GIẢI bài TOÁN ĐỘNG lực học THEO các bước

Bài 1 :Hai vật A và B có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang và được nối với nhau bằng
dây không giãn, khối lượng không đáng kể. Khối lượng 2 vật là m A = 2kg, mB = 1kg,
ta tác dụng vào vật A một lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn. Hệ số ma
sát giữa hai vật với mặt bàn là m= 0,2. Lấy g = 10m/s2. Hãy tính gia tốc chuyển động.
Bài giải:
Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai
vật được nối với nhau bằng dây
không giãn và cùng trượt trên mặt
phẳng nằm ngang.
Các lực tác dụng lên từng vật:
→

→

→

→

→

→

Vật A: Trọng lực P1 , phản lực vuông góc N 1 , lực căng dây T1 , lực ma sát F1ms ,


lực tác dụng F .
→

→

Vật B: Trọng lực P2 , phản lực vuông góc N 2 , lực căng dây T2 , lực ma sát F2 ms ,



lực tác dụng F .
Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây,
nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau.
Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật 1. Do đó, lực ma sát có
chiều như hình vẽ.
Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto:
*Đối với vật A ta có:
→

→

→

→

→

→

P1 + N 1 + F + T1 + F1ms = m1 a1 (1)

* Đối với vật B:
→

→

→

→

→

→

P2 + N 2 + F + T2 + F2ms = m2 a2 (2)

Bước 3: Chọn hệ trục như hình vẽ:
T1 =T2 =T
a1 = a2 = a
fms =kN = kmg
P = mg
- Chiếu (1) lên Ox, ta được: F −T1 −F1ms = m1a1 ⇔ F- T - k1g = m1a (3)
- Chiếu (1) lên Oy, ta được: -P1+N1 = 0 ⇔ −m1g + N1 = 0
- Chiếu (2) lên Ox, ta có: T2 − F2ms = m2a2 ⇔ T- F2ms = m2a
- Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = 0 ⇔ −m2g + N2 = 0
Bước 4: Cộng (3) và (5) ta được:
F − k(m1 + m2)g = (m1+ m2)a
1

(4)
(5)
(6)


⇒

a=

F − k (m1 + m 2 ).g 9 − 0,2(2 + 1).10
=
= 1m / s 2
m1 + m 2
2 +1

Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài
toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh.
Bài 2 :Hai vật cùng khối lượng m = 1kg
với nhau bằng sợi dây không giãn và
lượng không đáng kể. Một trong 2 vật

được nối
khối
chịu tác

→

động của lực kéo F hợp với phương ngang góc α = 300 . Hai vật có thể trượt trên mặt
bàn nằm ngang góc α = 300
Hệ số ma sát giữa vật và bàn là 0,268. Biết rằng dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất
là 10 N. Tính lực kéo lớn nhất để dây không đứt. Lấy 3 = 1,732.
Bài giải:
Bước 1: Hiện tượng cơ
Hai vật được nối với
bằng dây không giãn
thể cùng trượt trên mặt
nằm ngang.
Các lực tác dụng lên từng vật:
→

→

học:
nhau
và có
phẳng

→

→

Vật 1: Trọng lực P1 , phản lực vuông góc N 1 , lực căng dây T1 , lực ma sát F1ms ,


lực tác dụng F hợp với phương ngang góc α = 30°
→

→

→

→

Vật 2: Trọng lực P2 , phản lực vuông góc N 2 , lực căng T2 , lực ma sát F2 ms , lực


tác dụng F hợp với phương ngang góc α = 30°
Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây,
nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau.

Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật. Do đó, lực ma sát có
chiều như hình vẽ.
Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto:
*Đối với vật 1 ta có:
→

→

→

→

→

→

P1 + N 1 + F + T1 + F1ms = m1 a1 (1)

*Đối với vật 2 ta có:
→

→

→

→

→

→

P2 + N 2 + F + T2 + F2ms = m2 a2 (2)

Bước 3: Ta có: T1 = T2 = T

2


a1 = a2 = a
m1 = m 2 = m
Chiếu (1) lên Oy, ta được: Fsin 300 −P1 + N1 = 0
Chiếu (1) xuống Ox, ta được: F.cos 300 −T1 −F1ms = m1a1
Mà F1ms = k N1 = k(mg −Fsin 300)
⇒ F.cos 300 −T1=k(mg − Fsin 300) = m1a1
⇔ F cos 30° − T − k ( mg − F sin 30°) = ma (3)

Chiếu (2) lên Oy, ta được: −P2 + N2 = 0
Chiếu (2) xuống Ox, ta được: T − F2ms = m2a2
Mà F2ms = k N2 = km2g
⇒ T2 − k m2g = m2a2 (4)
Bước 4: Từ (3) và (4), suy ra :
:

⇒ T=
F≤

T (cos 30 0 + µ sin 30 0 )
≤ t max·
2
2Tmax

cos 30 + k sin 30
0

0

=

2.10
3
1
+ 0,268
2
2

= 20 N

Vậy Fmax = 20 N
Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài
toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh.
Bài 3 : Cần tác dụng lên vật m =3kg trên mặt phẳng nghiêng góc α =45

ο

một lực F

bằng bao nhiêu để vật nằm yên, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k =0,2;
khi biết vật có xu hướng trượt xuống. Lấy g =10m/s2.

Bài giải:

Bước 1: Hiện tượng cơ học: Vật chuyển động theo mặt phẳng nghiêng.
→

→

→



Vật: Trọng lực P1 , phản lực vuông góc N 1 , lực ma sát F1ms , lực tác dụng F .
Bước 2: Áp dụng định luật II Newtơn ta có :

3


→

→

→

→

F + P+ N + Fms = 0

(1)

Bước 3: Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.:
Fms = kN = k(mgcoxα + F sinα)
-Chiếu phương trình (1) lên trục Oy, ta được:

N − Pcoxα − Fsinα = 0 ⇒ N = Pcoxα + F sinα
-Chiếu phương trình (1) lên trục Ox, ta được :
Psinα −F coxα −Fms = 0
⇒ F coxα = Psinα −Fms = mg sinα − kmg coxα − kF sinα

(2)

Bước 4: Từ (2), suy ra:
F=

mg (sin α − kcoxα ) 3.10(sin 45° + 0,2 cos 45°)
=
= 30 N
cos α + k sin α
cos 45° + 0,2 sin 45°

Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài
toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh.
Bài 4 :Hai vật A và B có khối lượng lần lượt là m A = 600g, mB = 400g được nối với
nhau bằng sợi dây nhẹ không dãn và vắt qua ròng rọc cố định như hình vẽ. Bỏ qua
khối lượng của ròng rọc và lực ma sát giữa dây với ròng rọc. Lấy g = 10m/s 2. Tính gia
tốc chuyển động của mối vật.

Bài giải:
Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ
không giãn, và vắt qua ròng rọc cố định.
Các lực tác dụng lên từng vật:
→

→

→

→

Vật A: Trọng lực PA , lực căng T A .
Vật B: Trọng lực PB , lực căng TB .
Vì dây không giãn nên hai vật chuyển động cùng gia tốc, bỏ qua khối lượng của
ròng rọc và lực ma sát giữa dây và ròng rọc nên lực căng tác dụng lên hai vật cũng
bằng nhau.
Vì mA > mB nên khi thả thì vật A sẽ đi xuống và vật B sẽ đi lên.
Các lực có chiều như hình vẽ:
Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto:

4


→

→

→

→

→

→

PA + T A = m A a A (1)

PB + T B = m B a B (2)

Bước 3: Ta có:
TA = TB = T ; aA = aB = a
Chiếu (1) lên trục x, ta được:
PA − T A = m A a A ⇔ m A g − T = m A a (3)

Chiếu (2) lên trục y, ta được:
− PB + T B = m B a B ⇔ −m B g + T = m B a

(4)

