(gv văn phú quốc) 60 câu tích phân nguyên hàm image marked image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (830.12 KB, 26 trang )
2
Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
1
( 2 x − 1 − sin x ) dx = a − b − 1.
Mệnh đề nào
0
trong các mệnh đề sau là sai?
A. a + 2b = 8.
B. a + b = 5.
C. 2a − 3b = 2.
D. a − b = 2.
Đáp án B
2
( 2 x − 1 − sin x ) dx = x − x + cos x|02 =
2
Ta có
0
1
− − 1.
4 2
Suy ra a = 4, b = 2.
Vajay a + b = 6 (B sai).
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa f (1) = 30; f ' ( x ) liên tục và
4
f ' ( x ) dx = 70 . Tính giá trị của f ( 4)
1
A. 100.
B. 50.
C. 40.
D. 21.
Đáp án A
4
Ta có 70 = f ' ( x ) dx = f ( x )| = f ( 4 ) − f (1) = f ( 4 ) − 30
4
1
1
Vậy f ( 4) = 100.
Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính nguyên hàm
ln ( ln x )
x dx.
A. ln x.ln ( ln x ) + C.
B. ln x.ln ( ln x ) + ln x + C.
C. ln x.ln ( ln x ) − ln x + C.
D. ln ( ln x ) + ln x + C.
Đáp án C
Đặt t = ln x dt =
Khi đó
dx
.
x
ln ( ln x )
dx = ln tdt
x
dt
u = ln t
du =
Đặt
t . Khi đó ln tdt = t ln t − t + C .
dv = dt v = t
ln ( ln x )
dx = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C .
x
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a 0; . Hãy tính
2
e
xdx
+
1 + x2
C. I = e
B. I = −1
A. I = 1
tan a
cot a
dx
x (1 + x )
2
e
D. I = −e
Đáp án B
Xét hàm số T ( x ) =
tan x
e
tdt
+
1+ t2
cot x
dt
t (1 + t )
2
e
xác định với mọi x 0;
2
Ta sẽ tính T ( a )
Gọi F ( t ) , G ( t ) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số
y=
t
1
và y =
2
1+ t
t (1 + t 2 )
Khi đó T ( x ) = F ( tan x ) − F ( e ) + G ( cot x ) − G ( e )
Suy ra T ' ( x ) = F ' ( tan x ) .
=
1
1
− G ' ( cot x ) . 2
2
cos x
sin x
tan x
1
1
−
= tan x −
=0
2
2
2
2
cot x
(1 + tan x ) cos x cot x (1 + cot x ) sin x
Do đó T ( x ) là hàm hằng trên khoảng x 0; . Khi a = thì
4
2
xdx
dx
dx
T =
+
= = −1
2
2
4 e 1 + x e x (1 + x ) e x
1
1
1
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho biết với mỗi u 0 phương trình t 3 + ut − 8 = 0 có
nghiệm dương duy nhất f ( u ) . Hãy tính
7
f ( u ) du
2
0
A.
31
2
B.
33
2
C.
35
2
D.
37
2
Đáp án A
Xét hàm số h ( t ) = t 3 + ut − 8
Ta có h ' ( t ) = 3t 2 + u 0 với mọi t 0 . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng ( 0; + )
Mặt khác h ( 0) = −8, h ( 2) = 2u 0 nên tồn tại duy nhất c ( 0;2) suy cho h ( c ) = 0
Với mỗi 0 x 2 ta có u ( x ) =
8 − x3
0 . Suy ra x3 + u ( x ) .x − 8 = 0 . Do đó x là nghiệm
x
dương của phương trình t 3 + u ( x ) .t − 8 = 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra
f (u ( x )) = x
Ta có u ' ( x ) = −
8
− 2x
x2
Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có
7
1
2
0
0
f 2 ( u ) du = − f 2 ( u ( x ) ) dx = ( 8 + 2 x 3 ) dx =
0
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
31
2
6
6
0
0
6
ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) 0 − f ( x ) dx . Tìm hàm số
f ( x) .
C. f ( x ) =
B. f ( x ) = x 2 .
A. f ( x ) = x.
x
.
x+3
D. f ( x ) =
1
.
x+3
Đáp án C
1
u = ln ( x + 3) du =
dx
Đặt
x+3
dv = dx
v = x
6
6
Khi đó ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3)| −
6
0
0
0
Vậy f ( x ) =
Câu
7:
x
( 3t
2
x
dx
x+3
x
.
x+3
(Gv
Văn
Phú
Quốc
2018)
Tìm
tập
nghiệm
của
phương
− 2t + 3) dt = x 3 + 2 .
