Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của
x = 2t
đường thẳng : y = −1 + t là
z = 1
A. m ( 2; −1;1)
B. v ( 2; −1;0 )
C. u ( 2;1;1)
D. n ( −2; −1;0 )
Đáp án D
Phương pháp:
x = x 0 + at
+ Cho phương trình đường thẳng : y = y 0 + bt . Khi đó ta biết đường thẳng đi qua
z = z + ct
0
điểm M ( x 0 ; y0 ) và có vVTCP u = ( a; b;c ) .
+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của thì ku ( k
)
cũng là một VTCP của .
Cách giải:
Ta có VTCP của là: u = ( 2;1;0 ) n = ( −2; −1;0 ) cũng là một VTCP của
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong
không gian Oxyz, cho điểm M (1;2;3) . Hình
chiếu của M lên trục Oy là điểm
A. S ( 0;0;3)
B. R (1;0;0 )
C. Q ( 0;2;0)
D. P (1;0;3)
Đáp ánC
Phương pháp: Điểm M ( a;b;c ) có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
M1 ( a;0;0) , M2 ( 0;b;0 ) và M3 ( 0;0;c ) .
Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là Q ( 0;2;0)
Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
() :
x + 2y − z −1 = 0 và
() : 2x + 4y − mz − 2 = 0.
Tìm m để hai mặt phẳng
( ) và () song song với nhau.
A. m = 1
Đáp án B
B. Không tồn tại m
C. m = −2
D. m = 2
Phương pháp:
Cho
hai
( ) / / ()
mặt
phẳng:
( ) : a1x + b1y + c1z + d1 = 0
.
( ) : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0
Khi
đó
a1 b1 c1 d1
=
=
a 2 b2 c2 d 2
Cách giải:
Để ( ) / / () thì
m = 2
2 4 −m −2
= =
m
1 2 −1 −1
m 2
Câu 4:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; −1) . Mặt
phẳng ( ) đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là
A. x + z = 0
Đáp án C
B. y + z + 1 = 0
C. y = 0
D. x + y + z = 0
Phương pháp:
+) Phương trình đường thẳng đi điểm M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có VTPT n = ( a; b;c ) có phương
trình:
a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0.
+) Hai vecto u; v cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: n = u, v
Cách giải:
Mặt phẳng ( ) chưa điểm M và trục Ox nên nhận n = OM; u O x là một VTPT.
OM = (1;0; −1)
n = OM; u O x =
Mà
u
=
1;0;0
(
)
Ox
(
0
0
−1
0
;
−1
0
1
1
; 11
0
0
) = ( 0; −1;0)
Kết hợp với ( ) đi qua điểm M (1;0; −1) ( ) : −y − ( y − 0) = 0 y = 0
Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
d:
x −1 y − 2 z − 3
=
=
và mặt phẳng
1
2
1
( ) : x + y − z − 2 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
( ) , đồng thời vuông góc và cắt đường d?
A. 3 :
x −5 y −2 z −5
=
=
3
−2
1
B. 1 :
x+2 y+4 z+4
=
=
−3
2
−1
C. 2 :
x−2 y−4 z−4
=
=
1
−2
3
D. 4 :
x −1 y −1 z
=
=
3
−2
1
Đáp án A
Phương pháp:
Gọi đường thẳng cần tìm là d’
Gọi A = d ( ) A d '. Tìm tọa độ điểm A.
n d ' = u d ; n ( ) là 1 VTCP của đường phẳng d’
Cách giải:
Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi A = d ( ) A d '
x = 1 + t
Ta có d : y = 2 + 2t ( t
z = 3 + t
) A ( t + 1; 2t + 2; t + 3)
Mà A ( ) ( t + 1) + ( 2t + 2) − ( t + 3) − 2 = 0 A ( 2;4;4 )
u d = (1; 2;1)
Lại có
u d ; n ( ) = ( −3; 2; −1) là một VTCP của d’
n
=
1;1;
−
1
(
)
()
Kết hợp với d’ qua A ( 2; 4; 4 ) d :
x−2 y−4 z−4
x −5 y −2 z −5
=
=
=
=
−3
2
−1
3
−2
1
Câu 6:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
() : x − z − 3 = 0
và điểm M (1;1;1) . Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A
lên ( ) . Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng
A.
3 123
2
B. 6 3
C.
3 3
2
D. 3 3
Đáp án C
Phương pháp:
+) Gọi A ( 0;0;a ) , ( a 0 ) viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với
()
+) B = AB ( ) tìm tọa độ điểm B theo a.
+) Tam giác MAB cân tại M MA = MB, tìm a.
+) Sử dụng công thức tính diện tích SMAB =
1
MA; MB
2
Cách giải:
x = t
Gọi A ( 0;0;a )( a 0 ) , vì AB ⊥ mp ( ) Phương trình đường thẳng ( AB ) : y = 0
z = a − t
Mà B = AB ( ) B ( t;0;a − t ) và B mp ( ) t = ( a − t ) − 3 = 0 t =
a +3
2
AM = (1;1;;1 − a )
a +3 a −3
Khi đó B
;0;
a +1 5 − a
2 BM = −
2
;1;
2
2
AM = BM AM = BM 2 + (1 − a )
2
2
( a + 1) + ( 5 − a )
= 1+
2
2
2
4
2a − 8a + 26
4
2
2
2a = 18 a = 9 a = 3 ( a 0 )
a 2 − 2a + 2 =
2
AM = (1;1; −2 )
AM; BM = ( 3;3;3)
BM = ( −2;1;1)
Vậy diện tích tam giác MAB là SMAB =
1
3 3
MA; MB =
2
2
Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A (10;6; −2) , B (5;10; −9 ) và mặt phẳng ( ) : 2x + 2y + z − 12 = 0. Điểm M di động trên
mặt phẳng ( ) sao cho MA, MB luôn tạo với ( ) các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn
thuộc một đường tròn ( ) cố định. Hoành độ của tâm đường tròn ( ) bằng
A.
