(đề chính thức 2017) 41 câu số mũ và logarit image marked image marked

Câu 1 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho 𝑎 là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới
đây đúng với mọi số thực dương 𝑥, 𝑦 ?
x loga x
x
A. loga =
B. loga = loga ( x − y )
y
y loga y
x
= loga x + loga y
y
Đáp án D

C. loga

D. loga

x
= loga x − loga y
y

Câu 2 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Tìm nghiệm của phương trình log2 (1− x ) = 2
A. 𝑥 = − 3.
Đáp án A
log2 (1 − x ) = 2

B. 𝑥 = − 4.

C. 𝑥 = 3.

D. 𝑥 = 5.

 1− x = 4
 x = −3

Câu 3 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho loga b = 2;loga c = 3 . Tính P = loga ( b2c3 )
A. 𝑃 = 108.
Đáp án B

(

B. 𝑃 = 13.

C. 𝑃 = 31.

D. 𝑃 = 30.

)

P = loga b2c3 = 2loga b + 3loga c = 13

Câu 4 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Tính đạo hàm của hàm số y = log2 ( 2x + 1)
1
2x + 1
1
D. y ' =
(2x + 1) ln2

2
2x + 1
2

C. y ' =
(2x + 1) ln2

B. y ' =

A. y ' =

Đáp án C
1
3 6

Câu 5 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Rút gọn biểu thức P = x . x,x  0
B. P = x

A. P = x 2
Đáp án B
1

1

1

2

1

C. P = x 8

D. P = x 9

1 1
+

x 3 . 6 x = x 3 .x 6 = x 3 6 = x
Câu 6. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tập nghiệm 𝑆 của phương trình
log 2 ( x − 1) + log1 ( x + 1) = 1
2

 3 + 13 
A. S = 

 2 



B. S = 3



C. S = 2 − 5;2 + 5
Đáp án D
ĐKXĐ: x>1





D. S = 2 + 5

log

2

( x − 1) + log1 ( x + 1) = 1
2

 2log2 ( x − 1) − log2 ( x + 1) = 1
 ( x − 1) = 2 ( x + 1)
2

x = 2 + 5

 x = 2 − 5

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra x = 2 + 5
Câu 7. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho 𝑥, 𝑦 là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn
1 + log12 x + log12 y
x2 + 9y2 = 6xy .Tính M =
2log12 ( x + 3y )
A. M =

1
2

B. M =

1
3

C. M =

1
4

D. M = 1

Đáp án D
1
3
Thay vào biểu thức M suy ra M=1
Câu 8 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 𝑚 để
phương trình 4x − 2x +1 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.

Chọn x=1 suy ra y=

A. m  ( −;1)

B. m  ( 0;1

C. m  ( 0;1)

D.

m  ( 0; + )
Đáp án C
Đặt 2 x = t (t>0)
Xét hàm số f (x)= 4x − 2x +1 trên R
hay chính là xét hàm số f (t)= t 2 − 2t trên ( 0;+ )
f’ (t)=2t-2

f’ (t)=0  t = 1

Ta có bảng biến thiên của f (t) trên ( 0;+ ) :
t
f’
(t)
f (t)

0
-

1
0

+
+
+

0
-1

Để phương trình 4x − 2x +1 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt thì -1<-m<0 hay m  (0;1)
Câu 9 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Xét các số thực dương 𝑎, 𝑏 thỏa mãn
1 − ab
log2
= 2ab + a + b − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của 𝑃 = 𝑎 + 2b
a+ b


A. Pmin =

2 10 − 3
2

B. Pmin =

2 10 − 5
2

C. Pmin =

3 10 − 2
7

D. Pmin =

2 10 − 1
2

Đáp án A
ĐK : ab<1
1 − ab
log2
= 2ab + a + b − 3
a+ b
 log2 (1 − ab) − log2 ( a + b) = 2ab + a + b + 3
 log2 (1 − ab) + 3 − 2ab = log2 ( a + b) + a + b
 log2 (1 − ab) + 1 + 2 − 2ab = log2 ( a + b) + a + b
 log2 ( 2 − 2ab) + 2 − 2ab = log2 ( a + b) + a + b

