( GV nguyễn thanh tùng) 39 câu tích phân image marked image marked

Câu 1 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Giả sử f (x) là hàm liên tục trên

và a, b, c là các

số thực khác nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
b

c

b

a

a

c

c

b

c

a

a

b

b

a

b

a

c

c

B.  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx.

A.  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx.
C.  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx.

c

a

a

c

D.  bf ( x ) dx = −b  f ( x ) dx.

Đáp án C
c

Đáp án C sai vì chính xác phải là

ò

b

f (x)dx =

ò

a

c

f (x)dx +

a

ò f (x)dx → Đáp án C
b

4

Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hàm số f (x) liên tục trên

và  f ( x ) dx = 3 .
1

Mệnh đề nào sau đây sai?
2

1,5

3

3
A.  f ( 2x ) dx = .
2
0,5

C.  f ( 2x + 1) dx = 3.

B.  f ( x + 1) dx = 3.
0

0

2

3
D.  xf ( x 2 ) dx = .
2
1

Đáp án C
2

+) Tính I1 =

ò f (2x)dx . Đặt t = 2 x Þ

dt = 2 x Þ dx =

0.5

4

Þ I1 =

dt
và t :1 ® 4
2

4

1
1
3
f (t )dt = ò f (x)dx = → D đúng
ò
2 1
2 1
2
3

+)

Tính

I2 =

ò f (x + 1)dx .

Đặt

t = x + 1 Þ dt = dx và

0
4

t :1 ® 4 Þ I 2 =

4

ò f (t )dt = ò f (x)dx = 3
1

1

→ B đúng
1,5

+) Tính I 3 =

ò f (2 x + 1)dx . Đặt t = 2 x + 1 Þ

dt = 2dx Û dx =

0
4

dt

và t :1 ® 4
2

4

1
1
3
Þ I3 = ò f (t )dt = ò f (x)dx = → C sai → Đáp án C
2 1
2 1
2

Câu 3

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết F

f (x) = 1−

1
 3
và F ( −4 ) = 3 . Tính F  − 
1 − 2x
 2

(x) là một nguyên hàm của hàm số


 3 5
B. F  −  = .

 2 2

 3 1
A. F  −  = .
 2 2

 3  13
D. F  −  = .
 2 2

 3 9
C. F  −  = .
 2 2

Đáp án C
Ta có

F (x) =

æ
ò çççè1-

1 ö
÷
÷
÷dx =
1- 2 x ø

ò dx +

ò

dx
=
1- 2 x

ò dx +

1
1
2 d (1- 2 x ) = x +
1
2
x
1- 2 x + C
(
)
2ò

æ 3ö 9
= → Đáp
Khi đó F (- 4) = 3 Û - 1 + C = 3 Û C = 4 Þ F (x ) = x + 1- 2 x + 4 Þ F çç- ÷
÷
çè 2 ÷
ø 2
án C

Câu 4.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho hàm số f ( x ) = aex + b có đạo hàm trên đoạn

0;a  , f ( 0) = 3a

a

và  f ' ( x ) dx = e a − 1 . Giá trị của biểu thức P = a 2 + b 2 là
0

A. 5.

B. 10.

C. 20.

D. 25.

Đáp án A.

f ( x ) = aex + b → f ( 0) = a + b = 3a → b = 2a
a

 f ' ( x ) dx = f ( a ) − f ( 0 ) = ae

a

+ 2a − 3a → ae a − a = e a − 1 → a = 1 → b = 2 → a 2 + b 2 = 5.

0

Câu 5

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng

y = −x 2 + 5x − 4 và trục hoành. Đường thẳng x = 2 chia

( H1 ) , ( H2 )
A.

7
.
6

Đáp án D.

có diện tích lần lượt là S1,S2 (S1  S2 ) . Khi đó tỉ số
B.

10
.
3

C.

10
.
7

(H) giới hạn bởi các đường
(H) thành hai hình phẳng
S2

là
S1

D.

