BT cấp số cộng, nhân (hay cực)

 NHỮNG CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ- CẤP SỐ - GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN
GV:nguyÔn ®øc tuyªn---THPT nguyÔn bÝnh
DÃY SỐ:
1/Dãy số (
n
u
) :TĂNG Nếu
n n 1
u u
+
<
hay
*
n 1 n
u u 0, n N
+
− > ∀ ∈
.
Hoặc
*
n 1
n
n
u
1,u 0, n N
u
+
> > ∀ ∈
.
2/Dãy số (
n

u
) :GIẢM Nếu
n n 1
u u
+
>
hay
*
n 1 n
u u 0, n N
+
− < ∀ ∈
.
Hoặc
*
n 1
n
n
u
1,u 0, n N
u
+
< > ∀ ∈
.
3/Dãy số (
n
u
) :BỊ CHẶN TRÊN Nếu
*
n

M : n N ,u M∃ ∀ ∈ ≤
.
4/Dãy số (
n
u
) :BỊ CHẶN DƯỚI Nếu
*
n
m : n N ,u m∃ ∀ ∈ ≥
.
5/Dãy số (
n
u
) :BỊ CHẶN Nếu
*
n
M,m : n N ,m u M∃ ∀ ∈ ≤ ≤
.
CẤP SỐ CỘNG:
1/(
n
u
) :Cấp số cộng
*
n 1 n
u u d, n N
+
⇔ = + ∀ ∈
. 2/Số hạng tổng quát :
n 1

u u (n 1)d= + −

3/Tổng n số hạng đầu tiên :
[ ]
1
1 n
n
n 2u (n 1)d
n(u u )
S
2 2
+ −
+
= =
4/Tính chất : a,b,c :Cấp số cộng
a c
b
2
+
⇔ =
. Tổng quát :
k 1 k 1
k
u u
u ,k 2
2
− +
+
= ≥
.

CẤP SỐ NHÂN:
1/(
n
u
) : Cấp số nhân
*
n 1 n
u u q, n N
+
⇔ = ∀ ∈
. 2/Số hạng tổng quát :
n 1
n 1
u u q , n 2
−
= ∀ ≥
.
3/Tổng n số hạng đầu tiên :
n
1
n
u (1 q )
S ,q 1
1 q
−
= ≠
−
4/Tính chất : a,b,c :Cấp số nhân:
2
b ac⇔ =

. Tổng quát:
2
k k 1 k 1
u u .u ,k 2
− +
= ≥
.
GIỚI HẠN DÃY SỐ:
1/
*
k
n
n
1
0 ; 0,k N
n
1
lim
lim
n
→+∞
→+∞
= = ∈
2/
n
n
q 0 , q 1
lim
→+∞
= <

3/
*
3
n
n
1
0 ; 0,k N
n
1
lim
lim
n
→+∞
→+∞
= = ∈
.
4/Cho
n n
(u ),(v )
:
n n n n
u v , n lim v 0 lim u 0≤ ∀ ∧ = ⇒ =
.
5/Nếu :
n
limu L=
Thì : a/
3
3

n n
lim u L lim u L= ∧ = .
b/ Nếu :
n n
u 0, n L 0 lim u L≥ ∀ ⇒ ≥ ∧ = .
6/Nếu
n
limu a=
,
n
lim v b=
Thì : 
n n
lim(u v ) a b± = ±

n n
limu .v a.b=


n
n
u
a
lim (b 0)
v b
= ≠

n
limkv kb=
7/Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn :

1
u
S , ( q 1)
1 q
= <
−

8/
n
n
1
lim u lim 0
u
= +∞ ⇒ =
. 9/
n
n n
n
u
limu a limv lim 0
v
= ∧ = ±∞ ⇒ =
10/lim
k *
n ,n N= ∞ ∈
11/
n
limq ,q 1= +∞ >
12/
n

n n n
n
u
limu a 0,lim v 0 v 0, n lim
v
= > = ∧ > ∀ ⇒ = +∞
13/
n n n. n
limu lim v a 0 lim u v= +∞ ∧ = > ⇒ = +∞
GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1/
0
0
x x
limx x
→
=
;
0
x x
limC C
→
=
2/
k
x
limx
→+∞
= +∞
3/