0
A. S = 1; 2
B. S = 1; 2;3
C. S =
Đáp án A
x
( 3t
2
− 2t + 3) dt = x 3 + 2 t 3 − t 2 + 3t| = x 3 + 2
x
0
0
x = 1
x3 − x 2 + 3x = x3 + 2 x 2 − 3x + 2 = 0
.
x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 1; 2.
D. S =
trình
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là
thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
- Ban đầu bể không có nước.
- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 .
- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 .
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
B. 2200 m3 .
A. 8400 m3 .
C. 600 m3 .
D. 4200 m3 .
Đáp án A
5
Ta có
( 3at
2
0
1
25
5
+ bt ) dt = at 3 + bt 2 = 125a + b = 150.
2
2
0
Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100.
Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2.
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
20
h ' ( t ) dt = ( t
3
+ t 2 )| = 8400 ( m3 )
20
0
0
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 . Hỏi mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
xf ( sin x ) dx = f ( sin x ) dx
0
0
C.
B.
0
0
0
xf ( sin x ) dx = 2 f ( sin x ) dx
2
xf ( sin x ) dx = f ( sin x ) dx
D.
xf ( sin x ) dx =
0
0
2 0
f ( sin x ) dx
Đáp án D
Đặt I = xf ( sin x ) dx
0
Đổi biến x = − t ta được
0
0
0
I = − ( − t ) f ( sin ( − t ) ) dt = ( − t ) f ( sin t ) dt = f ( sin t ) dt − I
Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D)
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi
mệnh đề nào sau đây đúng?
a
A.
0
a
C.
0
a x
f ( x )( x − a ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
B.
0
x
f ( x )( x − 2a ) dx = f ( t ) dt dx
00
a x
f ( x )( a − x ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
a
D.
0
x
f ( x )( 2a − x ) dx = f ( t ) dt dx
00
a
Đáp án B
x
Đặt F ( x ) = f ( t ) dt . Ta cần chứng minh
0
a
a
0
0
f ( x )( a − x ) dx = F ( x ) dx
Ta có F ' ( x ) = f ( x ) . Khi đó
a
a
a
a
0
0
0
f ( x )( a − x ) dx = a f ( x ) dx − xf ( x ) dx = aF ( a ) − xF ' ( x ) dx
0
Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có
a
a
0
0
xF ' ( x ) dx = aF ( a ) − F ( x ) dx
Thay vào ta thu được kết quả ở B
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược
xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức
2
20 − 3vdv (giây). Chọn gốc thời gian
là lúc vật bắt đầu chuyển động. Hãy tìm phương trình vận tốc.
A.
20 20 − 32t
− e
3
3
B.
C.
20 20 − 32t
20 20 − 3t
− e hoặc + e 2
3
3
3
3
D. 4 + 4e
20 20 − 32t
+ e
3
3
Đáp án A
Ta có t =
2
2
dx = − ln 20 − 3v + C với C là hằng số
20 − 3v
3
Vào thời điểm t = 0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra
2
2
0 = − ln 20 + C C = ln 20
3
3
2
2
Khi đó t = − ln 20 − 3v + ln 20
3
3
3
ln 20 − 3v = ln 20 − t
2
20 − 3v = 20.e
3
− t
2
−
3t
2
3
− t
v =
2
20 − 3v = 20.e
3
− t
20 − 3v = −20.e 2
v =
20 20 − 32 t
− e
3
3
20 20 − 32 t
+ e
3
3
Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v = 0 tại t = 0 cho nên ta chỉ nhận phương trình
thứ nhất là v =
20 20 − 32 t
− e
3
3
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x 2 và y = x . Tính giá trị của biểu thức 3S ( 3S − 2 )
B. −1
A. 1
2018
.
D. 32018
C. 0
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
x 2 = x x = 0 hoặc x = 1
1
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là S = x 2 − x dx =
0
Do đó 3S ( 3S − 2 )
2018
(
)
x − x 2 dx =
0
=1
Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình phẳng
(C ) : y = x3 − 3x + 2 và ( P ) : y =
(H )
1
3
(H )
giới hạn bởi đường cong
2 x + 2 . Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho
quay quanh trục Ox có dạng V =
a
b
+ 2018c + 2019d
Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. abcd = 0
B. 9a − b − c − d = 1
C. a + b + 2c + 3d = 39
D.
