Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ KIM ANH

PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ KIM ANH

PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Tạ Duy Phƣợng

THÁI NGUYÊN - 2018

3

Mục lục
Mở đầu

5

Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các
hệ thức lượng giác

9

1.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . .

9

1.2. Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương trình bậc hai đã biết
2π 4π
1.3. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của
,
.
5 5
2π 4π
,
.
1.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của
5 5
2π 4π

1.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của
,
. . .
5 5 π
1.4. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của góc
.
12
π
1.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của góc
.
12
π
1.4.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của góc
. .
12

11
12
12
14
20
20
21

Chương 2 Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ
thức lượng giác

23

2.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . 23

2.2. Xây dựng phương trình bậc ba mới từ phương trình bậc ba đã biết 26
2.3. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các
π 5π 7π
góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18 18 18
2.3.1. Các mệnh đề liên qua đến giá trị lượng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18 18 18


4

2.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 18 18
2.4. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các
π 3π 5π
góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7
2.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
π 3π 5π
, ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7
2.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
π 3π 5π

, ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7

. 28

. 42

. 42

. 43

Chương 3 Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các
hệ thức lượng giác

51

3.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . 51
3.2. Xây dựng phương trình bậc bốn mới từ phương trình bậc bốn đã có 53
3.3. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các
π 3π 5π 7π
góc , , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8 8
3.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
π 3π 5π 7π
, , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8 8
3.3.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc

π 3π 5π 7π
, , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 8 8
3.4. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các
π 5π 9π 13π
góc , , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 16 16
3.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
π 5π 9π 13π
, , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 16 16
3.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
π 5π 9π 13π
, , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 16 16

. 54

. 54

. 55

. 66

. 66

. 67

Kết luận

73

Tài liệu tham khảo

74


5

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Xét ba bài toán sau đây.
Bài toán 1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) Chứng minh rằng
cos

4π
1
2π
+ cos
=− .
5
5
2

(1)

Bài toán 2 (Vô địch Quốc tế lần thứ 5, 1963) Chứng minh rằng
cos

π
2π
3π
1
− cos
+ cos
= .
7
7
7
2

(2)

3π
5π
7π
π
Bài toán 3 (THTT, tháng 10, số 232, năm 1996) tan , tan , tan , tan
8
8
8
8
là các nghiệm của phương trình
t4 − 6t2 + 1 = 0.

(3)

Hai hệ thức (1) và (2) có thể dễ dàng chứng minh nhờ phép biến đổi lượng
giác. Tuy nhiên, từ hai hệ thức này ta khó có thể phát hiện thêm những hệ
thức tương tự. Mặt khác, có thể dễ dàng chứng minh rằng (xem Mệnh đề 1.3.1)
2π
4π
1
1
là các nghiệm của phương trình t2 + t − = 0. Tương tự (xem
cos , cos
5
5
2
4
π
3π
5π
1
1
Mệnh đề 2.4.1), cos , cos , cos
là nghiệm của phương trình t3 − t2 − t +
7
7
7
2
2
1
= 0 và bài toán 3 đã được chứng minh trong Mệnh đề 3.3.1. Từ tính chất
8
nghiệm của phương trình bậc hai và bậc ba, ta suy ra ngay các hệ thức (1) và

(2) (xem các Hệ thức 1.3.1 và 2.4.1b). Từ tính chất nghiệm của phương trình
bậc hai, bậc ba và bậc bốn, ta có thể dễ dàng phát hiện và chứng minh khá


6

2π 4π
π 3π 5π
π 3π 5π 7π
,
hoặc , ,
hay , , ,
5 5
7 7 7
8 8 8 8
mà không cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác. Đó chính là ý tưởng cơ bản
nhiều hệ thức lượng giác chứa các góc

và chủ đạo của luận văn này.
Sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba để phát hiện và chứng
minh các hệ thức (hình học và lượng giác) trong tam giác có lẽ lần đầu tiên
được trình bày trong [6] và được phát triển trong [1]. Phát hiện và chứng minh
các hệ thức lượng giác nhờ sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc
bốn có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong [2] và [3].
Như vậy, ta có một nhịp cầu nối Đại số (phương trình và hàm số) với Lượng
giác (các hệ thức của hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt). Đây chính là
điểm mới và khác biệt của luận văn này so với các luận văn đã có về hệ thức
lượng giác. Ý tưởng sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình đại số để
phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác có lẽ lần đầu tiên được trình
bày một cách hệ thống trong [3].

