Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN DŨNG

DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên, năm 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN DŨNG

DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN
Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Tiến Dũng

i


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản luận văn thạc sỹ này, với tình cảm chân thành cho phép tôi
được tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến:
- Ban giám hiệu nhà trường, Phòng Sau đại học, khoa Toán trường Đại học sư
phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập, nghiên cứu hoàn
thành các chuyên đề của bậc đào tạo Sau đại học.
- Nhà giáo: PGS.TS. Cao Thị Hà - Người hướng dẫn khoa học đã tận tình giúp đỡ,
chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
- Các thầy giáo, cô giáo, các nhà khoa học đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Có được thành quả này, tôi vô cùng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người thân,
đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản thân còn nhiều hạn chế, do vậy, luận văn không tránh khỏi những khiếm
khuyết, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo, các nhà khoa
học, bạn bè và đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Tiến Dũng

ii


MỤC LỤC

Trang
LỜI CAM ĐOAN ...........................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................................... iii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT .......................................................................................iv
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................2
4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu ...........................................................................................3
6. Những đóng góp của luận văn ...................................................................................3
7. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................4
1.1. Một số khái niệm .................................................................................................4
1.1.1 . Khái niệm thực tiễn ......................................................................................4
1.1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán ..................5
1.2. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích ............9
1.2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số ..............9
1.2.2. Sơ lược về lịch sử hình thành, phát triển của phép tính vi phân và tích phân ......12
1.2.3. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn và
liên tục của hàm số ................................................................................................14
1.3. Vai trò của việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong
quá trình dạy học Toán ở trường THPT ...................................................................15
1.3.1. Dạy học hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thành

mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường THPT trong giai đoạn
hiện nay .................................................................................................................15

iii


1.3.2. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nhằm thực hiện nguyên tắc dạy học
Toán theo hướng vận dụng ...................................................................................24
1.3.3. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện hoạt động gợi
động cơ và hoạt động củng cố ..............................................................................24
1.3.4. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện một số thành tố
trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh ......................................................25
1.4. Thực trạng liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạy học Toán ở
các nhà trường THPT nước ta hiện nay ...................................................................27
1.4.1. Về mục tiêu giáo dục THPT và mục tiêu bộ môn toán trong tình hình mới .......27
1.4.2. Vấn đề liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạy học Toán
ở các nhà trường THPT nước ta hiện nay .............................................................28
1.5. Kết luận chương 1 ..........................................................................................40
CHƯƠNG 2. DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN ...........41
2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn thông qua một số
chủ đề Giải tích.........................................................................................................41
2.1.1. Ứng dụng Giải tích trong nội bộ môn toán ở trường THPT .......................41
2.1.2. Ứng dụng giải tích trong các lĩnh vực ngoài toán học ................................58
2.2. Một số biện pháp tăng cường liên hệ thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích ......81
2.2.1. Một số quan điểm xây dựng các biện pháp.................................................81
2.2.2. Một số biện pháp giáo dục nhằm tăng cường liên hệ với thực tiễn
trong quá trình dạy học Giải tích ..........................................................................84
2.3. Kết luận chương 2 .............................................................................................94
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 95

3.1. Mục đích, yêu cầu, nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................95
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................95
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm ..................................................................................95
3.1.3. Nhiệm vụ thực nghiệm................................................................................95
3.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................95

iv


3.3. Thời gian, đối tượng, quy trình, phương pháp đánh giá kết quả thực
nghiệm sư phạm .......................................................................................................96
3.3.1. Thời gian, đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................96
3.3.2. Quy trình triển khai nội dung thực nghiệm .................................................97
3.3.3. Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm ...............................................97
- Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm: Chúng tôi tiến hành các công
việc sau để đánh giá nội dung trên ........................................................................97
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ........................................................................100
3.4.1. Phân tích định tính ....................................................................................100
3.4.2. Phân tích định lượng .................................................................................100
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm .......................................................................103
KẾT LUẬN ...............................................................................................................104
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................105
PHỤ LỤC..................................................................................................................108

