 2. Vâ ̣y tâ ̣p hơ ̣p điể m biể u
2−i

diễn số phức w là đường tròn tâm I ( −2;0 ) bán kiń h R = 5 2, tức là đường tròn

(C) : ( x + 2)

2

+ y 2 = 50.

Câu 52 (Đặng Việt Hùng-2018): Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo
dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm
biểu diễn số phức w = i 2017 z 0 ?
A. M ( 3; −1) .

B. M ( 3;1) .

C. M ( −3;1) .

D. M ( −3; −1) .

Đáp án D.
Ta có z 2 + 2x + 10 = 0  z = −1  3i  z 0 = −1 + 3i  w = i 2017 z 0 = iz 0 = −3 − i.
Câu 53 : (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức liên hợp của số phức z = (1 − i )( 3 + 2i ) .
A. z = 1 + i.

B. z = 5 + i.

C. z = 5 − i.

D. z = 1 − i.

Đáp án B.
Ta có: z = (1 − i )( 3 + 2i ) = 5 − i  z = 5 + i.
Câu 54 (Đặng Việt Hùng-2018): Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 z − 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng.

B. đường tròn.

C. parabol.

Đáp án C.
Đă ̣t z = a + bi với a, b 

 z = a − bi  z + z + 2 = 2a + 2.

D. hypebol.


Ta có: 2 z − 1 = z + z + 2  2 ( a − 1) + bi = 2 a + 1  ( a − 1) + b 2 = ( a + 1)  b 2 = 4a
2

2

Vâ ̣y quỹ tić h là mô ̣t parabol.

Câu 55: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5. Go ̣i M, m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính môđun của số
2

2

phức w = M + mi?
A. w = 2315.

B. w = 1258.

C. w = 3 137.

D. w = 2 309.

Đáp án B.
Đă ̣t z = x + yi ( x, y 

) suy ra tâ ̣p hơ ̣p các điể m

M ( z ) = ( x; y ) là đường tròn (C) có tâm

I ( 3;4) và bán kiń h R = 5.
Ta có P = z + 2 − z − i = x + 2 + yi − x + ( y − 1) i = ( x + 2 ) + y 2 − x 2 − ( y − 1)
2

2

2

2

2

2

= x 2 + y2 + 4x + 4 − x 2 − y2 + 2y −1 = 4x + 2y + 3 ⎯⎯
→ (  ) : 4x + 2y + 3 − P = 0.
Ta cầ n tim
̀ P sao cho đường thẳ ng (  ) và đường tròn (C) có điể m chung  d ( I; (  ) )  R.


4.3 + 2.4 + 3 − P
42 + 22

 5  23 − P  10  −10  23 − P  10  13  P  33.

max P = 33

⎯⎯
→ w = M + mi = 33 + 13i  w = 1258.
Do đó, 
min P = 13

Câu 56: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức thỏa mãn z  1. Đă ̣t A =

2z − 1
. Mệnh đề
2 + iz

nào sau đây đúng?
A. A  1.

B. A  1.

C. A  1.

Đáp án A.
Ta có A =

2z − i
2A + i
 2A + Aiz = 2z − i  2A + i = 2z − Aiz  z =
.
2 + iz
2 − Ai

Mà z  1 

2A + i
2A + i
1
 1  2A + i  2 − Ai
2 − Ai
2 − Ai

(*).

D. A  1.


Đă ̣t A = x + yi, Khi đó (*)  2x + ( 2y + 1) i  2 + y − xi  4x 2 + ( 2y + 1)  ( 2 + y ) + x 2 .
2

2

 4x 2 + 4y2 + 4y + 1  x 2 + y2 + 4y + 4  x 2 + y2  1  A  1.
Câu 57 (Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn
(1 − i ) z = 1 + 3i.
A. z = −1 + 2i.

B. z = 1 − 2i.

C. z = −1 − 2i.

D. z = 1 + 2i.

Đáp án C.
z=

1 + 3i
= −1 + 2i  z = −1 − 2i.
1− i

Câu 58: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn z 3 + i = 0. Tìm phát biểu sai?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O ( 0;0 ) .
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O ( 0;0 ) .
D. SABC =

3 3
.
2

Đáp án D.

