(trường không chuyên)56 câu cấp số cộng nhân image marked image marked

Câu 1(Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp
số cộng có 5 số hạng.
A. 7;12;17

B. 6;10;14

C. +

B. 1

A. 3

C. 8;13;18

D. 6;12;18
D. Giới hạn đã cho không tồn tại

Đáp án A

u 2 = 2 + 5 = 7
u1 = 2

Khi đó 
 22 = u1 + 4d  d = 5  u 3 = 7 + 5 = 12
u 5 = 22
u = 12 + 5 = 17
 4
Câu 2 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018)Xét tính bị chặn của các dãy số
sau: u n =

1

1
1
+
+ ... +
1.3 2.4
n. ( n + 2 )

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên nhưng không bị chặn

D. Bị chặn dưới nhưng không bị chặn

Đáp án A
Ta có: 0  u n 

1
1
1
1
+
+ ... +
= 1−
1
1.2 2.3
n ( n + 1)
n +1

Dãy ( u n ) bị chặn.

u1 = 2
Câu 3 (Hải Hậu A-Nam Định 2018): Cho dãy số ( u n ) biết 
, n  *. Tìm số
u n +1 = 2u n
hạng tổng quát của dãy số này?
A. u n = 2 n

B. u n = n n −1

C. u n = 2

D. u n = 2n +1

Đáp án A
u 2 = 2u1 = 22 ; u 3 = 2u 2 = 23 ,..., u n = 2 n

u1 = 1
Câu 4 (Hải Hậu A-Nam Định 2018)Cho dãy số ( u n ) biết 
n  *. Tính
u n +1 = u n + 2n − 1
số hạng u 50
A. 4024

B. 2404

C. 2240

D. 2024

Đáp án B
u 2 = u1 + 1; u 3 = u 2 + 3 = u1 + 1 + 3; u 4 = u 3 + 5 = u1 + 1 + 3 + 5;...; u 50 = u1 + 1 + 3 + 5 + ... + 2.49 − 1
= 1 + (1 + 3 + 5 + ... + 97 ) = 1 +

(1 + 97 ) .49 = 2402
2


Đáp án C
Câu 5 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là
cấp số cộng?
b) Dãy số ( vn ) với v n = 2n 2 + 1

a) Dãy số ( u n ) với u n = 4n
c) Dãy số ( w n ) với w n =
A. 4

n
−7
3

d) Dãy số ( t n ) với t n = 5 − 5n

B. 2

C. 1

D. 3

Đáp án D
Câu 6 (Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2018): Cho hai cấp số cộng
( an ) : a1 = 4; a2 = 7;...; a100 và (bn ) : b1 = 1; b2 = 6;...; b100 . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời
trong cả hai dãy số trên?
A. 32

B. 20

C. 33

D. 53

Đáp án B

( an ) là cấp số cộng có công sai

d = 3  an = 4 + 3 ( n − 1) là số hạng tổng quát của ( bn )

( bn ) là cấp số cộng có công sai

d = 5  bn = 1 + 5 ( n −1) là số hạng tổng quát của ( bn )

Suy ra an = bn  4 + 3 ( n1 −1) = 1 + 5 ( n2 −1)  5n2 − 3n1 = 5
Suy ra ( 3n1 ) 5, đặt ( 3n1 ) = 5x  x 3  5n2 = 5x = 5  n2 − x = 1
1  n1  100 

3
 x  60, x 3, x 
5

 có

60 − 3
+ 1 = 20 giá trị x thỏa mãn.
3

Suy ra có 20 số xuất hiện trọng cả hai dãy số trên
Câu 7 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số
nhân có u1 = 3. Khi đó u 5 là:
A. 72

B. -48

C. 48

D. 48

Đáp án D
Giả sử cấp số nhân có công bội là q.
Ta có: u 9 = u1q8 = 768  3q 8 = 768  q = 2

u5 = u1q4 = 3. ( 2) = 48
Câu 8 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Cho cấp số cộng (u n ) biết u1 = −5, d = 2. Số 81 là số
hạng thứ bao nhiêu?