v


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
STT

Viết tắt

Cụm từ viết tắt

1

GTLN

Giá trị lớn nhất

2

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

3

GV

Giáo viên

4

HS

Học sinh

5

SGK

Sách giáo khoa

6

THPT

Trung học phổ thông

7

tr

Trang

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Bảng biến thiên………………………………………………...……....…22
Bảng 2.1: Bảng biến thiên……………………………………………………….…..49
Bảng 2.2: Bảng biến thiên …………………………………….………………….…50
Bảng 2.3: Bảng biến thiên …………………………………………….………….…51
Bảng 2.4: Bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa………………..…… . 69
Bảng 2.5: Bảng phân bố tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu……... .. 101
Bảng 2.6: Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất………………………… .. 102
Bảng 2.7: Bảng các tham số đặc trưng………………………………………..……102
Bảng 2.8: Bảng phân loại theo điểm………………………………………….……103
DANH MỤC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Sơ đồ 1: Sáu chức năng trí tuệ……………………………………………............… 18
Sơ đồ 2: Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn……………….......…19
Sơ đồ 3: Mối quan hệ qua lại giữa lý thuyết Toán học và thực tiễn ……………..…83
Biểu đồ 1.1: ………………………...................................................................….. ... 30
Biểu đồ 1.2: ………………………...................................................................….. ... 30
Biểu đồ 1.3: ………………………...................................................................….. ... 31
Biểu đồ 1.4: ………………………...................................................................….. ... 32
Biểu đồ 1.5: ………………………...................................................................….. ... 32
Biểu đồ 1.6: ………………………...................................................................….. ... 33
Biểu đồ 1.7: ………………………...................................................................….. ... 34
Biểu đồ 1.8: ………………………...................................................................….. ... 34
Biểu đồ 1.9: ………………………...................................................................….. ... 36
Biểu đồ 1.10: ………………………...................................................................….. . 36
Biểu đồ 1.11: ………………………...................................................................….. . 37
Biểu đồ 1.12: ………………………...................................................................….. . 38
Biểu đồ 1.13: ………………………...................................................................….. . 38
Biểu đồ 1.14: ………………………...................................................................…. .. 39
Biểu đồ 1.15: ………………………...................................................................….. . 40
Biểu đồ 3.1: Biểu đồ tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu trong bài kiểm
tra 45 phút của lớp thực nghiệm……………………….................…. 101
Biểu đồ 3.2: Biểu đồ tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu trong bài kiểm
tra 45 phút của lớp đối chứng……………………………………..... . 101


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. “Lí luận liên hệ với thực tiễn” là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong dạy học
môn Toán được rút ra từ luận điểm triết học: “ Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức,
là tiêu chuẩn của chân lí”. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: “ Thống nhất giữa lí luận và
thực tiễn là nguyên tắc cơ bản của chủ nghĩa Mác – Lênin. Thực tiễn không có lí luận

hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí
luận suông” [32, tr.66].
1.2. Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết các hoạt động của
con người. Nó có mặt ở khắp nơi. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá các sự vật
hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng
trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học
có tính trừu tượng cao nhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học
trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong
sản xuất và đời sống thực tế. Trong thư gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn
Đồng đã nhấn mạnh: "Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào, thì các
kiến thức và phương pháp toán cũng cần cho các bạn" [5, tr. 14]. ''Toán học có vai trò
quan trọng trong khoa học công nghệ cũng như trong đời sống'' [14, tr. 50].
1.3. Mặc dù vậy, do nhiều lí do khác nhau mà sách giáo khoa Toán phổ thông nói
chung, sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 nói riêng, chưa thực sự quan tâm
đúng mức, thường xuyên tới việc làm rõ mối liên hệ với thực tiễn ngoài Toán học,
nhằm bồi dưỡng cho học sinh ý thức và năng lực vận dụng những hiểu biết Toán học
vào việc học tập các môn học khác, giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong cuộc
sống lao động sản xuất.
Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trường THPT cho thấy rằng, đa số giáo
viên chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lí thuyết, thiếu thực hành và liên hệ kiến thức
với thực tiễn. Học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tường của
lớp học, thành thử không để ý đến những tương quan Toán học quen thuộc trong thế
giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán

1


học đã thu nhận được vào thực tiễn''. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thì coi đây là kiểu
''Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường''.

