(gv văn phú quốc ) 43 câu oxyz image marked image marked

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho hai
 x = 4t
x − 2 y + 4 1− z 
=
=
đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là
;  y = 1 + 6t ; t 
2
3
2
 z = −1 + 4t


.

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.
A. Song song nhau.

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhau.

D. Chéo nhau.

Đáp án A
Đường thẳng d qua M ( 2; −4;1) và có vectơ chỉ phương là u = ( 2;3; 2 )
Đường thẳng d’ qua M ' ( 0;1; −1) và có vectơ chỉ phương là u ' = ( 4;6; 4 )
Do u và u ' cùng phương đồng thời M  d ' nên hai đường thẳng đó song song nhau
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 :

x +1 y + 2 z −1
x + 2 y −1 z + 2
=
=
=
=
và 2 =
. Đường vuông góc chung của 1 và 2
2
−4
1
1
−1
1

đi qua điểm nào trong các điểm sau?
B. N (1; −1; −4)

A. M ( 3;1; −4)

C. P ( 2;0;1)

D. Q ( 0; −2; −5)

Đáp án A
Gọi A ( 2a −1; a − 2; a + 1)  1 ; B ( −4b − 2; b + 1; −b − 2 )  2
Suy ra AB = ( 2a + 4b + 1; a − b − 3; a + b + 3) .
Vectơ chỉ phương của 1 và 2 lần lượt có phương trình là u1 = ( 2;1;1) , u2 = ( −4;1; −1)

 AB.u1 = 0
.
Ta có 
 AB.u2 = 0
Giải hệ phương trình ta được a = 1; b = −1 .
x = 1+ t

Suy ra phương trình đường vuông góc chung là  y = −1 + t
 z = 2 − 3t


Lần lượt thay tọa độ các điểm M ta thu được kết quả đúng là A.
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz cho A (1; −2;1) ; B ( 0;2;0) . Viết
phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz.
A. ( S ) : ( x − 1) + y 2 + z 2 = 5.
2

B. ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 5.
2


D. ( S ) : ( x − 1) + y 2 + z 2 = 5.

C. ( S ) : x 2 + ( y − 1) + z 5 = 5.

2

2

Đáp án B

Tâm nằm trên trục Oz nên có tọa độ I ( 0;0; z0 )
Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B nên ta có
IA = IB 

(1 − 0) + ( −2 − 0) + (1 − z0 )
2

2

2

=

( 0 − 0) + ( 2 − 0) + ( 0 − z0 )
2

2

2

 1 + ( z02 − 2 z0 + 1) = z02  z0 = 1

Vậy ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 5
2

Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ
 a.x = 3

a = ( 2;3;1) ; b = (1; −2; −1) ; c = ( −2; 4;3) . Tìm tọa độ vectơ x sao cho b.x = 4.


c.x = 2

A. ( 4;5;10 ) .

B. ( 4; −5;10) .

C. ( −4; −5; −10 ) .

D. ( −4;5; −10) .

Đáp án B
Gọi x = ( x1; x2 ; x3 )
a.x = 3
2 x2 + 3x2 + x3 = 3
 x1 = 4



Khi đó b.x = 4   x1 − 2 x2 − x3 = 4
  x2 = −5.

−2 x + 4 x + 3 x = 2
 x = 10
1
2
3
 3

c.x = 2

Vậy x = ( 4; −5;10 ) .
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1;2;3)
và đường thẳng d :

x +1 y z − 3
= =
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A,
2
1
−2

vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
A.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
2
2
3

B.

x −2 y −2 z −3
=
=
.
1
2

3

C.

x +1 y + 2 z + 3
=
=
.
2
2
3

D.

x+2 y+2 z +3
=
=
.
1
2
3

Đáp án A
Gọi B =   Ox . Khi đó B ( b;0;0)
Vì  vuông góc với đường thẳng d nên AB ⊥ ud .
Ta có AB = ( b − 1; −2; −3) , ud = ( 2;1; −2 )


Suy ra AB.ud = 0  b = −1
Do đó AB = ( −2; −2; −3) . Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng  là u = ( 2; 2;3) .

Phương trình đường thẳng  là

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
2
2
3

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0

Oxyz

cho mặt cầu

và các điểm A ( 0;1;1) , B ( −1; −2; −3) , C (1;0; −3) . Tìm điểm

K thuộc mặt cầu ( S ) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
A. D (1;2; −1)

B. D (1;0; −3)

7 4 1
D. D  ; − ; − 
 3 3 3

C. D ( 3;0; −1)

Đáp án D
(S) có tâm I (1;0; −1) , bán kính R = 2

AB = ( −1; −3; −4 ) , AC = (1; −1; −4 )
Gọi ( ) là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n =  AB, AC  = ( 8; −8; 4 ) làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

8 ( x + 1) − 8 ( y + 2) + 4 ( x + 3) = 0  2 x − 2 y + z + 1 = 0

d ( I , ) =

2 − 0 −1 +1
22 + ( −2 ) + 12
2

=

2
 2 = R  ( S )  ( ) = 
3

1
Ta có VABCD = hD .S ABC nên VABCD lớn nhất  hD lớn nhất
3

Gọi D1 D2 là đường kính của (S) vuông góc với mặt phẳng ( )
Vì D là điểm bất kì thuộc (S) nên d ( D,  )  max d ( D1 ,  ) , d ( D2 ,  )
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D1 hoặc D2

D1 D2 qua I nhận vectơ pháp tuyến của ( ) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
 x = 1 + 2t

số D1D2 :  y = −2t , t 
 z = −1 + t


Gọi D (1 + 2d0 ; −2d0 ; −1 + d0 )  D1D2 là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:
(Gv Văn Phú Quốc 2018)