9
2
B. 2
C. 10
D. −4
Đáp án B
Phương pháp:
+) Gọi M ( x; y;z ) tọa độ các véc tơ AM; BM
+) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A,B lên ( ) , có AMH = BMK
+) Tính sin các góc AMH; BMHK và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một
đường tròn.
+) Tính tâm của đường tròn quỹ tích đó.
Cách giải:
Gọi M ( x; y; z ) AM = ( x − 10; y − 6; z + 2 ) ; BM = ( x − 5; y − 10; z + 9 )
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ( ) , có AMH = BMK
AH = d ( A; ( P ) ) =
2.10 + 2.6 − 2 − 12
2 + 2 +1
2
2
2
= 6; BK = d ( B; ( P ) ) =
2.5 + 2.10 − 9 − 12
22 + 22 + 12
AH
sin AMH = MA
AH BK
=
MA = 2MB MA 2 = 4MB2
Khi đó
MA MB
sin BMK = BK
MB
2
2
2
2
2
2
Suy ra ( x − 10 ) + ( y − 6 ) + ( z + 2 ) = 4 ( x − 5) + ( y −10 ) + ( z + 9 )
2
2
2
20
68
68
10
34
34
x + y + z − x − y + z + 228 = 0 ( S) : x − + y − + z + = 40
3
3
3
3
3
3
10 34 −34
có tâm I ; ;
3 3 3
2
2
2
Vậy M ( C) là giao tuyến của ( ) và (S) Tâm K của ( C ) là hình chiếu của
10 34 −34
I ; ;
trên mặt phẳng ( ) .
3 3 3
10
x = 3 + 2t
34
Phương trình đương thẳng đi qua I và vuông góc với ( ) có dạng y = + 2t
3
34
z = − 3 + t
34
34
10
10
34
34
K + 2t; + 2t '− + t , K ( ) 2 + 2t + 2 + 2t + − + t − 12 = 0
3
3
3
3
3
3
2
9t + 6 = 0 t = − K ( 2;10; −12 ) x K = 2
3
Câu 8: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2x + y − 2z − 2 = 0, đường thẳng
d:
x +1 y + 2 z + 3
1
=
=
và điểm A ;1;1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
1
2
2
2
( ) , song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng
cắt mặt
phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A.
7
3
B.
7
2
C.
21
2
D.
3
2
Đáp án B
Phương pháp:
+) Kiểm tra d ( )
+) Gọi B = ( O xy ) B ( a;b;0) B ( ) , thay tọa độ điểm B vào phương trình
( ) 1phương trình 2 ẩn a, b.
+)
d / / d ( ( d ) ; ( ) ) = d ( B; ( d ) ) = 3.
Sử dụng công thức tính khoảng cách
BM; u d
d ( B; ( d ) ) =
, lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
ud
+) Giải hệ phương trình tìm a,b => Toạn độ điểm B => Độ dài AB.
Dế thấy d ⊥ ( ) và ( −1; −2; −3) ( ) d ( )
Ta có B = ( O xy ) B ( a;b;0) mà B ( ) 2a + b − 2 = 0 b = 2 − 2a
Lại có d / / d ( ( d ) ; ( ) ) = d ( B; ( d ) ) = 3 . Đường thẳng d đi qua M ( 0;0; −1) , có
u d = (1; 2; 2 )
BM = ( −a; −b; −1) BM; u = ( −2b + 2; −1 + 2a; −2a + b )
Do đó
BM; u d
d ( B; ( d ) ) =
=
ud
( 2b − 2 ) + (1 − 2a ) + ( 2a − b )
2
2
3
2
=3
( 2b − 2 ) + (1 − 2a ) + ( 2a − b ) = 81 ( 2 − 4a ) + (1 − 2a ) + ( 4a − 2 ) = 81
2
(1 − 2a )
Vậy AB =
2
2
2
2
2
2
a = −1
B ( −1; 4;0 )
1 − 2a = 3
a = −1 b = 4
=9
a = 2
1 − 2a = −3
a = 2
B ( 2; −2;0 )
b = −2
7
2
Câu9: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A ( 0;0;0 ) , B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) và A' ( 0;0;1) . Khoảng
cách giữa AC và B’D là
1
1
A.
B.
.
.
6
3
Đáp án B.
C. 1.
D.
2.
Go ̣i K = AC BD. Go ̣i H là hiǹ h chiế u của K lên B’D. Khi đó KH là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳ ng AC và B’D
KH BB'
KH
1
2 1
6
Ta có:
=
=
KH =
.
=
.
KD B'D
2
6
2
3
3
2
Câu 10:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho A ( −3;0;0) , B ( 0;0;3) , C ( 0; −3;0) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 3 = 0. Tìm
trên (P) điểm M sao cho MA + MB − MC nhỏ nhất
A. M ( 3;3; −3) .
B. M ( −3; −3;3) .
C. M ( 3; −3;3) .
D.