1.4. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung sách giáo khoa của Bộ
giáo dục và Đào tạo đã xác định rõ: Cần dạy học sao cho học sinh có thể nắm vững tri
thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc
đi vào cuộc sống lao động. Sách giáo khoa cần chú ý nêu rõ ý nghĩa và các ứng dụng
của các kiến thức, chú ý mối quan hệ liên môn.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức Giải tích
trong chương trình Toán THPT với thực tiễn, với một số môn học khác và vận dụng
vào đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho
học sinh THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tổng hợp các quan điểm của nhà khoa học liên quan đến vấn đề tăng cường liên
hệ thực tiễn trong dạy Toán nói chung và dạy Giải tích nói riêng.
3.2. Nghiên cứu kĩ nội dung chương trình SGK Đại số và Giải tích 11, Giải tích 12
hiện hành và tài liệu tham khảo có liên quan để làm rõ nội dung có liên quan đến thực
tiễn và các môn học khác trong chương trình THPT.
3.3. Tìm hiểu thực trạng và nguyên nhân của việc dạy và học môn Giải tích ở trường
THPT theo hướng nghiên cứu đề tài.
3.4. Xây dựng biện pháp tăng cường liên hệ với thực tiễn, tích hợp liên môn trong
quá trình dạy học Giải tích lớp 11 và 12 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
3.5. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của một số phương án
dạy học một số chủ đề Giải tích nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng sách giáo khoa hiện hành, nếu trong quá trình dạy học chú
ý đến việc tăng cường liên hệ với thực tiễn, kiến thức liên môn trong quá trình dạy
học sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Giải tích ở nhà trường THPT và
góp phần vận dụng vào đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.

2

5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu toán học; phương pháp
dạy học môn Toán và các tài liệu liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp điều tra - quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán
nói chung và chủ đề Giải tích nói riêng ở trường THPT ở một số địa phương.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi
và hiệu quả của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn dạy học Giải tích ở trường
THPT.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Góp phần làm rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh ý thức tăng
cường sự liên hệ với thực tiễn và kiến thức liên môn trong quá trình dạy học.
6.2. Làm rõ sự phản ánh thực tiễn, nguồn gốc thực tiễn, liên hệ với các kiến thức liên
môn và ứng dụng trong thực tiễn của một số vấn đề Giải tích.
6.3. Đề xuất một số quan điểm cơ bản nhằm làm cơ sở đưa ra một số biện pháp tăng
cường liên hệ với thực tiễn và các môn học khác trong quá trình dạy học Giải tích ở
trường THPT.
6.4. Luận văn có thể làm tài liệu cho giáo viên Toán ở trường THPT và sinh viên
ngành Sư phạm Toán.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng tăng
cường liên hệ với thực tiễn
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm
1.1.1 . Khái niệm thực tiễn
1.1.1.1. Thuật ngữ thực tiễn trong một số tài liệu ngôn ngữ khoa học
Theo từ điển Tiếng Việt: “Thực tiễn” là “những hoạt động của con người,
trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại
của xã hội (nói tổng quát)” [33, tr.974].
Còn Từ điển sinh học thì định nghĩa : “Thực tiễn’’ là “ toàn bộ những hoạt
động của con người để tạo ra những điều kiện cần thiết cho đời sống xã hội bao gồm
các hoạt động sản xuất, đấu tranh giai cấp và thực nghiệm khoa học: Không có thực
tiễn thì không có lý luận khoa học”[ 36, tr. 575].
1.1.1.2. Phạm trù thực tiễn trong triết học
Phạm trù thực tiễn đã được Lútvích Phoiơbắc- nhà duy vật lớn nhất trước Mác
đề cập đến. Song ông không nhận thức được “ hoạt động cảm giác của con người là
thực tiễn” nên còn quá coi trọng hoạt động lý luận và chưa thấy hết được vai trò, ý
nghĩa của thực tiễn đối với nhận thức của con người.
Các nhà duy tâm cũng chỉ hiểu thực tiễn như là hoạt động tinh thần chứ không
hiểu nó như là hoạt động hiện thực, hoạt động vật chất cảm tính của con người. Ngay
cả Hêghen - nhà triết học duy tâm lớn nhất trước Mác, mặc dù đã có những tư tưởng
hợp lí sâu sắc (bằng thực tiễn, chủ thể tự ''nhân đôi'' mình, đối tượng hoá bản thân mình
trong quan hệ với thế giới bên ngoài [32, tr. 53] ) nhưng cũng chỉ giới hạn thực tiễn ở
ý niệm, ông cho rằng thực tiễn là một ''suy lí lôgíc''.
Kế thừa những yếu tố hợp lí, chỉ rõ và khắc phục những thiết sót trong quan điểm
của các nhà triết học đi trước. Mác và Ăngghen đã đem lại một quan niệm đúng đắn,
khoa học về thực tiễn: ''Thực tiễn là những hoạt động vật chất ''cảm tính'', có mục đích,
có tính lịch sử xã hội của con người, nhằm cải tạo tự nhiên và xã hội'' [32, tr. 54].
Như vậy, thực tiễn không phải bao gồm toàn bộ hoạt động của con người mà chỉ
là những hoạt động vật chất - hoạt động đặc trưng, có mục đích, có ý thức, năng
động, sáng tạo. Hoạt động này có sự thay đổi qua các giai đoạn lịch sử khác nhau và