(1 + 2d0 )

2

+ 4d 02 + ( −1 + d 0 ) − 2 (1 + 2d 0 ) + 2 ( −1 + d 0 ) − 2 = 0  d 0 = 
2

2
3


 2
2
9.  −  + 2
9.
+
2
9d + 2
2
3

. Vì 3
Ta có d ( D,  ) = 0
nên D phải ứng với d 0 =
 
3
3
3
3
7 4 1
Vậy D  ; − ; −  là điểm cần tìm
 3 3 3

Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 4;5;6 ) . Viết
phương trình mặt phẳng ( P ) qua H, cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC
A. 4 x − 5 y + 6 z − 77 = 0

B. 4 x + 5 y + 6 z − 77 = 0

C. 4 x + 5 y − 6 z − 77 = 0

D. 4 x + 5 y + 6 z + 77 = 0

Đáp án B
Giả sử ( P )  Ox = A ( a;0;0) , ( P )  Oy = A ( 0; b;0) , ( P )  Oz = A ( 0;0; c )
Khi đó (P) có phương trình

x y z
+ + =1
a b c

Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) H ( 4;5;6 )  ( P ) 

4 5 6
+ + =1
a b c

AH = ( 4 − a;5;6 ) , BH = ( 4;5 − b;6 ) BC = ( 0; −b; c ) , AC = ( −a;0; c )
 AH .BC = 0 −5b + 6c = 0

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên 
 BH . AC = 0 −4b + 6c = 0
77

a=
4 5 6

4
a + b + c =1 

77

Giải hệ phương trình −5b + 6c = 0  b =
5
−4b + 6c = 0

77




c = 6


Vậy phương trình mặt phẳng (P) là

x
y
z
+
+
= 1  4 x + 5 y + 6 z − 77 = 0
77 77 77
4
5
6
Câu 8: (Gv Văn

Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + z 2 − 2x + 4 y − 6z −11 = 0

và mặt phẳng ( ) : 2 x + 2 y − z + 17 = 0 . Viết phương

trình mặt phẳng (  ) song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
bằng 6


A. 2 x + 2 y − z + 7 = 0

B. 2 x + 2 y − z − 7 = 0

C. 2 x + 2 y + z − 7 = 0

D. 2 x − 2 y − z + 7 = 0

Đáp án B
Do (  ) / / ( ) nên (  ) : 2 x + 2 y − z + D = 0 ( D  17 )
Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;3) , bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là r = 3
Ta có d ( I (  ) ) = R 2 − r 2 

2.1 + 2. ( −2 ) − 3 + D
22 + 22 + ( −1)

2

 D = −7
= 4  D − 5 = 12  
 D = 17

Nhận giá trị D = −7 . Vậy (  ) có phương trình là 2 x + 2 y − z − 7 = 0

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho các điểm

A ( 4;0;0) , B ( 0;4;0) và măt phẳng ( P ) : 3x + 2 y − z + 4 = 0 . Gọi I là trung điểm của AB. Tìm
K sao cho KI vuông góc với ( P ) đồng thời K cách đều gốc O và ( P )
 1 1 3
A. K  − ; − ; 
 4 2 4

 1 1 3
B. K  − ; ; − 
 4 2 4

 1 1 3
C. K  − ; ; 
 4 2 4

1 1 3
D. K  ; ; 
4 2 4

Đáp án C
Ta có I là trung điểm AB  I ( 2;2;0)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n = ( 3; 2; −1)
Vì KI ⊥ ( P ) nên đường thẳng KI qua I nhận n = ( 3; 2; −1) làm vectơ chỉ phương nên có
 x = 2 + 3t

phương trình  y = 2 + 2t
 z = −t


K  KI  K = ( 2 + 3t;2 + 2t; −t )
Theo đề ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

d ( K ( P ) ) = KO 

6 + 9t + 4 + 4t + t + 4
14

=

( 2 + 3t ) + ( 2 + 2t )
2

14t 2 + 20t + 4 = 14 t + 1  14t 2 + 20t + 4 = 14t 2 + 28t + 14

t=−

3
4

 1 1 3
Vậy K  − ; ;  thỏa mãn yêu cầu bài toán
 4 2 4

2

+ t2


Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

A ( 0;0;4) , B ( 2;0;0) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − z = 5 = 0 . Lập phương trình mặt cầu ( S ) đi
qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng ( P ) bằng

5
6

A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 z = 0; x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 20 y − 4 z = 0

B. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z = 0; x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 20 y − 4 z = 0
C. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 z = 0; x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 20 y − 4 z = 0
D. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 z = 0; x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 20 y − 4 z = 0
Đáp án A
Giả sử ( S ) có phương trình là

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .

(Điều

kiện:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

a 2 + b2 + c 2 − d  0 )
O ( S )  d = 0

A ( 0;0;4)  ( S )  16 − 8c + d = 0 . Mà d = 0 nên suy ra c = 2
A ( 2;0;0)  ( S )  4 − 4a + d = 0 . Mà d = 0 nên suy ra a = 1

b+5
b = 0

5
5

=

6
6
6
b = −5

Với I (1; b; 2 ) , ta có d ( I ; ( P ) ) =

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 z = 0; x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 20 y − 4 z = 0
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

( ) : x + y − z = 0, (  ) : x − 2 y − 2z = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ( ) , bán
kính bằng 3 và tiếp xúc với (  ) tại M biết điểm M  ( Oxz )
A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9; ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

2

2

2

2

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

2

2

2

2

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

2

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

2

2

2

Đáp án D
Gọi M ( a;0; b )  ( Oxz ) .M  (  )  a = 2b . Suy ra M ( 2b;0; b )