2. Lịch sử nghiên cứu
Chủ đề hệ thức lượng giác có vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình
môn Toán ở trường Trung học phổ thông. Đã có khá nhiều tài liệu viết về chủ
đề hệ thức lượng giác. Tuy nhiên theo quan sát của chúng tôi chưa có nhiều tài
liệu hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu về hệ thức lượng giác.

3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nguyên cứu
Luận văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh
các hệ thức lượng giác.
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu là hệ thức lượng giác của các góc có liên quan
đặc biệt.


7

4. Mục tiêu của luận văn
Trình bày phương pháp phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các
hệ thức lượng giác mới.
Ngoài ra nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng
minh thông thường (nhờ biến đổi lượng giác), ở một số bài, luận văn cũng trình
bày cả các kĩ thuật chứng minh truyền thống.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ phương trình đại số để nghiên cứu hệ thức lượng giác.

6. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Luận văn gồm ba chương.
Chương 1. Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượng
giác.

Đầu Chương 1 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, sau
đó xây dựng các phương trình bậc hai mới từ các phương trình bậc hai đã có.
Từ đó đưa ra các phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến giá trị lượng
giác của các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác.
Chương 2. Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng
giác.
Đầu Chương 2 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, sau
đó xây dựng các phương trình bậc ba mới từ các phương trình bậc ba đã có. Từ
đó đưa ra các phương trình bậc ba có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác
của các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác.
Chương 3. Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượng
giác.


8

Đầu Chương 3 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn,
sau đó xây dựng các phương trình bậc bốn mới từ các phương trình bậc bốn
đã có. Từ đó đưa ra các phương trình bậc bốn có nghiệm liên quan đến giá trị
lượng giác của các góc đặc biệt, từ đó phát biểu và chứng minh rất nhiều hệ
thức lượng giác mới.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sau sắc đến thầy giáo PGS.
TS. Tạ Duy Phượng. Thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
cũng như giải đáp mọi thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cám ơn toàn thể thầy cô trong khoa Toán - Tin trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt
kiến thức trong suốt thời gian học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.

Xin được cám ơn nhà trường THPT Quế Võ Số 1, tỉnh Bắc Ninh.
Xin được cám ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Kim Anh


9

Chương 1
Phương pháp phương trình bậc hai
chứng minh các hệ thức lượng giác
Chương này trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai và
ứng dụng trong phát hiện, chứng minh các hệ thức lượng giác mới.

1.1.

Các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai

Mọi phương trình bậc hai đều đưa được về dạng
x2 + ax + b = 0.

(1.1)

Phương trình (1.1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn các tính chất sau.
Tính chất 1.1.1.
σ1 = x1 + x2 = −a.
Tính chất 1.1.2.

σ2 = x1 x2 = b.
Từ hai tính chất cơ bản trên và sử dụng các tính chất đối xứng của nghiệm, ta
suy ra rất nhiều tính chất khác của nghiệm phương trình bậc hai, rất có lợi cho
nghiên cứu phương trình bậc hai và trong chứng minh các hệ thức lượng giác.
Tính chất 1.1.3.
x21 + x22 = a2 − 2b.