Xét hàm số f (t) = log2 t + t,t  0(1)
f '(t ) =

1
+ 1  0, t  0
ln2.t

Suy ra hàm số đồng biến trên ( 0;+ )
(1)  f ( 2 − 2ab) = f (a + b)
 2 − 2ab = a + b
 2 − b = a( 2b + 1)
2− b
( b  0)
2b + 1
2− b
+ 2b,b  0
Xét P=a+2b =
2b + 1
 a=

Sau đó ta lập bảng biên thiên của g (b)=

2− b
+ 2b trên ( 0;+ )
2b + 1

2 10 − 3
2
Câu 10 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho phương trình 4 x + 2 x+1 − 3 = 0 . Khi đặt t = 2 x
ta được phương trình nào dưới đây?

Vậy g (b)min = Pmin =

A. 2t 2 − 3 = 0

B. t 2 + t − 3 = 0

C. 4t − 3 = 0

Đáp án D
Phương trình đã cho tương đương với:
Đặt

t = 2x , t  0

(2 )

x 2

+ 2.2 x − 3 = 0

D. t 2 + 2t − 3 = 0


Phương trình đã cho trở thành: t 2 + 2t − 3 = 0
Câu 11 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho a là số thực dương khác 1. Tính I = log
A. I =

1
2

B. I = 0

C. I = −2

a

a

D. I = 2

Đáp án D
I = log

a

a = log 1 a = 2.log a a = 2
a2

Câu 12 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác 1,
đặt P = loga b3 + loga2 b6 Mệnh đề
nào dưới đây đúng ?
A. P = 9 log a b

B. P = 27 log a b

C. P = 15log a b

D. P = 6 log a b

Đáp án D
Biến đổi logarit:

1
P = log a b3 + log a2 b6 = 3log a b + .6log a b = 6log a b
2
Câu 13: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tập xác định D của hàm số y = log 5
A. D = R \ −2
C. D = (−2;3)

x −3
x+2

B. D = (−; −2)  3; + )
D. D = (−; −2)  (3; +)

Đáp án D
Hàm số log a b xác định khi a>0, b>0, a  1
Áp dụng: hàm số đã cho xác định khi

 x  −2
 x  −2
 x  −2


   x  −2  
 x −3
x  3
 x + 2  0   x  3



Vậy tập xác định là: D = (−; −2)  (3; +)
Câu 14: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
log 22 x − 5log 2 x + 4  0


A. S = (− ∞; 2] ∪ [16; + ∞) .
C.S= (0; 2] ∪ [16; + ∞) .

B. S= [2; 16] .
D. S = (− ∞; 1] ∪ [4; +

∞) .
Đáp án C
Điều kiện: x  0
Đặt t = log 2 x

t  4 log 2 x  4  x  16
Bất phương trình đã cho trở thành: t 2 − 5t + 4  0  


log
x

1
t  1
x  2
 2

Kết hợp điều kiện ban đầu, ta có tập nghiệm S của bất phương trình là:

S = (0; 2]  [16; +)
1

Câu 15 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − 1) 3
A. D = (−;1)

B. D = (1; +)

D. D = R \ 1

C. D = R

Đáp án B
Hàm số y = x với  là số thực không nguyên xác định khi x  0
Do đó, hàm số trên xác định khi x −1  0  x  1 .
Tập xác định là: D = (1; +)
Câu 16 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
log 32 x − m log 3 x + 2m − 7 = 0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = 81
A. m = −4

B. m = 4

C. m = 81

D. m = 44

Đáp án B
Điều kiện: x  0
Đặt t = log3 x

Phương trình đã cho tương đương với: t 2 − mt + 2m − 7 = 0 ,

(1)