2


Gọi I là tâm của (S). Do (S) tiếp xúc với (  ) tại M nên IM ⊥ (  )
Phương trình đường thẳng IM :

x − 2b
y z −b
=
=
1
−2
−2

Điểm I  IM nên I ( 2b + t; −2t; b − 2t )
Mặt khác, I  ( )  ( 2b + t ) + ( −2t ) − ( b − 2t ) = 0  t = −b  I ( b;2b;3b )
Ta có d ( I , (  ) ) = R 

9b
= 3  b = 1
3

Với b = 1 suy ra I (1; 2;3) và R = 3 . Do đó phương trình mặt cầu (S) là

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9
2

2

Với b = −1 làm tương tự, ta cũng thu được phương trình mặt cầu (S) là

( x + 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) và mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 . Viết phương trình mặt
2

2

2

phẳng ( ABC ) biết C  ( S ) và ACB = 45
A. z − 3 = 0

C. y − 3 = 0

B. x − 3 = 0

D. x + y + z − 3 = 0

Đáp án A
(S) có tâm I (1; 2;3) và bán kính R = 3
Ta có AB = 3 2 . Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Theo định lí hàm số sin ta có

AB
sin ACB

AB

= 2r  r =

=3= R

2sin ACB

Do đó mặt phẳng ( ABC ) đi qua tâm I
Ta có AB = ( 3;3;0 ) , AI = ( 0;3;0 ) ,  AB, BI  = ( 0;0;9 )
Mặt phẳng

( ABC )

qua A (1; −1;3) có vectơ pháp tuyến n =  AB, AI  = ( 0;0;9 ) nên có

phương trình ( ABC ) là z − 3 = 0

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam
giác đều S.ABC với A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) và C  Oz . Tìm tọa độ của điểm biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 9
A. S ( 3;3;3) , S ( −1; −1; −1)

B. S ( 3;3;3) , S (1;1;1)


C. S ( −3; −3; −3) , S ( −1; −1; −1)

D. S ( −3; −3; −3) , S (1;1;1)

Đáp án A
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều cạnh AB = 3 2
Điểm C  Oz suy ra C ( 0;0; c ) với c  0
Ta có AC = 3 2  9 + c 2 = 18  c = 3  C ( 0;0;3)
Gọi G là trọng tâm ABC , suy ra G (1;1;1)
Theo giả thiết bài toán, ta có
1
1 18 3

VS .ABC = S ABC .SG  9 = .
.SG  SG = 2 3
3
3 4

Đường thẳng SG qua G (1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên có vectơ chỉ phương

u =  AB, AC  = ( 9;9;9 ) . Do đó SG :

x −1 y −1 z −1
=
=
1
1
1

S  SG  S (1 + t;1 + t;1 + t )
SG = 2 3  t 2 + t 2 + t 2 = 2 3  t = 2  S (3;3;3) , S ( −1; −1; −1)

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2z + 1 = 0

và hai điểm A (1;7; −1) , B ( 4;2;0 ) . Lập phương trình đường thẳng d là

hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).
 x = 3 − 4s

A.  y = 3s
 z = −2 + s



 x = 3 − 4s

B.  y = 3s
z = 2 − s


 x = 3 − 4s

C.  y = 3s
z = 2 + s


 x = 3 − 4s

D.  y = −3s
z = 2 + s


Đáp án C
 x = 4 + 3t

Phương trình tham số của đường AB :  y = 2 − 5t
z = t


Gọi M = AB  ( P )  tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình

( 4 + 3t ) + 2 ( 2 − 5t ) − 2t + 1 = 0  t = 1  M ( 7; −3;1)

Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được I ( 3;0;2) . Hình chiếu d của đường thẳng
AB lên (P) là MI
 x = 3 − 4s

Vậy phương trình đường thẳng d là  y = 3s
z = 2 + s



Câu

15:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

A ( 5;3;1) , B ( 4; −1;3) ,C ( −6;2;4 ) , D ( 2;1;7 ) .

Trong

Tìm

tập

không
hợp

Oxyz

gian
các

điểm

M

cho

điểm

sao

cho

3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

8 
10  
1
1

A.  x +  +  y −  +  z −  =
3 
3 
3
9

8 
10  
1 1


B.  x −  +  y −  +  z −  =
3 
3 
3
9


8 
10  
1
1

C.  x −  +  y −  +  z +  =
3 
3 
3
9


8 
10  
1
1

D.  x +  +  y +  +  z −  =
3 
3 
3
9



Đáp án B
Giả sử tồn tại điểm I ( x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID = 0
 8 10 1 
Dễ dàng tìm được điểm I  ; ; 
3 3 3

Ta có 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB  MI  MI =

1
AB
3

1
1
 8 10 1 
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I  ; ;  , bán kính R = AB =
3
3
3 3 3
2

2

2

8 
10  
1 1


Và phương trình mặt cầu là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  x −  +  y −  +  z −  =
3 
3 
3
9


Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + z 2 − 4x − 2 y + 2z − m2 − 2m + 5 = 0

và mặt phẳng ( ) : x + 2 y − 2z + 3 = 0 . Tìm

m để giao tuyến giữa ( ) và ( S ) là một đường tròn
A. m−4; −2;2;4

B. m  −2 hoặc m  4

C. m  −4 hoặc m  −2

D. m  −4 hoặc m  2

Đáp án D
(S) có tâm I ( 2;1; −1) và bán kính R = m2 + 2m + 1 = m + 1
Giao tuyến của ( ) và (S) là đường tròn

 m  −4
 d ( I ( ) )  R  m + 1  3  
m  2

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm

A ( 2;0;0) , B ( 0;4;0) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 ) . Xét các mệnh đề sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
(I). Tập hợp các điểm M sao cho MA + MB = MC + MD là một mặt phẳng
(II). Tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC + MD = 4 là một mặt cầu tâm I (1; 2;3) và
bán kính R = 1
A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Không có