A. 100

B. 50

C. 75

D. 44

Đáp án D
Ta có u n = u1 + ( n −1) d = 81  n = 44
Câu 9 (Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho dãy số u1 = 1, u n = u n −1 + 2 ( n  , n  1) . Kết quả
nào đúng ?
B. u 3 = 4

A. u 5 = 9

C. u 2 = 2

D. u 6 = 13

Đáp án A
Ta có u 2 = 3, u 3 = 5, u 5 = 9, u 6 = 11.
Câu 10 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho một cấp số nhân có u1 = 2, d = −2 khi đó số hạng

u5 bằng bao nhiêu
A. 32

C. −32

B. 64

D. −64

Đáp án A

Ta có u5 = u1. ( d ) = 32
4

Câu 11 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018)Cho cấp số cộng ( u n ) với số hạng đầu là u1 = −2017
và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá
trị dương?
A. u 674

B. u 672

C. u 675

D. u 673

Đáp án A
Công thức số hạng tổng quát là: u n = u1 + ( n −1) d = −2017 + ( n − 1) .3 = 3n − 2020.
Ta có: u n  0  3n − 2020  0  n 

2020
3

673,3  Bắt đầu từ số hạng u 674 các số hạng

của cấp số cộng đều nhận giá trị dương.
Câu 12 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018): Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA, AB,
BC lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm q ?
A.

5 −1
2

B.

2+2 5
2

C.

1+ 5
2

D.

2 5 −2
2

Đáp án B
Ta có AC.BC = AB2  AC.BC = BC2 − AC2  AC2q 2 = AC2q 4 − AC2  q 2 = q 4 − 1


 2 1+ 5
q =
1+ 5
1+ 5
2+2 5
2

 q2 =
q=
=

.
2
2
2
 2 1− 5
q =

2

Câu

13

(Hàm

Rồng-Thanh

Hóa

2018)Cho

cấp

số

cộng

( un )

thoả

mãn

u 5 + 3u 3 − u 2 = −21
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng là

3u 7 − 2u 4 = −34
A. −244

B. −274

D. −285

C. −253

Đáp án D

u 5 + 3u 3 − u 2 = −21 u1 + 4d + 3 ( u1 + 2d ) − u1 − d = −21

Ta có 
3u 7 − 2u 4 = −34
3 ( u1 + 6d ) − 2 ( u1 + 3d ) = −34

3u1 + 9d = −21 u1 = 2
u +u
u + u + 14d


 S15 = 1 15 .15 = 1 1
.15 = −285

2
2
u1 + 12d = −34 d = −3
Câu 14 (Hàm Rồng-Thanh Hóa 2018)Trong các dãy số ( u n ) sau đây dãy số nào bị chặn
A. u n = 2n + 1

B. u n = n 2 + 1

C. u n =

n
n +1

D. u n = n +

1
n

Đáp án C
Ta có u n =

n
1
n
= 1−
 1; u n  0 do đó dãy số u n =
là dãy số nào bị chặn
n +1
n +1
n +1

Câu 15 (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh):: Bốn số xen giữa các số 1 và – 234 để được
một cấp số nhân có 6 số hạng là:
A. −2; 4; −8;16

B. 2; 4;8;16

C. 3;9; 27;81

Đáp án D

 u1 = 1
Xét cấp số nhân ( u n ) : 
với công bội là q.
u 6 = −243
Ta có u 6 = u1.q 5  q 5 = −243  q = −3
Vậy bốn số hạng đó là −3; 9; −27; 81.