4


được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong xã hội. Con người sử dụng
các phương tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chất của mình tác động vào tự nhiên,
xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thực cho phù hợp với nhu cầu của mình và
làm cơ sở để biến đổi hình ảnh sự vật trong nhận thức. ''Thực tiễn trở thành mắt khâu
trung gian nối liền ý thức con người với thế giới bên ngoài'' [32, tr. 55]. Con người và
xã hội loài người sẽ không thể tồn tại và phát triển được nếu không có hoạt động
thực tiễn (mà dạng cơ bản đầu tiên và nguyên thuỷ nhất là hoạt động sản xuất vật
chất). ''Thực tiễn là phương thức tồn tại cơ bản của con người và xã hội, là phương
thức đầu tiên và chủ yếu của mối quan hệ giữa con người với thế giới'' [32, tr. 55].
1.1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán
1.1.2.1. Nguyên tắc giữa lý luận và thực tiễn
Giữa lý luận và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng với nhau, tác động qua lại
lẫn nhau. Việc quán triệt mối quan hệ này có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức
khoa học và hoạt động thực tiễn cách mạng. Con người quan hệ với thế giới bắt đầu
từ thực tiễn. Lý luận là hệ thống sản phẩm tri thức được khái quát từ thực tiễn nhờ sự
phát triển cao của nhận thức.
Thực tiễn là cơ sở, mục đích và động lực chủ yếu của nhận thức, lý luận. Thực
tiễn cung cấp tài liệu cho nhận thức, không có thực tiễn thì không có nhận thức. Mọi
tri thức khoa học dù trực tiếp hay gián tiếp thì xét đến cùng đều bắt nguồn từ thực
tiễn. Nhận thức, lý luận sau khi ra đời phải quay về phục vụ thực tiễn, hướng dẫn và
chỉ đạo thực tiễn. Ngược lại, thực tiễn là công cụ xác nhận, kiểm nghiệm tri trức thu
được là đúng hay sai, chân lý hay sai lầm và nghiêm khắc chứng minh chân lý, bác bỏ
sai lầm - "Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý". Cần coi trọng thực tiễn. Việc nhận
thức phải xuất phát từ thực tiễn, dựa trên cơ sở thực tiễn, đi sâu đi sát thực tiễn,
nghiên cứu lý luận phải liên hệ với thực tiễn, "học đi đôi với hành". Tuy nhiên không
có nghĩa là coi nhẹ, xa rời lý luận. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: "Thống nhất giữa lí
luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác - Lênin. Thực tiễn

không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ
với thực tiễn là lí luận suông" [32, tr. 66].

5


Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn được xác định đó là toán
học bắt nguồn từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh,
phát triển các lý thuyết toán học; thực tiễn đặt ra những bài toán và toán học được
xem là công cụ hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán này, Mối quan hệ biện chứng
giữa toán học và thực tiễn đó cũng thể hiện trong quy luật nhận thức đã được
V.I.Lênin nêu lên: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu
tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng để nhận thức chân lý”. Gắn giáo dục
toán học với thực tiễn luôn là xu hướng trên thế giới, tùy theo từng giai đoạn, trong
các bối cảnh khác nhau mà xu thế có những điều chỉnh cho phù hợp. Điều đáng chú ý
là làm thế nào để thể hiện xu thế đó trong thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông.
Định hướng bao trùm là phải làm cho học sinh nhận thức được nguồn gốc thực tiễn
của toán học và khả năng ứng dụng vô cùng đa dạng của toán học và cuộc sống. Có
nhiều giải pháp đa dạng để quán triệt định hướng đó mà học sinh tiếp xúc, nghiên
cứu- giải quyết các bài tập có tình huống thực tiễn có thể được xem là một trong
những biện pháp có hiệu quả.
1.1.2.2. Vận dụng Toán học vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần
phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại
Một trong những nguyên tắc quan trọng được nhóm tác giả Phạm Văn
Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đưa ra trong cuốn Giáo dục học môn
Toán là nguyên tắc "kết hợp lí luận với thực tiễn". Kết hợp lí luận với thực tiễn
không chỉ là nguyên tắc dạy học mà còn là quy luật cơ bản của việc dạy học và
giáo dục của chúng ta.
Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên xa rời với
thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống

chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào" [37].
Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần
thực hiện nguyên tắc kết hợp lý luận với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường
gắn liền với đời sống [13, tr. 60].
Theo Ngô Hữu Dũng: Ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng
lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [6, tr. 13 - 16].