D. Cả (I) cả (II)

Đáp án D
* Xét mệnh đề (I): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó

MA + MB = MC + MD  2MI = 2MJ  MI = MJ
Do đó tập hợp các điểm M là mặt phẳng trung trực của IJ
Vậy mệnh đề này đúng.
* Xét mệnh đề (II): (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD
Khi đó MA + MB + MC + MD = 4

 4MG = 4  MG = 1
Do đó tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G (1; 2;3) và bán kính R = 1
Vậy mệnh đề này đúng

x = 1− t

Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 3 + 3t
 z = 3 + 2t


và mặt phẳng ( ) : x + 2 y − 2 z −1 = 0 . Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M
đến ( ) bằng 3
A. M (1;3;3) , M ( 0;6;5)

B. M (10; −24; −15) , M ( 0;6;5)

C. M (10; −24; −15) , M ( −8;30;21)

D. M ( −8;30;21) , M (1;3;3)

Đáp án C

M  d  M (1 − t;3 + 3t;3 + 2t )
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
d ( M ( ) ) = 3 

1 − t + 2 ( 3 + 3t ) − 2 ( 3 + 2t ) − 1
1 + 2 + ( −2 )
2

2

2

=3


 t = 9  t = 9
Suy ra M (10; −24; −15) , M ( −8;30;21)

Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau

(1 ) : 2x − y + z − 4 = 0
(2 ) : x + z − 3 = 0
( 1 ) : 3x + y − 7 = 0
(  2 ) : 2 x + 3z − 5 = 0
( 1 ) : x − my + 2z − 3 = 0
( 2 ) : 2 x + y + z − 6 = 0
Gọi d1 , d 2 , d3 lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng (1 ) và ( 2 ) ; ( 1 ) và ( 2 ) ; ( 1 )
và (  2 ) . Tìm m để d1 , d2 và d 3 đồng quy.
A. m = 2

B. m = −2

C. m = 1

D. m = −1

Đáp án D
Gọi I = d1  d2 . Khi đó tọa độ điểm I (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình

2 x − y + z − 4 = 0
x + z − 3 = 0


 I ( 2;1;1)

3x + y − 7 = 0
2 y + 3 z − 5 = 0

d1 , d2 và d 3 đồng quy
2 + m + 2 − 3 = 0
 I  d3  
 m = −1
4 + 1 + 1 − 6 = 0
Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 2x − y − 2z −12 = 0

và hai điểm A (1;1;3) , B ( 2;1;4) . Tìm tập hợp tất cả các điểm

C  ( P ) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất

 x = −t

8

A.  y = −
9

8

 z = − 9 + t
Đáp án B


x = t

8

B.  y = −
9

8

 z = − 9 + t


 x = −2t

8

C.  y = −
9

8

 z = − 9 + t


 x = 2t

8

D.  y = −

9

8

 z = − 9 + t


Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y = 2 x − 2 z − 12 nên tọa độ
điểm C ( a;2a − 2b; b )
Ta có AB = (1;0;1) , AC = ( a − 1; 2a − 2b − 13; v − 3)
Suy ra  AB, AC  = ( 2a − 2b − 13; b − a − 2;13 − 2a + 2b )
Do đó S ABC =

1
1
 AB, AC  =


2
2

( 2a − 2b − 13) + ( b − a − 2 ) + (13 − 2a + 2b )
2

2

2

Đặt t = a − b thì
4S2ABC = ( 2t − 13) + ( t + 2 ) + (13 − 2t ) = 9t 2 − 100t + 342

2

2

2

2

50  578 578

=  30t −  +

3 
9
9


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t =
Do đó min S ABC =

50
9

50
50
17 2
khi t =
. Vì thế b = a −
9
9

6

8
50 

Suy ra C  a; − ; a − 
9
9 



x = t

8

Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình  y = −
(t 
9

8

 z = − 9 + t

)

Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh

C (1; −1; −2 ) và đường chéo BD :

x +1 y −1 z +1

=
=
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có
4
−1
1

hoành độ dương
A. A (1;2;3) , B ( −5;2; −2) , D ( 7; −1;1)
B. A (1;2;3) , B ( 3;0;0) , D ( 7; −1;1)
C. A (1;2;3) , B ( −5;2; −2) , D ( −9;3; −3)
D. A (1;2;3) , B ( 3;0;0) , D ( −1;1; −1)
Đáp án D
Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) I ( −1 + 4t;1 − t; −1 + t ) nên CI = ( 4t − 2;2 − t; t + 1)


Vì CI ⊥ BD nên CI .uBD = 0  4 ( 4t − 2 ) − ( 2 − t ) + t + 1 = 0  t =

1
2

3 2
 1 1
Do đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) I 1; ; −  , CI −
2
 2 2
I là trung điểm AC  A (1; 2;3)
Tọa độ điểm B ( −1 + 4t;1 − t; −1 + t ) với t 

1
4

Ta có IB = IC nên
2
2
t = 0
2
1  1  9
2
−
2
+
4
t
+
−
t
+
+
t
(
) 
 
 =  t − t = 0  t = 1
2  2  2


Tọa độ điểm B ( 3;0;0 ) . Suy ra D ( −1;1; −1)
Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

d:

x +1 y − 4 z
=
= và các điểm A (1;2;7 ) , B (1;5;2) , C ( 3;2;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc d
−2
1
2

sao cho MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất
A. M ( −1; 4;0 )