D. −3;9; −17;81


Câu 16: (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh):

Cho dãy số

( un )

xác định bởi

u1 = 321

với mọi n ≥ 1 . Tổng của 125 số hạng đầu tiên của dãy số bằng:

u n +1 = u n − 3
A. 63375

B. 16687, 5

C. 16875

D. 63562, 5

Đáp án C
Với dãy số ( u n ) xác định như trên ta dễ thấy ( u n ) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 321
công sai d = −3 . Do đó, tổng của 125 số hạng đầu của ( u n ) là:

S125 =

125.  2u1 + (125 − 1) d 
2

=

125. ( 2.321 − 124.3) 2
= 16875

Câu 17 (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh):: Bốn số xen giữa các số 1 và – 234 để được
một cấp số nhân có 6 số hạng là:
A. −2; 4; −8;16

B. 2; 4;8;16

C. 3;9; 27;81

D. −3;9; −17;81

Đáp án D

 u1 = 1
Xét cấp số nhân ( u n ) : 
với công bội là q.
u 6 = −243
Ta có u 6 = u1.q 5  q 5 = −243  q = −3
Vậy bốn số hạng đó là −3; 9; −27; 81.

Câu 18: (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh):

Cho dãy số

( un )

xác định bởi

u1 = 321
với mọi n ≥ 1 . Tổng của 125 số hạng đầu tiên của dãy số bằng:

u n +1 = u n − 3
A. 63375

B. 16687, 5

C. 16875

D. 63562, 5

Đáp án C
Với dãy số ( u n ) xác định như trên ta dễ thấy ( u n ) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 321
công sai d = −3 . Do đó, tổng của 125 số hạng đầu của ( u n ) là:

S125 =

125.  2u1 + (125 − 1) d 
2

=

125. ( 2.321 − 124.3) 2
= 16875

Câu 19 : ( THPT THẠCH THÀNH I )Cho ba số a b c , theo thứ tự vừa lập thành cấp số
cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi


A. a = d , b = 2d , c = 3d với d  0 cho trước.

B. a = 1; b = 2, c = 3

C. a = q, b = q 2 , c = q3 với q  0 cho trước.

D. a = b = c.

Đáp án A
khi d = 0 và q = 1
Câu 20 : ( THPT THẠCH THÀNH I )Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = 21. Độ
dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Thể
tích của khối hộp chữ nhật là
8
A. V = .
3

B. V = 8.

4
C. V = .
3

D. V = 6.

Đáp án B
Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là
AA ' = a, AB = b, AD = c và có đường chéo AC '.
b = 2a
Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q = 2 . Suy ra 
.
c = 4 a

Mặt khác, độ dài đường chéo AC ' = 21  AA '2 + AB2 + AD2 = 21  a2 + b2 + c2 = 21. .

a = 1

c = 2b = 4a

c = 2b = 4a
c = 2b = 4a

Ta có hệ  2
 2
 2
 b = 2.
2
2
2
2
21
a
=
21
a
+
2
a
+
4
a
=
21
(
)
(
)
a + b + c = 21 


c = 4


Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD. A ' B 'C ' D ' = AA '. AB. AD = abc = 8
Câu 21 : (THPT Quế Võ Số 2)Cho a, b, c là các số thực, theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
a + b + c = 26
. Tìm b.
Biết  2
2
2
a + b + c = 364

A. b = −1

B. b = 10

Đáp án C

 a + b + c = 26

Ta có a 2 + b2 + c 2 = 364 . Từ đó ta có

b2 = ac


a 2 + ac + c 2 = 364
S = a + c
. Đặt 
có hệ


2
 P = ac
 ( 26 − a − c ) = ac

C. b = 6

D. b = 4


 P = ( 26 − S )
 S − P = 364
 P = (26 − S )





2
2
2
 S = 20
(26 − S ) = P  S − (26 − S ) = 364
2

2

2

 a = 18


 S = 20   c = 2


 P = 36   a = 2

 c = 18

Vậy b 2 = ac = 36  b = 6
Câu 22 : (THPT Quế Võ Số 2)Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào không là cấp số nhân
lùi vô hạn?
 1
1 1 1 1
B. 1; − ; ; − ; ;...;  − 
2 4 8 16
 2

1 1 1
1
A. Dãy số ; ; ;..., n ;...
3 9 27
3

n−1

;...

n

2

 3
3 9 29
D. ; ; ;...;   ;...
2 4 8
 2

 2
3 4 8
C. Dãy số ; ; ;...,   ;...
3 9 27
 3

Đáp án D
Vì công bội q  1 .
Câu 23 (THPT Quế Võ Số 2): Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác
lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44. Tính số
cạnh của đa giác.
A. 6