20
.
7


2
2

 x3 5 2

7
2
S1 =  ( − x + 5x − 4 ) dx =  − + x − 4x  =

 3 2
1 6
1
S
20
→
→ 2= .
4
4
S1
7


 x3 5 2

10
2
S
=
−
x
+
5x
−
4
dx
=
−
+
x
−
4x
=
)  3 2
 2 (


2 3

2

Câu 6.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Xét hình phẳng

(H)

được giới hạn bởi hàm số y = x 2 , đường thẳng y = k 2 với 0  k  1;
trục tung và đường thẳng x = 1 . Biết

(H) được chia thành hai phần

có diện tích S1 ,S2 như hình vẽ. Gọi k1 , k 2 lần lượt là giá trị của k
làm cho tổng S1 + S2 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính giá trị của

T = k1 + k 2 ?
A. T = 1.

3
B. T = .
2

1
C. T = .
2

4
D. T = .
3

Đáp án B.
k

1



x3   x3
4
1
S1 + S2 =  ( k − x ) dx +  ( x − k ) dx =  k 2 x −  +  − k 2 x  = k 3 − k 2 + = f ( k )
3 0  3
3

k 3
0
k
k

1

2

2

2

2


k = 0
Xét hàm số f (k) trên [0;1] → f ' ( k ) = 4k − 2k = 0  

k = 1

2
2

2

Smax =  k = 1

3

3
BBT
⎯⎯⎯
→
→ T = k1 + k 2 = .
2
S = 1  k = 1
min

4
2
Câu 7 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ
thị hai hàm số y = f1 ( x) ; y = f 2 ( x)

(liên tục trên  a; b ) và hai đường thẳng x = a, x = b

(a  b) . Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây?
b

A. S =   f1 ( x ) − f 2 ( x) dx

b

B. S =   f1 ( x ) − f 2 ( x)  dx
2

a

a

b

C. S =  f1 ( x) − f 2 ( x) dx

b

D. S =

a

  f ( x) − f ( x)dx
1

2

a

Đáp án C
Câu 8

f ( x) =

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số
2 − ln 2 (2 x + 1)
là
2x +1

A. F ( x) = ln ( 2 x + 1) −

ln 3 ( 2 x + 1)
+C .
6

C. F ( x) = 2 ln(2 x + 1) −

ln 3 ( 2 x + 1)
+C.
3

B. F ( x) =

−2 + 2 ln ( 2 x + 1)

( 2 x + 1)

2

+C .

D. F ( x) = 2(2 x + 1) − ln 3 ( 2 x + 1) + C .

Đáp án A
Ta có



 2
ln 2 ( 2 x + 1) 
ln 2 ( 2 x + 1)
ln 3 ( 2 x +
2
f ( x )dx =  
−
dx − 
d ( ln ( 2 x + 1) ) = ln 2 x + 1 −
dx = 
2
x
+
1
2
x
+
1
2
x
+
1
2
6



m

Câu 9

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết rằng

 ( 2 x − 1) e dx = 4m − 3 . Khi đó giá trị
x

0

nào sau đây gần m nhất?
A. 0,5 .

(Biết m  1 ).
B. 0, 69 .

C. 0, 73 .

D. 0,87 .

Đáp án B
m
u = 2 x − 1  u = 2
x m
Đặt 
 I = ( 2 x − 1) e −  2e x dx = ( 2m − 3) em + 3 .
x

x
0
v = e  v = e
0


Do đó ( 2m − 3) em + 3 = 4m − 3 . Sử dụng MTBT casio ta có m  0.69 .
(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 10

y = x 4 , y = − x 2 và x = 1 là
A.

8
.
15

B.

2
.
15

C.

1
.
4

D. 1.

Đáp án A
Xét phương trình hoành độ giao điểm x4 = − x2  x4 + x2 = 0  x = 0 .
1

Vậy S =

x

4

+ x 2 dx =

0

Câu 11

8
.
15

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

y = cos 2 x , hai trục tọa độ, đường thẳng x =


4

. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình

phẳng ( H ) quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A.  .

C. 0,5 .

B. 0,5 .

D.  − 3 .

Đáp án C

4

V =   cos 2 xdx = 0,5 .
0

Câu 12

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = −1, x = 2, y = 0 và Parabol ( P) : y = ax2 + bx + c bằng 15. Biết ( P) có đỉnh I (1;2) là

điểm cực tiểu. Khi đó a + b − c bằng bao nhiêu?
A. −8.