C. M (1;3; −2)

B. M (1;3; −2)

D. M ( −5;6; 4 )

Đáp án C

M  d  M ( −2t − 1; t + 4;2t )
MA2 − MB 2 − MC 2 = −9t 2 − 18t + 12 = 21 − 9 ( t + 1)  21
2

Dấu “=” xảy ra khi t = −1
Vậy max ( MA2 − MB 2 − MC 2 ) khi M (1;3; −2)
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
5 
5


A 1; −2;  , B  4; 2;  . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho tam giác ABM
2 
2


vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất
5

A. M  ; 0; 0 
2


1

C. M  ; 0; 0 
2


 5

B. M  − ;0;0 
 2


Đáp án A
5 5
Gọi I là trung điểm AB  I  ;0;  ; AB = 5
2 2
2

2

5
5
25


M thuộc mặt cầu ( S ) :  x −  + y 2 +  z −  =
2
2
4



 1

D. M  − ;0;0 
 2



z = 0

2
2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
5
5
25


2
 x − 2  + y +  z − 2  = 4





Hạ MH ⊥ AB; HK ⊥ ( Oxy )

AB / / ( Oxy )  HK = d ( AB, ( Oxy ) ) không đổi mà MH  HK nên SABM nhỏ nhất  MH
nhỏ nhất  M nằm trên đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng

( Oxy )
Mặt khác ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) nên M  
5

Vậy M  ; 0; 0 
2


Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian

Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + z 2 − 2x + 2z − 2 = 0 . Tìm điểm A thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 6 = 0 lớn nhất
7 4 1
B. A  ; − ; − 
 3 3 3

A. A (1;1; −6)

C. A ( −3;0;0)

D. A ( 0;3;0 )

Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Ta có ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 4 có tâm I (1;0; −1) , bán kính R = 2
2

( P ) : 2x − 2 y + z + 6 = 0

2

có vecto pháp tuyến là n = ( 2; −2;1)

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I (1;0; −1) và vuông góc với ( P ) . Suy ra d có phương trình
 x = 1 + 2t

là  y = −2t
 z = −1 + t


Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu ( S ) có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

( 2t ) + ( −2t )
2

2

2
7 4 1
 1 4 5
+ t 2 = 4  t =  . Suy ra A1  ; − ; −  , A2  − ; − ; − 
3
 3 3 3
 3 3 3

Dễ dàng tính được d ( A1 , ( P ) ) =

13
1
 d ( A2 , ( P ) ) =
3
3

7 4 1
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A  ; − ; − 
 3 3 3

Cách 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
Giả sử điểm A ( x0 ; y0 ; z0 )  ( S )  ( x0 − 1) + y02 + ( z0 + 1) = 4
2

2


d ( A, ( P ) ) =
=

2 x0 − 2 y0 + z0 + 6
3
2 ( x0 − 1) − 2 y0 + ( z0 + 1) + 7
3



2 ( x0 − 1) − 2 y0 + ( z0 + 1)
3

+

7
3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
2
2
2 ( x0 − 1) − 2 y0 + ( z0 + 1)  9 ( x0 − 1) − y02 + ( z0 + 1)  = 9.4 = 6



Suy ra d ( A, ( P ) ) 

13
3

( x0 − 1)2 + y02 + ( z0 + 1)2 = 4


Dấu “=” xảy ra khi   x − 1 y
z +1
0
= 0 = 0

 2
−2
1

7
4
1
Giải hệ phương trình này ta tìm được x 0 = , y 0 = − , z 0 = −
3
3
3

Vậy max d ( A, ( P ) ) =

13
7 4 1
khi A  ; − ; − 
3
 3 3 3

Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua
điểm M ( 0; −1;1) và có vectơ chỉ phương u = (1; 2;0 ) . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d
2
2
2

và có vectơ pháp tuyến là n = ( a; b; c ) với a + b + c  0 . Cho biết kết quả nào sau đây đúng?

A. a = 2b .

B. a = −3b .

C. a = 3b .

D. a = −2b .

Đáp án D
Đường thẳng d đi qua M ( 0; −1;1) và có vectơ chỉ phương là u = (1; 2;0 ) .
Do d  ( P ) nên u.n = 0  a + 2b = 0  a = −2b .

Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

M ( 3;1;1) , N ( 4;8; −3) , P ( 2;9; −7 ) và mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y − z − 6 = 0 . Đường thẳng d qua G
vuông góc với ( Q ) . Tìm giao điểm K của mặt phẳng ( Q ) và đường thẳng d. Biết G là trọng
tâm MNP .
A. K (1;2;1) .

B. K (1; −2; −1) .

C. K ( −1; −2; −1) .

D. K (1;2; −1) .

Đáp án D

MNP có trọng tâm G ( 3;6; −3) .

Đường thẳng d qua G và vuông góc với ( Q ) có phương trình là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)


x = 3 + t

 y = 6 + 2t ; t 
 z = −3 − t


.

K = d  ( Q )  tọa độ điểm K ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: (Gv Văn Phú
Quốc 2018) 3 + t + 2 ( 6 + 2t ) − ( −3 − t ) − 6 = 0  t = −2  K (1;2; −1) .
Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S ) đi
qua điểm M (1;4; −1) và tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
A. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 27 .

B. x 2 + y 2 + z 2 + 3x − 3 y − 3z − 9 = 0 .

C. ( x − 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 9 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 6 y − 6 z + 18 = 0 .