6


Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trường nhằm phát triển văn hóa
Toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ thông không
phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính
lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu
được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành
thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [15, tr. 3 - 4].
V. V. Firsôv khẳng định: "Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không thể
không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán
học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để
giải quyết các bài toán có nội dung thực tế" (dẫn theo [26, tr. 34]).
1.1.2.3. Định hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán
Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc
thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của
nó. Với vai trò là môn học công cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc
của môn Toán được sử dụng cho việc học tập các môn học khác trong nhà trường,
trong nhiều ngành khoa học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn trong
quá trình dạy học sinh hàm số bậc nhất y  ax  b cần làm cho học sinh sáng tỏ đây là
một tương quan thường sảy ra trong vật lý giữa tốc độ và thời gian t của chuyển
động: vt  v0  at , giữa áp suất và nhiệt độ của chất khí trong điều kiện thể tích
không đổi p  p0 (1  t) ; đối với hàm số y  ax 2  bx  c ta cũng có mối liên hệ tương

tự. Chẳng hạn sự tương quan giữa sức cản của không khí và vận tốc chuyển động của
vật được biểu thị bởi p  av 2 ; sự tương quan giữa nhiệt năng trong một dây dẫn có
điện trở R và cường độ dòng điện I biểu thị bằng công thức W=RI2 ; phương trình
1
chuyển động trong vật lý biểu thị bằng công thức: x  x0  v0t  at 2 là sự tương
2

quan chuyển động x của chất điểm và thời gian t ; trong Hình học chúng ta gặp mối
liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đường tròn biểu thị bởi: C=2 R ; trong Hóa
học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của
chất khí đó đối với không khí biểu thị bởi: M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với
chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi: p = a.n;… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt ra một

7


bên các đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lượng đó, chúng ta có
hàm số y  ax .
Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn
trong dạy học. Theo [14, tr. 71] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán
là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục nói trên. Cụ thể là cần
liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau:
1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình
học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nil
(Ai cập), …
2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những đại
lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc,
lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhưng khác nhau về độ
lớn… trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta
thương khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trước

có sau", …
3) Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng
cách không tới được, đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân được
ứng dụng để tính diện tích, thể tích… Muốn vậy, cần quan tâm tăng cường cho học
sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng
như làm bài tập.
- Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh làm toán có nội dung thực tiễn
như giải bài toán bằng cách lập phương trình, bài toán cực trị, đo khoảng cách
không tới được…
- Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học vào
những môn học trong nhà trường, chẳng hạn vận dụng véctơ để biểu thị lực, vận
tốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong Vật lí, vận dụng tổ
hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri thức về hình học không gian
trong vẽ kĩ thuật…
- Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong và ngoài nhà trường kể cả
những hoạt động có tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm khâu đặt bài toán, xây

8


dựng mô hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với
thực tế để kiểm tra và điều chỉnh [10, tr. 53].
Tất cả những hoạt động trên cần dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn
ứng dụng tri thức và phương pháp Toán để giải thích, phê phán và giải quyết
những sự việc xảy ra trong đời sống. Chẳng hạn, khi nhìn thấy một số ghi ở một cột
bên lề đường, có thể học sinh chưa biết được số đó chỉ cái gì. Chính ý thức và phong
cách vận dụng Toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự biến thiên của các số trên các cột
để giải đáp điều đó. Tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ
thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần
túy mang tính lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải

đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng
dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [15, tr. 3 - 4]. "Loại
trừ những ứng dụng khỏi Toán học chẳng khác gì đi tìm một thực thể sống chỉ từ một
hài cốt, không bắp thịt, không thần kinh, không mạch máu" [37, tr. 31]. Tuy nhiên,
trước hết học sinh cần được trang bị cho một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ
năng, phương pháp Toán học phổ thông một cách có hệ thống, cơ bản, hiện đại, sát
thực tiễn Việt Nam theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp.
1.2. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích
1.2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số
Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trước công nguyên khi
những người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn.
Nhưng mãi đến thế kỉ thứ XVII khái niệm này mới được hình thành rõ ràng và có
hệ thống trong Toán học nhờ các công trình của Phermat và Descartes.
Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toán về sự dao động của sợi dây đã
nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quát. Khoảng năm 1694 danh từ hàm
số được Leibniz dùng lần đầu tiên. Lúc này khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn
hình học của hàm số bằng một đường.
Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm
số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli định
nghĩa: "Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và