M ( −3;3;3) .
Đáp án D.
Go ̣i I là điể m thỏa mañ
IA + IB − IC = 0 IA + CB = 0 IA = BC = ( 0; −3;3) I ( −3;3;3)
Ta có: MA + MB − MC = MI + IA + MB + IB − MI − IC = MI = MImin M là hiǹ h
chiế u của I trên ( P ) : x + y + z − 3 = 0, dễ thấ y I ( P ) M = I ( −3;3;3) .
Câu 11: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm A ( 0;1;2) , B ( 2; −2;0 ) , C ( −2;0;1) . Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác
ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là
A. 4x + 2y − z + 4 = 0.
B. 4x + 2y + z − 4 = 0.
C. 4x − 2y − z + 4 = 0. D. 4x − 2y + z + 4 = 0.
Đáp án C.
Dễ thấ y 4.0 − 2.1 − 2 + 4 = 0suy ra A ( P ) : 4x − 2y − z + 4 = 0.
Câu 12: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0;2 ) , C ( 0; −3;0) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
14
.
3
Đáp án C.
A.
B.
14
.
4
C.
14
.
2
D. 14.
OA 2 + OB2 + OC2
14
Vì OA = 1, OB = 2, OC = 3 và đôi mô ̣t vuông góc R =
=
.
2
2
Câu 13: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm A ( 0;0; −2 ) , B ( 4;0;0 ) . Mă ̣t cầ u (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
2
4
A. I ( 2;0; −1) . B. I ( 0;0; −1) . C. I ( 2;0;0) . D. I = ;0; − .
3
3
Đáp án A.
Ta có: OA = ( 0;0; −2 ) ,OB = ( 4;0;0 ) suy ra OA.OB = 0 OAB vuông ta ̣i O.
Do đo, mă ̣t cầ u (S) có bán kính R min và đi qua O, A, B có tâm là trung điể m của AB.
Vâ ̣y to ̣a đô ̣ tâm mă ̣t cầ u là I ( 2;0; −1) .
Câu 14:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A ( 0;0;0) , B ( 2;0;0 ) ,C ( 0;2;0 ) , A' ( 0;0;2 ). Góc giữa
BC’ và A’C bằ ng
A. 900.
Đáp án A.
B. 600.
C. 300.
Vì ABC.A’B’C’ là lăng tru ̣ đứng, đáy là tam giác vuông cân C' ( 0;2;2 ) .
Ta có BC ' = ( −2; 2; 2 ) và A 'C' = ( 0; 2; −2 ) BC'.A 'C = 0 BC' ⊥ A 'C.
Câu 15: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm A ( 2;0;0) ;B ( 0;3;0 ) ,C ( 0;0;4 ) có phương trình là:
A. 6x + 4y + 3z + 12 = 0
B. 6x + 4y + 3z = 0
C. 6x + 4y + 3z − 12 = 0
D. 6x + 4y + 3z − 24 = 0
Đáp án C
Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của ( ABC ) là
x y z
+ + =1
2 3 4
Do đó ( ABC) : 6x + 4y + 3z −12 = 0
Câu 16: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
(S) : ( x − 1)
2
+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 tâm I và mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − z + 24 = 0 . Gọi H
2
2
là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn
nhất. Tính tọa độ điểm M.
A. M ( −1;0;4 )
B. M ( 0;1;2 )
C. M ( 3;4;2 )
D. M ( 4;1;2 )
Đáp án C
x −1 y − 2 z − 3
=
=
H = IH ( P ) = ( −5; −4;6 )
2
2
−1
Phương trình đường thẳng IH :
Độ dài MH lớn nhất M là một trong hai giao điểm của MI và ( S )
Suy ra MI MH , gọi M (1 + 2t;2 + 2t;3 − t ) (S) 4t 2 + 4t 2 + t 2 = 9 t = 1
M1 ( 3; 4; 2 ) M 2 H = 12
MH max M M 2 = ( 3; 4; 2 )
Do đó
M 2 ( −1;0; 4 ) M 2 H = 34
Câu 17:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 3 = 0 và điểm I (1;1;0 ) . Phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với (P) là:
A. ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
2
2
C. ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
2
2
5
6
5
6
B. ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
25
6
D. ( x + 1) + ( y + 1) + z 2 =
25
6
2
2
2
2
Đáp án B
Ta có: R = d ( I; ( P ) ) =
5
25
2
2
PT mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
6
6
Câu 18: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu
(S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 6y − 4z − 2 = 0, mặt phẳng ( ) : x + 4y + z −11 = 0.
Gọi ( P ) là mặt
phẳng vuông góc với ( ) , ( P ) song song với giá của vecto v (1;6; 2 ) và ( P ) tiếp xúc
với (S). Lập phương trình mặt phẳng ( P ).
A. 2x − y + 2z − 2 = 0 và x − 2y + z − 21 = 0
B. x − 2y + 2z + 3 = 0 và x − 2y + z − 21 = 0
C. 2x − y + 2z + 3 = 0 và 2x − y + 2z − 21 = 0
D. 2x − y + 2z + 5 = 0 và x − 2y + 2z − 2 = 0
Đáp án C
Ta có: n ( P) = n ( ) ; n ( P) = ( 2; −1; 2 ) ( P ) : 2x − y + 2z + D = 0
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3; 2 ) ; R = 4 d ( I; ( P ) ) = 4
D = 3
=4
4 +1+ 4
D = −21
9+D
Câu 19: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
( P) :
x + y + z −1 = 0.