2

2

2

2

2

2

Đáp án C
Phương trình mặt cầu ở đáp án (C) có tâm I ( 3;3; −3) và bán kính R = 3 nên

R = xI = yI = zI .
Do đó ( S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
Hơn nữa M thỏa mãn phương trình ( S ) nên M  ( S ) .
Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z −1 = 0 và điểm A (1; −1;2) . Gọi
 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P ) . Tính bán kính của mặt cầu ( S ) có tâm

thuộc đường thẳng  , đi qua A và tiếp xúc với ( P ) .
3
.
2

A. R =

B. R =

3
.
3

C. R =

3

.
4

D. R =

3
.
5

Đáp án A
Do  vuông góc với (P) nên  có vectơ chỉ phương u = n p = (1; −1;1) .
x = 1+ t

Phương trình đường thẳng  qua A (1; −1;2) là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  y = −1 − t .
z = 2 + t


Gọi tâm I   I (1 + t , −1 − t , 2 + t ) . Lúc đó

R = IA = d ( I , ( P ) )  3t 2 =
Vậy R =

3 + 3t
3

t =−

1
2

3
.
2

Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai mặt cầu
sau


( S1 ) : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 8 y − 2z − 4 = 0 .
( S2 ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 4 z + 5 = 0
A. Ngoài nhau.

B. Cắt nhau.

C. Tiếp xúc ngoài.

D. Tiếp xúc trong

Đáp án B

( S1 ) có tâm I1 ( 2; −4;1)

( S2 ) có tâm I 2 ( −1;2;2)

và bán kính R1 = 5 .
và bán kính R2 = 2 .

I1I 2 = 46 .
Để ý rằng R1 − R2  I1I 2  R1 + R2 cho nên ( S1 ) và ( S2 ) cắt nhau.
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d:

x −1 y
z
= =
và hai điểm A ( 2;1;0) , B ( −2;3;2) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B
2
1 −2

và có tâm thuộc đường thẳng d.
A. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 17

B. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 17

C. ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 17

D. ( x − 5 ) + ( y − 2 ) + ( z + 4 ) = 17

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đáp án A
Tâm I  d  I (1 + 2t; t; −2 t )

 I ( −1; −1; 2 )
IA2 = IB 2  t = −1  
.
 R = IA = 17
Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 17 .
2

2

2

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( Q ) : 4 x + 3 y −12 z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 .
A. 4 x + 3 y − 12 z − 78 = 0; 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0
B. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0; 4 x + 3 y + 12 z − 26 = 0
C. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0; 4 x − 3 y − 12 z − 26 = 0
D. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0; 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0

Đáp án D

(Q)

có vectơ pháp tuyến là n = ( 4;3; −12 ) .

( S ) có tâm I (1; 2;3) và bán kính
( P ) // (Q )

R = 4.

nên ( P ) : 4 x + 3 y −12 z + d = 0 (với d  1 ).


( P)

tiếp xúc với ( S )  d ( I , ( P ) ) = R



4.1 + 3.2 − 12.3 + d
16 + 9 + 44

 d = −26
= 4  d − 26 = 52  
.
 d = 78

Vậy ( P ) có phương trình 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0; 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0 .
Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3)

và đường thẳng d1 :

x−2 y + 2 z −3
x −1 y −1 z +1
=
=
=
=
và d 2 :
.
−1
2
−1
2
1
1

Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2 .
A.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
3
−5

B.

x −1 y − 2 z − 3

=
=
1
−3
5

C.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
−3
−5

D.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
−1
−3
−5

Đáp án C
x = 1− t

d 2 có phương trình tham số là  y = 1 + 2t .
 z = −1 + t


d1 có vectơ chỉ phương u = ( 2; −1;1) . Gọi B = d  d 2 , khi đó
B  d2  B (1 − t;1 + 2t; −1 + t )  AB = ( −t; 2t − 1; t − 4 ) .
Theo giả thiết d ⊥ d1  AB.u = 0  t = −1  AB = (1; −3; −5) .
Vậy phương trình đường thẳng  là

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
1
−3
−5

Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A (1;1;1) và đường thẳng d :

x −1 y z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và
2
−2
−1

cắt d sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là nhỏ nhất.
A.

x −1 y − 2 z −1

=
=
−1
3
9

B.

x −1 y − 2 z −1
=
=
1
3
9

Đáp án B
Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Khi đó

( P ) : 3x + 2 y − z − 4 = 0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên ( P ) . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ


 x = 3t
 y = 2t

6 4 2
 H  ; ;−  .

7 7 7
 z = −t

3x + 2 y − z − 4 = 0
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên  , khi ấy d ( O;  ) = OK  OH .

d ( O;  ) nhỏ nhất  K  H  H  .
Đường thẳng  qua hai điểm A và H nên có phương trình là
x −1 y − 2 z −1
=
=
. (Rõ ràng  cắt d).
1
3
9

C.

x −1 y − 2 z −1
=
=
1
−3
9

D.

x −1 y − 2 z −1
=
=
1
3
−9

Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 9 và đường thẳng d :
2

2

x −3 y −3 z −2
=
=
.
1
1
2

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
có bán kính nhỏ nhất.
A. x + y + z − 4 = 0

B. x + y − z − 4 = 0

C. x − y + z − 4 = 0

D. x + y + z + 4 = 0

Đáp án A
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) và bán kính R = 3 .
Gọi K là hình chiếu của I lên ( P ) , H là hình chiếu của I lên d và r là bán kính đường tròn tức
giao tuyến của ( P ) với ( S ) .
Khi đó ta có r = R 2 − IK 2  R 2 − IH 2 .
Dấu “=” xảy ra  K  H . Từ đó suy ra để ( P ) cắt ( S ) theo một đường tròn có bán kính
nhỏ nhất thì ( P ) phải vuông góc với IH.
x = 3 + t

Phương trình tham số của d là  y = 3 + t  H ( 3 + t;3 + t; 2 + 2t ) .
 z = 2 + 2t


Do IH ⊥ d nên ta có IH .ud = 0  t = −1  H ( 2; 2;0 ) .