b+d
=8
a + c +1
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( P ) là
x3 − 3x + 2 = 2 x + 2 2 x = x3 − 3x
Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x = 0; x = 2
2
Thể tích vật thể cần tìm là V =
0
Suy ra a = 4; b = 35; c = 0; d = 0
((
) −(x
2
2x
3
)
− 3 x ) dx =
2
4
35
Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì
b+d
35 + 0
=
=7
a + c +1 4 + 0 +1
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân I =
tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá
x
e
3
4
trị của k
A. −1
B. 1
D. −
C. 0
1
2
Đáp án B
Ta có I =
2
−x
( tan x − tan x )e dx =
3
4
Trong đó J =
e
−x
tan xdx; K =
2
3
4
−x
2
e tan xdx −
3
4
e
−x
e
−x
tan xdx = J − K
3
4
tan xdx
3
4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần
2
u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt
−x
−x
dv = e dx
v = −e
−x
Khi đó K = −e tan x
=e
−
+
e
−x
3
4
dx + J = −e
−
+
e (1 + tan x ) dx
−x
2
3
4
3
4
−e
−x
3
4
3
4
+ J = −e − + J
Vậy I = e − = e − k k = 1
Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
x3 x 2
+ + x+C
3 2
A. F ( x ) =
x3 x 2
− + x+C
3 2
B. F ( x ) =
C. F ( x ) =
x3 x 2
+ − x+C
3 2
D. F ( x ) = −
x3 x 2
+ − x+C
3 2
Đáp án A
Ta có
f ( x ) dx =
(x
2
+ 1) − x 2
2
x2 + x + 1
dx = ( x 2 − x + 1) dx =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x4 + x2 + 1
x2 + x + 1
Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =
2
f ( x ) dx
−
A. I =
1
3
2
3
B. I =
2
D. I = 2
C. I =
Đáp án B
2
f ( − x ) dx
Xét tích phân J =
−
2
Đặt x = −t dx = −dt
Đổi cận x = −
2
t =
2
;x =
2
t =−
2
Khi đó
I=
2
2
−
f ( −t ) dt = J 3I + 2 I =
−
2
Vậy I =
f ( − x ) + 2 f ( x ) dx =
2
cos xdx = 2
−
2
2
2
3
Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=
(
A.
)
x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành
8e3 − 9e2 + 13
9
B.
8e3 − 9e2 + 13
3
C.
8e3 + 9e2 + 13
3
Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f ( x ) 0, x 1; e 2 nên
e2
e2
S = f ( x ) dx =
1
(
)
x + 1 ln xdx
1
1
u = ln x
du = x dx
Đặt
dv = x + 1 dx v = 2 x x + x
3
(
)
2 x
+ 1 x ln x
Khi đó S =
3
e2
1
2 x
8e3 + 8e 2 + 13
−
+ 1 dx =
3
9
1
e2
D.
8e3 + 9e2 + 13
9
Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh
trục Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1
A. V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
B. V = + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
1
C. V = − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
D. V = − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0 y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là
( 2;1) , (1;0)
3
2
2
Khi đó V = log 2 xdx + ( 3 − x ) dx = V1 + V2
2
1
2
2
1
1
Trong đó V1 = log 2 xdx = log 2 e ln xdx = log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3
V2 = ( 3 − x ) dx =
2
2
3
1
Vậy V = + log 2 e. ( 2 ln 2 − 1)
3
Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) =
1 sin ( t )
+
2
(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến
kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m
B. 0,36 m
C. 0,35 m
D. 0,34 m
Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1 sin ( t )
1
1
S= +
dt = t + 2 cos ( t )
2
2
0
1,5
1,5
=
0
3
1
+ 2 0,34 (m)
4
e x dx
ae + e3
=
ln
với a, b là các số nguyên
2 + ex
ae + b
−1
2
Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử
b
b
+ 2017 + cos
− sin 2018
dương. Tính giá trị của biểu thức P = sin
a
a
B. −1
A. 1
C.
1
2
D. −
1
2
Đáp án B
d (2 + e
e x dx
−1 2 + e x = −1 2 + e x
2
Ta có
2
ln
x
) = ln
( 2 + ex )
2
= ln ( 2 + e 2 ) − ln ( 2 + e −1 )
−1
2 + ee
2e + e3
ae + e3
=
ln
=
ln
2 + e−1
2e + 1
ae + b
Suy ra a = 2; b = 1 hay P = sin + 2017 + cos + 2018 = −1
2
2
Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho
1
mx + m − 8
2
dx =
2
3x + 1 + C . Tính giá trị của
3
e
tích phân I =
x ln 2 xdx
m−2
A. −
1
( e + 1)
2
B.
1
( e + 1)
2
C.