A. K ( 0;0;1)
B. J ( 0;1;0)
C. I (1;0;0)
D. O ( 0;0;0 )
Đáp án D
Câu 20: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng ( P ) : 3x − 2y + 2z − 5 = 0 và ( Q) : 4x + 5y − z + 1 = 0. Các điểm A, B phân
biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . AB cùng phương với vectơ nào sau
đây?
A. w = ( 3; −2; 2 )
C. a = ( 4;5; −1)
B. v = ( −8;11; −23)
D. u = (8; −11; −23)
Đáp án D
Ta có: u AB = n ( P) ; n ( Q) = ( −8;11; 23)
Do đó AB phương với véc tơ u = ( 8; −11; −23)
Câu 21: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 và các điểm A (1;0;2) , B ( −1;2;2) .
2
2
2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cx + 3 = 0.
Tính tổng T = a + b + c.
B. −3
A. 3
C. 0
D. − 2
Đáp án B
Xét ( S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 4
2
2
2
Gọi O là hình chiếu của I trên mp ( P ) . Ta có Smin d ( I; ( P ) )max IOmax
Khi và chỉ khi IO IH với H là hình chiếu của I trên AB.
IH là véc tơ pháp tuyến của mp ( P ) mà IA = IB H là trung điểm của AB
H ( 0;1; 2 ) IH = ( −1; −1; −1) mp ( P ) là − x − y − z + 3 = 0
Câu 22: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm
A (1;0;0) , B ( 0;2;0) , C ( 0;0;3) , D ( 2; −2;0 ). Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi
qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D ?
A. 7
B. 5
C. 6
Đáp án B
AB = ( −1; 2;0 )
AB + AD = 0 A, B, D thẳng hàng
Ta có
AD
=
1;
−
2;0
(
)
D. 10
Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên
Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:
• Mặt phẳng ( OAC ) đi qua 3 điểm O, A, C
• Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O,
A, B, C, D
Câu23: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A (1;2; −3) , B ( −3;2;9 ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
B. −4x + 12z −10 = 0 C. x − 3y + 10 = 0.
A. x + 3x + 10 = 0.
Đáp án D.
D. x − 3z + 10 = 0.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: I ( −1; 2;3) , AB ( −4;0;12 )
Mặt phẳng trung thực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
( P) : −4 ( x −1) + 0 ( y − 2) +12 ( z − 3) = 0 hay ( P ) : x − 3z + 10 = 0.
Câu 24:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H
x −1 y z − 2
= =
. Tìm tọa độ
hình chiếu vuông góc của M ( 2;0;1) lên đường thẳng :
1
2
1
điểm H .
A. H ( 2;2;3) .
B. H ( 0; −2;1) .
C. H (1;0;2) .
D. H ( −1; −4;0 ) .
Đáp án C.
Vtcp của là: u (1; 2;1) . Phương trình mặt phẳng qua M và nhận u làm vtpt là:
( P) :1( x − 2) + 2 ( y − 0) +1( z −1) = 0 hay ( P ) : x + 2y + z − 3 = 0.
Khi đó: ( P ) = H tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình
x −1 y z − 2
= =
2
1 x = 1, y = 0, z = 2 H (1;0; 2 ) .
1
x + 2y + z − 3 = 0
Câu 25:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I (1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 10.
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.
C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 8.
D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Đáp án A.
Ta có: n Oy ( 0;1;0 ) . Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với Oy là: ( P ) : y + 2 = 0
( P ) Oy = E ( 0; −2;0) bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
R = IE =
(1 − 0) + ( −2 + 2) + (3 − 0)
2
2
2
= 10 Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc
với trục Oy là: ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 10.
2
2
2
Câu 26:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x −1 y +1 z
=
= . Phương trình
điểm M ( 2;1;0 ) và đường thẳng d có phương trình d :
2
1
−1
của đường thẳng đi qua điểm, M cắt và vuông góc với đường thẳng d là:
x − 2 y −1 z
x − 2 y −1 z
=
=
. B.
=
= .
A.
1
−4
−2
−1
−4
2
x − 2 −y −1 z
x − 2 y −1 z
=
=
=
= .
.
C.
D.
−3
−1
−4
−3
−2
2
Đáp án A.
Gọi I (1 + 2t; −1 + t; −t ) d ta có: MI ( 2t − 1; t − 2; − t )
2
1 4 2
Giải MI.u d = 4t − 2 + t − 2 + t = 0 t = − u = MI = ; − ; −
3
3 3 3
x − 2 y −1 z
=
=
.
Suy ra d :
4
−4
−2
Câu 27: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm M (1;2;3) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm Mvà cách gốc tọa độ O một khoảng
lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C. Tính thể tích khối chóp
O.ABC.
1372
524
343
686
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
9
9
9
3
Đáp án B.
Ta có: d ( O; ( P ) ) OM
Dấu bằng xảy ra OM ⊥ ( P ) ( P ) :1( x −1) + 2 ( y − 2 ) + 3 ( z − 3) = 0
14
Hay ( P ) : x + 2y + 3z −14 = 0 A (14;0;0 ) ; B ( 0;7;0 ) ;C 0;0;
3
1
686
VO.ABC = OA.OB.OC =
.