B. 4

C. 9

D. 5

Đáp án B
Ta sắp xếp các cạnh giá trị u1 ;un tăng dần theo cấp số cộng là 3. Khi đó ta có:

n


u1 = 47 − 3n

 Sn = 158 ( u1 + 44 ) . = 158


2

( 47 − 3n + 44 ) .n = 316
 un = 44
 u1 + 3 ( n − 1) = 44



( *)

 n = 4 (TM )
(*)  3n − 91n + 316 = 0   79
n = ( L)

3
2

1
Câu 24 : (Nam Trực-Nam Định-2018) Cho cấp số nhân có u2 = , u5 = 16. Tìm q và u1 của
4
cấp số nhân .
1
1
A. q = − , u1 = −
2

2

B. q = −4, u1 = −

1
16

1
1
C. q = , u1 =
2
2

D. q = 4, u1 =

1
16


Đáp án D
1

q = 4
u2 = u1.q =

Ta có: 
4 
1
u = u .q 4 = 16 u = 16
1

 5

Câu 25 (Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm
thỏa mãn u 2 = 6, u 4 = 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
A. 3.212 − 3

B. 212 − 1

C. 3.212 − 1

D. 3.212

Đáp án A.
Gọi số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân là u1 ,q ( u1 ,q  0 ) .

u 2 = u1.q = 6
q = 2
1 − 212


S
=
3
= 3.212 − 3.
Ta có 

12
3
u
=

3
1− 2
u 4 = u1.q = 24  1
Câu 26 (Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn u n =

2n −1 + 1
. Tìm số
n

hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 51,2.

B. 51,3.

C. 51,1.

D. 102,3.

Đáp án B.
Ta có u10 =

210−1 + 1
= 51,3.
10

Câu 27 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018)Cho dãy số ( u n ) với u n = 3n. Tính u n +1 ?
A. u n +1 = 3.3n

B. u n +1 = 3n + 1

C. u n +1 = 3n + 3

D. u n +1 = 3 ( n + 1)

Đáp án là A.

Câu 28 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018): Cho cấp số cộng ( u n ) : 2,a,6, b. Tích a.b bằng:
A. 32 B. 22 C. 40 D. 12
Đáp án là A.
 2 + 6 = 2a  a = 4

 a.b = 32 .
• Theo tính chất của cấp số cộng: 
a + b = 12
b = 8

Câu 29 (THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018): Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
sai?
A. Một dãy số là một hàm số.


 1
B. Dãy số un =  − 
 2

n −1

là dãy số không tăng cũng không giảm dưới.

C. Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn

D. Một hàm số là một dãy số.
Đáp án D
Phương pháp:
Dùng các định nghĩa dãy số, dãy tăng, dãy giảm,… để kiểm tra tính đúng, sai của các đáp án.
Cách giải:
Đáp án A: Định nghĩa dãy số: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp số nguyên dương
 A đúng.
 1
Đáp án B: Dãy số un =  − 
 2

n −1

1
1
1
có u1 = 1; u2 = − ; u3 = ; u4 = − ... nên dãy này không tăng
2
4
8

cũng không giảm  B đúng.
Đáp án C: Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi u1 vì u1  u2  u3  ...  C đúng.
Câu 30 (THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018)Cho dãy hình vuông H1; H 2 ;....; H n ;.... Với
mỗi số nguyên dương n, gọi un , Pn và S n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình
vuông H n . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu ( u n ) là cấp số cộng với công sai khác vuông thì ( Pn ) cũng là cấp số cộng.
B. Nếu ( u n ) là cấp số nhân với công bội dương thì ( Pn ) cũng là cấp số nhân.
C. Nếu ( u n ) là cấp số cộng với công sai khác không thì ( Sn ) cũng là cấp số cộng.
D. Nếu ( u n ) là cấp số nhân với công bội dương thì ( Sn ) cũng là cấp số nhân.