B. −2.

C. 14. D. 3.

Đáp án A
Theo giả thiết ta có hệ

2
2
2
2
  ( ax + bx + c )dx = 15
  ( ax − 2ax + 2 + a )dx = 15 (1)
 −1
 −1
 −b

 b = −2a
( 2)
 =1
2
a


( 3)
2 = a + b + c
c = 2 − a − b = 2 + a





2

 ax3

− ax 2 + 2 x + ax  = 15  3a + 6 = 15  a = 3 .
Từ (1) ta có 
 3
 −1
Thay vào ( 2 ) , ( 3) ta được b = −6; c = 5 .
Vậy a + b − c = 3 + ( −6) − 5 = −8 .

Câu 13

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) và

f ( x ) xác định trên  a; b . Khi đó tích phân

b

 f ( x)dx

được tính theo công thức nào sau đây?

a

b

b

A.



f ( x)dx = F (a) − F (b) .

B.

b

C.



 f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

a

b

f ( x)dx = F (a) + F (b) .

D.

 f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a

a

Đáp án B
Câu 14 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin 2 x là
1

1
x cos 2 x − sin 2 x + C .
2
4

1
1
A. F ( x) = − x cos 2 x + sin 2 x + C .
2
4

B. F ( x) =

C. F ( x) = − x cos 2 x + sin 2 x + C .

D. F ( x) = x cos 2 x − sin 2 x + C .

Đáp án A

u = x  u = 1
x cos 2 x
cos 2 x
x cos 2 x sin 2 x

+
dx = −
+
+C
Đặt 
cos 2 x  I = −


2
2
2
4
v
=
sin
2
x

v
=
−

2
3

Câu 15 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Giá trị của tích phân I =  x.(1 − x) 2016 dx bằng
1

22017 22018
A. I =
.
+
2017 2018

22017 22018
B. I = −
.

+
2017 2018

22017 22018
C. I =
.
+
2018 2017

22017 22018
D. I = −
.
+
2018 2017

Đáp án A
Đặt
−2

t = 1 − x  I = −  (1 − t ) t
0

−2

−2
2016

dt =

 (t

0

2017

−t

2016

 t 2018
t 2017 
22018 22017
dt
=
−
=
)  2018 2017  2018 + 2017 .

0


Câu 16

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng

y = x + 3 , trục hoành và đường thẳng x = m (m  0) có diện tích bằng 8. Khi đó giá trị m

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
B. –2.

A. 0.

C. 3.

D. 5.

Đáp án C
Ta có
m

S =  x + 3 dx = 8 
0

m = 2
m2
.
+ 3m = 8  m2 + 6m − 16 = 0 (do m  0)  
m
=
−
8
l
2
(
)


Câu 17 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 2 và y = 2 − x . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo được khi quay H xung quanh
trục tung.

A. V =

13
.
3

B. V =

5
.
6

C. 16 .

D. 8 .

Đáp án B
Ta có x 2 = y  x =  y ( y  0 ) và y = 2 − x  x = 2 − y .
Xét x  0  Hai hàm số là x =

y và x = 2 − y .

Vẽ phác họa 2 đồ thị

1



Thể tích cần tìm là V =   y dy +

0

2

 (2 − y)

2

1

 5
dy  =  .
 6
2

Câu 18 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết



1

f ( x)dx = a và

 g ( x)dx = b (a, b 
2

1

2

  f ( x) + g ( x)dx bằng bao nhiêu?
1

A. a + b .

D. −a − b .

C. b − a .

B. a − b .

Đáp án B
Áp dụng tính chất của tích phân ta có
2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

  f ( x ) + g ( x )dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx = a − b.

) . Khi đó


Câu 19.
x=


2

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 ,

, biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có



hoành độ x  0  x   là một đường tròn có bán kính R = cos x . Thể tích của vật thể đó là
2

A. 2 .

C.  .

B.  2 .

D. 1.

Đáp án C
Diện tích của đường tròn là S ( x ) =  r 2 =  cos x .




2

2

Vậy thể tích của vật thể là V = S ( x )dx =  cos xdx =  .