A ( 0;1)
z = i

3 3

Ta có z3 + i = 0  
.
3 1   SABC =
−i  3    3 1  
4
B
;

−
,
C
−
;
−
z
=





  2
2   2
2 

2
 
Câu 59: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z
A. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 2, –1) , bán kính R = 2
B. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0;1) , bán kính R = 3
C. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0, –1) , bán kính R = 3
D. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0, –1) , bán kính R = 2


Đáp án D
Đặt z = x + yi ta có

x + yi − i = (1 + i )( x + yi )  x + ( y − 1) i = ( x − y )( x + y ) i
x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y )  x 2 + y 2 − 2y − 1 = 0  x 2 + ( y + 1) = 2
2

2

2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0; −1) , bán kính R = 2
Câu 60: (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z 2
2

A. 15

B. 17

2

C. 19

D. 20

Đáp án
Ta có

 z = z1 = −1 + 3i  z1 = 10
2

2
2
z 2 + 2z + 10 = 0  ( z + 1) + 9 = 0  ( z + 1) = −9 = ( 3i )  
 z = z 2 = −1 − 3i  z 2 = 10
Khi đó A = z1 + z 2 = 10 + 10 = 20
2

2

Câu 61: (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi T là tập hợp các số
phức z thỏa mãn z − i  3 và z − 1  5. Gọi z1 , z 2  T lần lượt

là

các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức

z1 + 2z2 .
B. −2 + 12i

A. 12 − 2i

C. 6 − 4i

D. 12 + 4i

Đáp án A
Đặt z = x + yi ( x, y 
 z −1 =

( x − 1)

2

) . Khi đó, ta có
2

+ y  5  ( x − 1) + y 2  25 →
2

 Tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn
 tâm I1 (1;0 ) bán kính R1 = 5.

z − i = x 2 + ( y − 1)  3  x 2 + ( y − 1)  9 → Tập hợp các số phức nằm ngoài hoặc trên
2

2

đường tròn tâm , bán kính R 2 = 3.
z = z = 0 − 2i = −2i
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng  min 1
 z1 + 2z 2 = 12 − 2i.
z max = z 2 = 6 + 0i = 6


Câu 62 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho hai số phức z1 = 4 + i và z 2 = 1 − 3i. Tính môđun của
số phức z1 − z 2 .
A. z1 − z 2 = 17 − 10

B. z1 − z 2 = 13

C. z1 − z 2 = 25

D. z1 − z 2 = 5

Đáp án D

z1 − z2 = ( 4 + i ) − (1 − 3i ) = 3 + 4i nên z1 − z2 = 5.
Câu 63 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 5 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z .
A. Phần thực bằng −5 và phần ảo bằng −2.

B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 2.

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −2.

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −2i.

Đáp án C

z = 5 − 2i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -2.
Câu 64: (Đặng Việt Hùng-2018)Kí hiệu z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình
z 4 − 3z 2 − 4 = 0. Tính T = z1 + z2 + z3 + z4 .

A. T = 3

B. T = 0

C. T = 4 + 2

D. T = 4

Đáp án B
 z 2 = −1 = i 2
z 4 − 3z 2 − 4 = 0   2
 z1 = −i, z 2 = i, z 3 = −2, z 4 = 2  z1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0  T = 0.
z
=
4


Câu 65: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = ( 2 + i )(1 − 3i ) . Gọi M là
điểm biểu diễn của z. Khi đó tọa độ điểm M là.
A. M ( 3;1)

B. M ( 3; −1)

C. M (1;3)

D. M (1; −3)

Đáp án B
Dùng CASIO rút gọn z =

( 2 + i )(1 − 3i ) = 3 − i → M
2−i

( 3; −1) .

Câu 66: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z có phần ảo âm, gọi w = 2z + z − z i. Khi đó
khẳng định nào sau đây về w là đúng?

A. w là số thực

B. w có phần thực bằng 0

C. w có phần ảo âm

D. w có phần ảo dương

Đáp án A
Đặt z = x + yi ( x, y 

) , vì z có phần ảo âm suy ra

y  0. Khi đó

w = 2z + z − zi = 2 ( x + yi ) + x + yi − ( x − yi ) i = 2x + 2yi + 2y i = 2x + 2yi − 2yi = 2x.
Vậy w là một số thực.
Câu 67: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 = z2 = z1 − z2 = 1.
2

2

z  z 
Tính giá trị của biểu thức P =  1  +  2  .
 z 2   z1 

A. P = 1 − i.

B. P = −1 − i. C. P = −1.

D. P = 1 + i.

Đáp án C.

(

)

(

)

(

)

Ta có 1 = ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = z1 + z 2 − z1 z 2 + z 2 z1  z1 z 2 + z 2 z1 = 1
2

2

2

2
2
2
z z z z 
 z1   z 2   z1 z 2 

P =   +   =  +  − 2 =  1 22 + 2 21  − 2 = z1 z 2 + z 2 z1
 z
z1 
 z 2   z1   z 2 z1 
 2

(

)

2

− 2 = −1.

Câu 68: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho hai số phức z1 = 1 − i và z 2 = 2 + 3i. Tính môđun của
số phức z 2 − iz1.
A.

3.

B. 5.

C.

5.

Đáp án C.
m = z 2 − iz1 = 2 + 3i − i (1 − i ) = 2 + 3i − i − 1 = 2i + 1  5 là modul của m.

D. 13.