Đáp án C
Phương pháp: Dãy số un n =1,2,... là cấp số cộng với công sai d thì un+1 = un + d n = 1, 2,3,...
Dãy số un n =1,2,... là cấp số nhân với công bội k thì un+1 = kunn = 1, 2,3,...
Cách giải
+) Giả sử dãy un là u1; u2 ;...; un là CSC có công sai d  0  un = u1 + ( n − 1) d

 4un = 4u1 + ( n − 1) 4d


Dãy Pn có dạng 4u1; 4u2 ;...; 4un là CSC có công sai 4d  0  A đúng
+) Giả sử dãy un là CSN có công bội k  0  un = k n −1u1
 un2 = k 2 n−2u12 = ( k 2 )

n −1

u12

Dãy S n có dạng u12 ; u22 ;...; un2 cũng là CSN có công bội k 2  0  D đúng.
un = k n −1u1  4un = 4k n −1u1 = k n −1.4u1  Dãy Pn có dạng 4u1; 4u2 ;...; 4un là CSN với công bội

k. Suy ra B đúng.
Câu 31 (THPT XUÂN HÒA LẦN 1-2018): Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân ( u n ) có u 4 − u 2 = 54 và u 5 − u 3 = 108
A. u1 = 3và q=2

B. u1 = 9và q=2

C. u1 = 9và q=-2

D. u1 = 3và q= -2

Đáp án C

u4 − u2 = 54
Ta có 
u5 − u3 = 108
u q 3 − u1q = 54
u4 − u2 = 54
u4 − u2 = 54
u − u = 54


 4 2
 1
54q = 108
u4 q − u2 q = 108 q (u4 − u2 ) = 108
q = 2
u (q 3 − q) = 54
u = 9
 1
 1
q = 2
q = 2

Câu 32 (THPT XUÂN HÒA LẦN 1-2018): Xác định Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp
số cộng ( u n ) có u 9 = 5u 2 và u13 = 2u 6 + 5.
A. u1 = 3 và d = 4

B. u1 = 3 và d = 5

C. u1 = 4 và d = 5

D. u1 = 4 và d = 3

Đáp án A


u9 = 5u2
4u − 3d = 0
u = 3
u1 + 8d = 5 ( u1 + d )

 1
 1
Ta có 
u13 = 2u6 + 5 
u1 + 12d = 2 ( u1 + 5d ) + 5 u1 − 2d = −5 d = 4
Câu 33 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng
đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n − n 2 . Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công
sai của cấp số cộng đó. Khi đó :
A. M = 7
Đáp án D

B. M = 4

C. M = −1

D. M = 1

S = u 1 = 3
u = 3
Ta có:  1
 1
 M =1
S 2 = 2u 1 +d = 4 d = −2

Câu 34 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Một cấp số nhân có số hạng đầu tiên là
2 và số hạng thứ tư là 54 thì số hạng thứ 6 là
A. 1458

B. 162

C. 243

D. 486

Đáp án D.

u1 = 2
Có 
từ u4 = u1.q 3  54 = 2.q3  q3 = 27  q = 3 nên u6 = 2.35 = 486 .
u
=
54
 4
Câu 35 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018)Gọi S n =

4 7 10
1 + 3n

+ + + ... +
. Khi đó
n n n
n

S 20 có giá trị là
A. 34

B. 30,5

C. 325

D. 32,5

Đáp án D
Có

4 1
1
= + 3.
n n
n

7 1
2
= + 3.
n n
n
10 1
3

= + 3.
n n
n
……

1 + 3n 1
n
= + 3.
n
n
n

1
1 2
n
3 1+ n
3(1 + n)
 S = .n + 3( + + ... + ) = 1 + .
n = 1+
n
n n
n
n 2
2
 S 20 =

65
= 32,5
2

Câu 36 (THPT ĐỒNG HẬU LẦN 1-2018)Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi
số tự nhiên n:
A. un+1  un
Đáp án B