6
9
Câu 28:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
véctơ a = (1; −2;3) . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng véctơ b ngược hướng với véctơ a
và b = 2 a
A. b = ( 2; −2;3)
b = ( −2; −2;3)
Đáp án C
B. b = ( 2; −4;6 )
C. b = ( −2; 4; −6 )
D.
Ta có: b = −2a = ( −2; 4; −6 )
Câu 30:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
điểm A ( l;0; −3) , B ( −3; −2; −5) . Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa
mãn đẳng thức AM 2 + BM 2 = 30 là một mặt cầu (S) . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt
cầu (S) là:
A. I ( −2; −2; −8) ;R = 3
B. I ( −1; −1; −4 ) ; R = 6
C. I ( −1; −1; −4) ;R = 3
D. I ( −1; −1; −4 ) ; R =
30
2
Đáp án C
Gọi I ( −1; −1; −4) ;AB2 = 24 là trung điểm của AB khi đó AM 2 + BM 2 = 30
2
2
(
) (
)
2
2
Suy ra MA + MB = 30 MI + IA + MI + IB = 30
(
)
2MI2 + IA 2 + IB2 + 2MI IA + IB = 30 2MI 2 = 30 −
AB2
MI = 3.
2
Do đó mặt cầu (S) tâm I ( −1; −1; −4) ;R = 3
Câu 31: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz, cho bốn
điểm A (1;0;0) , B ( 0;1;0 ) ,
C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0 ) . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng ( ABC) , ( BCD) ,
( CDA ) , ( DAB) ?
A. 4
B. 5
C. 1
D. 8
Đáp án D
Gọi I ( a;b;c ) là điểm cách đều bốn mặt phẳng ( ABC) , ( BCD) , ( CDA ) , ( DAB) .
Khi đó, ta có a = b = c =
a + b + c −1
3
(*) . Suy ra có 8 cặp ( a;b;c )
thỏa mãn (*).
Câu32: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0;2; −4 ) , B ( −3;5;2 ) . Tìm tọa độ
điểm M sao cho biểu thức MA2 + 2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M ( −1;3; −2)
C. M ( −3;7; −2)
B. M ( −2;4;0)
3 7
D. M − ; ; −1
2 2
Đáp án B
Gọi M ( a;b;c ) suy ra AM = ( a; b − 2;c + 4 ) , BM = ( a + 3; b − 5;c − 2 )
2
2
2
2
2
Khi đó MA2 + 2MB2 = a 2 + ( b − 2 ) + ( c + 4 ) + 2 ( a + 3) + ( b − 5) + ( c − 2 )
= 3a 2 + 12a + 3b 2 − 24b + 3c2 + 96 = 3 ( a + 2 ) + 3 ( b − 4 ) + 3c 2 + 36 36
2
Vậy MA2 + 2MB2
min
2
= 36. Dấu “=” xảy ra ( a;b;c ) = ( −2;4;0 ) .
Câu 33: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình
( x + 1)
2
+ ( y − 3) + z 2 = 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
2
A. I ( −1;3;0 ) , R = 4
C. I ( −1;3;0) , R = 16
B. I (1; −3;0) , R = 4
D. I (1; −3;0) , R = 16
Đáp án A
Câu 34: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3;4) và B ( 5;1;1) . Tìm tọa độ
véctơ AB.
A. AB = ( 3; 2;3)
B. AB = ( 3; −2; −3)
C. AB = ( −3; 2;3)
D. AB = ( 3; −2;3)
Đáp án B
Câu 35: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho hai véctơ a = ( 2; −3;1) và b = ( −1;0; 4 ) . Tìm tọa độ véctơ u = −2a + 3b.
A. u = ( −7;6; −10 )
B. u = ( −7;6;10 )
C. u = ( 7;6;10 )
D. u = ( −7; −6;10 )
Đáp án B
Ta có u = −2 ( 2; −3;1) + 3 ( −1;0; 4 ) = ( −7;6;10 ) .
Câu 36: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;0;0) , B (3;2;4 ) ,C ( 0;5;4 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc
mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MA + MB + 2MC nhỏ nhất.
A. M (1; −3;0 )
B. M (1;3;0)
D. M ( 2;6;0)
C. M ( 3;1;0)
Đáp án B
Gọi I là trung điểm thỏa mãn IA + IB + 2IC = 0 I (1;3;3) .
Ta có Mà M ( Oxy ) M ( x; y;0) .
Khi đó P = 4MI = 4
( x − 1) + ( y − 3)
2
2
+ 32 12 MA + MB + 2MC
min
= 12.
x = 1
. Vậy M (1;3;0 ) .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
y = 3
Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
véc tơ a = ( 2;3;1) , b = ( 5, 7, 0 ) , c = ( 3; −2; 4 ) và d = ( 4;12; −3) . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a, b, c là ba vecto không đồng phẳng
B. 2a + 3b = d − 2c
C. a + b = d + c
D. d = a + b − c
Đáp án B
Ta có a + b = ( 7;10;1) c + d = ( 4;12; −3) đúng
2a + 3b d − 2c
Câu 38: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x = 1 − t
d : y = −2 + 2t . Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của d?
z = 1 + t
A. n = (1; −2;1)
B. n = (1; 2;1)
C. n = ( −1; −2;1)
D. n = ( −1; 2;1)
Đáp án D
Câu 39: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A (1; −1;2) ;B ( 2;1;1) . Độ dài đoạn AB bằng
A. 2
Đáp án B
AB =
B.
( 2 −1) + (1 + 1) + (1 − 2 )
2
2
C.