Gọi t1 , t2 là nghiệm của (1), theo Vi-et: t1 + t2 = m  log3 x1 + log3 x2 = m ,

(2)

Mà x1 x2 = 81
Khi đó: (2)  log3 x1 x2 = m  log3 81 = m  m = 4
Câu 17: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho log a x = 3, logb x = 4 với a , b là các số thực
lớn hơn 1. Tính P = log ab x
A. P =

7
12

B. P =

1
12

C. P = 12

D. P =

12
7

Đáp án D
1

log a x = 3  a3 = x  a = x 3
logb x = 4  b = x  b = x
4

 P = log ab x = log

7
x12

x=

1
4

12
7

Câu 18 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào
dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y ?
x
x
A. log a = log a x − log a y
B. log a = log a x + log a y
y
y
C. log a

x
= log a ( x − y)
y

D. log a

x log a x
=
y log a y

Chọn đáp án A
x
log a   = log a x − log a y
 y
Câu 19 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 2 (1 − x) = 2
A. x = −4
B. x = −3
C. x = 3
D. x = 5
Chọn đáp án B
log2 (1 − x ) = 2  1 − x = 4  x = −3
1

Câu 20.

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Rút gọn biểu thức P = x 3 . 6 x với x  0 .
1

A. P = x 8
Chọn đáp án C

Câu 21.

C. P = x

2

D. P = x 9

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tính đạo hàm của hàm số y = log2 ( 2 x + 1) .

1
( 2 x + 1) ln 2
Chọn đáp án B
A. y =

B. P = x 2

B. y =

2
( 2 x + 1) ln 2

C. y =

2
2x +1

D. y =

1

2x +1


(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho log a b = 2 và log a c = 3 . Tính

Câu 22.

P = log a (b c ) .
A. P = 31
B. P = 13
Chọn đáp án B
log a (b 2 c3 ) = 2 log a b + 3log a c = 2.2 + 3.3 = 13
2 3

D. P = 108

C. P = 30

Câu 23.
(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình
log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1
2



A. S = 2 + 5





B. S = 2 − 5; 2 + 5



 3 + 13 
D. S = 

 2 

C. S = 3
Chọn đáp á n A
2
log 2 ( x − 1) − log ( x + 1) = 1

 log 2

( x − 1)
x +1

2

=1

 x = 2 − 5
 x2 − 4 x −1 = 0  
 x = 2 + 5(tm)
Câu 24 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình 4 x − 2 x +1 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m  (−;1)

B. m  (0; +)
C. m  (0;1]
D. m  (0;1)
Chọn đáp án D
2
Đặt 2 x = t .ta có t 2 − 2t + m = 0  ( t − 1) = 1 − m (*)
Để pt đã choc so 2 nghiệm thực phân biệt thì pt
 0  1− m  1

(*) có 2 nghiệm dương phân biệt

 0  m 1
Câu 25 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn
1 + log12 x + log12 y
x 2 + 9 y 2 = 6 xy . Tính M =
2log12 ( x + 3 y )
1
1
1
A. M =
B. M = 1
C. M =
D. M =
3
4
2
Đáp án B
4
x = 4  y = (tmx, y  1)
3

4
1 + log12 4 + log12
3 =1
M =
4

log12  4 + 3. 
3

Câu 26
(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Xét các số thực dương a , b thỏa mãn
1 − ab
log 2
= 2ab + a + b − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P = a + 2b .
a+b


2 10 − 3
2
2 10 − 1
=
2

3 10 − 7
2
2 10 − 5
=
2

A. Pmin =

B. Pmin =

C. Pmin

D. Pmin

Đáp án A
log 2 2(1 − ab) + 2(1 − ab) = log 2 (a + b) + a + b
 1 − ab = a + b  a =
P=