0

0

Câu 20 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Miền hình phẳng
trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong y = f ( x) và
1

y = x 2 − 2 x . Biết


−

f ( x)dx =

1
2

3
. Khi đó diện tích hình
4

phẳng được tô trên hình vẽ là
A.

8
9
8
3
. B. . C. . D. .
8
8
9
3

Đáp án A
1

Ta có S =



−1

2

1


3  x3
9
f ( x ) − x + 2 x dx =  ( f ( x ) − x + 2 x )dx = +  − + x 2  = .
4  3
−1
 −1 8
1

2

2

2

2

Câu 21 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x. 2 − cos x
là
2
A. F ( x) = (2 − cos x) 2 − cos x + C .
3

C. F ( x) = −

1

2 − cos x + C .
2

3
B. F ( x) = − (2 − cos x) 2 − cos x + C .
2

D. F ( x) =

Đáp án A
2
Đặt t = 2 − cos x  t = 2 − cos x  2tdt = sin xdx .

2
2 − cos x + C .
3


Do đó  sin x 2 − cos xdx =  2t 2 dt =

2 ( 2 − cos x ) 2 − cos x
2t 3
+c =
+c.
3
3

Câu 22 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. 

dx
1
= ln ax + b + C ( a  0 ) .
ax + b a

C.  e x dx = e x + C.

B. 

dx
= cot x + C.
sin 2 x

D.  dx = x + C.

Đáp án B.
dx

 sin

2

x

= − cot x + C.

Câu 23 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn 1;3 ,
3

f (1) = 1 và f ( 3) = 2018 . Giá trị của tích phân I =  f ' ( x )dx là

1

A. I = 2017.

B. I = -2017.

C. I = 2018.

D. I = 2016.

Đáp án A.
3

I =  f ' ( x ) dx = f ( x ) 1 = f ( 3) − f (1) = 2017.
3

1

Câu 24

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết F

(x) làm một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2016e2016x và F ( 0) = 2018 . Giá trị của F (1) là
A. F (1) = 2016.

B. F (1) = 2016e2016 .

C. F (1) = 2016e2016 + 2.

D. F (1) = e2016 + 2017.

Đáp án D.
F ( x ) =  2016e 2016x dx = e 2016x + C → F ( 0 ) = 1 + C = 2018 → C = 2017

→ F ( x ) = e2016x + 2017 → F (1) = e2016 + 2017.
Câu 25 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng
y = 3x + 1 , y = x − 1 và x = 1 . Diện tích S của hình phẳng
4
A. S = .
3

Đáp án B.

B. S =

40
.
9

C. S =

9
.
40

(H) giới hạn bới các đường

(H) là

3
D. S = .
4


5

2

x2
40
3
=   3x + 1 − ( x − 1)  dx =  2 ( 3x + 1) − + x  = .
2
9
1 9
1
5

S( H )

Câu 26 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng
y = sin x , x =

(H) giới hạn bởi các đường


, hai trục tọa độ. Thể tích V của khối tròn xoay khi quay
2

(H) quanh trục

Ox là
A. V =


.
2

B. V =

2
.
4

C. V =

 (  + 1)
.
4

D. V =


.
3

Đáp án B.



2


2



2
1 − cos2x
 x sin 2x  2 
V =   sin 2 xdx =  
dx =   −
=
.

2
4 o
4
2
0
0

Câu 27

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng

(H) giới hạn bởi các đường y = x x 2 + 1 , x = 3 và hai trục

(

)

tọa độ. Đường thẳng x = k 0  k  3 chia

(H) thành hai

phần có diện tích S1, S2 như hình vẽ bên. Để S1 = 6S2 thì

k = k 0 . Hỏi k 0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 0,92.
Đáp án D.

B. 1,24.

C. 1,52.

D. 1,64.


1
1
1
2
2
 x x + 1dx = 2  ( x + 1) 2 d ( x + 1) = 3
2

(x

2

+ 1)

3

S1 + S2 = S
→ S = 7S2

S1 = 6S2
3



→

0



3

1
x x + 1dx = 7  x x + 1dx 
3
k
2

2

7 7 

= . 8−
3 3 

Câu 28

(k

2

3
+ 1)  


(k

2

(x

2

+ 1)

3

3
0

1
= 7.