B. un+1  un

C. un+1 = un

D. un+1  un


Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi số tự nhiên n : un +1  un
Câu 37 (THPT ĐỒNG HẬU LẦN 1-2018): Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các
cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3cm . Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số
cạnh của đa giác đó là:
A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án B
Gọi số cạnh đa giác là n ta có 44n − 3 (1 + 2 + ... + n − 1) = 158  44n − 3

n ( n − 1)
= 158
2

 3n 2 − 91n + 316 = 0  n = 4

Câu 38 (NGUYỄN VIẾT XUÂN 2018): Cho các số x + 2, x + 14, x + 50 theo thứ tự lập
thành một cấp số nhân. Khi đó x 3 + 2003 bằng:
A. 2019

B. 2017

C. 2017

D. 2020

Đáp án A

3 số lập thành cấp số nhân  ( x + 2 )( x + 50 ) = ( x + 14 )  24 x = 96  x = 4 .
2

Khi đó x 2 + 2003 = 2019 .
Câu 39 (NGUYỄN VIẾT XUÂN 2018): Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là
cấp số cộng?
A. 3,1, −1, −2, −4

B.

1 3 5 7 9
, , , ,
2 2 2 2 2

C. −8, −6, −4, −2, 0

D. 1,1,1,1,1

Đáp án A
Day số là cấp số cộng nếu các số hạng cộng đều lên, tức là số đằng sau bằng số đằng trước
cộng với một giá trị cố định đều cho trước.
1
Câu 40 (THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Cho một cấp số cộng ( u n ) có u1 = ; u 8 = 26.
3
Tìm công sai d
11
10
3
3
A. d =
B. d =
C. d =
D. d =
10
11
3
3
Đáp án A

( un )

là cấp số cộng nên:


u8 = u1 + 7 d

1
 26 = + 7 d
3
11
d=
3

Câu 41 (THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = −2 và công sai

d = 3. Tìm số hạng u10 .
B. u10 = 25

A. u10 = −2.39

D. u10 = −29

C. u10 = 28

Đáp án B
u10 = u1 + 9d = −2 + 9.3 = 25

Câu 42 (THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Cho dãy số

( un )

được xác định bởi

u1 = 3
. Tính lim u n .


2 ( n + 1) u n +1 = nu n + n + 2

A. lim u n = 1

B. lim u n = 4

C. lim u n = 3

D. lim u n = 0

Đáp án A

u1 = 3

2(n + 1)u n +1 = nu n + n + 2
Ta thấy 1  u n +1  1 +
•

1
n  1 .
2n

u n +1  1 n  1 .
n = 1  u2 =

3
 1 luôn đúng.
2

Giả sử u n +1  1 n = k . Ta cần chứng minh u n +1  1 n = k + 1 . Thật vậy :

u n +1 =

•

nu n + 1 1
n +1
1
+ 
+ =1.
2(n + 1) 2 2(n + 1) 2

u n +1  1 +

1
n  1 .
2n

n = 1  u2 =

3
1
 1 + luôn đúng.
2
2

Giả sử u n +1  1 +

1
1
n = k . Ta cần chứng minh u n +1  1 +

n = k + 1 . Thật vậy :
2n
2n


1 

n 1 + 
nu + 1 1
1
1
2n  1
.
u n +1 = n
+  
+  1+
 1+
2(n + 1) 2
2(n + 1)
2
4(n + 1)
2n
Suy ra lim u n = 1 .
Câu 43 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa-LẦN 1): Cho dãy số ( u n ) với u n = ( −1)

n

n.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số ( u n ) là dãy số bị chặn.

B. Dãy ( u n ) là dãy số tăng.

C. Dãy số ( u n ) là dãy số giảm.

D. Dãy số ( u n ) là dãy số không bị chặn.

Đáp án D
Dãy u n = − (1)

n

n là dãy số không bị chặn vì lim u n = lim n = +

Câu 44: (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa-LẦN 1)Trong các dãy số sau đây dãy số nào
là cấp số nhân?
A. Dãy số −2, 2, −2, 2,..., −2, 2, −2, 2...
B. Dãy số các số tự nhiên 1, 2,3,...
C. Dãy số ( u n ) , xác định bởi công thức u n = 3n + 1 với n 

u1 = 1
D. Dãy số ( u n ) , xác định bởi hệ : 
u n = u n −1 + 2 ( n 

*

*

: n  2)

