Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON
THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 04/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON
THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2018

1

Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

13

Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron
thần kinh phân thứ

18

2.1. Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . . . 18
2.2. Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . 21
Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron
thần kinh không chắc chắn phân thứ

25

3.1. Tính ổn định của một lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn
phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Tính ổn định hóa của hệ điều khiển nơ ron thần kinh không
chắc chắn phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2

LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân
phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do
những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật [5, 6, 7].
Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc vào cách người ta tổng
quát đạo hàm

dn
dxn

cho trường hợp n không nguyên. Tuy nhiên, hai khái niệm

được dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo
hàm phân thứ Caputo. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville được phát triển
bởi Abel, Riemann và Liouville trong nửa đầu thế kỉ 19. Xét theo tiến trình
lịch sử, đây là khái niệm đạo hàm phân thứ đầu tiên được xây dựng. Tuy nhiên,
khi áp dụng khái niệm này để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế do
điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa vật lý.
Đạo hàm phân thứ Caputo được Caputo xây dựng năm 1969. So với đạo hàm
phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán
thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có
ý nghĩa vật lý. Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài
nước với nhiều bài toán khác nhau như nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa
Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [8], nghiên cứu tính
ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9].
Những năm gần đây, hệ phương trình nơ ron thần kinh phân thứ nhận được
sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Có rất nhiều công trình
được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín về bài toán ổn định theo nghĩa
Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian (xem [10] và các tài liệu tham khảo trong
đó). Vì vậy, có thể nói việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa theo nghĩa
Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh là bài toán quan trọng và có
ý nghĩa khoa học. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định


3

hóa theo nghĩa Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Luận
văn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân
thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo
hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và

duy nhất nghiệm. Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề bổ trợ được dùng để
chứng minh một số kết quả trong Chương 3 của luận văn. Ngoài ra, chúng tôi
cũng trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer của lớp hệ
tuyến tính phân thứ và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ. Nội dung chính
của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3, 4, 6, 7].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho
tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11].
Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định
hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ. Đây chính là nội
dung nghiên mới cứu của luận văn.


4

Danh mục ký hiệu

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A⊤

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A)
A

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax(A⊤ A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

A≥B
LMIs

x
Rn×r

nghĩa là A − B ≥ 0

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)
chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )⊤ ∈ Rn

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

⌈α⌉

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [3, 4, 6, 7].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([7]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-

Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t
t0

(t − s)α−1 x(s)ds,

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

+∞

t ∈ (a, b],
tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α

t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau
Định lí 1.1. ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi


6

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

một hàm khả tích.

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([3])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

=λ

−α
j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và

đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi

RL α
t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t
t0

(t − s)n−α−1 x(s)ds,

trong đó n := ⌈α⌉ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.

Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.

Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


7

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–

Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

a

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau:
AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([7]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

+
k=0

ck (t − t0 )k ,

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

t0

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )

ck =
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
k!

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville.
Định lí 1.2. ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Hệ quả 1.1. ([7]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

f (t0 )
1
+
=
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f ′ (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân

thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

1
dn
Γ(n − α) dtn
λ
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

=

t0
t

t0

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds
(t − s)n−α−1 f (s)ds +

α
= λ tRL
Dtα f (t) + µ RL
t0 Dt g(t).
0

µ
dn
Γ(n − α) dtn

t
t0

(t − s)n−α−1 g(s)ds

Định nghĩa 1.3. ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),

t0 It

trong đó n := ⌈α⌉ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và D n =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.

T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ
cấp α.

9

Định lí 1.3. ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo

α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có

α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α

t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t
t0

f ′ (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân

thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)] = λ tC0 Dtα f (t) + µ tC0 Dtα g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lí 1.4. ([7]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


10

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây
Định lí 1.5. ([7]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì

n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −

k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lí 1.6. [3] Cho α > 0 và đặt n = ⌈α⌉ . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα

x(t) −

j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

1.2.

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và

luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,

t∈[0,T ]

( trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn ).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.1)


11

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .

Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]

nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [3] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn

[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
1
ϕ(t, x0 ) = x0 +
Γ(α)

t
0

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm
hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 )
không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương
lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên
đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. ([3] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt

G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn

điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.


12

Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G

T∗ =







T, nếu M = 0,
min{T, (KΓ(1 + α)/M)

1/α

}, trong trường hợp còn lại.

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1)

với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).

Định lí 1.8. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),
(1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [2]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n

là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.

Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [2]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu




X Z

T

Z −Y



 < 0.

Bổ đề 1.3. [4] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác

định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục. Khi đó ta có
bất đẳng thức sau đúng
C α
0 Dt

α
xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t),

∀t ≥ 0.


13

1.4.

Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân
phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.4. [6] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

zk
,
Γ(αk + 1)

Eα (z) =
k=0

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [6] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [7].
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo


 C D α x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.4)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là

thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.


14

Định nghĩa 1.6. ([11]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ

(1.4) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=

C α
t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.5)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.
Định nghĩa 1.7. ([11]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .

Nhận xét 1.3. ([11]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là

lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân
có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên
cứu tính ổn định. Năm 2010, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny đưa ra phương
pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi

phân phân thứ.
Định lí 1.9. ([8]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:


15

(i)

α1 x(t)

(ii)

C α
t0 Dt V

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

(t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0

trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Áp dụng Định lí 1.9, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn
định Mittag–Leffler của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo và lớp hệ có nhiễu
phi tuyến phân thứ Caputo.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính Caputo


 C D α x(t) = Ax(t), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.6)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A là ma trận vuông cấp n.

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của hệ
(1.6)
Định lí 1.10. ([11]) Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tại
một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau được thỏa mãn

P A + AT P < 0.

(1.7)

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau
V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Ta có
λmin(P ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) 2 .

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ
Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau:
C α
t0 Dt V

α
(t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C
t0 Dt x(t)

= 2xT (t)P Ax(t) = xT (t) P A + AT P x(t)
≤ λmax(P A + AT P ) x(t) 2 .

(1.8)


16

Do điều kiện (1.7), ta có λmax(P A+AT P ) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định
lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler
toàn cục.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–
Leffler của lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo.
Xét hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo


 C D α x(t) = Ax(t) + Bg(x(t)),
t0

t

t ≥ t0 ,

(1.9)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A, B là các ma trận hằng
số có số chiều thích hợp, g(x(t)) ∈ Rn là nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện
sau: g(0) = 0 và g(x(t)) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên

Rn , tức là tồn tại một ma trận xác định dương Lg sao cho bất đẳng thức sau
được thỏa mãn:
g(y) − g(x) ≤ Lg (y − x) ,

∀x, y ∈ Rn .

(1.10)

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của hệ có

nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo (1.9).
Định lí 1.11. ([11]) Giả sử nhiễu phi tuyến g(x(t)) thỏa mãn điều kiện (1.10).
Khi đó hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tại một ma trận
đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng
thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn


T
2
A P + P A + γLg P B
 < 0.

BT P
−γI
Chứng minh. Chọn hàm Lyapunov như sau

V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Ta có
λmin(P ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) 2 .

(1.11)


17

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ

Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau:
C α
t0 Dt V

α
(t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C
t0 Dt x(t)
T

T

(1.12)

T

= x (t) P A + A P x(t) + 2x (t)P Bg(x(t)).
Áp dụng Bổ đề 1.1 và điều kiện (1.10), ta thu được đánh giá sau:
2xT (t)P Bg(x(t)) ≤ γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γg T (x(t))g(x(t))
= γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γ g(x(t)) − g(0)

2

(1.13)

≤ γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γxT (t)L2g x(t).
Từ (1.12) và (1.13), ta có
C α
t0 Dt V

(t, x(t)) ≤ xT (t)Ωx(t) ≤ λmax (Ω) x(t) 2 ,

(1.14)

trong đó
Ω = P A + AT P + γ −1 P BB T P + γL2g .
Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện (1.11).
Từ đó suy ra λmax(Ω) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa
mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.


18

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hóa cho
một lớp hệ nơ ron thần kinh phân
thứ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định
và ổn định hóa cho lớp hệ nổn thần kinh phân thứ. Nội dung chính của chương
này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11].

2.1.

Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân
thứ

Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ


 C D α x(t) = −Cx(t) + Bf (x(t)) + I,

t
0

 x(0) = x0 ∈ Rn ,

t ≥ 0,

(2.1)

T

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái,
T

n là số nơ ron, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), . . . , fn (xn (t))) ∈ Rn là hàm kích hoạt của

hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , . . . , cn } là ma trận đường chéo chính, xác
định dương, B = (bij )n×n là ma trận hằng số. Véc tơ hằng số I = (I1 , . . . , In )
là đầu vào bên ngoài (external input).
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1), ta cần
các giả thiết sau.
Giả thiết 1. Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, . . . , n) liên tục, thỏa mãn điều


19

kiện Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz li > 0(i = 1, . . . , n), tức là
|fi (yi ) − fi (xi )| ≤ li |yi − xi |,
với mọi xi , yi ∈ R. Điều kiện trên tương đương với tồn tại một ma trận đường

chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , . . . , ln } thỏa mãn
f (y) − f (x) ≤ L(y − x) ,
với mọi x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .

Giả thiết 2. C là một ma trận khả nghịch và tồn tại một số 0 ≤ θ < 1 thỏa
mãn

B T (C −1 )T C −1 B ≤ θ(L−1 )2 .
Định lí dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1).
Định lí 2.1. ([11]) Giả sử các Giả thiết 1 và Giả thiết 2 được thỏa mãn. Khi
đó hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Vì C là ma trận không suy biến theo Giả thiết 2, nên ta xây
dựng ánh xạ Ξ được xác định như sau Ξ : Rn −→ Rn
Ξ(ω) = C −1 Bf (ω) + C −1 I,
ở đó ω = (ω1 , . . . , ωn )T ∈ Rn . Từ Giả thiết 1, với hai véc tơ bất kỳ ϕ, ψ ∈ Rn ,
ta có

Ξ(ϕ) − Ξ(ψ)

2

≤ C −1 B (f (ϕ) − f (ψ))

2

T

= (f (ϕ) − f (ψ)) B T (C −1 )T C −1 B (f (ϕ) − f (ψ))
T

≤ (f (ϕ) − f (ψ)) θ(L−1 )2 (f (ϕ) − f (ψ))
n

(2.2)

2

=
i=1

θ(li− )2 (fi (ϕ) − fi (ψ))

≤ θ ϕ − ψ 2.
√
√
Từ điều kiện (2.2) và 0 ≤ θ < 1, ta có Ξ(ϕ)−Ξ(ψ) ≤ θ ϕ−ψ . Điều này

chứng tỏ Ξ là một ánh xạ co trên Rn . Từ đó suy ra tồn tại duy nhất ω ∈ Rn


20

sao cho Ξ(ω) = ω. Suy ra ω = C −1 Bf (ω)+C −1 I. Do đó −Cω +Bf (ω)+I = 0.

Điều này chứng tỏ ω là nghiệm duy nhất của hệ (2.1).

Tính ổn định Mittag–Leffer của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) được
cho bởi định lí sau.
Định lí 2.2. ([11]) Giả sử các Giả thiết 1 và Giả thiết 2 được thỏa mãn. Khi

đó điểm cân bằng của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) là ổn định Mittag–
Leffer toàn cục nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n

và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được
thỏa mãn



T

−C P − P C + γL
BT P

2

PB
−γI



 < 0.

(2.3)

Chứng minh. Theo như Định lí 2.2, ta có hệ (2.1) có duy nhất một điểm cân
bằng x. Với cách đổi biến y(t) = x(t) − x, hệ (2.1) trở thành
C α
0 Dt y(t)

= − C (y(t) + x) + Bf (y(t) + x) + I

= −Cy(t) + B [f (y(t) + x) − f (x)] − Cx + Bf (x) + I

(2.4)

= −Cy(t) + B [f (y(t) + x) − f (x)]
= −Cy(t) + Bg(y(t)),
ở đó g(y(t)) = f (y(t) + x) − f (x), g(0) = 0 và g(y(t)) thỏa mãn điều kiện
Lipschitz trên Rn , tức là với mọi x, y ∈ Rn , ta có

g(y) − g(x) ≤ L(y − x) .
Do đó theo Định lí 1.11 và điều kiện (2.3), điểm cân bằng y = 0 là ổn định
Mittag–Leffer toàn cục. Do đó điểm cân bằng duy nhất x của hệ (2.1) là ổn
định Mittag–Leffer toàn cục.
Từ chứng minh của Định lí 2.2, ta thấy để nghiên cứu tính ổn định của
điểm cần bằng (nghiệm) x bất kỳ của hệ (2.1), ta chỉ cần nghiên cứu tính ổn
định của điểm cân bằng (nghiệm) 0 của hệ (2.4). Do đó, không mất tính tổng
quát, từ nay về sau ta luôn xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ có dạng kiểu
(2.4) và thay vì nói điểm cân bằng (nghiệm) 0 của hệ ổn định Mittag–Leffer,
ta sẽ nói hệ là ổn định Mittag–Leffer.