3

(x

2

+ 1)

k

+ 1) = 7  k 2 + 1 = 3 49 → k =
3

3

3

3

49 − 1  1, 631.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho Parapol ( P ) : y = x 2 + 1 và đường thẳng

( d ) : y = mx + 2 . Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(P) và

(d) đạt giá trị nhỏ

nhất?

A. 0.
Đáp án A.

B.

3
.
4

C.

4
.
3

D. 1.


Xét phương trình hoành độ giao điểm của

(P) và

(d): x2 + 1 = mx + 2  x2 – mx – 1 = 0

(1)

x1 + x 2 = m
 = m 2 + 4  0 m → (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 với mọi m → 
x1x 2 = −1
x2

 x 3 mx 2

1
m
→ S =  ( − x + mx + 1) dx =  − +
+ x  = − ( x 32 − x13 ) + ( x 22 − x12 ) + ( x 2 − x1 )
2
3
2
 3
 x1
x1
x2

2

m
2
 1

= ( x 2 − x1 ) − ( x1 + x 2 ) − x1x 2  + ( x1 + x 2 ) + 1
 2
 3


=

( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 .
2

min S =

m2 + 4 1
=
6
6

(m

2

+ 4) 
3

1 3 4
4 =
6
3

4
 m = 0.
3

Câu 29 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x
B.  sin 2 xdx =

A.  sin 2 xdx = 2 cos 2 x + C

 sin 2 xdx = −

C.

cos 2 x
+C
2

cos 2 x
+C
2

D.  sin 2 xdx = − cos 2 x + C

Đáp án C
Ta

 sin 2 xdx = −
Câu 30

1

 sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C .

có:

Do

đó:

cos 2 x

+C .
2

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Gọi S là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = a , x = b
hình bên). Biết
A. 7

B. 5

c

b

a

c

 f ( x )dx = −2 và  f ( x )dx = 5 . Hỏi S bằng bao nhiêu?
C. 2

D.3

( như


Đáp án A
b

c

b

a

a

c

Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có S =  f ( x ) dx = −  f ( x )dx +  f ( x )dx = − ( −2 ) + 5 = 7 .

 x + 1 khi

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hàm số f ( x ) = 
 e2 x khi


Câu 31

x0
. Tích

x0

2

phân I =

 f ( x ) dx

có giá trị bằng bao nhiêu?

−1

A. I =

7e 2 + 1
2e 2

B. I =

11e2 − 11
2e2

C. I =

3e 2 − 1
e2

D. I =

9e2 − 1
2e 2

Đáp án D
2

Ta có I =

0

2

0

 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx =  e

−1

−1

−1

0

2

2x

dx +  ( x + 1)dx = A  4, 432

(Dùng máy

0

tính lưu giá trị vào biến A.
Dùng máy tính bấm từng đáp án trừ đi biến A, kết quả nào bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0

(

 10−8 ,10−9 …) thì chọn đáp án đó.
1
Câu 32 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn
4

có bán kính R=2, đường cong y = 4 − x và trục hoành

( miền tô đậm như hình vẽ). Tính

thể tích V của khối tạo thành khi cho hình ( H ) quay quanh trục Ox.
A. V =

77
6

B. V =

8
3

C. V =

40
3

D. V =

66
7

Đáp án C
Ta có pt đường tròn tâm O bán kính R = 2 là x 2 + y 2 = 4 , suy ra y 2 = 4 − x 2 . Dựa vào hình
vẽ đã cho, ta có −2  x  0 , suy ra phần thể tích V1 do
0

0

−2

−2

quanh trục Ox là V1 =   y 2 dx =   (4 − x 2 )dx =

16
.
3

1
đường tròn này tạo nên khi quay
4


Phần thể tích V2 do đường cong y = 4 − x tạo nên khi quay quanh trục Ox với 0  x  4 là
4

4

0

0

V1 =   y 2 dx =   (4 − x)dx = 8 .
Vậy V = V1 + V2 =

16
40
+ 8 =
.
3
3
4

Câu 33

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Biết

dx

 ( x + 1)( x − 2 ) = a ln 2 + b ln 5 + c ,

với

3

a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S = a − 3b + c

A. S = 3

C. S = −2

B. S = 2

D. ..

D. 4
Đáp án B


dx
1
ax + b
=
ln
Áp dụng công thức giải nhanh dạng I = 
ad − bc cx + d
 ( ax + b )( cx + d )