9


các đại lượng không đổi". Năm 1748, D'Alembert cũng đưa ra định nghĩa: "Hàm số là
một biểu thức giải tích". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò cơ
bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên trong thế kỉ này cũng có
những định nghĩa tổng quát hơn, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm
1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao
cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất

thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai" [13, tr. 92].
Trong thế kỉ thứ XIX với sự phát triển của giải tích toán học, khái niệm hàm số
đòi hỏi phải được mở rộng. Xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các
giá trị của hai đại lượng. Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với
mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng
đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng". Ông đưa
ra ví dụ:

1
y  D( x )  
0

nÕu x h÷u tØ
nÕu x v« tØ

Định nghĩa này đã được tất cả các nhà bác học lúc bấy giờ chấp nhận. Nhưng về
sau khi lí thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng
hơn nữa khái niệm hàm số. Lúc này khái niệm hàm không dùng đại lượng biến thiên
mà dựa vào lí thuyết tập hợp. Đây là một khuynh hướng hiện đại dẫn tới mở rộng
khái niệm hàm vì nó nghiên cứu những sự tương ứng không phải chỉ giữa các giá
trị của những đại lượng. Do đó nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ
truyền của Toán học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đây là bốn dạng định
nghĩa (Dẫn theo [13, tr. 94]):
- Dạng định nghĩa tình huống hàm - nghĩa là tình huống mà trong đó có thể nói
rằng có một hàm số:
+ "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kì. Người ta nói rằng trên A được xác
định một hàm f nhận các giá trị trong B nếu với mỗi phần tử x  A đặt tương
ứng một và chỉ một phần tử trong B". Trong trường hợp các tập hợp có bản chất
bất kì thì thay từ "Hàm" người ta thường dùng từ " ánh xạ" và nói về ánh xạ của
tập hợp A đến tập hợp B.

10


+ "Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ f của tập hợp A
vào tập hợp B và kí hiệu f: A  B nếu bằng cách nào đó đặt tương ứng với mỗi phần
tử a  A một phần tử xác định b  B".
- Hàm như một quy tắc tương ứng của hai tập hợp:
"A và B là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho
tương ứng với mỗi phần tử a  A một phần tử duy nhất b  B".
- Hàm như một sự tương ứng: "Hàm là một sự tương ứng mà theo đó với mỗi
phần tử x của tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó".
Rõ ràng các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa
triệt để: Dạng thứ nhất chưa chỉ được đích danh hàm là gì, còn có những thuật ngữ
chưa rõ như "quy tắc" ở dạng 2, "sự tương ứng" ở dạng 3. Dạng cuối cùng sau đây sẽ
khắc phục được các nhược điểm trên.
- Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki:
+ Định nghĩa đầy đủ:
Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập
hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ
thị G. Kí hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả các phần tử thứ 2 của các cặp trong G được gọi
là miền giá trị của G, kí hiệu là pr2G.
Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr 1G  A và pr2G  B,
được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là
đích của sự tương ứng đó.
Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt
nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm
nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.
Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B),
trong đó F là tập những cặp sao cho pr1G  A và pr2G  B, được gọi là một hàm nếu

mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F.
+ Định nghĩa rút gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho
đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử
thứ nhất x cho trước.

11


Như vậy nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn còn hàm chính là
đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ.
Ta thấy rằng khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính
xác hoá và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn. Và những định nghĩa dạng cuối
cùng (theo cách đầy đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại khuynh hướng lí thuyết tập hợp.
1.2.2. Sơ lược về lịch sử hình thành, phát triển của phép tính vi phân và tích phân
Các ý tưởng giúp hình thành môn vi phân, tích phân phát triển qua một thời gian
dài và những người đi những bước tiên phong là các nhà toán học Hi Lạp. Xét về mặt
lịch sử thì tư tưởng phép tính tích phân ra đời trước và ít lâu sau phép tính vi phân
mới được nghĩ tới. Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào
phương pháp "vét kiệt" (Method of Exhaustion) của Hi Lạp. Nhưng mãi về sau mới
được Euxodus (408 - 355) nâng lên thành lí luận khoa học (sở dĩ gọi là phương pháp
"vét kiệt" vì xem diện tích của một hình được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp
đầy hình đó.)
Phương pháp vét kiệt thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn, được coi là
câu trả lời của trường phái Platon đối với những nghịch lí của Zeno. Mệnh đề cơ sở
như sau: "Nếu từ bất kì một đại lượng nào đó và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một
nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn một nửa của nó,
vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn
định cùng loại".
Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (287 - 212) mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất
với phương pháp cân bằng được tìm thấy vào năm 1906. Tư tưởng chính của phương

pháp Archimedes là: "Để tìm một diện tích hoặc một thể tích thì cắt nó ra thành một
số rất lớn các dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong óc) là treo chúng ở đầu tâm
đã biết". Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm được diện tích của hình tam giác
cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện
tích của hình bình hành ngoại tiếp. Kết quả này được tìm ra bằng cách dựng một dãy
vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích bằng S và tiếp tục ghép thêm