6
2
= 6
Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
2
D. 6
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2x − y + z − 2 = 0
A. Q (1; −2;2)
B. N (1; −1;1)
C. P ( 2; −1; −1)
D. M (1;1; −1)
Đáp án B
Đáp án C
Gọi A ( x; y ) , B ( −x; y ) ,C ( x − y; x + y ) là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài
Ta có
AB =
( x + y) + ( x − y)
2
2
AC = y 2 + x 2
BC = x 2 + y 2
AB2 = BC 2 + AC 2
Suy ra tam giác ABC vuông tại
1
1
C SABC = .AC.BC = ( x 2 + y 2 ) = 18 x 2 + y 2 = 6 = z
2
2
Câu 41:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng
( P ) : x + 2y − 2z − 6 = 0 và ( Q) : x + 2y − 2z + 3 = 0. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P)
và (Q) bằng
A. 1
Đáp án B
B. 3
C. 9
Lấy điểm A ( 0;0; −3) ( P ) d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( A; ( Q ) ) =
D. 6
0 + 2.0 − 2. ( −3) + 3
1 + 2 + ( −2 )
2
2
2
=3
Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng
x +1 y +1 z +1
x −2 y z −3
d1 :
=
= =
=
. Mặt cầu có một đường kính là đoạn
và d 2 :
2
1
1
2
3
3
thẳng vuông góc chung của d1 và d 2 có phương trình là
A. ( x − 4 ) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 3
B. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 12
C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 3
D. Không tồn tại mặt cầu thỏa mãn
2
2
2
2
2
2
Đáp án D
Gọi
A ( −1 + 2t; −1 + t; −1 + 3t ) d1
B ( 2 + u; 2u;3 + 3u )
Khi đó AB = ( 3 + u − 2t; 2u − t; 4 + 3u − 3t )
2
2
2
1
u = 3
AB.u1 = 0
2 ( 3 + u − 2t ) + 1 + 2u − t + 3 ( 4 + 3u − 3t ) = 0
Ta có
1( 3 + u − 2t ) + 2 (1 + 2u − t ) + 3 ( 4 + 3u − 3t ) = 0
AB.u 2 = 0
t = 5
3
7 2
7 2 7 2
Suy ra A ; ; 4 , B ; ; 4 d1 cắt d 2 tại điểm ; ; 4 do đó không tồn tại mặt
3 3
3 3 3 3
cầu thỏa mãn
Câu 43: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Phương trình đường thẳng song song với đường
x −1 y + 2 z
x +1 y +1 z − 2
=
=
=
=
thẳng d :
và cắt hai đường thẳng d1 :
và
1
1
−1
2
1
−1
x −1 y − 2 z − 3
d2 :
=
=
là
−1
1
3
x +1 y +1 z − 2
x −1 y z −1
=
= =
=
A.
B.
−1
1
−1
1
−1
1
x −1 y − 2 z − 3
x −1 y z −1
=
=
=
=
C.
D.
1
1
−1
1
−1
1
Đáp án B
Gọi A ( −1 + 2t; −1 + t;2 − t ) d1;B (1 − u;2 + u;3 + 3u ) d 2
AB = ( 2 − u − 2t;3 + u − t;1 + 3u + t )
t = 1
2 − u − 2t 3 + u − t 1 + 3u + t
=
=
1
1
−1
u = −1
x −1 y z −1
() :
= =
1
1
−1
Câu 44: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A ( 5;0;0) , B ( 3;4;0) . Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác
do AB / /d
ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính
đường tròn đó là
5
3
5
A.
B.
C.
D. 3
2
4
2
Đáp án A
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của AB OM ⊥ AB vì tam giác OAB cân
Mà H là trực tâm của tam giác ABC HK ⊥ ( ABC)
Suy ra HK ⊥ HM H thuộc đường tròn đường kính KM
x = 4t
Ta có trung điểm M của AB là M ( 4; 2;0 ) OM : y = 2t
z = 0
Lại có K OM K ( 4t; 2t;0 ) AK = ( 4t − 5; 2t;0 )
Suy ra AK.OB = 0 3 ( 4t − 5 ) + 4.2t = 0 t =
Vậy bán kính đường tròn cần tính R =
3
3
K 3; ;0
4
2
KM
5
=
2
4
Câu 45: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC
vuông tại C, ABC = 60, AB = 3 2. Đường thẳng AB có phương trình
x −3 y−4 z +8
=
=
, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng ( ) : x + z − 1 = 0. Biết B là
1
1
−4
điểm có hoành độ dương, gọi ( a;b;c ) là tọa độ của điểm C, giá trị của a + b + c bằng
A. 3
B. 2
C. 4
D. 7
Đáp án C
Vì AB giao mặt phẳng ( ) tại A A (1;2;0 )
Điểm B ( AB) B ( t + 3; t + 4; −4t − 8) AB = ( t + 2; t + 2; −4t − 8)
t = −1
2
2
B ( 2;3; −4 )
Mà AB = 3 2 AB2 = 18 2 ( t + 2 ) + ( 4t + 8 ) = 18
t = −3
Gọi H là hình chiếu của B trên ( )
Khi đó BH = d ( B; ( ) ) =
2 − 4 −1
2
=
3 2
2
3 2
AB = 3 2
Vì
BC = 3 2cos60 =
2
ABC = 60
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền BH BC
3 2
H C C là hình chiếu của B trên mặt phẳng ( )
Mà BH = BC =
2
x = 2 + t
5
7
phương trình BC y = 3
C BC ( ) C ;3; − a + b + c = 4
2
2
z = −4 + t
Câu 46: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
A ( −2; 4;2) ,B ( −5;6;2) ,C ( −10;17; −7) . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB.