1
( e − 1)
4
D. −
1
( e − 1)
4
Đáp án C
Do
1
mx + m − 8
2
dx =
2
3x + 1 + C nên
3
'
1
2
=
3x + 1 + C =
m=3
3x + 1
mx + m2 − 8 3
1
e
Khi đó I = x ln 2 xdx =
1
1 2
( e − 1)
4
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
x2
dt
ln t
với x 1 . Tìm tập giá trị T của
x
hàm số
B. T = 1; + )
A. T = ( 0; + )
C. T = ( −;ln 2 )
D. T = ( ln 2; + )
Đáp án D
Ta có g ' ( x ) = 2 x
1
1
x −1
−
=
0, x 1 g ( x ) đồng biến trên (1; + )
2
ln x ln x
ln
(
Suy ra tập giá trị của hàm số g ( x ) là T = g (1+ ) ; g ( + )
Do
)
1
1
→ + khi x → +
là hàm số nghịch biến nên g ( x ) ( x 2 − x )
ln t
ln x 2
Do đó g ( + ) = +
Để tính g (1
+
2ln x
) đặt t = e , ta được g ( x ) =
v
ln x
Khi đó g ( x ) e
2ln x
2ln x
=
ln x
ev
dv
v
dv
= x 2 ln 2
v
Chứng minh tương tự, ta thu được g ( x ) x ln 2
Theo định lí kẹp, ta suy ra g (1+ ) = ln 2
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = ( ln 2; + )
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ
sáng được mô hình hóa bởi hàm T ( t ) = 50 + 14sin
t
2
. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng
thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)
B. 45, 45 F
A. 54,54 F
C. 45,54 F
D. 54, 45 F
Đáp án C
Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho
nên được tính bằng: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
t
14
50 + 14sin dt = 50 − 45,54 F
20 − 8 8
2
20
Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;2a . Hỏi mệnh
đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
2a
2a
0
0
f ( x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
2a
0
0
f ( x ) dx = − f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
a
0
0
f ( x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
Đáp án C
Đặt t = 2a − x . Khi đó
2a
f ( x ) dx = f ( x ) dx +
a
2a
0
0
0
a
a
a
0
0
0
a
0
0
a
f ( x ) dx = f ( x ) dx − ( 2a − t ) dt
= f ( x ) dx + f ( 2a − x ) dx = f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
2a
D.
a
f ( x ) dx = − f ( x ) + f ( 2a − x ) dx
0
0
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình
phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , trục tung và đường thẳng y = 2 quay quanh trục Oy.
A. V =
31
5
B. V =
32
5
C. V =
33
5
D. V =
34
5
Đáp án B
2
2
0
0
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = x 2 dy = y 4 dy =
32
5
Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol ( P ) : y = x2 . Viết
phương trình đường thẳng d đi qua M (1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và
d đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 2 x − y + 1 = 0
B. 2 x + y + 1 = 0
C. x − 2 y + 1 = 0
D. x + 2 y + 1 = 0
Đáp án A
Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A ( a; a 2 ) , B ( b; b 2 ) với b a
Phương trình đường thẳng d : y = ( a + b ) x − ab
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
b
b
b
a
a
a
S = ( a + b ) x − ab − x 2 dx = ( x − a )( x − b ) dx = − ( x − a )( x − b ) dx
a+b 2
1
3
1
= − x3 −
x + abx = ( b − a )
2
3
a 6
b
Do M (1;3) d nên a + b = ab + 3
Suy ra S 2 =
3
1
1
1
2 3
2
2
b − a) =
a + b ) − 4ab =
(
(
( ab + 3) − 4ab
36
36
36
3
1
83 128
8 2
2
=
S
( ab + 1) + 8 =
36
36
9
3
min S =
8 2
ab + 1 = 0 ab = −1 a + b = 2
3
Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y = 2 x + 1 2 x − y + 1 = 0
Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân
3
4
tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá trị
ex
của k
A. −1
B. 1
D. −
C. 0
1
2
Đáp án B
Ta có I =
( tan
2
x − tan x ) e dx =
−x
3
4
tan
e
−x
tan xdx −
2
3
4
Trong đó J =
2
e
−x
x.e dx; K =
3
4
−x
e
−x
tan xdx = J − K
3
4
tan xdx
3
4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần
2
u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt
−x
−x
dv = e dx
v = −e
−x
Khi đó K = −e tan x
=e
−
+
e
−x
3
4
dx + J = e
−
3
4
+
e (1 + tan x ) dx
−x
2
3
4
−e
−x
3
4
3
4
+ J = −e − + J
Vậy I = e − = e − k k = 1
Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x3 x 2
C. F ( x ) = + − x + C
3 2
B. F ( x ) =
x3 x 2
+ + x+C
3 2
x3 x 2
D. F ( x ) = − + − x + C
3 2
Đáp án A
Ta có
f ( x ) dx =
(x
2
+ 1) − x 2
2
x2 + x + 1
dx = ( x 2 + x + 1)dx =
x3 x 2
− + x+C
3 2
x4 + x2 + 1
x2 + x + 1
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =
2
f ( x ) dx
−
A. I =
1
3
B. I =
2
3
2
D. I = 2
C. I =
Đáp án B
2
f ( − x ) dx
Xét tích phân J =
−
2
Đặt x = −t dx = −dt
Đổi cận x = −
2
t =
2
;x =
2
t =−
2
Khi đó
I=
2
2
−
f ( −t ) dt = J 3I = J + 2 I =
−
2
f ( − x ) + 2 f ( x ) dx = J =
2
cos xdx = 2
−
2
2
2
3
Vậy I =
Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=
(
)
x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành
8e3 − 9e2 + 13
A.