Bước 4: Từ (3) và (4), suy ra:
a=

(m A − m B ) g (600 − 400)10
=
= 2m s2
m A + mB
600 + 400

Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài
toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh
Bài 5: Một hệ gồm ba vật khối lượng m 1, m2, m3 treo trên hai ròng rọc bằng các sợi
dây không co dãn như ở hình bên. Giả sử khối lượng của các ròng rọc và các sợi dây
không đáng kể. Bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc. Hãy xác định gia tốc của mỗi vật
và lực căng của các sợi dây.
Bài giải
Bước 1: Hiện tượng cơ học: Ba vật 1, 2 và 3 treo trên hai ròng rọc bằng các sợi dây
không dãn

Các lực tác dụng lên từng vật:












Vật 1: Trọng lực P1 , lực căng T1 .
Vật 2: Trọng lực P2 , lực căng T3 .
Vật 3: Trọng lực P3 , lực căng T3 .
Các vật có chiều chuyển động như hình vẽ:
Chọn chiều dương của trục Ox hướng xuống như hình
tọa độ (vị trí O) được chọ là ròng rọc thứ nhất vì vị trí
không thay đổi theo thời gian. Vị trí của m1 là x1, của
của m3 là x3, của ròng rọc thứ hai là x0.
Bước 2: Các phương trình động lực học dạng vecto:
 

m1 a1 = P1 + T1
 

m 2 a 2 = P2 + T2
 


m3 a 3 = P3 + T3

(1)
(2)
(3)

5

vẽ. Gốc
đó
m2 là x2,


Bước 3: Chiếu lần lượt các phương trình (1), (2), (3) lên Ox, ta được:
m1 a1 = P1 − T1 ⇔ m1 a1 = m1 g − T1

(4)

m 2 a 2 = P2 − T2 ⇔ m 2 a 2 = m 2 g − T2

(5)

m3 a 3 = P3 − T3 ⇔ m3 a 3 = m3 g − T3

(6)

Do ròng rọc không có khối lượng và dây không dãn nên dễ dàng suy ra rằng:
T2 = T3

(7)

T1 = T2 + T3

(8)

Ta có 6 ẩn số a1, a2, a3, T1, T2, T3, mà mới có 5 phương trình, vì vậy ta cần tìm thêm
một phương trình nữa. Ta thấy rằng: do các vật bị nối với nhau qua một sợi dây nên
chuyển động của chúng có sự ràng buộc lẫn nhau, hay có thể nói giữa các gia tốc của
chúng có mối quan hệ với nhau. Ta sẽ tìm mối quan hệ đó.
Gọi r là bán kính của ròng rọc. Do các sợi dây l 1 và l2 không giãn nên ta có các
phương trình biểu diễn độ dài của các sợi dây như sau:
x1 + x0 + π ⋅ r = l1

(9)

( x 2 − x 0 ) + ( x3 − x 0 ) + π ⋅ r = l 2

(10)

Lấy phương trình (9) nhân 2 rồi cộng với phương trình (10), ta được:
2 x1 + x 2 + x3 + 3π ⋅ r = 2l1 + l 2

Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian phương trình trên (với các hằng só r, l 1, l2), ta
được:
2

d 2 x1
dt 2

+

d 2 x2
dt 2

+

d 2 x3
dt 2

= 0 hay 2a1 + a 2 + a 3 = 0 (11)

Bước 4: Lấy (4) trừ (5) và (6), ta được :
m 1 a 1 - m 2 a 2 - m 3 a 3 = (m 1 - m 2 - m 3 )g

(12)

Lấy (5) trừ (6), ta được:
m 2 a 2 − m 3 a 3 = (m 2 − m 3 ) g

(13)

Giải hệ ba phương trình (11), (12), (13), ta tìm được :
a3 =

(m1 m 3 − 3m1 m 2 + 4m 2 m3 ) g
4m 2 m 3 + m1 (m 2 + m 3 )

(14)

Thay (14) vào (13) ta tìm được :

a2 =

(m1m2 − 3m1m3 + 4m2 m3 ) g
4m2 m3 + m1 (m2 + m3 )