1− b
b +1

1− b
+ 2b
b +1

Khảo sát hàm số  Pmin =

Câu 27

2 10 − 3
2

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 25 ( x + 1) =

A. x = −6

B. x = 6

C. x = 4

D. x =

23
2

Đáp án C
1
 x +1 = 5  x = 4
2
(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho a là số thực dương khác 2. Tính

log 25 ( x + 1) =

Câu 28:

 a2 
I = log a  
2  4 
A. I =

1
2

B. I = 2

C. I = −

1
2

D. I = −2

Đáp án B
 a2 
a
I = log a   = log a   = 2
2  4 
2 2
Câu 29: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình
log3 (2 x + 1) − log3 ( x − 1) = 1
2

A. S = 4

B. S = 3

Đáp án A
Điều kiện: x  1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2x +1
log 3
= 1  2 x + 1 = 3x − 3  x = 4
x −1
Vậy S = 4

C. S = −2

D. S = 1

1
2


Câu 30: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho hai hàm số y = a x , y = b x với a , b là hai số
thực dương
khác 1, lần lượt có đồ thị là (C1 ) và (C2 ) như hình bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
A. 0  a  b  1
C. 0  a  1  b

B. 0  b  1  a
D. 0  b  a  1

Đáp án B
- Đồ thị hàm số (C1 ) đồng biến nên y ' = a x ln a  0  a  1
- Đồ thị hàm số (C2 ) nghịch biến nên y ' = b x ln b  0  0  b  1
Do đó 0  b  1  a
Câu 31 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho log3 a = 2 và log 2 b =
I = 2 log 3  log 3 (3a)  + log 1 b 2

1
. Tính
2

4

A. I =

5
4

C. I = 0

B. I = 4

D. I =

3
2

Đáp án D
log3 a = 2  a = 9

log 2 b =

1
b= 2
2

 I = 2 log 3  log 3 (3a)  + log 1 b 2 = 2 log 3 ( log 3 27 ) + log 1 2 =
4

4

3
2

5

Câu 32 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Rút gọn biểu thức Q = b 3 : 3 b với b  0
A. Q = b2

5

B. Q = b 9

−4

C. Q = b 3

4

D. Q = b 3

Đáp án D
5
3

4
3

Q=b : b =b
Câu 33 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm
số y = log( x 2 − 2 x − m + 1) có tập xác định
là R :
A. m  0
B. m  0

C. m  2
D. m  2
Đáp án B
Để hàm số có tập xác định là R thì:
x 2 − 2 x − m + 1  0  ( x − 1)2 − m  0  ( x − 1) 2  m
3

Vì ( x − 1)2  0, x nên bất đẳng thức trên luôn đúng khi m  0
Câu 34 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất
phương trình log 22 x − 2 log 2 x + 3m − 2  0 có nghiệm thực.


A. m  1

B. m 

2
3

C. m  0

D. m  1

Đáp án A
Điều kiện: x  0
Bất phương trình đã cho có nghiệm
 (log 2 x − 1) 2 + 3(m − 1)  0  (log 2 x − 1) 2  3(1 − m)  1 − m  0  m  1
Câu 35 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Với mọi số thực dương a và b thoả mãn
a 2 + b 2 = 8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?
1

A. log(a + b) = ( log a + log b )
B. log(a + b) = 1 + log a + log b
2
C. log(a + b) =

1
(1 + log a + log b )
2

D. log(a + b) =

1
+ log a + log b
2

Đáp án C
Theo giả thiết: a, b dương và a 2 + b2 = 8ab  (a + b)2 = 10ab
 log(a + b) 2 = log(10ab)  2 log(a + b) = 1 + log a + log b  log(a + b) =

1
(1 + log a + log b )
2

9t
với là m tham số
9t + m2
thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f ( x) + f ( y ) = 1 với mọi số thực x, y

Câu 36: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Xét hàm số f (t ) =

thỏa mãn e x + y  e( x + y ) . Tìm số phần tử của S.
A. 0
Đáp án D

B. 1

C. Vô số

D. 2

Đặt t = x + y , theo giả thiết: et  et  et  0  t  0
Ta có: et  et  et −1  t  et −1 − t  0
Xét hàm số: g (t ) = et −1 − t trên (0; +)
Ta có: g '(t ) = et −1 − 1, g '(t ) = 0  t = 1

t
g '(t )