9
8e3 − 9e2 + 13
B.
3
8e3 + 9e2 + 13
C.
3
Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f ( x ) 0, x 1; e 2
e2
e2
1
1
nên S = f ( x ) dx =
(
)
x + 1 ln xdx
1
u = ln x
du = x dx
Đặt
dv = x + 1 dx v = 2 x x + x
3
(
)
2 x
+ 1 x ln x
Khi đó S =
3
e2
1
2 x
8e3 + 9e 2 + 13
−
+ 1 dx =
3
9
1
e2
8e3 + 9e2 + 13
D.
9
Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục
Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1
A. V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
B. V = + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
1
C. V = − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
1
D. V = − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)
3
: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0 y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với các đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là
( 2;1) , (1;0)
3
2
2
Khi đó V = log 2 xdx + ( 3 − x ) dx = V1 + V2
2
1
2
2
1
1
Trong đó V1 = log 2 xdx = log 2 e ln xdx = log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3
V2 = ( 3 − x ) dx =
2
2
3
1
Vậy V = + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)
3
Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một chuyển động là v ( t ) =
1 sin ( t )
+
2
(m/s).Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến
kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m
B. 0,36 m
C. 0,35 m
D. 0,34 m
Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là
1 sin ( t )
1
1
0 2 + dt = 2 t − 2 cos ( t )
1,5
S=
1,5
=
0
3
1
+ 2 0,34 (m)
4
Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số
f ( x) =
sin x
trên khoảng ( 0; + ) . Tính tích phân
x
A. F ( 3) − F (1) .
B. F ( 6 ) − F ( 2 ) .
3
sin 2x
dx .
x
1
C. F ( 4) − F ( 2) .
D. F ( 6 ) − F ( 4 ) .
Đáp án B
Đặt t = 2x dt = 2dx .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 1 t = 2; x = 3 t = 6 .
F ( x) =
sin x
sin u
dx F ( u ) =
du
x
u
3
3
3
6
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
sin u
1 x dx = 1 2 2 x dx 1 x dx = 2 u du = F ( 6 ) − F ( 2 ) .
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh
dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một
chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng
nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại
thời điểm đuổi kịp A.
A. 48 m/s.
B. 36 m/s.
C. 24 m/s.
D. 12 m/s.
Đáp án C
Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là
vA ( t ) = at . Tại thời điểm t = 8 ta có vA ( 8 ) = a.8 = 6 a =
3
m / s2 ) .
(
4
Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là
8
3
3
S1 = t dt = t 2 = 24 m .
4
8 0
0
8
Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây.
Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2 = 6.12 = 72m .
Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là
S = S1 + S2 = 24 + 72 = 96m .
Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là vB ( t ) = bt .
Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m.
8
8
bt 2
S
=
btdt
=
= 32b = 96 b = 3 m / s 2 .
Ta có
0
2 0
Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là vB (8) = 3.8 = 24m/s .
Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
x2
x
Tính g ( x ) .
t sin tdt xác định với mọi x 0 .
A. 2 x 2 sin ( x 2 ) −
C. x 2 sin ( x 2 ) −
sin
( x) .
B. 2 x 2 sin ( x 2 ) −
24 x
sin
( x) .
D. x 2 sin ( x 2 ) −
24 x
sin
( x) .
4
sin
x
( x) .
4
x
Đáp án A
( x ).
sin ( x )
.
−
Đặt f ( t ) = t sin t . Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( x 2 ) − F
( )
Khi đó g ( x ) = 2 xF x 2 −
F( x)
2 x
= 2 xf ( x 2 ) −
f
( x ) = 2x sin ( x )
2
2
2 x
24 x
a
Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của a để đẳng thức
cos ( x + a ) dx = sin a
2
0
xảy ra.
C. a = 3 .
B. a = .
A. a = .
D. a = 2 .
Đáp án D
a
a
0
0
2
2
2
2
2
2
cos ( x + a ) dx = cos ( x + a ) d ( x + a ) = sin ( x + a ) = sin ( a + a ) − sin ( a )
Với a = 2 ta có sin
4
0
(
)
2 + 2 = sin
(
)
2 .
Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện
e
n
ln x dx e − 2 .