( P)

qua H ( 2;2;0) và nhận IH = (1;1; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

x + y − z −4 = 0.
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4x − 4 y − 4z = 0

và điểm A ( 4;4;0) .

Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B  ( S ) và tam giác OAB đều.
A. x − y + z = 0, x + y − z = 0 .

B. x − y + z = 0, x − y − z = 0 .

C. x − y − z = 0, x − y − z = 0 .

D. x − y + z = 0, x − y + z = 0 .

Đáp án B
Cách 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

B  ( S ) và OAB đều nên ta có hệ phương trình sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

 xB2 + yB2 + zB2 − 4 xB − 4 yB − 4 z B = 0
 2
2
OA = OB
OA2 = AB 2

 xB2 + yB2 + z B2 = 4 ( xB + yB + z B )
 xB + y B + z B = 8


 32 = xB2 + yB2 + z B2
  xB2 + yB2 + z B2 = 32

 2
2
2
2
2
2

 xB + y B + z B − 8 ( xB + y B ) = 0
32 = ( 4 − xB ) + ( 4 − yB ) + z B

 zB = 4
 xB + yB + zB = 8


2
  xB2 + yB2 + zB2 = 32  ( xB + yB ) − 2 xB yB + z B2 = 32
x + y = 4

B
 B
 xB + yB = 4
 xB = 0
 xB = 4


  yB = 4 hay  yB = 0
z = 4
z = 4
 B
 B

Trường

hợp

(Gv

1:

Văn

Phú

Quốc

2018)

Phú

Quốc

2018)

(OA) = ( 4; 4;0) , OB = ( 0; 4; 4)  OA, OB  = (16; −16;16)
Phương trình mp ( OAB ) : x − y + z = 0
Trường

hợp

2:

(Gv

Văn

(OA) = ( 4; 4;0) , OB = ( 4;0; 4)  OA, OB = (16; −16; −16) .
Phương trình mp ( OAB ) : x − y − z = 0 .

Cách 2

( S ) có tâm I ( 2; 2; 2) , bán kính

R = 2 3 . Nhận thấy O và A đều thuộc ( S ) .


Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r =
Khoảng cách d ( I ; ( P ) ) = R 2 − r 2 =

( P)

đi

qua

O

có

OA 4 2
=
.
3
3

2
.
3

phương

trình

dạng:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

ax + by + cz = 0; a 2 + b2 + c 2  0 .

( P)

đi qua A, suy ra b = −a .

d ( I ; ( P )) =



2(a + b + c)
2c
2
2

2

=

=
3
3
3
a 2 + b2 + c 2
2a 2 + c 2

4c 2
4
=  12c 2 = 8a 2 + 4c 2  c 2 = a 2  c =  a
2
2
2a + c
3

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x − y + z = 0, x − y − z = 0 .
Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x y+2 z−4
=
=
1
2
1

A (1;0;5) , B ( 2;2;6)

và

( ) : 2x + y − z + 3 = 0 .

Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng

đường

:

thẳng

( )

và

mặt

sao cho MB =

phẳng
6
và
2

ABM = 60 .
 3 13 
A. M  1; ;  .
 2 2

1

D. M  ; 2; 6  .
2


C. M (1;1;6) .

B. M ( 0;0;3) .

Đáp án A
Ta thấy A , A  ( ) và B   .
Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
MA2 = BA2 + BM 2 − 2 BA.BM .cos 60 = 6 +

Suy ra MA =

3
6 1 9
− 2 6.
. = .
2
2 2 2

3 2
. Từ đây ta nhận thấy AB 2 = MA2 + MB 2 nên tam giác MAB vuông tại M và
2

có MAB = 30 .

(

)

Mặt khác: (Gv Văn Phú Quốc 2018) sin , ( ) =

2 + 2 −1
6. 6

=

Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ) .
Khi đó MB :

(

)

1
 , ( ) = 30 = MAB .
2

x−2 y−2 z −6
=
=
 M ( 2m + 2; m + 2; −m + 6 ) .
2
1
−1

Vì M thuộc mặt phẳng ( ) nên
1
 3 13 
2 ( 2m + 2 ) + ( m + 2 ) − ( −m + 6 ) + 3 = 0  m = −  M 1; ;  .
2
 2 2

 3 13 
Vậy M  1; ;  .
 2 2

Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
 x = −3 + 2t

 :  y = −1 + t ( t 
z = 3 + t


)

và mặt phẳng có phương trình ( ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Gọi A là giao

điểm của  và ( ) . Tìm điểm B , C  ( ) sao cho BA = 2 BC = 6 và ABC = 60 .
 5 5
 1 11 
A. B ( −3; −1;3) , C  − ;0;  hoặc B ( −1;0; 4 ) , C  ;0;  .
2
 2 2
2

 1 11 
 5 5
B. B ( −3; −1;3) , C  − ;0;  hoặc B (1;1;5 ) , C  ;0;  .
2
 2 2
2
 1 11 
 5 5
C. B ( −3; −1;3) , C  − ;0;  hoặc B ( −7; −3;1) , C  ;0;  .
2
 2 2
2
 1 11 
 5 5
D. B ( −3; −1;3) , C  − ;0;  hoặc B ( 3; 2;6 ) , C  ;0;  .
2
 2 2
2

Đáp án B
Góc giữa  và ( ) là 30 . Điểm A ( −1;0;4) .
Ta có B ( −3 + 2t; −1 + t;3 + t ) và AB = 6 nên B ( −3; −1;3) hoặc B (1;1;5) .
Vì BA = 2 BC = 6 và ABC = 60 nên tam giác ABC vuông tại C.
Suy ra : (Gv Văn Phú Quốc 2018) BAC = 30 , do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt
phẳng ( ) .
Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
 5 5
 1 11 
C  − ; 0;  hoặc C  ;0;  .