10

Tính chất 1.1.4.
x31 + x32 = −a3 + 3ab.
Tính chất 1.1.5.
x41 + x42 = a4 − 4a2 b + 2b2 .
Tính chất 1.1.6.
1
1
a
+
=− .
x1 x2
b
Tính chất 1.1.7.
1
1
a2 − 2b
+
=
.
x21 x22

b2
Tính chất 1.1.8.
1
1
−a3 + 3ab
+
=
.
x31 x32
b3
Tính chất 1.1.9.
1
1
a4 − 4a2 b + 2b2
+
=
.
x41 x42
b4
Bổ đề (Công thức Newton) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 được tính theo công
thức truy hồi
Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 .
Tính chất 1.1.10. (Công thức Waring) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 được tính
theo công thức




k
 

2
Sk = k
m=0

(−1)m (k − m − 1)! k−2m m
σ1
σ2 ,
m!(k − 2m)!

trong đó theo định nghĩa 0! = 1! = 1 và [x] là phần nguyên của x.
Các trường hợp riêng:
S2 = 2

1 2
σ − σ2
2 1

= σ12 − 2σ2 .

1 3
σ − σ1 σ2 = σ1 σ12 − 3σ2 .
3 1
1 4
1
S4 = 4
σ1 − σ12 σ2 + σ22 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 .
4
2
S3 = 3

11

Chứng minh các tính chất này đã được trình bày ở chương 2 trong [3].

1.2.

Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương
trình bậc hai đã biết

Mệnh đề 1.2.1. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1.1) với (b = 0) thì
1 1
,
là nghiệm của phương trình
x1 x2
a
1
bt2 + at + 1 = 0 ⇔ t2 + t + = 0.
b
b

(1.2)

Mệnh đề 1.2.2. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x21 , x22 là
nghiệm của phương trình
t2 − (2b − a2 )t + b2 = 0.

(1.3)

Mệnh đề 1.2.3. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x31 , x32 là

nghiệm của phương trình
t2 + (a3 − 3ab)t + b3 = 0.

(1.4)

Mệnh đề 1.2.4. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x41 , x42 là
nghiệm của phương trình
t2 + (−a4 + 4a2 b − 2b2 )t + b4 = 0.

(1.5)

Chứng minh các Mệnh đề trên có thể xem mục 2.2 Chương 2 trong [3].
Nhận xét Từ Mệnh đề 1.2.1 đến 1.2.4 và các tính chất trong 1.1, ta có thể tiếp
tục xây dựng nhiều phương trình bậc hai mới và từ đó có thể chứng minh được
rất nhiều đẳng thức lượng giác mới.


12

1.3.

1.3.1.

Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị
2π 4π
lượng giác của
,
5 5
Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của

Mệnh đề 1.3.1. cos

2π 4π
,
5 5

2π
4π
, cos
là các nghiệm của phương trình
5
5
1
1
t2 + t − = 0.
2
4

(1.6)

Chứng minh 1. Sử dụng công thức biến tích thành tổng và công thức góc nhân
đôi, ta có.

•2 sin

Do đó cos

π
5

cos

2π
4π
+ cos
5
5

π
2π
π
4π
cos
+ 2 sin cos
5
5
5
5
3π
π
5π
3π
= sin
− sin + sin
− sin
5
5
5
5
π

= − sin .
5
= 2 sin

2π
4π
1
+ cos
=− .
5
5
2
•4 sin

2π
4π
2π
2π
4π
2π
. cos
cos
= 4 sin
cos
cos
5
5
5
5
5

5
4π
4π
= 2 sin
cos
5
5
8π
= sin
5
2π
= − sin .
5

4π
1
2π
cos
=− .
5
5
4
2π
4π
Theo định lí Viète đảo, cos , cos
là các nghiệm của (1.6).
5π
5
Chứng minh 2. Đặt t = sin .
10

π
π
3π
π
π
Do cos = 1 − 2 sin2 ; sin
= 3 sin
− 4 sin3 , nên ta có
5
10
10
10
10
3π
π 3π
π
sin
= cos
−
= cos ⇒ 1 − 2t2 = 3t − 4t3
10
2
10
5

Suy ra cos


13

⇔ (t − 1) 4t2 + 2t − 1 = 0
√
√
1+ 5
1− 5
⇔ (t − 1) t +
t+
= 0.
4
4
√
π
π
−1 + 5
Mà sin
> 0. Vậy sin
=
10
10
4
√
√
1+ 5
3π
π
π
1
−
5
π