Đáp án A
Dãy số −2, 2, −2, 2, −2,..., 2, −2, 2, −2,... là cấp số nhân với u1 = −2,q = −1
Câu 45 (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa): Cho một cấp số cộng có u4 = 2, u2 = 4 .Hỏi

u1 bằng bao nhiêu?
A. u1 = 5

B. u1 = 6

C. u1 = −1

D. u1 = 1

Đáp án A
Ta có u3 =

u2 + u4
= 3  d = −1  u1 = u2 − d = 5
2

Câu
45
(THPT
Triệu
Sơn
của M = log 2 2 + log 2 4 + log 2 8 + ... + log 2 256 là
A. 48

B. 36

C. 56

3-Thanh

Hóa)Giá

D. 8log 2 256

trị


Đáp án B
Ta có: M = 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36
Câu 47: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa) Có bao nhiêu cấp số nhân có 5 số hạng? Biết
rằng tổng 5 số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.
A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Đáp án C
Xét 5 số hạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 của cấp số nhân và công bội q
 5
 u1 (1 − q 5 )
 uk = 31


= 31
4 1 − q5
 k =1
  1− q
 2.
= 31(*)
Theo bài ra, ta có  5
q 1− q
 u = 1024
 5 10
k
u1 .q = 4

k =1

Phương trình (*) có 4 nghiệm q phân biệt. Vậy có 4 cấp số nhân cần tìm
Câu 48 (THPT KIM SƠN A)Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d = −3 và u22 + u32 + u42 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
B. S100 = −14250.

A. S100 = −14400.

C. S100 = −15480.

D. S100 = −14650.

Đáp án B
Ta có S = u22 + u32 + u42 = ( u1 − 3) + ( u1 − 6 ) + ( u1 − 9 ) = 3u12 − 36u1 + 126 .
2

2

2

Do đó S đạt GTNN khi u1 = 6 .
Vậy S100 = 100.6 +

100.99
. ( −3) = −14250 .
2

Câu 49: (THPT Hà Trung-Thanh Hóa-Lần 1.) Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2 và công bội
q = 3 . Tính u3 .

A. u3 = 8.

B. u3 = 18.

C. u3 = 5.

D. u3 = 6.

Đáp án B
Ta có u3 = u1.q 2 = 2 ( 3) = 18
2

Câu 50 (THPT Hà Trung-Thanh Hóa-Lần 1.): Cho dãy số

u1 = 1
. Tính số hạng thứ 2018 của dãy.


u
=
2
u
+
5
n
 n+1

( un )

xác định bởi


A. u2018 = 3.22018 + 5

B. u2018 = 3.22017 + 1

C. u2018 = 6.22018 − 5

D. u2018 = 6.22018 − 5

Đáp án D
u1 = 1
u1 = 1

Ta có ( un ) : 
un −1 = 2un + 5 ( un +1 + 5 ) = 2 ( un + 5 )

v = 6
Đặt: vn = un + 5   1
 v2018 = 22017.v1 = 6.22017  u2018 = 6.22017 − 5
v
=
2
v
n
 n−1
Câu 51 (Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1 2018).: Cho dãy số

u1 = 2

u + 2 − 1 , n 
mãn 
u = n
 n +1 1 − 2 − 1 u
n


(

A. u2018 = 7 + 5 2



)

( un )

thỏa

. Tính u2018 .