21

Sau đây, chúng tôi đưa ra một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết của
Định lí 2.2.
Ví dụ 2.1. Xét hệ (2.1), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 ,
T

hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t), sin x3 (t)) ∈ R3 , I = (5, 1, −3)T
và các ma trận





1 −2.5
 3


C = diag{6, 7, 5.5}, B =  −1 1.5
2 .


−2.5 2
−1

Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 1 với L = diag{1, 1, 1}. Cho
θ = 0.6, ta tính được








0
0.6 0
 0.4744 −0.1086 −0.1612





B T (C −1 )T C −1 B = −0.1086 0.2000 −0.0822 < θ(L−1 )2 =  0 0.6 0  .




0
0 0.6
−0.1612 −0.0822 0.2778

Do đó các điều kiện trong Giả thiết 1 và Giả thiết 2 được thỏa mãn đối với

các dữ liệu được xét trong ví dụ này. Ngoài ra, bằng cách sử dụng hộp công cụ
LMI trong MATLAB, ta có điều kiện (2.3) trong Định lí 2.2 được thỏa mãn
với γ = 17.8226 và ma trận




0.1010 
2.7321 0.1613


P = 0.1613 2.4966 −0.0975 .


0.1010 −0.0975 3.0800

Vậy, theo Định lí 2.2, hệ đã cho là ổn định Mittag–Leffer toàn cục.

2.2.

Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định hóa của hệ điều khiển
nơ ron thần kinh phân thứ.
Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ


 C D α x(t) = −Cx(t) + Df (x(t)) + Bu(t),
0
t

 x(0) = x0 ∈ Rn ,

t ≥ 0,

(2.5)


22
T

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, n

T

là số nơ ron, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), . . . , fn (xn (t))) ∈
Rn là hàm kích hoạt của hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , . . . , cn } là ma

trận đường chéo chính, xác định dương, D ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận
hằng số. Tương tự như ở mục trước, trong mục này ta cũng giả thiết hàm kích

hoạt f (x(t)) thỏa mãn f (0) = 0 và tồn tại một ma trận đường chéo chính, xác
định dương L = diag{l1 , . . . , ln } sao cho
f (y) − f (x) ≤ L(y − x) ,
với mọi x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 2.1. Hệ (2.5) được gọi là Mittag–Leffler ổn định hóa được nếu
tồn tại một điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng sau


 C D α x(t) = − [C − BK] x(t) + Df (x(t)), t ≥ 0,
0




t

(2.6)

n

x(0) = x0 ∈ R ,

ổn định Mittag–Leffer.
Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hóa được của hệ điều

khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5).
Định lí 2.3. Hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) là Mittag–Leffer
ổn định hóa được nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n ,
một ma trận Y ∈ Rm×n và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau được thỏa mãn


T
T T
T
−CP − P C + BY + Y B + γDD
PL
 < 0.

T
L P
−γI
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.5) xác định bởi
u(t) = Y P −1 x(t),

t ≥ 0.

Chứng minh. Chọn hàm Lyapunov như sau
V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t).

(2.7)


23

Ta có
λmin (P −1 ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 ) x(t) 2 .

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ
Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau:
C α
0 Dt V

α
(t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 C
0 Dt x(t)

= xT (t) −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t)
+ 2xT (t)P −1 Df (x(t)).
(2.8)
Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu được đánh giá sau:
2xT (t)P −1 Df (x(t)) ≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 f T (x(t))f (x(t))
= γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 f (x(t)) − f (0)

2

(2.9)

≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 xT (t)L2 x(t).
Từ (2.8) và (2.9), ta có
C α

0 Dt V

(t, x(t)) ≤ xT (t)Mx(t) ≤ λmax (M) x(t) 2 ,

(2.10)

trong đó
M = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + γP −1 DD T P −1 + γ −1 L2 .
Nhân bên trái và bên phải của M với P và đặt K = Y P −1 , ta được
P MP = −CP − P C T + BY + Y T B T + γDD T + γ −1 P LLP.
Chú ý rằng P MP < 0 tương đương với M < 0. Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều

kiện P MP < 0 tương đương với điều kiện (2.7). Từ đó suy ra λmax(M) < 0.

Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9,
hệ đóng (2.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Sau đây là một ví dụ số minh họa cho Định lí 2.3.

Ví dụ 2.2. Xét hệ (2.5), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 ,