2
 2 2
2

Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian tọa độ cho đường thẳng
d:

x − 3 y + 2 z +1
=
=
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và
2
1
−1

( P ) . Viết phương trình đường thẳng

 nằm trong mặt phẳng ( P ) , vuông góc với d đồng

thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới  bằng

42 .


A.

x +5 y + 2 z +5 x +3 y + 4 z −5
=
=
;

=
=
.
2
−3
1
2
−3
1

B.

x −5 y + 2 z +5 x +3 y + 4 z −5
=
=
;
=
=
.
−2
−3
1
2
−3
1

C.

x −5 y + 2 z +5 x +3 y + 4 z −5
=

=
;
=
=
.
2
−3
1
2
3
1

D.

x −5 y + 2 z +5 x +3 y + 4 z −5
=
=
;
=
=
.
2
−3
1
2
−3
1

Đáp án D
 x = 3 + 2t


Ta có phương trình tham số của d là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  y = −2 + t với t 
 z = −1 − t


.

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

3 + 2t − 2 + t −1 − t + 2 = 0  t = −1  M (1; −3;0 ) .
Lại có VTPT của ( P ) là n p (1;1;1) , VTCP của d là ud ( 2;1; −1) .
Vì  nằm trong ( P ) và vuông góc với d nên VTCP u = ud , n p  = ( 2; −3;1) .
Gọi N ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó

MN = ( x − 1; y + 3; z ) .
Ta có MN vuông góc với u nên ta có hệ phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

2x − 3 y + z − 11 = 0
Lại

có

N ( P)

và

MN = 42

ta

có

hệ:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

x + y + z + 2 = 0

2 x − 3 y + z − 11 = 0

2
2
2
( x − 1) + ( y + 3) + z = 42

Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x; y; z ) là ( 5; −2; −5) , ( −3; −4;5) .
- Nếu N ( 5; −2; −5) ta có phương trình  :

x−5 y + 2 z +5
=
=
.

2
−3
1

- Nếu N ( −3; −4;5) ta có phương trình  :

x+3 y + 4 z −5
=
=
.
2
−3
1

Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân
ABCD có AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ và A ( 3; −1; −2) , B (1;5;1) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm
D của hình thang cân.


 164 51 48 
1 1 1
B. D 
; − ;  . C. D  ; ;  .
49 49 
 49
2 3 4

A. D ( 4; −3;0 ) .

D. D ( −4;3;0 ) .

Đáp án B
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3 .
Gọi  là đường thẳng qua C và song song với AB.
Gọi ( S ) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3 . Điểm D cần tìm là giao điểm của  và ( S ) .
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương AB = ( −2;6;3) nên có phương trình: (Gv Văn Phú
 x = 2 − 2t

Quốc 2018)  y = 3 + 6t .
 z = 3 + 3t


Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 9 .
2

2

2

Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình

( −2t − 1) + ( 6t + 4 ) + ( 3t + 5 )
2

2

2

t = −1
= 9  49t + 82t + 33 = 0  

.
t = − 33
49

2

+ Với t = −1 thì D ( 4; −3;0 ) : (Gv Văn Phú Quốc 2018) không thỏa vì AB = CD = 7 .
+ Với t = −

33
 164 51 48 
; − ;  (thỏa mãn).
thì D 
49
49 49 
 49

Câu

(Gv

39:

Văn

Phú

Quốc

( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 4 y − 2 z − 4 = 0

2018)

A. ( ) cắt (S) theo một đường tròn.
B. ( ) tiếp xúc với (S).
C. ( ) quâ tâm I của (S).
D. ( ) và (S) không có điểm chung.
Đáp án D
(S) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 3 .

−2 + 2 − 8
6

=

4 6
 R = 3.
3

Vậy ( ) không cắt mặt cầu (S).

gian

Oxyz,

cho

mặt

cầu

và mặt phẳng ( ) : x + y + 2 z − 8 = 0 . Mệnh đề nào sau đây

đúng?

Ta có d ( I , ( ) ) =

Trong không


Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ sao cho A  O ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; a ) . Xét các mệnh đề
sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
(I). x + y + z − a = 0 là phương trình mặt phẳng (A’BD).
(II). x + y + z − 2a = 0 là phương trình mặt phẳng (CB’D).
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Đáp án D
Thay các tọa độ A ' ( 0;0; a ) , B ( a;0;0) , D ( 0; a;0 ) vào phương trình ở (I) thấy thỏa. Cho nên
(I) đúng.
Tương tự như vậy ta chứng minh được (III) đúng
Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho  ABC

có

A (1;1;0) , B ( 0;2;1) và trọng tâm G ( 0;2; −1) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 x = −1 − t

A.  y = 3 + t
 z = −4


 x = −1 + t

B.  y = 3 − t
 z = −4


 x = −1 + t

C.  y = 3 + t
 z = −4 + t


 x = −1 + t

D.  y = 3 + t
 z = −4


Đáp án D
Do G là trọng tâm  ABC nên C ( −1;3; −4)

Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = ( −2; 2; −4 )
 x = −1 + t

Đường thẳng  qua G nhận u = AB; AC = ( −6; −6;0 ) nên có phương trình là  y = 3 + t
 z = −4


Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm
M sao cho AMB = 90 với A ( 2; −1; −3) , B ( 0; −3;5)
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 18.

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 18.

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3.

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3.

2

2

2

2

2

2

Đáp án A

Tập hợp các điểm M là mặt cầu đường kính AB.
Tâm I là trung điểm AB  I (1; −2;1)
Bán kính R = IA = 3 2

2

2

2

2

2

2