(15)

Thay (15) và (14) vào (11) ta tìm được :
a1 =

(m1 m 2 + m1 m 3 − 4m 2 m3 ) g
4m 2 m 3 + m1 (m 2 + m3 )

(16)

Thay (16) vào (4) ta tìm được lực căng :

6


T1 =

8m1 m 2 m3 g
4m 2 m 3 + m1 (m 2 + m3 )

Từ (7) và (8), suy ra:
T 2 = T3 =

4m1 m 2 m3 g
4m 2 m3 + m1 (m 2 + m3 )

Bước 5: Nếu m1=m2+m3 và m2=m3 thì a1=a2=a3=0 ⇒ hệ vật sẽ đứng yên. Kiểm tra lại
các thứ nguyên, các công thức ta thấy kết quả hoàn toàn phù hợp.
Bài 6: Cho hệ vật gồm hai vật 1 và 2 có khối lượng lần lượt là m 1 và m2 đặt trên mặt
nằm ngang không ma sát như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa hai vật là k. Tác dụng lực
F=bt vào vật 1 theo phương ngang. Trong suốt quá trình, vật 1 luôn ở trên vật 2. Tính
thời điểm t0 mà từ đó vật 1 bắt đầu trượt trên vật 2.


1 F = bt
2

Bài giải





Kí hiệu lực ma sát tác dụng lên vật 1 và 2 lần lượt là F1 và F2 . Ta không quan
tâm đến trọng lực của các vật và phản lực theo phương thẳng đứng, vì chúng vuông
góc với phương chuyển động của hệ, nên ta không vẽ lên hình.
Bước 1: Trước trước điểm t0, hai vật dính liền nhau cùng chuyển động.
Sau thời diểm t0, vật 1 trượt trên vật 2. vì F2 đã cực đại tai t0, nên sau thời điểm
t0, F2 không tăng được nữa. Trong khi đó lực tác dụng lên vật 1 là F=bt tiếp tục tăng.
Các lực tác dụng lên từng vật:






1
2

Vật 1: Lực ma sát F1 (vật Fqt F1
dụng lên vật 1).


F = bt


F2



Vật 2: Lực ma sát F2 (vật 1 tác dụng lên vật 2).
Lực F=bt tác dụng lên vật 1, kéo theo vật 2 chuyển động.
Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto:
Đối với hệ hai vật trong hệ quy chiếu đứng yên:
   
 
(m1 + m 2 )a = F + F1 + F2 ⇔ (m1 + m 2 )a = F

(1)

Gắn hệ phi quán tính k' với vật 2:



⇒ Phương trình động lực học đối với hệ k': m1 a '1 = F + F1 + Fqt = 0

Bước 3: Chọn trục tọa độ như hình vẽ.
Chiếu (1) lên trục x, ta được:
(m1 + m 2 )a = F ⇔ (m1 + m 2 )a = bt
bt

0
Tại t=t0 thì a=a0: ⇒ a 0 = m + m
1
2

(3)

Chiếu (2) lên trục x, ta được:
7

(2)

2
x

tác


0 = F − F1 − Fqt ⇔ 0 = bt − F1 − m1 a

Tại t=t0 thì a=a0. Lại có: F1 = kN 1 = km1 g
⇒ 0 = bt 0 − km1 g − m1 a 0

(4)

Bước 4: Thay (3) vào (4), ta được:
⇒ 0 = bt 0 − km1 g − m1 .

bt 0
m1 + m 2

=

bt 0 (m1 + m 2 ) − m1 bt 0
− km1 g
m1 + m 2

=

bt 0 m 2
− km1 g
m1 + m 2

⇒ t0 =

km1 g (m1 + m 2 )
bm 2

Bước 5: Ta thấy k, m1, m2, g và b đều là hằng số. Vậy t0=const.
Kiểm tra lại các thứ nguyên, các công thức ta thấy kết quả hoàn toàn phù hợp.
dục

8