[ ]
0
x x
cL
lim cf (x)
→
=

4/
{
k
x -
,k 2n
,k 2n 1
limx
→ ∞
+∞ =
=
−∞ = +
5/
*
k k
x x
1 1
0 ; 0,k N
x x
lim lim
→+∞ →−∞
= = ∈
6/Nếu

0 0
x x x x
L M (L,M R)
limf (x) limg(x)
→ →
= ∧ = ∈
Thì :

[ ]
0
x x
L M
lim f (x) g(x)
→
= ±
±

0
x x
L
,(M 0)
M
f(x)
lim
g(x)
→
= ≠


[ ]

0
x x
L.M
lim f (x).g(x)
→
=

0
k
k
0
x x
ax
limax
→
=


0
0
x x
x x
f (x) 0 L L 0 L
limf (x)
lim f (x)
→
→
≥ ∧ = ⇒ ≥ ∧ =

7/Nếu

0
x x
L
limf (x)
→
=
Thì : 
0
x x
L
lim f (x)
→
=

0
3
3
x x
L
lim f (x)
→
=
8/
*
k
x
,k N
limx
→+∞
= +∞ ∈

9/
k
x
,k 2n
limx
→+∞
= +∞ =

10/
0
0 0
x x
x x x x
L L
limf (x) limf (x) limf (x)
− +
→
→ →
= ⇔ = =
.
11/Nếu
0
x x
lim f(x)
→
= +∞
Thì
0
x x

1
0
f (x)
lim
→
=
12/Các dạng vô định :
0
; ; 0. ;
0
∞
∞ ∞ − ∞
∞

13/MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC :  Nếu
0 0
x x x x
0
1
f(x)
lim lim
f(x)
→ →
= +∞ ⇒ =
.
Quy tắc 1: Nếu
[ ]
0
0
0

x x
x x
x x
vµ L 0 f (x).g(x) :
limg(x)
limf(x)
lim
→
→
→
= ±∞ = ≠ ⇒

0
x x
limf (x)
→
Dấu của L
[ ]
0
x x
f (x).g(x)
lim
→

+∞

+∞

−∞

−∞
+
-
+
-

+∞

−∞

−∞

+∞
Quy tắc 2: Nếu
0 0
x x x x
L 0, 0 g(x) 0
limf (x) limg(x)
→ →
= ≠ = ∧ >
Hoặc
g(x) 0<
.
Dấu của L Dấu của g(x)
0
x x
f (x)
g(x)
lim
→

+
+
-
-
+
-
+
-

+∞

−∞

−∞

+∞
HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Hàm số f(x) liên tục tại x
0
nếu
0
0
x x
f (x )
limf(x)
→
=
.
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]

a;b
và
f (a).f (b) 0<
thì
( )
c a;b :f (c) 0∃ ∈ =
.
Nếu :
x a x a x a
g(x) f (x) h(x) L
limg(x) limh(x) limf(x)=L
→ → →
≤ ≤ ∧ = = ⇒
.

0 0
0 0
x x x x
f (x ):liªn tôc bªn ph¶i f (x ):liªn tôc bªn tr¸i
l imf(x) l imf(x)
+ −
→ →
= • =
f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
0
0
0
x x
0

x x
f (x) f (x )
a;b f (x) f (x )
f (x)liªn tôc trªn (a;b)
lim
lim
+
−
→
→
=



⇔ =




ĐẠO HÀM:
0
0 0 0
0
x x x 0 x 0
0
f (x) f (x ) f (x x) f (x )
y
f '(x )
x x x x
lim lim lim

→ ∆ → ∆ →
− + ∆ −
∆
= = =
− ∆ ∆
Quy tắc tính đạo hàm: Tính
0 0
y f (x x) f (x )∆ = + ∆ −
Tìm :
0
x 0
y
f '(x )
x
lim
∆ →
∆
⇒
∆
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
0 0 0
M (x ;f (x )) (C)∈
là:
0 0 0
y f '(x )(x x ) f (x )= − +
.
Vận tốc tức thời:
0 0
0 0
t 0

s(t t) s(t )
v(t ) s'(t )
t
lim
∆ →
+ ∆ −
= =
∆
VI PHÂN : 
0 0
df (x ) f '(x ). x= ∆

df (x) f '(x).dx hay dy y'dx= =

0 0
f (x x) f(x) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

'
dcx
bax






+
+

=
2
)dcx(
bcad
+
−

0x
1
x
xsin
lim
→
=

0x
e)x1lim(
x
1
→
=+


0x
1
x
lim
)x1ln(
→
=

+

0x
1
x
1e
lim
x
→
=
−

∞→
=+
x
e)
x
1
1lim(
x


 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM THƯỜNG DÙNG


1dx x C= +
∫

1du u C= +
∫


1
x
x dx C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫

1
u
u du C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
(u +v+t)' = u' + v' + t' (uv)' = u'v+v'u
(u-v-t)' = u' - v' - t' (uvt)' = u'vt +uv't +uvt'

