Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH LÝ

PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG
GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 5/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH LÝ

PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG
GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN

THÁI NGUYÊN, 5/2018


ii

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám
Hiệu trường Trung Học Phổ Thông Hiệp Hòa số 2 Bắc Giang, cũng như toàn
thể các đồng nghiệp, người thân và gia đình đã quan tâm, tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018
Tác giả luận văn

NGUYỄN ĐÌNH LÝ


iii

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số vấn đề về không gian Banach lồi đều, không gian Banach
trơn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co và ánh xạ không
giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . 17
1.4. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2

Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh

xạ không giãn trong không gian Banach

28

2.1. Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Phương pháp lặp hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận

43


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

ρE (τ )

mô đun trơn của không gian Banach E

F ix(T ) hoặc F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

M

bao đóng của tập hợp M

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t


1

Mở đầu

Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó
phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co của
Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không
gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,
bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ...
Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ
yếu, đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x,

trong đó T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm
x0 của nó được gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp
quan trọng việc giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của
một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là
một ánh xạ trong X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của
phương trình S(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi
T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp
tìm hay xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.
Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiên
cứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ không
giãn. Những kết quả cổ điển về lĩnh vực này phải kể đến phương pháp lặp Mann
[9], phương pháp lặp Halpern [6] và phương pháp xấp xỉ gắn kết [10]. Cho đến
nay đã có nhiều phương pháp được đưa ra dựa trên những cải biên của các
phương pháp này cho các lớp bài toán liên quan, như bài toán bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại phương pháp lặp tổng quát được
đề xuất bởi Jung trong tài liệu [7] cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Banach không có tính liên tục yếu theo dãy của


2
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động này cũng là nghiệm duy
nhất của bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này có thể ứng dụng vào việc
giải bài toán cực trị dạng toàn phương (xem [8]) trên tập lồi, đóng C (tập điểm
bất động của phép chiếu mêtric).
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc hình học
của các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian Banach

trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co
mạnh và ánh xạ không giãn; giới hạn Banach. Ngoài ra, trong chương này luận
văn cũng giới thiệu một số phương pháp cơ bản giải bài toán điểm bất động
cùng với một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến trong chương sau của luận văn.
Chương 2. Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Banach
Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết
quả của Jung [7] về các phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện cho bài
toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn, đồng thời là nghiệm duy
nhất của bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach phản xạ,
không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều và toán tử j-đơn điệu.
Mục 1.2 trình bày về toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co
mạnh và ánh xạ không giãn. Mục 1.3 giới thiệu một số phương pháp cơ bản tìm
điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach và
một số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương
2. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong chứng minh các
định lý ở chương sau của luận văn.

1.1.

Một số vấn đề về không gian Banach lồi đều, không
gian Banach trơn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

1.1.1.

Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach
phản xạ.
Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại
phần tử x thuộc E sao cho
x, x∗ = x∗ , x∗∗ ,
với mọi x∗ ∈ E.
Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu x, x∗ để chỉ giá trị của
phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E.


4
Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn.
Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không
gian tuyến tính định chuẩn X thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C
sao cho xn

x, nhưng x ∈
/ C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗

tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho
y, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi y ∈ C. Đặc biệt ta có
xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε,
với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn

x nên xn , x∗ → x, x∗ . Do đó, trong bất

đẳng thức trên cho n → ∞, ta nhận được
x, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai hay C là tập đóng yếu.
Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu thì hiển nhiên C là tập đóng.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một
phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản
xạ.
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach
phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục
dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi xn → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f )
sao cho
f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}.


5
Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao
cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn thì tồn tại một dãy con
{xnk } của {xn } sao cho xnk → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn
với m = ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại
dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj

x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong

tôpô yếu nên ta có
m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m.
n→∞

j→∞

Do đó, m = f (x0 ).
Mệnh đề được chứng minh.
1.1.2.

Không gian Banach lồi đều

Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈
E, x = y mà x = 1, y = 1 ta có
x+y
< 1.
2
Chú ý 1.3. Định nghĩa 1.2 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương
sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa
x+y
mãn
= 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x = y ta có
2
tx + (1 − t)y < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó
SE = {x ∈ E :

x = 1}.

