Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ luận văn thạc sỹ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
--------------------

PHẠM THỊ MINH TÂM

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP
HỆ RỜI RẠC CĨ TRỄ

CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH
MÃ SỐ

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

TS. Phan Lê Na

NGHỆ AN - 2011


2

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu ……………………………...…………………………………..3
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.............................................................5
1.1. Một số yếu tố về đại số tuyến tính..........................................................5

1.2. Một số yếu tố về phương trình sai phân...................................................7
1.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân ..........8
1.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính………………………………….....8
1.5. Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến …………………………………...10
1.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ…………………………………….11
Chương 2. Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ ……………………..16
2.1. Bài tốn ổn định hóa…………………………………………………...16
2.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính ……………………………………...16
2.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ..................................................17
2.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính
có trễ.......................................................................................................20
2.5. Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ..........................................21
Kết luận ………………………………………………………………...…. 30
Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….... 31


3

LỜI NÓI ĐẦU
Một lớp quan trọng của hệ động lực hỗn hợp là lớp thuộc hệ chuyển
đổi theo thời gian rời rạc mà thường xuất hiện trong các dạng toán của các hệ
di truyền, các hệ Lotka-Volterra, các hệ điều khiển tăng trưởng kinh tế tồn
cầu, kiểm sốt các loại bệnh dịch vv… Một hệ biến đổi theo thời gian có thể
được biểu diễn dưới dạng một phương trình sai phân
x  k  1  f  x  k  , x  k  h   , k   .

Trong đó : h 1,  f  . :  M  là một tập hợp các hàm số từ n tới 2n
được tham số hoá bởi tập hợp hữu hạn M và   M là một số khơng đổi được
gọi là tín hiệu (chiến lược chuyển đổi). Trong trường hợp cụ thể giá trị của 
tại giá trị đã cho có thể phụ thuộc vào x  k  . Các hệ có sự chuyển đổi theo

thời gian có nhiều ứng dụng trong việc kiểm sốt các hệ thống cơ, điện, viễn
thơng và trong các lĩnh vực khác.
Ổn định cho các hệ được chuyển đổi là phải tìm ra điều kiện đảm bảo
ổn định tiệm cận cho một giá trị chuyển đổi tùy ý   M . Nói cách khác, một
hệ thống là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu khi ta thay các dữ
kiện ban đầu thì hệ chỉ thay đổi chút ít và về lâu dài hệ có xu hướng trở về
trạng thái cân bằng lúc ban đầu của hệ. Những vấn đề trên đã thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi
phân và lý thuyết ổn định, áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov, một số
bất đẳng thức ma trận, luận văn này đề cập đến việc trình bày một số kết quả
liên quan đến tính ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định vững) của hệ ở trạng
thái cân bằng x 0 . Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo của tác giả Hy
Đức Mạnh (2006), V.N.Phát (2002), A.S.Matveev (2000), A.V.Savkin
(2002) để nghiên cứu về tính ổn định, ổn định hố, ổn định vững của hệ
chuyển đổi tuyến tính có trễ.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1:Trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm các nội dung sau:
1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính.


4

1.2. Một số yếu tố về phương trình sai phân.
1.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân.
1.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính.
1.5. Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến.
1.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ.
Chương 2: Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ là nội dung
chính của luận văn gồm các nội dung sau:
2.1. Bài tốn ổn định hóa.

2.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính.
2.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ.
2.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính
có trễ.
2.5. Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Phan Lê Na. Tác giả xin được bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Cô. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành
cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –
Trường Đại Học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích trong
khoa tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt là Ban Giám
Hiệu, Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên cùng các anh chị trong lớp Cao
học 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Kính mong q Thầy Cơ và bạn đọc đóng góp ý kiến để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011


5

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kết quả về phương trình sai phân, một số
cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân. Cụ thể là sẽ trình
bày một số kiến thức liên quan đến phương trình sai phân, các khái niệm về