12


các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol. Hình parabol
dần dần được lấp đầy bởi các tam giác có diện tích là:

S, S +

S
S
S
S
S
S
,S+ + ,S+ +
+
...
4
4 16
4 16 64

Từ đó diện tích của tam giác cong giới hạn bởi parabol là:
1

1
1

 4
S 1 + +
+
+ ...  =   S.
4 16
64

 3

Archimedes cũng đã tìm ra được diện tích hình tròn bằng phương pháp của
mình. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông tìm được giá trị
gần đúng của số  ở khoảng giữa hai phân số 3

1
10
và 3 .
71
7

Trong tất cả những khám phá của mình, Archimedes tâm đắc nhất là việc tìm ra
công thức tính thể tích hình cầu: "Thể tích hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại
tiếp". Sau khi ông mất, thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, người ta cho dựng một mộ
bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ.
Cũng từ khi ông mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toán học hầu như rơi vào trong
bóng tối. Lúc này do nhu cầu của kĩ thuật, phép tính vi phân, tích phân trở lại để giải
quyết những bài toán về sự biến thiên của các đại lượng vật lí. Các nhà toán học lớn như
Ferrmat (1601 - 1665), Roberval, Descartes (1596 - 1650), Cavalieri đã tập trung giải

quyết bốn bài toán lớn sau:
1. Tìm tiếp tuyến của một đường cong.
2. Tìm độ dài của một đường cong.
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, chẳng hạn tìm khoảng cách
gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cách tối đa mà một
đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.
4. Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể.
Và thế kỉ XVII được xem là một bước ngoặt trong lịch sử Toán học khi phép
tính vi - tích phân được phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết các bài toán trên. Tất cả
cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toán học Isaac Newton (1643 - 1727)
và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) đã nghiên cứu một cách có hệ thống,

13


hoàn thiện phép tính vi phân, tích phân vào cuối thế kỉ này. Đây cũng là thành tựu
Toán học nổi bật nhất vào thời kì đó.
1.2.3. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn và liên
tục của hàm số
Khái niêm vô hạn đã từng gây nhiều khó khăn cho nhận thức của con người cho
đến thế kỉ XVII. Điều này đã được thể hiện qua hai nghịch lí nổi tiếng của Zéno là
nghịch lí mũi tên, nghịch lí phân đôi. Khái niệm này được J. Kepler (1571 - 1630) và
B. Cavalieri (1598 - 1647) quan tâm trở lại và đã mở đường cho Isaac Newton (1643 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)phát triển và hoàn thiện hai phép
tính vi phân, tích phân. Lúc bấy giờ các nhà toán học đã tính toán trên các giới hạn.
Tuy nhiên, họ chưa đưa ra được một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cách
trực giác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số.
Về sau nhiều nhà toán học mới thực sự lưu ý đến sự cần thiết phải chính xác
hoá các khái niệm cơ bản này nhằm làm cho các phép tính tích phân và vi phân có
cơ sở chặt chẽ. Nhưng các khái niệm này muốn được chính xác hóa cũng gặp
nhiều khó khăn.

Chẳng hạn, sự "dần tới" một giá trị nào đó lại liên quan đến vấn đề chuyển động,
mà hai phép tính vi phân và tích phân lại xem chuyển động là một quá trình liên tục theo nghĩa biến phải nhận mọi giá trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhưng làm
thế nào để mô tả bằng toán học biến di chuyển qua tất cả các điểm kế tiếp nhau trong
một khoảng? Rõ ràng không thể nói rằng "đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau" vì
không có điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kì có một điểm khác). Dù vậy, vào năm 1817,
B. Bolzano (1781 - 1848) đã đưa ra một định nghĩa chính xác về liên tục: hàm số f(x)
liên tục trong một khoảng nếu tại bất kì x nào trong khoảng đó thì hiệu f(x +  ) - f(x)
có thể làm nhỏ tùy ý khi cho  đủ lớn (dẫn theo [21, tr. 31]).
Còn khái niệm giới hạn: hằng số c được gọi là giới hạn của x nếu ta có thể làm
cho x có thể tiến gần đến c một cách tùy ý thông qua sự thay đổi liên tục. Để chính
xác hóa khái niệm này cần phải mô tả bằng toán học khái niệm "gần một cách tùy ý".
A. L. Cauchy (1789 - 1857) đã có công lớn trong việc chính xác hóa khái
niệm giới hạn và liên tục. Ông đưa ra định nghĩa: cho x là biến số thực; x được gọi