Mệnh đề 1.4. Giả sử C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Banach lồi chặt và phản xạ E. Khi đó, tập C 0 = x ∈ C : x = inf{ y : y ∈
C} là gồm duy nhất một phần tử.
Chứng minh. Đặt d = inf{ y : y ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho
xn → d, khi n → ∞. Từ tính bị chặn của {xn } và Mệnh đề 1.1, tồn tại dãy
con {xnk } ⊂ {xn } sao cho xnk

x. Từ tính đóng yếu của C (Mệnh đề 1.2), suy

ra x ∈ C. Do đó, từ tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn ta có
x ≤ lim xn = d.
n→∞


6
Suy ra x = d = inf{ y : y ∈ C} hay x ∈ C 0 .
Ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại y = x và y ∈ C 0 . Từ tính lồi
chặt của C, ta có tx + (1 − t)y < d với mọi t ∈ (0, 1), điều này mâu thuẫn với
d = inf{ y : y ∈ C}.
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà

x

= 1,

y = 1, x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).

2
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian
Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra
điều đó.
Ví dụ 1.1. (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về
không) với chuẩn .

β

xác định bởi
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

|xi |2
i2

1/2

, x = (xi ) ∈ c0 .

Khi đó, (E, . β ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian
lồi đều.
Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm sau: Mô
đun lồi của không gian Banach E là hàm số
δE (ε) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,
liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi
δE (2) = 1 (xem [1] trang 59). Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và
chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60).
Mệnh đề 1.5. (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không
gian phản xạ.


7
1.1.3.

Không gian Banach trơn

Định nghĩa 1.4. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E
được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE tồn tại giới
hạn
d
x0 + ty − x0
( x0 + ty )t=0 = lim
.

t→0
dt
t

(1.1)

Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi
x ∈ SE .
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn
(1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE .
c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE , giới hạn (1.1)
tồn tại đều với mọi y ∈ SE .
d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều
với mọi x, y ∈ SE .
Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là trơn (trơn đều) nếu chuẩn
trên E khả vi Gâteaux đều (Fréchet đều).
Ngoài ra, ta có thể định nghĩa không gian Banach trơn đều thông qua mô
đun trơn của nó.
Định nghĩa 1.7. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định
bởi
ρE (τ ) = sup{2−1 ( x + y + x − y ) − 1 : x = 1, y = τ }.
Nhận xét 1.2. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên
tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [5].
Ví dụ 1.2. [1] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω) thì ta có

1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p

ρE (τ ) =
p
−
1
p−1 2


τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2

(1.2)


8
Mệnh đề 1.6. [1] Mọi không gian Banach trơn đều bất kì là không gian phản
xạ.
Định nghĩa 1.8. Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

(1.3)

Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert và không gian lp , Lp (Ω) (1 < p < +∞) đều
là không gian trơn đều [4].
1.1.4.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.9. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa
∗

trị J : E −→ 2E xác định bởi
J(x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x 2 , x = f }
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.4. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh
xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.3. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn có
J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí Hahn Banach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.7. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập
hợp bị chặn trong E ∗ ;
iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;


9
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi
E là không gian Banach trơn đều.
Chứng minh. i) Giả sử f ∈ J(−x), ta có
−x, f = − x . f

∗

2
∗,

= f

−x = f

∗.

Khi đó
x, −f = (−1)2 −x, f = − f

2

= x 2.

Suy ra
−f ∈ J(x) hay f ∈ −J(x).
Do đó, ta có
J(−x) ⊆ −J(x).

(1.4)

Ngược lại giả sử f ∈ −J(x) hay − f ∈ J(x), ta có
x, −f = (−1)2 −x, f
= (−1)2 − x
= −f

2

−x = f

f ,

= x 2.

Khi đó
−x, f = −(−x), −f = x, −f = x 2 .
Suy ra f ∈ J(−x). Do đó, ta có
−J(x) ⊆ J(−x).

(1.5)

Từ (1.4) và (1.5), ta có J(−x) = −J(x).
ii) Giả sử f ∈ J(λx), ta có
λx, f = λx . f = f

2

, λx = f .