ổn định và ổn định tiệm cận; sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc
phi tuyến có trễ và một số kiến thức về đại số tuyến tính cần dùng trong
luận văn.
1.1. Một số yếu tố về đại số tuyến tính
Ma trận A  aij  , i 1, m , j 1, n , với aij   có m hàng và n cột gọi là
ma trận cấp  m n  .
Giả sử R nm là tập hợp tất cả các ma trận cấp  n m  , chuyển vị của ma
trận A kí hiệu là A' , I và I m là ma trận đơn vị trong R nn và R nm tương ứng.
Ma trận Q R nn là xác định không âm (Q ≥ 0) nếu x 'Qx 0 , đối với tất
cả x n . Nếu x 'Qx 0 ( x 'Qx 0 , tương ứng), đối với tất cả x ≠ 0, thì Q là xác
định dương (âm, tương ứng) và được kí hiệu bởi Q > 0, (Q < 0, tương ứng).
Ta thấy rằng Q > 0 (Q < 0, tương ứng) khi và chỉ khi
2

  0 : x 'Qx  x , x  n
2

(   0 : x 'Qx   x , x  n , tương ứng).
Giả sử A là ma trận vuông cấp  n n  , A  aij  , i, j 1, n , chuẩn của ma
trận A sẽ được xác định bởi
1

 n n
2 2
A   aij  .
 i 1 j 1


Véctơ v  n , v 0 gọi là véctơ riêng của ma trận A -  n n  ứng với giá trị
riêng  (số thực hay số phức) nếu Av  v . Tập các giá trị riêng của A kí hiệu là

  A  . Các giá trị riêng của A được xác định từ phương trình đặc trưng của A là
det   I  A  0 hay


6
p     n  a1 n  1  ...  an  1  an 0.

Nếu ma trận A  A' thì A được gọi là ma trận đối xứng. Ta ln có AA ' là
'

đối xứng và  AB  B ' A' .
Ma trận A được xác định dương thì tồn tại ma trận ngược A 1 và ta có
khẳng định sau đây.
1.1.1. Định lý. (Định lý bổ sung Schur) Giả sử các ma trận M có cấp (n n),
P có cấp (n m), Q có cấp (m m) sao cho Q  0, Q Q ' , thì
1.1.2. Định lý. Cho

 P
M'


M 
 0  P  M 'Q  1M  0.
 Q 

P  0, F '  k  F  k  I , và M, N là các ma trận hằng. Nếu tồn tại một số   0

sao cho  I – M 'PM  0 thì khi đó ta có các bất đẳng thức ma trận sau
'

 A  MF  k  N  P  A  MF  k  N   A' R  1 A   N ' N ,

trong đó
R :P  1 

1
MM ' .


1.1.3. Định lý. Các điều kiện sau tương đương
i) A là ma trận xác định dương .
2

ii) c  0,  Ax, x  c x , x  n .
1.1.4. Định lý. (Sylvester conditions) Ma trận A -  n n  là xác định dương nếu
i
det  Di  > 0 , i 1, 2,..., n và xác định âm nếu   1 det  Di  > 0 , i 1, 2,..., n .
Trong đó
a
D1 a11 , D2  11
 a21

 a11 a12
a12 

 , D3  a21 a22
a22 
a
 31 a32

a13 

a23  , …, Dn  A .
a33 

Ba bổ đề dưới đây khá quan trọng và được sử dụng ở phần sau.
Bổ để 1. Giả sử A, B là các ma trận vuông (n  n). Khi đó nếu I  AB khả
nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa

I
Điều ngược lại cũng đúng.

 BA 

1

1

I  B  I  AB  A.


7

Bổ đề 2. Giả sử A, B, C là các ma trận vuông (n  n), B khả nghịch. Khi đó
ta có các khẳng định sau:
i) B + AC khơng suy biến khi và chỉ khi I  CB  1 A là không suy biến.
ii) Nếu B + AC khơng suy biến thì

 B  AC 

1

1

B  1  B  1 A  I  CB  1 A  CB  1.

Bổ đề 3. Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng cấp, với  là một số
dương nào đó ta ln có bất đẳng thức sau
'

 F  G   F  G   1    F ' F   1    1  G 'G.
1.2. Một số yếu tố về phương trình sai phân
Mục này trình bày các kiến thức cơ bản của phương trình sai phân.
Xét hệ phương trình
x  k  1  f  k , x  k   ,

k 0,1, 2...

(1.1)

trong đó f  . :  n  n cho trước.
Khi đó với trạng thái ban đầu x  0  x0 hệ ln có nghiệm xác định bởi công
thức truy hồi





x  1  f  0, x0  , x  2   f 1, f  0, x  0   ,...