14


là có giới hạn là c nếu với bất kì số dương cho trước thì giá trị tuyệt đối của hiệu x
và c có thể làm nhỏ hơn một số dương cho trước đó (Dẫn theo [21, tr. 31 - 32]). Nhà
toán học Đức K. Weierstrass (1815 - 1897) đã làm rõ hơn khái niệm mà A. L. Cauchy
đã đưa ra theo ngôn ngữ " ,  ".
Như vậy, B. Bolzano, A. L. Cauchy và K. Weierstrass đã định nghĩa một cách
chính xác khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số góp phần giải thích các nghịch
lí của Zéno và làm cho hai phép toán vi phân và tích phân có cơ sở chặt chẽ.
1.3. Vai trò của việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong
quá trình dạy học Toán ở trường THPT
1.3.1. Dạy học hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thành mục
tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường THPT trong giai đoạn hiện nay
Trong dự thảo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ giáo dục và
đào tạo ngày 19 tháng 1 năm 2018 nêu rõ, môn Toán cấp THPT nhằm giúp học sinh

đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
+ Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt : sử
dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác
nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình
huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết
lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được được
giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hóa cho vấn đề
tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý tưởng để
thiết kế tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải
quyết vấn đề toán học.
+ Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, thiết yếu về:
- Số và Đại số: tính toán và sử dụng công cụ tính toán; ngôn ngữ và kí hiệu đại
số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt ( lượng giác, mũ, lôgarit), phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình; các hàm số sơ cấp cơ bản ( lũy thừa, mũ, lôgarit và
lượng giác); khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số bằng công cụ đạo hàm ; sử dụng
ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mô tả và phân tích một số quá trình hiện tượng
trong thế giới thực; sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật
thể trong không gian.

15


- Thống kê và Xác suất: Các phương pháp cơ bản của việc biểu diễn và phân
tích số liệu thống kê; các quy luật thống kê trong thực tiễn và các mô hình ngẫu
nhiên; khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của xác suất trong thực tiễn.
- Hình học và đo lường: Ngôn ngữ hình học , kí hiệu hình học và việc mô tả các
đối tượng của thế giới xung quanh bằng ngôn ngữ hình học ; vẽ hình( đồ họa), dựng
hình, tính toán các yếu tố hình học; các tính chất của hình học phẳng và của vật thể
không gian ( ở mức độ suy luận logic); các phương pháp đại số ( vectơ, tọa độ) trong
hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; vận dụng hình học để các quyết các

vấn đề thực tiễn.
+ Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất đại chúng và những
phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động,linh
hoạt; độc lập hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học toán.
+ Góp phần giúp học sinh có hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp
sau Trung học phổ thông.
Hiện nay, thế giới đã bước vào kỉ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa cùng
với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc biệt là lĩnh vực công nghệ kĩ
thuật cao. Cách mạng công nghiệp lần thứ 4 đã bắt đầu được nhắc đến trong vài năm
trở lại đây, với tên thường gọi là Cách mạng 4.0 hay Industry 4.0. Cụm từ này bắt
nguồn tại Đức đầu thế kỉ 21, là xu hướng tự động hóa và trao đổi dữ liệu trong công
nghệ sản xuất. Nó bao gồm các hệ thống không gian mạng, Internet vạn vật và điện
toán đám mây. Qua đó, người ta tạo ra những nhà máy thông minh với hệ thống máy
móc tự kết nối với nhau, tự tổ chức và quản lí. Đây còn được gọi là cuộc cách mạng
số, vì chúng ta sẽ được chứng kiến công cuộc “số hóa” thế giới thực thành thế giới
ảo. Đến một lúc nào đó, lằn ranh giữa hai thế giới này sẽ bị xóa mờ. Việt Nam đang
tự tin bước vào một kỉ nguyên mới - kỉ nguyên hội nhập quốc tế và hợp tác cạnh
tranh toàn cầu.
Để theo kịp với những chuyển biến to lớn trên về tình hình kinh tế và chính trị
xã hội của nước ta cũng như trên thế giới trong giai đoạn này - một giai đoạn mà cạnh
tranh quốc tế là cạnh tranh về con người. Nền giáo dục phải có sứ mệnh làm sao đào
tạo ra những thế hệ con người Việt Nam có đủ sức mạnh trí tuệ và nhân cách để đưa

16