, cos
= 4 cos3 − 3 cos =
.
⇒ cos =
5
4
5
5
5
4
Sử dụng công thức
− α), ta được
√ cos α = − cos (π√
2π
−1 + 5
4π
−1 − 5
cos
=
; cos
=
5
4
5
4
2π
4π
1
2π
4π

1
⇒ cos
+ cos
= − ; cos
cos
=− .
5
5
2
5
5
4
2π
4π
Theo định lí Viète đảo, cos , cos
là các nghiệm của (1.6).
5
5
1
1
Mệnh đề 1.3.2.
,
là các nghiệm của phương trình
2π
4π
cos
cos
5
5
t2 − 2t − 4 = 0.

(1.7)

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.6) ta được điều phải chứng minh.
4π
2π
là các nghiệm của phương trình
Mệnh đề 1.3.3. cos2 , cos2
5
5
3
1
t2 − t +
= 0.
(1.8)
4
16
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.3.
2π
4π
Mệnh đề 1.3.4. cos3 , cos3
là các nghiệm của phương trình
5
5
1
1
t2 + t −
= 0.
(1.9)
2

64
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.3 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.4.
2π
4π
Mệnh đề 1.3.5. cos4 , cos4
là các nghiệm của phương trình
5
5
7
1
t2 − t −
= 0.
(1.10)
16
256
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.5.
4π
2π
Mệnh đề 1.3.6. sin2 , sin2
là các nghiệm của phương trình
5
5
5
5
t2 − t +
= 0.
(1.11)
4
16

14

Chứng minh. Vì sin2 α = 1 − cos2 α nên trong (1.8) thay t bởi 1 − t ta được
Mệnh đề 1.3.6.
Mệnh đề 1.3.7. sin4

2π
4π
, sin4
là các nghiệm của phương trình
5
5
25
15
= 0.
t2 − t +
16
256

(1.12)

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.11) ta được Mệnh đề 1.3.7.
1
1
Mệnh đề 1.3.8.
,
là các nghiệm của phương trình
2π
4π

2
2
cos
cos
5
5
t2 − 12t + 16 = 0.

(1.13)

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.8) ta được Mệnh đề 1.3.8.
2π
4π
Mệnh đề 1.3.9. tan2 , tan2
là các nghiệm của phương trình
5
5
25
15
= 0.
(1.14)
t2 − t +
16
256
1
= 1 + tan2 α nên thay t bằng t + 1 vào (1.13) ta được
Chứng minh. Vì
cos2 α
Mệnh đề 1.3.9.

1.3.2.

Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của

2π 4π
,
5 5

Từ các phương trình trên và các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai ta
2π 4π
có thể suy ra nhiều hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc
,
5 5
Hệ thức 1.3.1. (Olympic Moskva, 1939, vòng 1)
cos

2π
4π
1
+ cos
=− .
5
5
2

Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1.
Hệ thức 1.3.2.
cos

2π

4π
1
cos
=− .
5
5
4

Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1.
Hệ thức 1.3.3.
cos2

2π
4π
3
+ cos2
= .
5
5
4


15

Chứng minh 1. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.3.
Chứng minh 2. Áp dụng công thức hạ bậc và Hệ thức 1.3.1 ta có
4π
2π
1
4π

8π
+ cos2
=1+
cos
+ cos
cos2
5
5
2
5
5
1
4π
2π
1 1
3
=1+
cos
+ cos
=1− . = .
2
5
5
2 2
4
1
1
Chứng minh 3. Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − và k = 2 ta có
2
4

2
1
3
1
S2 = σ12 − 2σ2 = −
= .
−2 −
2
4
4
Hệ thức 1.3.4.
2π
4π
1
cos3
+ cos3
=− .
5
5
2
Chứng minh 1. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.4.
Chứng minh 2. Theo công thức góc nhân ba và Hệ thức 1.3.1 ta có
cos3

2π
4π
1
6π
12π
2π

4π
+ cos3
=
cos
+ cos
+ 3 cos
+ 3 cos
5
5
4
5
5
5
5
2π
4π
= cos
+ cos
5
5
1
=− .
2