'
v
u







=
2
v
u'vv'u
−
,(v
0
≠
)  (Cv)' = Cv' (C : hằng số )

( )
'
x
α
=
1
x.
−α
α

'
x
1







=
2
x
1
−
, (x
0
≠
)

( )
'
x
=
x2
1
, (x > 0)
 (u
)'
α
=
1
u
−α
α
.u'

'
u

1






=
2
u
'u
−
, (u
0
≠
)

( )
'
u
=
'u.
u2
1
, (u > 0)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = - sin x
(tan x)' =
2
2

1
1 tan x
cos x
= +
, (cos x
0≠
)
(cotx)
'
= -
)xgcot1(
xsin
1
2
2
+−=
(sin x
0≠
)
(sin u)' = u'.cos u
(cos u)' = -u'.sin u
(tan u)' =
2
2
u '
u '(1 tan u)
cos u
= +
,(cos u
0≠

)
(cot u)' =
2
2
u '
u'(1 cot u)
sin u
− = − +
,(sin u
0
≠
)
(e
x
)' = e
x
(a
x
)' =a
x
lna , (o < a
1
≠
)
(e
u
)' = u' .e
u
(a
u

)' = a
u
u'lna
(ln
x
)' =
x
1
, (x
0
≠
)
(ln x)' =
x
1
, (x > 0)
(
xlog
a
)' =
aln.x
1
, (x > 0, 0 < a
1
≠
)
(
xlog
a
)' =

aln.x
1
, (x
0
≠
, 0 < a
1
≠
)
(ln
u
)' =
u
'u
, (u
0
≠
)
(ln u)' =
u
'u
, (u > 0)
(
ulog
a
)' =
'u.
aln.u
1
, (u > 0, 0<a

1
≠
)
(
ulog
a
)' =
'u.
aln.u
1
, (u
0
≠
,0<a
1
≠
)
Đạo hàm cấp cao :
( ) ( )
)]'x(f[)x(f
1nn
−
=
,
(n N,n 2)∈ ≥
x u x
y' y' .u'• =
:Đạo hàm hàm số hợp
Vi phân: dy =y'dx u = u(x) ; v = v(x)
 n giai thừa : n! =1.2.3...n=(n-1)!n


1
dx ln x C (x 0)
x
= + ≠
∫

1
du ln u C (u 0)
u
= + ≠
∫

x x
e dx e C= +
∫

u u
e du e C= +
∫

x
x
a
a dx C (0 a 1)
lna
= + < ≠
∫

u

u
a
a du C (0 a 1)
ln a
= + < ≠
∫


cosx dx sinx C= +
∫

cosu du sinu C= +
∫

sinx dx cosx C= − +
∫

sinu du cosu C= − +
∫

2
1
dx tan x C
cos x
= +
∫

2
1
du tan u C

cos u
= +
∫

2
1
dx cotx C
sin x
= − +
∫

2
1
du cot u C
sin u
= − +
∫

Chú ý: 
1 1
dx ln ax+b C
ax+b a
= +
∫

ax+b ax+b
1
e dx e C
a
= +

∫


1
cos(ax+b)dx sin(ax+b) C
a
= +
∫

1
sin(ax+b)dx cos(ax+b) C
a
= − +
∫

 Đổi biến số trong tích phân :
Nếu f(x) chứa
2 2
a x
−
→
x = a.sint
 Nếu f(x) chứa
2 2
a x+

→
x = a.tant
Nếu f(x) chứa
2 2

x a
−
→
a
x =
cost
.Đặcbiệt:
2 2
2 2
1
dx t x x a
x a
→ = + +
+
∫
Tích phân từng phần: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
 Dạng1: P(x).
ax
sin ax
cosax dx
e


→




Chọn : u =P(x)  P(x) là 1 đa thức của x
 Dạng 2: P(x).ln(ax+b)dx
→
u = ln(ax+b),( Còn lại : Đặt dv).



.