1
B. S = 2 .
A. S = 1 .
C. S = 1; 2 .
D. S = .
Đáp án C
e
e
e
n
e
I = ln dx = ( ln n − ln x ) dx = x ln n 1 − ln xdx
x
1
1
1
= ( e − 1) ln n − ( x ln x − x ) 1 = ( e − 1) ln n − 1
e
Với n = 1 ta có I = −1 e − 2 .
Với n = 2 ta có I = e ln 2 − ( ln 2 + 1) = ( e −1) ln 2 −1 e −1 −1 = e − 2
Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân hai nghiệm của phương trình
1 + ln t
1
dt = .
t
2
1
x
e
A. 1.
B.
1
.
e2
C. 2e .
D.
4
.
e2
Đáp án B
x
(1 + ln t )
1 + ln t
1
1
dt = (1 + ln t ) d (1 + ln t ) =
Ta có
t
2
2
2
1
1
x
e
e
(1 + ln x )
2
2
2 x
=
1
e
1
.
2
x = 1
ln x = 0
1
2
= (1 + ln x ) = 1
.
x = 12
ln
x
=
−
2
2
e
Do đó tích hai nghiệm của phương trình là
1
.
e2
Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ đẳng thức
1
+ 4 cos3 u − 2sin 2 v + C = f ( t ) dt có tìm
5
t
được hàm số y = f ( x ) hay không ?
A. Không tìm được hàm số y = f ( x ) .
B. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −
x6
.
5
C. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −
5
.
x6
D. Tìm được hàm số y = f ( x ) khác với kết quả ở (B), (C).
Đáp án C
Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) −
Do đó f ( x ) = −
5
= f (t ) .
t6
5
.
x6
Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a; b và thỏa
mãn điều kiện f ( x ) = f ( a + b − x ) , x a; b .
Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
b
a
a
xf ( x ) dx = − ( a + b ) f ( x ) dx .
a+b
f ( x ) dx .
C. xf ( x ) dx = −
2 a
a
b
b
B.
b
b
a
a
xf ( x ) dx = ( a + b ) f ( x ) dx .
a+b
f ( x ) dx .
D. xf ( x ) dx =
2 a
a
b
Đáp án D
Đặt t = a + b − x dx = −dt
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = a t = b; x = b t = a .
b
Khi
đó
:
(Gv
Văn
Phú
b
b
a
b
a
a
b
a
Quốc
2018)
xf ( x ) dx = xf ( a + b − x ) dx = − ( a + b − t ) f ( t ) dt = ( a + b − t ) f (t ) dt
b
b
b
b
a
a
a
a
= ( a + b ) f ( t ) dt − tf ( t ) dt = ( a + b ) f ( x ) dx − xf ( x ) dx
a+b
f ( x ) dx .
Do đó xf ( x ) dx =
2 a
a
b
b
Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = ( x + 1) , x = sin xy và 0 y 1 .
2
A.
2
1
− .
3
B.
2
1
+ .
3
C.
3
1
.
2
+
D.
3
−
1
.
2
Đáp án B
Ta có x = sin y −1;1 x + 1 0 .
Mà 0 y 1 nên y = ( x + 1) x = y − 1 .
2
1
(
)
Vậy S = sin y − y + 1 dy =
0
2
1
+ .
3
Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi h ( t ) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm
nước được t giây. Biết rằng h ( t ) =
13
t + 8 và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức
5
nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 1,66 cm.
B. 2,66 cm.
C. 3,66 cm.
D. 4,66 cm.
Đáp án B
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
6
4
12
3
h ( 6 ) = h ( t ) dt = ( t + 8 ) 3 − 2, 66 ( cm )
5 0
20
0
6
a
2
Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I =
0
A. I =
( 2 − 1) a .
2
B. I =
( 2 + 1) a .
2
C. I =
x
dx theo a.
a−x
( − 2 ) a .
4
Đáp án A
Đặt x = a sin 2 t dx = 2a sin t cos tdt .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 0 t = 0; x =
a
t =
2
4
D. I =
( + 2 ) a .
4
4
Khi đó I =
0
4
( − 2 ) a
a sin 2 t
.2
a
.sin
t
.cos
tdt
=
2
a
sin 2 t =
.
2
4
a (1 − sin t )
0
Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số
2 ( x + 1) , x 0
f ( x) =
. Tìm k để
2
k (1 − x ) , x 0
1
f ( x ) dx = 1.
−1
B. k = 2 .
A. k = 1 .
C. k = 3 .
D. k = 4 .: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Đáp án C
1
Ta có
−1
0
1
−1
0
f ( x ) dx = −2 ( x + 1) dx + k (1 − x 2 dx ) = −1 +
2k
=1 k = 3.
3
Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
A. g ( x ) =
9 x2 −1
.
9 x2 + 1
t 2 −1
t 2 + 1 dt . Tính đạo hàm g ( x ) .