1
1
Chứng minh 3. Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − và k = 2 ta có
2
4
1 2

1
1 1 1
1
S3 = 3σ1
σ1 − σ2 = 3. −
. +
=−
.
3
2
3 4 4
2
Nhận xét Một đẳng thức có thể chứng minh theo nhiều cách khác nhau.
Hệ thức 1.3.5.
cos4

2π
4π
7
+ cos4
= .
5
5
16

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.5.
Hệ thức 1.3.6.
1
1
+

= 2.
2π
4π
cos
cos
5
5


16

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.6.
Hệ thức 1.3.7.
1
2π
5

cos2

1

+

4π
5

cos2

= 12.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.7.
Hệ thức 1.3.8.
1
cos3

2π
5

1

+

cos3

4π
5

= 32.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.8.
Hệ thức 1.3.9.
1
2π
5

cos4

1

+

cos4

4π
5

= 112.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.9.
Hệ thức 1.3.10.
cos6

9
2π
4π
+ cos6
= .
5
5
32

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.10.
Hệ thức 1.3.11.
cos8

2π
4π
47
+ cos8
=

.
5
5
256

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.11.
Hệ thức 1.3.12.
1
cos6

2π
5

+

1
cos6

4π
5

= 1152.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.12.
Hệ thức 1.3.13.
1
cos8

2π
5

+

1
cos8

4π
5

= 12032.


17

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.13.
Hệ thức 1.3.14.
4π
19
2π
+ cos9
=−
.
5
5
128

cos9

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.14.
Hệ thức 1.3.15.

161
2π
4π
+ cos12
=
.
5
5
2048

cos12

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.15.
Hệ thức 1.3.16.
1
cos9

1

+

2π
5

cos9

4π
5

= 38912.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.16.
Hệ thức 1.3.17.
1
cos12

2π
5

+

1
cos12

4π
5

= 1318912.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.17.
Hệ thức 1.3.18.
cos16

2207
4π
2π
+ cos16
=
.
5

5
65536

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.18.
Hệ thức 1.3.19.
1
cos16

2π
5

+

1
cos16

4π
5

= 144637952.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.19.
Hệ thức 1.3.20.
sin2

2π
4π
5
+ sin2
= .

5
5
4

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.20.
Hệ thức 1.3.21.
sin2

2π 2 4π
5
sin
= .
5
5
16


18

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.21.
Hệ thức 1.3.22.
4π
15
2π
+ sin4
= .
5
5
16
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.22.

sin4

Hệ thức 1.3.23.
4π
25
2π
+ sin6
= .
5
5
32
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.23.
sin6

Hệ thức 1.3.24.
175
2π
4π
+ sin8
=
.
5
5
256
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.24.
sin8

Hệ thức 1.3.25.
1

+

2π
sin
5
2

1

= 4.

4π
sin
5
2

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.25.
Hệ thức 1.3.26.
1
sin4

2π
5

1

+

sin4

4π
5

=

48
.
5

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.26.
Hệ thức 1.3.27.
1
sin6

2π
5

+

1
sin6

4π
5

=

128
.
5

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.27.
Hệ thức 1.3.28.
1
sin8

2π
5

+

1
sin8

4π
5

=

1792
.
25

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.28.
Hệ thức 1.3.29.
sin12

2π
4π
1125

+ sin12
=
.
5
5
2048


19

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.29.
Hệ thức 1.3.30.
1
sin12

2π
5

1

+

sin12

4π
5

=

73728

.
125

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.30.
Hệ thức 1.3.31.
2π
4π
+ tan2
= 10.
5
5
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.31.
tan2

Hệ thức 1.3.32.
4π
2π
tan2
= 5.
5
5
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.32.
tan2

Hệ thức 1.3.33.
2π
4π
+ tan4
= 90.
5

5
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.33.
tan4

Hệ thức 1.3.34.
2π
4π
+ tan6
= 850.
5
5
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.34.
tan6

Hệ thức 1.3.35.
2π
4π
+ tan8
= 8050.
5
5
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.35.
tan8

Hệ thức 1.3.36.
cot2

2π
4π
+ cot2

=
5
5

1
2π
tan
5

+

2

1
4π
tan
5

= 2.