0
-

1
0

g (t )
0
Từ bảng biến thiên, ta có: et −1 − t  0, t  0

+
+

Do đó: et −1 − t  0  et −1 − t = 0  t = 1
 x + y =1
Khi đó:

f ( x) + f ( y ) = 1 

9x
9y
9 x (9 y + m 2 ) + 9 y (9 x + m 2 )
+
=
1

=1
9x + m2 9 y + m2
(9 x + m 2 )(9 y + m 2 )

 9 x + y + m 2 (9 x + 9 y ) + 9 x + y = 9 x + y + m 2 (9 x + 9 y ) + m 4  9 x + y = m 4  m 4 = 9
m= 3
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 37 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm nghiệm của phương trình log 2 ( x − 5) = 4
A. x=21

B. x=11

C. x=13

D. x=3

Đáp án A
ĐK: x>5
pt  x-5=16  x = 21

Câu 38 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
log 2 a =

A.

C.

1
log 2 a

B.

log 2 a = log a 2
log 2 a =

log 2 a = − log a 2

D.

1
log a 2

Đáp án D

Câu 39. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình 3x = m có nghiệm thực
A. m  1

B. m  0

C. m  0

D. m>0

Đáp án D
Ta có 3x  0 suy để pt có nghiệm thực thì m>0
Câu 40.

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Với mọi a, b, x là các số thực dương thỏa mãn

log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. x=5a+3b

B. x = a 5b3

C. x=3a+5b

D.x = a 5 + b 3


Đáp án B
Pt  log 2 x = log 2 a 5b3  x = a 5b3
Câu 41 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017).Tìm tập xác định D của hàm số y=

log 3 ( x 2 − 4 x + 3)
A. D= ( −; 2 − 2) (2 + 2; +)
C. D= ( −;1) (3; +)

B. D= (1;3)
D. D= (2 − 2;1)  (3; 2 + 2)

Đáp án C
TXĐ x 2 − 4 x + 3  0  x  3 hoặc x<1 suy ra D= (- ;1)  (3; +)

Câu 42 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Với các số thực dương x,y tùy ý , đặt
log3 x = a,log3 y = b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
3

 x a
A. log 27 
 = + b
 y  2
3

 x
a

C. log 27 
 = 9  + b 
2

 y 

3

 x a
B. log 27 
 = − b
 y  2
3

 x
a

D. log 27 
 = 9  − b 
2

 y 

. Đáp án B
3

 x 1

log 27 
 = log3 x − log3 y = − 
2
 y  2
Câu 43. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
9 x − 2.3x +1 + m = 0 có 2 nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1
A. m=3

B.m=6

C. m=1

Đáp án A
pt  (3x )2 − 6.3x + m = 0
pt có 2 nghiệm x1 ; x2 khi ' = 9 − m  0  m  9
Pt cos2 nghiệm thỏa mãn 3x1.3x2 = m  3x1 + x2 = m  m = 3

D. m=-3


Câu 44 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Xét các số nguyên dương a , b sao cho
phương trình a ln 2 x + b ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

và phương trình

5log 2 x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 . Tìm giá
trị nhỏ nhất Smin của S = 2a + 3b .
A. Smin = 25

B. Smin = 17

C. Smin = 30

50. Đáp án A
Để pt

(1) và

(2) có nghiệm thì  = b2 − 20a  0  b  20a

−b
−b
 x1 x2 = e a
Theo Viet ta có ln x1 + ln x2 = ln x1 x2 =
a

log x3 + log x4 = log x3 x4 =

Theo giả thiết ta có x1 x2  x3 x4  a 

Suy ra S>2

100
5
 24,11325
+3
ln10
ln10

Suy ra Smin = 25

−b
−b
 x3 x4 = 10 5
5

100
5
suy ra b>

ln10
ln10

D. Smin = 33