2x
3x
B. g ( x ) =
9 x2 −1 4 x2 −1
C. g ( x ) = 2
.
−
9 x + 1 4 x2 + 1
D. g ( x ) =
4 x2 −1
.
4 x2 + 1
3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1
−
2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1
.
Đáp án D
Đặt f ( t ) =
t 2 −1
.
t2 +1
Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có
g ( x ) = F ( t ) 2 x = F ( 3x ) − F ( 2 x ) .
3x
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được
g ( x ) = 3F ( 3 x ) − 2 F ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x ) =
3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1
−
2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1
.
Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
(C1 ) : x + 4 y − y 2 = 0 và (C2 ) : x − 2 y + y 2 = 0 .
A. 11.
B. 10.
C. 9.
D. 8.
Đáp án C
Phương trình tung độ giao điểm giữa ( C1 ) : x = y 2 − 4 y và ( C2 ) : x = 2 y − y 2 là: (Gv Văn Phú
Quốc 2018)
y = 0
.
y2 − 4 y = 2 y − y2
y = 3
3
Vậy S = ( 2 y − y 2 ) − ( y 2 − 4 y ) dy = 9 .
0
Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip
(E) :
A.
x2 y 2
+
= 1 quay quanh trục Ox.
a 2 b2
4
ab 2 .
3
B.
4 2
a b.
3
C.
3
ab 2 .
4
D.
3 2
a b .
4
Đáp án A
Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường
x = a, x = −a, y = 0, y =
b 2
a − x 2 quay quanh trục Ox tạo nên.
a
b2
b2
Vậy V = 2 ( a 2 − x 2 ) dx = 2
a
a
−a
a
2
x3
4
a
x
−
= ab .
3 − 3
e
Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho I = x3 ln xdx =
1
A.
a 1
= .
b 2
3ea + 1
. Mệnh đề nào là đúng?
b
C. ab = 60 .
B. a + b = 20 .
D. a − b = 12 .
Đáp án B
1
du = dx
u
=
ln
x
x
Đặt
.
3
4
dv = x dx v = x
4
e
x4
1
e4 1
3e 4 + 1
Khi đó I = ln x − x 3dx = − x 4 =
.
4
41
4 14 1
16
1
e
e
Suy ra a = 3, b = 16 hay a + b = 20 .
Câu 49: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) biết f ( 0 ) = 1 và f ( x ) =
4 x2 + 4 x + 3
2x +1
. Biết nguyên hàm của f ( x ) có dạng F ( x ) = ax2 + bx + ln 2 x + 1 + c . Tính tỉ lệ a : b : c .
A. a : b : c = 1: 2:1 .
B. a : b : c = 1:1:1.
C. a : b : c = 2: 2:1 .
D. a : b : c = 1: 2: 2 .
Đáp án B
Ta có f ( x ) =
4x2 + 4 x + 3
2
2
dx = 2 x + 1 +
dx = x + x + ln x + 1 + C .
2x +1
2
x
+
1
Do f ( 0 ) = 1 nên c = 1 . Suy ra f ( x ) = x2 + x + ln 2x + 1 + 1 .
Vậy a : b : c = 1:1:1.
Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) (m/s) có gia tốc
v ( t ) =
3
(m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm
t +1
tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. 10 m/s.
B. 11 m/s.
C. 12 m/s.
D. 13 m/s.
Đáp án D
Ta có v ( t ) = v ( t ) dt =
3
dt = 3ln t + 1 + C .
t +1
Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên v ( t ) = 3ln t + 1 + 6 .
Vận tốc của vật sau 10 giây là v ( 6) = 3ln11 + 6 13 ( m / s ) .
Câu
51:
(Gv
( x − 2) sin 3xdx = −
Văn
Phú
Quốc
2018)
( x − m ) cos3x + 1 sin 3x + C . Tính giá trị của
A. 14
n
p
B. −2.
C. 9
Giả
sử
rằng
m+n+ p .
D. 10
Đáp án A
du = dx
u = x − 2
Đặt
cos 3 x .
dv = sin 3 xdx v = −
3
Khi đó
( x − 2) sin 3xdx = −
( x − 2 ) cos 3x + 1 sin 3x + C.
3
9
Suy ra m = 2, n = 3, p = 9
Vậy m + n + p = 14.
Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f là một hàm số. Tìm số thực a 0 sao cho x 0 ,
x
a
f (t )
dt + 6 = 2 x
t2
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Đáp án C
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của
f (t )
t2
Theo định nghĩa tích phân ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x 0, F ( x ) − F ( a ) + 6 = 2 x
Cho x = a ta thu được
a = 3 a = 9.
Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f ( x ) là hàm liên tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi
a
dx
theo a.
1+ f ( x)
0
x 0; a ta có f ( x ) 0 và f ( x ) f ( a − x ) = 1. Hãy tính I =
A. a.
B.
a
.