A. ( x + 10) + ( y − 17) + ( z − 7) = 8
B. ( x + 10) + ( y − 17) + ( z + 7) = 8
C. ( x − 10) + ( y − 17) + + 2 = 8
D. ( x + 10) + ( y + 17) + ( z + 7) = 8
2
2
2
2
2
Đáp án B
Ta có AB = ( −2; 2;0 ) R = AB = 2 2
2
2
2
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu tâm cần tìm là ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8
2
2
2
Câu 47:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A ( 0; 0; 0) ,B ( 3; 0; 0) ,D ( 0;3; 0) ,D ' ( 0;3; −3) . Tọa độ
trọng tâm của tam giác A’B’C’ là
A. (1;1; −2)
B. ( 2;1; −2)
C. (1;2; −1)
D. ( 2;1; −1)
Đáp án B
DD ' = BB ' B ' ( 3;0; −3)
Ta có DD ' = AA ' A ' ( 0;0; −3) Tọa độ trọng tâm G của A ' B ' C là G ( 2;1; −2)
AB = DC C ( 3;3;0 )
Câu 48: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho tứ diện ABCD với A ( 0; 0;3) ,B ( 0; 0; −1) ,C (1; 0; −1) và D ( 0;1; −1) . Mệnh đề nào sau
đây là sai?
A. AB ⊥ BD
B. AB ⊥ BC
C. AB ⊥ AC
D. AB ⊥ CD
Đáp án C
Ta có: AB = ( 0;0; −4 ) ; AC = (1;0; −4 ) ; BC = (1;0;0 ) ; BD = ( 0;1;0 ) ; CD = ( −1;1;0 )
AB.BD = 0 AB ⊥ BD AB ⊥ BD
AB.BC = 0 AB ⊥ BC AB ⊥ BC
AB. AC = 16 Mệnh đề C sai.
Câu 49:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
Cho bốn điểm A ( 2; 0; 0) ,B ( 0;2; 0) ,C ( 0; 0;2 ) và D ( 2; 2; 2) . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của ( S) và AB. Tọa độ trung điểm I của MN là:
A. I (1; −1; 2)
Đáp án D
B. I (1;1; 0)
1 1
C. I ; ;1
2 2
D. I (1;1;1)
x A + xB
xC + xD
xM = 2
xN =
2
y + yB
y + yD
Áp dụng công thức trung điểm ta có yM = A
và y N = C
và
2
2
z A + zB
zC + z D
zM = 2
zN =
2
xM + xN
xI =
2
yM + y N
yI =
2
zM + z N
zI =
2
x A + xB + xC + xD
=1
xI =
4
y + yB + yC + yD
Suy ra yI = A
= 1 I (1;1;1)
4
z A + z B + zC + z D
=1
zI =
4
Câu 50:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho tam giác ABC có A (1;2; −1) ,B ( 2; −1;3) ,C ( −4; 7;5) . Tọa độ chân đường phân giác
trong góc B của tam giác ABC là
2 11
11
2 11 1
A. − ; ;1
B. ; −2;1
C. ; ;
D. ( −2;11;1)
3 3
3
3 3 3
Đáp án A
Gọi D là chân đường phân giác góc B của ABC . Theo tính chất đường phân giác ta
DA DC
AB
=
DA = −
.DC (*)
có :
AB BC
BC
Với AB = (1; −3; 4 ) AB = 26 và BC = ( −6;8; 2 ) BC = 104
AB
1
=−
BC
2
Từ (*) ta có, điểm D chia đoạn thẳng AC theo tỷ số k nên D có toạ độ
x A − kxC
2
x
=
=
−
D
1− k
3
y
−
ky
11
2 11
A
C
=
D − ; ;1
yD =
1− k
3
3 3
z A − kzC
zD = 1 − k = 1
Câu 51:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
k =−
cho ba điểm A ( 0;1;1) ,B ( 3; 0; −1) ,C ( 0;21; −19) và mặt cầu
( S) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)
2
2
1
= 1. M ( a,b,c) là điểm thuộc mặt cầu ( S) sao cho biểu
thức T = 3MA 2 + 2MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
14
12
A. a + b + c =
B. a + b + c = 0
C. a + b + c =
D. a + b + c = 12
5
5
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1).
Gọi E là điểm thoả
3EA + 2 EB + EC = 0 E (1; 4; −3) . T = 6ME 2 + 3EA2 + 2 EB 2 + EC 2
T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu
(S).
IE = (0;3; −4) , EM = (a − 1; b − 4; c + 3)
a − 1 = 0
a = 1
IE , ME cùng phương EM = k IE b − 4 = 3k b = 3k + 4
c + 3 = −4k
c = −4k − 3
4
k =−
5
M ( S ) (3k + 3) 2 + (−4k − 4) 2 = 1
k = − 6
5
4
208
8 1
k = − M1 1; ; EM1 =
5
5
5 5
6
2 9
k = − M 2 1; ; EM 2 = 6 EM 1 (Loại)
5
5 5
8 1
Vậy M 1; ;
5 5
Câu 52:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ABC biết A ( 2; 0; 0) , B ( 0;2; 0) , C (1;1;3) . H ( x 0 ,y 0 ,z0 ) là chân đường vuông góc
hạ từ A xuống BC. Khi đó x 0 + y 0 + z0 bằng
34
30
38
B.