2

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.36.
Hệ thức 1.3.37.
cot4

2π
4π
+ cot4
=

5
5

1
tan4

2π
5

+

1
tan4

4π
5

=

18
.
5


20

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.37.
Hệ thức 1.3.38.
4π
2π

+ cot6
=
5
5

cot6

1
tan6

2π
5

+

1
tan6

4π
5

=

34
.
5

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.38.
Hệ thức 1.3.39.
cot8

2π
4π
+ cot8
=
5
5

1
tan8

2π
5

+

1
tan8

4π
5

=

322
.
25

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.39.

1.4.

Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị
π
lượng giác của góc
12

1.4.1.

Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của góc
π
12

Mệnh đề 1.4.1. cos

π
π
, sin
là các nghiệm của phương trình
12
12
√
6
1
2
t −
t + = 0.
2
4

(1.15)

Chứng minh. Sử dụng công thức góc nhân đôi và hằng đẳng thức, ta có.
π
π
1
π
1
• sin cos
= sin = .
12
12
2
6
4
π
π 2
π
π
π
3
2 π
• sin
+ cos
= sin
+ 2 sin cos
+ cos2
=
12
12

12
12
12
12
2
√
π
6
π
⇔ sin
+ cos
=
.
12
12
2
π
π
Theo định lí Viète đảo, sin , cos
là các nghiệm của phương trình (1.15).
12
12
1
1
Mệnh đề 1.4.2.
π ,
π là các nghiệm của phương trình
sin
cos
12

12
√
t2 − 2 6t + 4 = 0.
(1.16)


21

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.15) ta được Mệnh đề 1.4.2.
π
π
là các nghiệm của phương trình
Mệnh đề 1.4.3. sin2 , cos2
12
12
t2 − t +

1
= 0.
16

(1.17)

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.15) ta được Mệnh đề 1.4.3.

1.4.2.

Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của góc

Hệ thức 1.4.1

√
π
6
π
sin
+ cos
=
.
12
12
2

Chứng minh. Xem trong Mệnh đề 1.4.1.
Hệ thức 1.4.2.
sin

π
1
π
cos
= .
12
12
4

Chứng minh. Xem trong Mệnh đề 1.4.1.
Hệ thức 1.4.3.

√

π
3
6
π
sin3
+ cos3
=
.
12
12
8

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.15) ta được Hệ thức 1.4.3.
Hệ thức 1.4.4.
sin4

π
π
7
+ cos4
= .
12
12
8

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.15) ta được Hệ thức 1.4.4.
Hệ thức 1.4.5.
sin6

π

π
13
+ cos6
= .
12
12
16

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.5.
Hệ thức 1.4.6.
sin8

π
97
π
+ cos8
=
.
12
12
128

π
12


22

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.6.
Hệ thức 1.4.7.

n
2 (−1)m (n − m − 1)!
n π
n π
+ cos
=n
sin
12
12
m!(n − 2m)!
m=0

√
6
2

n−2m

1
4

m

.

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.10 vào (1.15) ta được Hệ thức 1.4.7.
Hệ thức 1.4.8.
√
1
+

=
24
6.
π
π
sin3
cos3
12
12
1

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.15) ta được Hệ thức 1.4.8.
Hệ thức 1.4.9.
1
+
π
π = 224.
sin4
cos4
12
12
1

Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.15) ta được Hệ thức 1.4.9.
Hệ thức 1.4.10.
1

1
+
π

π = 3328.
6
6
sin
cos
12
12
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.10.
Hệ thức 1.4.11.
1

1
+
π
π = 49664.
8
8
sin
cos
12
12
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.11.

Nhận xét Ta có thể sử dụng các đẳng thức về mối quan hệ giữa các giá trị
lượng giác và các công thức lượng giác để phát hiện ra nhiều phương trình bậc
hai nhận giá trị lượng giác của các góc làm nghiệm. Từ các phương trình trên
ta lại có thể suy ra nhiều hệ thức lượng giác của các góc khác nữa (xem thêm
chương 2 trong [3]).