Khi đó
x, λ−1 f = λ−1 λx, λ−1 f
= λ−2 λx . f = λ−1 f

2

= x 2.

10
Suy ra λ−1 f ∈ J(x) hay f ∈ λJ(x). Do đó, ta có
J(λx) ⊆ λJ(x).

(1.6)

Giả sử f ∈ λJ(x) hay λ−1 f ∈ J(x), ta có
x, λ−1 f = λ−1 λx, λ−1 f
= λ−2 λx, f = λ−2 λx . f , λx = f
= λ−1 f

2

= x 2.

Khi đó
λx, f = λ−1 λx, λ−1 f = x, λ−1 f = x 2 .
Suy ra f ∈ J(λx). Do đó, ta có
λJ(x) ⊆ J(λx).

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7), ta có J(λx) = λJ(x).
iii) Ta chứng minh J ánh xạ mỗi tập bị chặn trong E thành tập bị chặn trong
E ∗ . Thật vậy, giả sử D là tập con bị chặn trong E. Khi đó, ∃M > 0 sao cho
x ≤ M, ∀x ∈ D.
Do đó, ta có
| x, f |≤ x . f , f ∈ E ∗ , x = f

= x

2

≤ M 2.

Vậy J(D) là tập bị chặn trong E ∗ .
iv) Giả sử f1 , f2 ∈ SE ∗ , x ∈ E. Ta có
x, f1 = x . f1 , f1 = 1.
x, f2 = x . f2 , f2 = 1.
Cộng vế với vế của 2 phương trình trên ta nhận được
x, f1 + f2 = 2 x .


11
Từ đó, suy ra 2 x = x, f1 + f2 ≤ x

f1 + f2 . Từ đó, ta thu được

f1 + f2 = 2 ≤ f1 + f2 .

(1.8)

Mặt khác, hiển nhiên ta có
f1 + f2 ≤ f1 + f2 .
Từ (1.8) và (1.9), ta có
f1 + f2 = f1 + f2 = 2.
Suy ra
f1 + f2
= 1.

2
Vì E ∗ là không gian lồi chặt nên suy ra f1 = f2 . Vậy J là ánh xạ đơn trị.
v) Lấy bất kì x, y ∈ SE và λ > 0, ta có
λy, J(x)
x, J(x) − x 2 + λy, J(x)
y, J(x)
=
=
x
λ x
λ x
2
x + λy, J(x) − x
x x + λy − x 2
=
≤
λ x
λ x
2
x + λy − x x + λy
x + λy − x
=
=
λ
λ x + λy
x + λy, J(x + λy) − | x, J(x + λy) |
≤
λ x + λy
λ y, J(x + λy) + x, J(x + λy) − | x, J(x + λy) |
=

λ x + λy
y, J(x + λy)
≤
.
x + λy
Vì vậy, với mọi x, y ∈ SE và λ > 0 ta có
y, J(x)
x + λy − x
y, J(x + λy)
≤
≤
x
λ
x + λy
Do tính liên tục đều của J trên mỗi tập con bị chặn của E suy ra
lim

λ→0

x + λy − x
y, J(x)
=
.
λ
x

Suy ra E là không gian trơn đều.

(1.9)

12
Ngược lại giả sử E là không gian trơn đều, khi đó J là đơn trị. Ta phải chứng
minh J liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E. Theo giả thiết E là không
gian trơn đều nên E ∗ là không gian lồi đều do đó E ∗ là không gian lồi chặt. Giả
sử {xn }, {yn } là các dãy trong E sao cho
xn ≤ K, yn ≤ K, K > 0 và xn − yn → 0.
Trường hợp 1. Nếu xn → 0 thì yn → 0. Khi đó, ta có
J(xn ) = xn → 0 và J(yn ) = yn → 0.
Do đó J(xn ) − J(yn ) → 0.
0. Khi đó ∃α > 0 và {xnk } ⊂ {xn } sao cho xnk ≥ α. Vì
α
xn − yn → 0, nên ta có thể giả sử ynk ≥ . Không mất tính tổng quát, ta
2
có thể giả sử
Trường hợp 2. xn

xn ≥ β, yn ≥ β, β > 0.
Đặt un =

xn
yn
và vu =
, khi đó un = vn = 1. Ta có
xn
yn
xn yn − yn xn
xn yn
1
≤ 2 xn yn − xn xn + xn xn − yn xn