Ta

có:

dx
1
x +1
3 ( x + 1)( x − 2) = −3 ln x − 2

4

4

3

1 5
1
1
= − ln = − ( ln 5 − 3ln 2 ) = ln 2 − ln 5 = a ln 2 + b ln 5 + c
3 8
3
3

1
Suy ra a = 1; b = − ; c = 0  a − 3b + c = 1 + 1 = 2 .
3


dx
1
ax + b
=
ln
Chú ý: Ta có công thức giải nhanh I = 
ad − bc cx + d
 ( ax + b )( cx + d )



.


Câu 34 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
1
A.  sin 3 xdx = cos 3 x + C ( C 
3
1
C.  sin 3xdx = − cos 3 x + C ( C 
3

)

B.  sin 3 xdx = cos 3 x + C ( C 

)

D.  sin 3xdx = − cos 3x + C ( C 

)
)

Đáp án C.
Câu 35
y=

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

1
 

và đồ thị y = F ( x ) đi qua điểm M  ; 0  thì F ( x ) là
2
sin x
6 

A. F ( x ) =
Đáp án D.

3
3
− cot x . B. F ( x ) = −
+ cot x . C. F ( x ) = − 3 + cot x . D. F ( x ) = 3 − cot x .
3
3


F(x) = 

dx
= − cot x + C
sin 2 x


 
M  ;0   F ( x ) → − cot + C = 0 → C = 3 → F ( x ) = 3 − cot x.
6
6 
1

dx

. Biết kết quả
0 1 + 3x + 1

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho tích phân I = 

Câu 36

I = a + b ln 2 + c ln3 với a, b, c 
A.

2
.
3

. Khi đó a − b + c bằng bao nhiêu?

2
B. − .
3

D. −2 .

C. 2 .

Đáp án B.
Đặt t = 3x + 1 → t 2 = 3x + 1 → 2tdt = 3dx → dx =

2
tdt
3

x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
2
1 2
2 
1 
2
2 2
2
. tdt =  1 −
 dx = .  t − ln ( t + 1)  1 = + ln 2 − ln 3
1+ t 3
3 1  t +1 
3
3 3
3
1
2

2

→I=

→a−b+c =

2 2  2
2
− +−  = − .
3 3  3
3

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn

Câu 37
b

 f ( x ) dx = 1 . Tích phân

ln b

I=

a

 e . f ( e ) dx có giá trị bằng bao nhiêu?
x

x

ln a

B. I = 1 .

A. I = 0 .

D. I = e .

C. I = a − b .

Đáp án B.

ln b

I=

ln b

b

 e f ( e ) dx =  f ( e ) d ( e ) =  f ( x ) dx = 1.
x

x

x

ln a

Câu 38

x

ln a

a

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

y = tan x, y = 0, x = 0, x =



4

. Khi đó thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay ( H ) quay

quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A. V = 1 −
Đáp án D.


4

.

B. V =

 ( − 1)
4

.

C. V =

 ln 2
2

.

D. V =

 (4 − )

4

.



4


4


4


4


 ( 4 − )
sin x
1 − cos x
 1

4 =
dx
=

dx
=


−
1
dx
=

tan
x
−
x
.
(
)


2
2
2


0
cos x
cos x
cos x 
4
0
0
0

→ V =  tan 2 xdx =  
0

2

2

Câu 39 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Miền hình phẳng
trong

hình

vẽ

được

giới

hạn

bởi

đường

cong

y = x 2 + 2mx + m2 + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 2 . Biết m = m0 thì diện tích hình phẳng đó đạt giá trị nhỏ
nhất. Giá trị m0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. -3.

Đáp án A.
2

 x3

8
8 8
2
→ S =  ( x + 2mx + m + 1) dx =  + mx 2 + m 2 x + x  = + 4m + 2m 2 + 2 = 2 ( m + 1) + 
3 3
 3
0 3
0
2

2

min S =

2

8
 m = −1 → m 0 = −1.
3