23

Chương 2
Phương pháp phương trình bậc ba
chứng minh các hệ thức lượng giác
Một bộ ba góc có thể không tạo thành tam giác, nhưng giá trị lượng giác của
chúng có thể là ba nghiệm của một phương trình bậc ba. Sử dụng phương pháp
phương trình bậc ba, ta suy ra khá nhiều hệ thức thú vị cho giá trị lượng giác
của các góc này, mà không cần chứng minh bằng biến đổi lượng giác phức tạp,
thậm chí một số hệ thức không thể chứng minh bằng biến đổi lượng giác.

2.1.

Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba

Mọi phương trình bậc ba đều đưa được về dạng
x3 + ax2 + bx + c = 0.

(2.1)

Phương trình (2.1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn các tính chất sau đây.
Tính chất 2.1.1.
T1 = x1 + x2 + x3 = −a.
Tính chất 2.1.2.
T2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b.
Tính chất 2.1.3.
T3 = x1 x2 x3 = −c.


24

Từ ba tính chất cơ bản trên và sử dụng các tính chất đối xứng của nghiệm, ta
suy ra rất nhiều tính chất khác của nghiệm phương trình bậc ba, rất có lợi cho
nghiên cứu phương trình bậc ba và trong chứng minh các hệ thức lượng giác.
Tính chất 2.1.4.
T4 =

1
1
1
b
+
+
=− .
x1 x2 x3
c

Tính chất 2.1.5.
T5 = x21 + x22 + x23 = a2 − 2b.
Tính chất 2.1.6.
T6 = (x1 + x2 ) (x2 + x3 ) (x3 + x1 ) = −ab + c.
Tính chất 2.1.7.
T7 = x31 + x32 + x33 = −a3 + 3ab − 3c.
Tính chất 2.1.8.
T8 = (x1 + x2 − x3 ) (x2 + x3 − x1 ) (x3 + x1 − x2 ) = a3 − 4ab + 8c.
Tính chất 2.1.9.
T9 =

x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1
ab

+
+
=
− 3.
x3
x1
x2
c

Tính chất 2.1.10.
T10 = x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = b2 − 2ac.
Tính chất 2.1.11.
T11 = x41 + x42 + x43 = a4 − 4a2 b + 2b2 + 4ac.
Tính chất 2.1.12. Với mọi số thực k, l ta có
T12 = (k + l.x1 ) (k + l.x2 ) (k + l.x3 ) = k 3 − k 2 l.a + k.l2 b − l3 c.


25

Hệ quả 2.1.1.
(1 − x1 ) (1 − x2 ) (1 − x3 ) = 1 + a + b + c.
Hệ quả 2.1.2.
(1 + x1 ) (1 + x2 ) (1 + x3 ) = 1 − a + b − c.
Tính chất 2.1.13.
T13 =

1
1
1
a

+
+
= .
x1 x2 x2 x3 x3 x1
c

Tính chất 2.1.14.
T14

x3
x1
x2
2b − a2
=
+
+
=
.
x1 x2 x2 x3 x3 x1
c

T15

b2
x1 x3 x3 x2 x2 x1
+
+
= 2a − .
=
x2

x1
x3
c

Tính chất 2.1.15.

Tính chất 2.1.16.
T16 =

1
1
1
b2 − 2ac
+
+
=
.
x21 x22 x23
c2

Tính chất 2.1.17.
2

2

2

T17 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x1 ) = 2 a2 − 3b .
Tính chất 2.1.18.
2

2

2

T18 = (x1 − x2 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 .
Tính chất 2.1.19.
T19

1
1
a2 + b
1
.
+
+
=
=
x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1
−ab + c

Tính chất 2.1.20.
T20

1
1
1
b4 − 4ab2 c + 2a2 c2 + 4bc2
= 4+ 4+ 4 =
.

x1 x2 x3
c4

Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong Mục 3.1, Chương 3 của [3].