B. u2018 = 2

C. u2018 = 7 − 5 2

D. u2018 = 7 + 2

Đáp án A

Ta có tan


8

= 2 − 1 suy ra un +1 =

un + tan
1 − tan

Đặt tan  = 2 suy ra u1 = tan  → u2 =


8


8
.un

u1 + tan



tan  + tan



8 =
8 = tan   +  



8

1 − tan .u1 1 − tan .tan
8
8







Do đó u3  tan  + 2.  → un  tan  + n. 
8
8






2 + 2 −1


= 7+5 2
Vậy u2018 = tan   + 2017.  = tan   +  = u2 =
8
8


1 − 2 2 −1

(

)

Câu 52 (QUẢNG XƯƠNG 2 2018)Cho dãy số ( un ) thỏa mãn ln2 u6 − lnu6 = lnu4 − 1 và
un+1 = un .e với mọi n  1. Tìm u1

A. e

B. e2

C. e−3

Đáp án D
Vì un+1 = un .e nên dễ thấy dãy số ( un ) là cấp số nhân có công bội q = e

D. e−4


ln2 u6 − ( ln u8 + ln u4 ) + 1 = 0  ln2 u6 − ( ln u8u4 ) + 1 = 0  ( ln u6 − 1) = 0
2

 ln u6 = 1  u6 = e  u1 = e−4

Câu 53 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Cho dãy số

( u n ) thỏa

mãn

u1 = 1
. Tổng S = u1 + u 2 + ... + u 20 bằng

u n − 2u n −1 + 1, n  2
A. 2 20 − 20

B. 221 − 22

D. 221 − 20

C. 2 20

Đáp án B
 u1 = 1
u1 = 2


Ta có: 
u n = 2u n +1 + 1, n  2
u n + 1 = 2 ( u n −1 + 1) , n  2

v = 2
Đặt vn = u n + 1   1
 vn là cấp số nhân với công bôi q = 2
vn = 2vn −1
Ta

có:

S = v1 − 1 + v 2 − 1 + ... + v 20 − 1 = v1 + v 2 + ... + v 20 − 20 = v1

1 − 2020
− 20 = 2 21 − 2 − 20 = 2 21 − 22
1− 2

Câu 54 (Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Cho dãy số

( u n ) được

xác định bởi

u1 = 2; u n = 2u n −1 + 3n − 1. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có

dạng a.2n bn + c, với a, b, c là các số nguyên, n  2, n  N. Khi đó, tổng a + b + c có giá trị
bằng ?
A. −4

B. 4

C. −3

D. 3

Đáp án C
Ta có u n + 3n = 2  u n −1 + 3 ( n − 1)  + 5  v n = 2n −1  v n + 5 = 2 ( v n −1 + 5 )  h n = 2h n −1
Suy ra ( h n ) là cấp số nhân với q = 5 và v1 = u1 + 3 = 5  h1 = v1 + 5 = 10
Khi đó h n = 10.2n −1  v n = 10.2n −1 − 5  u n = v n − 3n = 5.2n − 3n − 5. Vậy a + b + c = −3
Câu 55 (Yên Định 2-Thanh Hóa 2018): Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 3, công bội
q = 2. Biết Sn = 765. Tìm n.

A. n = 7.
Đáp án C.

B. n = 6.

C. n = 8.

D. n = 9.


Ta có Sn = u1

1 − qn
1 − 2n
 765 = 3
 1 − 2n = −255  2n = 256  n = 8.

1− q
1− 2

Câu 56 (Yên Định 2-Thanh Hóa 2018): Cho một cấp số cộng ( u n ) có u1 = 0 và tổng 100
số hạng đầu bằng 24850. Tính S =

A. S = 123.

B. S =

1
1
1
+
+ ... +
.
u 1u 2 u 2 u 3
u 49 u 50

4
.
23

C. S =

9
.
246

D. S =

49
.
246

Đáp án D.
Ta có: S100 =

u1 + u100
.100 = 24850  u100 = 496 = u1 + 99d  d = 5.
2

Vậy u n = 1 + ( n − 1) .5 = 5n − 4;u n +1 = 1 + 5n
Do đó

1
1
1 1
1 
=
=  −

u n u n +1 ( 5n + 1)( 5n − 4 ) 5  u n u n +1 

Suy ra

S=

1
1

1
1 1 1 1 1
1
1  1 1
1  49
+
+ ... +
=  − + − ..... +
−
.
=  −
=
u1u 2 u 2 u 3
u 49 u 50 5  u1 u 2 u 2 u 3
u 49 u 50  5  u1 u 50  246