β
1
yn − xn xn + xn xn − yn
≤ 2
β
1
≤ 2 ( yn − xn K + xn − yn K) → 0, n → ∞.
β

un − vn =

Vì J(un ) = un = 1 và J(vn ) = vn = 1 nên ta có
1 + 1 − un − vn ≤ un , J(un ) + vn , J(vn ) + un − vn , J(vn )
= un , J(un ) + vn , J(vn ) + un , J(vn ) − vn , J(vn )
= un , J(un ) + J(vn )
≤ un

J(un ) + J(vn ) ≤ J(un ) + J(vn ) = 2.

Từ đó ta có
lim J(un ) + J(vn ) = 2.

n→∞


13
Vì E ∗ là không gian lồi đều nên J(un ) − J(vn ) → 0, n → ∞. Do đó
J(xn ) − J(yn ) =

J(un ) − J(vn ) +

xn

xn − yn

J(vn ) .

Khi đó
J(xn ) − J(yn ) =

J(un ) − J(vn ) +

xn

≤ xn

J(un ) − J(vn ) +

xn − yn
xn − yn

J(vn )

J(vn ) → 0, n → ∞.

Vậy J liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E.
Ví dụ 1.4. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không
gian lp là lồi đều nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau



θ nếu x = θ,
J(x) =

{ηn } ∈ lq nếu x = {ξn } = θ,
trong đó ηn = |ξn |p−1 sgn(ξk )

1
x

p−2

với mọi k ≥ 1.

Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E
được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E thỏa
mãn xn

x, thì J(xn ) hội tụ *yếu về J(x).

Chú ý 1.5. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí
hiệu nó bởi j. Nếu E là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
J là đơn trị.
Ví dụ 1.5. Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục
yếu theo dãy nhưng các không gian Lp (Ω) lại không có tính chất này [1].
Mệnh đề 1.8. Giả sử E là một không gian Banach trơn. Khi đó, ta có
x+y
với mọi x, y ∈ E.

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y) ,


14
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra
y

2

+ 2 x − y, j(x) ≥ x 2 ,

(1.10)

với mọi x, y ∈ E.
Thật vậy, ta có
y

2

− x

2

− 2 y − x, j(x) = x

2

+ y

2

− 2 y, j(x)

≥ x

2

+ y

2

−2 x

y

= ( x − y )2 ≥ 0.
Suy ra (1.10) đúng.
Trong (1.10) thay x bởi x + y và đổi vai trò của x và y, ta nhận được điều
phải chứng minh.

1.2.

Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co và
ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.11. Cho E và F là các không gian Banach. Toán tử A : E −→ F
được gọi là tuyến tính và bị chặn nếu
a) A là toán tử tuyến tính, tức là A(αx + βy) = αAx + βAy, với mọi x, y ∈ E
và mọi α, β ∈ R;
b) và tồn tại số M ≥ 0 sao cho
Ax ≤ M x ,
với mọi x ∈ E.
Chú ý 1.6. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach E
vào không gian Banach Y , thì chuẩn của A được xác định bởi
A = sup Ax .
x ≤1

Định nghĩa 1.12. Cho E là một không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu đơn
trị. Toán tử tuyến tính bị chặn A : E −→ E được gọi là dương mạnh nếu tồn
tại γ > 0 sao cho
Ax, j(x) ≥ γ x 2 ,


15
với mọi x ∈ E và
aI − bA = sup (aI − bA)x, j(x) ,
x ≤1

với mọi a ∈ [0, 1] và b ∈ [−1, 1], trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên E.
Mệnh đề 1.9. [3] Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn dương mạnh
với hệ số γ > 0, 0 < ρ < A