C.
11
11
9
Đáp án B
Có AH ( xo − 2; yo ; zo ); BC(1; −1;3); BH ( xo ; yo − 2; zo )
A.
D.
11
34
4
t = 11
xo − 2 − yo + 3 zo = 0
x = 4
AH .BC = 0 xo = t
o 11
34
Theo đề bài, có
xo + yo + zo =
11
BH = t BC
yo − 2 = −t
y = 18
o
zo = 3t
11
12
zo =
11
Câu 53: ( Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai vectơ
u (1; 2;3) và v ( −5;1;1) . Khẳng định nào đúng?
A. u = v
B. u ⊥ v
C. u = v
D. u v
Đáp án B
Ta có: u.v = 1. ( −5) + 2.1 + 3.1 = 0 u ⊥ v
Câu 54: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho các điểm
A ( 2;1; −1) , B ( 3;3;1) , C ( 4;5;3) . Khẳng định nào đúng
A. AB ⊥ AC
C. AB = AC
Đáp án B
B. A, B, C thẳng hang
D. O, A, B, C là bốn đỉnh của một hìnhtứdiện
Ta có: AB (1; 2; 2 ) , AC ( 2; 4; 4 ) = 2 AB A, B, C thẳng hàng
Câu 55: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác
OAB có A ( −1; −1;0) , B (1;0;0) . Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB
A.
1
5
B.
5
C.
5
10
D.
2 5
5
Đáp án A
Ta có: AB ( 2;1;0 ) , OB (1;0;0 ) d ( O, AB ) =
AB; OB
=
AB
1
5
Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng ( P) : x + ( m + 1) y − 2z + m = 0 và ( Q) : 2x − y + 3 = 0, với m là tham
số thực. Để ( P) và ( Q) vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu
A. m = −5
Đáp án B
B. m = 1
C. m = 3
D. m = −1
Các vtpt của (P) và (Q) lần lượt là: n1 (1;m + 1; −2) ,n2 ( 2; −1;0)
Để ( P) ⊥ ( Q) thì n1.n2 = 0 1.2 + ( m + 1)( −1) + ( −2) .0 = 0 m = 1
Câu 57: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai điểm M ( 0; −1;2) và N ( −1;1;3) . Một mặt phẳng ( P) đi qua M, N sao cho
khoảng cách từ điểm K ( 0; 0; 2) đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ véctơ
pháp tuyến n của mặt phẳng
A. n (1; −1;1)
B. n (1;1; −1)
C. n ( 2; −1;1)
D. n ( 2;1; −1)
Đáp án B
x = t
Ta có MN : y = −1 − 2t . Gọi H ( t; −1 − 2t;2 − t ) là hình chiếu vuông góc của K lên MN
z = 2 − t
−1
Khi đó KH ( t; −1 − 2t; −t ) .MN ( −1;2;1) = 0 t − 2 − 4t − t = 0 t =
3
−1 −1 7
H ; ; . Ta có d K; ( P) KH dấu “=” xảy ra KH ⊥ ( P)
3 3 3
(
)
−1 −1 1
1
Khi đó n = KH = ; ; = − (1;1; −1)
3
3 3 3
Câu 58: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai
điểm M ( 2; −3;5) ,N ( 6; −4; −1) và đặt L = MN . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. L = ( 4; −1; −6)
B. L = 53
C. L = 3 11 D. L = ( −4;1;6)
Đáp án B
Ta có MN = ( 4; −1; −6) MN = 42 + 12 + 62 = 53
Câu 59: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng ( P) : x − 2y + 2z − 2 = 0 và điểm I ( −1;2; −1) . Viết phương trình mặt cầu
( S) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5
A. ( S) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 25
B. ( S) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 16
C. ( S) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1) = 34
D. ( S) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 34
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Đáp án D
(
)
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( P) là d = d I; ( P) = 3
Ta có R = r 2 + d2 = 52 + 32 = 34, với R là abns kính mặt cầu ( S)
Phương trình mặt cầu là: ( S) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 34
2
2
2
Câu 60: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
mặt phẳng chwusa hai điểm A (1; 0;1) ,B ( −1;2;2) và song song với trục Ox có phương
trình là
A. y − 2z + 2 = 0
Đáp án A
B. x + 2z − 3 = 0
C. 2y − z + 1 = 0
D. x + y − z = 0
Trục Ox có vecto chỉ phương là u = (1;0;0) và AB = ( −2;2;1)
0 0 01 10
;
;
Mà ( P) chứa A, B và ( P) / /Ox n ( P) = u; AB =
= ( 0; −1;2)
2 1 1 -2 −2 2
Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là y − 2z + 2 = 0
Câu 61: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) : 4x − z + 3 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là
một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
A. u1 ( 4;1; −1)
B. u2 ( 4; −1;3)
C. u3 ( 4;0; −1)
D. u4 ( 4;1;3)
Đáp án C
Vì d ⊥ ( P) suy ra ud = n( P) = ( 4;0; −1)
Câu 62: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm A ( a; 0; 0) ,B ( 0; b; 0) ,C ( 0; 0; c) với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy
ý sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
( ABC) lớn nhất bằng
1
3
Đáp án C
A.
B. 3
C.
1
3
D. 1