2
D. a 2 .
C. 2a
Đáp án B
Đặt x = a − t dx = −dt .
a
a
f (t )
dt
dt
=
=
dt
Ta có I = −
1+ f (a − t ) 0 1+ 1
1 + f (t )
a
0
f (t )
0
a
Suy ra 2 I = I + I = dt = a.
0
Vậy I =
a
2
Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hàm số f ( x ) =
e2 x
t ln tdt
ex
A. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2.
B. Đạt cực tiểu tại x = − ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.
C. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = ln 2.
D. Đạt cực tiểu tại x = ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.
Đáp án A
Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; + ) .
Ta có f ( x ) = F ( e 2 x ) − F ( e x )
Suy ra f ' ( x ) = 2e2 x F ' ( e 2 x ) − e x F ( e x ) = 4 xe 4 x − xe 2 x = xe 2 x ( 4e 2 x − 1) .
Vậy f ' ( x ) = 0 x = 0, x = − ln 2.
Kết luận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 Câu 34:
(Gv Văn Phú Quốc 2018) Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y = x, y = 2 − x, x = 0 . Khi quay
S quanh Ox, Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là Vx , V y . Hãy lựa chọn
phương án đúng?
A. Vy =
.
3
C. Vx + Vy =
B. Vx = 12.
20
.
3
D. Vx + Vy =
8
.
3
b
Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử S = a ln − 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
c
x +1
với các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?
x−2
đồ thị hàm số y =
A. a + b + c = 8
C. a − b + c = 1
B. a b
D. a + 2b − 9 = 0
Đáp án A
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( −1;0 ) . Khi đó
0
S=
−1
x +1
dx =
x−2
x +1
−1 x − 2 dx =
0
= ( x + 3ln x − 2 )| = 3ln
0
−1
0
3
1 + x − 2 dx
−1
3
−1
2
Suy ra a = b = 3, c = 2
Vậy a + b + c = 8.
Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ( P ) : y = x2 + 1 và đường thẳng d : mx − y + 2 = 0 .
Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
A.
1
.
2
B.
3
4
C. 1
D. 0
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x 2 − mx − 1 = 0
Ta có = m2 + 4 0, m . Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
x2
Giả sử x1 x2 . Khi đó S = ( mx + 2 − x 2 − 1) dx =
x1
mx 2 x 3
=
− + x
3
2
x2
x1
x2
( mx + 1 − x ) dx
2
x1
m2
1
= ( x2 − x1 )
+ 1 − ( m 2 + 1)
3
2
m2 2 4
= m + 4.
+ .
6 3 3
2
Vậy min S =
4
m=0
3
Câu 57: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm giá trị của m để ( Cm ) : y = x 4 ( m 2 + 2 ) x 2 + m 2 + 1 cắt
trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục
hoành có diện tích bằng
A. m = 2
96
.
15
B. m = 2
C. m = −2
D. m = 3
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) với trục Ox: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
x = 1
x 4 − ( m2 + 2 ) x 2 + m2 + 1 = 0
2
x = m + 1
( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt m 0 (*)
Khi đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( Cm ) với trục hoành
phần phía trên trục hoành là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
20m2 + 16 96
S = x 4 − m2 + 2 x 2 + m2 + 1 dx
=
m = 2 (thỏa (*))
15
15
−1
(
(
)
)
Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = ( x 2 + 1) e x . Tính vi phân của y.
1
2
A. dy = e x ( x + 1) dx .
2
B. dy = e x ( x + 1) dx .
C. dy = e x ( x + 1) dx .
D. dy = e x ( x − 1) dx .
2
2
Đáp án A
'
'
x3
x3
y ' = sin 3 x + + sin 3 x + = x 2 sin 3 x + + x 3 cos 3x +
4 3
4
4
4
3
Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
2
( P ) : y = x − 6 x + 5
khi quay quanh trục Oy.
Ox : y = 0
B. 36 .
A. 24 .
C. 48 .
D. 64 .
Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 .
( P ) có tọa độ đỉnh là B (3; −4) , cắt trục hoành tại A (1;0) , C (5;0) .
AB có phương trình x = y + 4 − 3; BC có phương trình x = y + 4 + 3 .
0
VOy =
−4
(
)
2
0
y + 4 + 3 dy −
−4
(
)
2
y + 4 − 3 dy = 64 .
Câu 59: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y =
A. y ' = x 2 sin 3 x + + x 3 cos 3 x + .
4
4
B. y ' = x 2 sin 3 x + + x 3 cos 3 x + .
4
3
C. y ' = x 3 sin 3 x + + x 2 cos 3 x + .
4
4
x3
sin 3x + . Tính đạo hàm y’.
3
4