−1

trên không gian Banach trơn E. Khi đó,

I − ρA ≤ 1 − ργ.
Định nghĩa 1.13. Cho h : E −→ E là một ánh xạ.
(i) h được gọi là giả co, nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao
cho
h(x) − h(y), j(x − y) ≤ x − y 2 ;
(i) h được gọi là giả co mạnh, nếu tồn tại k ∈ (0, 1) và với mọi x, y ∈ E, tồn
tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
h(x) − h(y), j(x − y) ≤ k x − y 2 .
Định nghĩa 1.14. Giả sử T : D(T ) ⊂ E −→ E là một ánh xạ. Phần tử
x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất
động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.7. Tập điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh có không quá một phần
tử.
Thật vậy, giả sử h : E −→ E là một ánh xạ giả co mạnh với hệ số giả co là
k ∈ (0, 1). Giả sử F ix(h) = ∅ và x, y ∈ F ix(h). Khi đó, từ tính giả co mạnh của
h ta có
x−y

2

= x − y, j(x − y) = h(x) − h(y), j(x − y) ≤ k x − y 2 .

Suy ra (1 − k) x − y

2

≤ 0. Do đó, x = y.

Mệnh đề 1.10. [2] Giả sử E là một không gian Banach, C là một tập con lồi,

đóng và khác rỗng của E và T : C −→ C là một ánh xạ liên tục, giả co mạnh.
Khi đó T có điểm bất động trong C, tức là F ix(T ) = ∅.


16
Định nghĩa 1.15. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E
được gọi Lipschitz nếu tồn tại số L ≥ 0 sao cho
T (x) − T (y) ≤ L x − y ,
với mọi x, y ∈ D(T ).
Nếu L = 1 thì T được gọi là không giãn và nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh
xạ co với hệ số co là L.
Nhận xét 1.4. Mọi ánh xạ co đều là ánh xạ giả co.
Thật vậy, giả sử T : D(T ) −→ E là một ánh xạ co với hệ số co L ∈ [0, 1).
Khi đó, với mọi x, y ∈ D(T ) và mọi j(x − y) ∈ J(x − y), ta có
T (x) − T (y), j(x − y) ≤ T (x) − T (y) . j(x − y) ≤ L x − y 2 .
Suy ra T là ánh xạ giả co.
Chú ý 1.8. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất
động của ánh xạ không giãn T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của
E (xem [5]).
Thật vậy, giả sử F ix(T ) = ∅. Tính đóng của F ix(T ) được suy ra từ tính liên
tục của T .
Ta chỉ ra F ix(T ) là tập lồi. Lấy bất kì x, y ∈ F ix(T ) và α ∈ [0, 1], đặt
z = αx + (1 − α)y. Khi đó, ta có
x − T (z) = T (x) − T (z) ≤ x − z = (1 − α) x − y ,
y − T (z) = T (y) − T (z) ≤ y − z = α x − y .
Do đó
x − y ≤ x − T (z) + T (z) − y ≤ x − y .
Từ đó suy ra
x − y = x − T (z) + y − T (z) .
Đặt a = x − T (z), b = T (z) − y ta có a + b = a + b . Do X là không gian

lồi chặt nên tồn tại số dương λ sao cho a = λb. Suy ra T (z) là một tổ hợp tuyến
tính của x và y, tức là T (z) = βx + (1 − β)y với β ∈ R. Từ đó, ta nhận được
x − T (z) = x − z = (1 − α) x − y = (1 − β) x − y ,


17
y − T (z) = y − z = α x − y = β x − y .
Suy ra α = β và do đó z ∈ F ix(T ).

1.3.

Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh
xạ không giãn

Bài toán. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng
và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ không
giãn với F (T ) = ∅. Tìm phần tử x∗ ∈ F (T ).
Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như
phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm ...
Chú ý 1.9. Nếu T là ánh xạ co trên C thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C
và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều
này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, W. R. Mann [9] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:
x0 ∈ C là một phần tử bất kì,
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn ,

(1.11)

n ≥ 0,

∞

ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1,

αn = ∞.
n=0

Dãy lặp (1.11) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã chứng minh rằng: nếu
∞

dãy {αn } được chọn thỏa mãn

αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy {xn } xác định bởi
n=1

(1.11) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H là
không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.11) chỉ cho sự hội tụ yếu.
Phương pháp lặp Halpern
Năm 1967, B. Halpern [6] đã đề xuất phương pháp lặp
x0 ∈ C là một phần tử bất kì,
xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn ,

n≥0

(1.12)


18
ở đây u ∈ C và {αn } ⊂ (0, 1). Dãy lặp (1.12) được gọi là dãy lặp Halpern. Ông
đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.12) về điểm bất động của ánh xạ

không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1).
Phương pháp lặp xấp xỉ mềm
Năm 2000, Moudafi [10] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh
được các kết quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

1
εn
T xn +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

(1.13)

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi:
zn+1 =

εn
1
T zn +
f (zn ), ∀n ≥ 0.
1 + εn
1 + εn

∞

(1.14)

1
= 0 thì {zn } hội tụ mạnh về
n→∞
n→∞ εn+1
εn
n=1
nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

Nếu lim εn = 0,

εn = +∞ và lim

1

−

x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
ở đây f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1). Tức là
f (x) − f (y) ≤ c x − y ∀x, y ∈ C.
Chú ý 1.10. Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm của
Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern.
Phương pháp lặp tổng quát Năm 2006 Marino và Xu [8], đã đưa ra
phương pháp lặp tổng quát dưới đây cho bài toán tìm điểm bất động của ánh
xạ không giãn T : H −→ H trong không gian Hilbert H.
xn+1 = (I − αn A)T xn + αn γf (xn ), n ≥ 0,

(1.15)


19
trong đó A là một toán tử tuyến tính dương mạnh trên H.
Hai nhà toán học đã chứng minh rằng nếu dãy {αn } thỏa mãn các điều kiện
i) lim αn = 0;
n→∞
∞

αn = ∞;

ii)
n=1
∞

|αn+1 − αn | < ∞,

iii)
n=1

thì dãy {xn } xác định bởi (1.15) hội tụ mạnh về điểm bất động x∗ của T , đồng
thời là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(A − γf )x∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ H.

(1.16)

Bất đẳng thức biến phân (1.16) là điền kiện tối ưu của bài toán cực tiểu hóa
1
hàm toàn phương g(x) = Ax, x − h(x), với h là hàm thế vị của γf , tức là

2
h (x) = γf (x) với x ∈ H.
Năm 2011, Wangkeeree và các cộng sự [11] đã mở rộng kết quả của Marino và
Xu cho bài toán bất đẳng thức biến phân (1.16) trên tập điểm bất động chung
của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach
với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy.

1.4.

Giới hạn Banach

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:
Cho f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ . Ta sử dụng fn (xn+m ) để
ký hiệu
f (xm+1 , xm+2 , ..., xm+n , ...),
với m = 0, 1, 2, ....
Định nghĩa 1.16. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được gọi
là một giới hạn Banach nếu f

= f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mọi

x = (x1 , x2 , ...) ∈ l∞ .
Chú ý 1.11. Ta ký hiệu giới hạn Banach bởi LIM . Khi đó, LIM = 1 và
lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với mọi (xn ) ∈ l∞ .
n→∞

n→∞

(1.17)

20
Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Banach phản xạ E, {xn } là một dãy bị chặn trong C, LIM là giới hạn Banach
và ϕ là hàm nhận giá trị thực xác định trên C được cho bởi ϕ(z) = LIMn xn −
z 2 , z ∈ C. Khi đó, tập M xác định bởi
M = {u ∈ C : ϕ(u) = min ϕ(z)}
z∈C

là lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn. Hơn nữa, nếu E là không gian lồi đều1.1 thì
M chỉ có duy nhất một điểm.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra ϕ là một hàm lồi, liên tục. Giả sử {yn } ⊂ C
thỏa mãn yn → y ∈ C. Đặt L = sup{ xn − ym + xn − y : m, n ∈ N}. Ta có
x n − ym

2

− xn − y

2

≤ ( xn − ym + xn − y )( xn − ym − xn − y )
≤ L| xn − ym − xn − y |
≤ L ym − y ,

với mọi m, n ∈ N. Từ đó, suy ra
LIMn xn − y

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

Tương tự, ta cũng có
LIMn xn − y
Do đó, ta nhận được
|ϕ(ym ) − ϕ(x)| ≤ L ym − x .
Suy ra ϕ liên tục trên C.
Với x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1], dễ thấy
ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y).
1.1

Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2