Khác với hệ vi phân, sự tồn tại của hệ nghiệm (1.1) là đơn giản, không cần
điều kiện liên tục cũng như Lipschitz của hàm f  . . Trường hợp hệ (1.1) là
tuyến tính dạng
x  k  1  A  k  x  k   g  k  ,

(1.2)

thì với điều kiện ban đầu x  0  x0 tùy ý và dãy
g  g  0  , g  1 ,..., g  k  1 ,... ,

nghiệm x  k  tại bước k  0 cho bởi công thức Cauchy
k1

x  k  F  k , 0  x0   F  k , s  1 g  s 
s 0

trong đó F  k , s  là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất
x  k  1  A  k  x  k  ,

k   .


8

Ta có thể biểu diễn cơng thức của F  k , s  như sau
F  k , s   A  k  1 . A  k  2  ... A  s  ,

k s 0 ,

F  k , k  I .

k s
Nếu A  . là ma trận hằng số thì F  k , s   A , k s 0 và khi đó nghiệm của

hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là
k1

x  k   Ak x0   Ak  s  1 g  s  .
s 0

Bất đẳng thức ma trận dưới đây rất quan trọng khi ta nghiên cứu tính ổn định
và ổn định hóa được của hệ phương trình rời rạc.
1.3. Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân
Xét hệ (1.1) ở trên ta có định nghĩa
1.3.1. Định nghĩa. Hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi   0 , k0   tồn tại
  0 (  phụ thuộc vào  , k0 ) sao cho với mọi nghiệm x  k  của hệ mà
x  0    thì x  k    với mọi k k0 .

1.3.2. Định nghĩa. Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số  0  0
x  k  0 với mọi nghiệm x  k  mà x  0    0 .
sao cho lim
k 

1.4. Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính
Mục này trình bày một số khái niệm về tính ổn định và ổn định tiệm
cận theo Lyapunov.
Xét hệ rời rạc tuyến tính
x  k  1  Ax  k  ,

k  

(1.3)

k
với x  0  x0 thì nghiệm của (1.3) cho bởi x  k   A x0 .

Để x  k   0 khi k   theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc A q  1
k
hoặc A  0  k   , A là ổn định nếu phần thực của tất cả các giá trị riêng

của A là âm. Do đó ta có định lý sau.


9

1.4.1. Định lý. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai điều
kiện sau xẩy ra
i) Tồn tại số q : 0  q  1 sao cho A q  1 .
ii)   1 với mọi     A  :  : det A   E 0 .
Bây giờ ta xét hệ tuyến tính dừng
x  k  1  A  k  x  k  ,

(1.4)

k  

1.4.2. Định lý. Đối với hệ (1.4) ta có khẳng định sau
i) Nếu A  k   A  C  k  trong đó A là ma trận ổn định và C  k  a khi
đó hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ.
ii) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q   0,1 sao cho A  k  q với

mọi k   .
1.4.3. Ví dụ.
Xét hệ phương trình
1
1

x

x

yk
k

1
k

2(k  1)
4(k  1)
.

1
 y 
yk
 k 1
2(k  1)
Xét tính ổn định tiệm cận của hệ.
Giải.
Ta có
 1
 2(k  1)

A(k) 

 0

Vì A(k) 
cận.

1

4(k  1) 
,
1 

2(k  1) 

k   .

3
3
 q  1 nên theo định lý 1.4.2 thì hệ là ổn định tiệm
4(k  1) 4


10

1.5. Sự ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến
Xét hệ rời rạc phi tuyến
x  k  1  f  k , x  k   ,

(1.5)

k 

1.5.1. Định lý. Trong (1.5), với f(k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sử
i) Tồn tại q  (0, 1) sao cho A(k) q, k  
sup L(k) 0
ii) g(k, x) L(k) x , k  q, k   với klim

Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận.
Định lý dưới đây là một áp dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov cho
hệ rời rạc.
1.5.2. Định lý.(Lyapunov) Nếu tồn tại hàm số V(x): n   thoả mãn:
2

2

i) 1  0, 2  0 : 1 x V  x  2 x .
ii) 3  0 : V  x  V ( x  k  1  V  x  k    3 ( x  k  ) .
Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận. Nếu vi phạm một trong hai điều kiện
trên thì hệ (1.5) là khơng ổn định.
Khi (1.5) có dạng tuyến tính dừng, ta có hệ quả.
Hệ quả 1. Xét hệ phương trình
x  k  1  Ax  k  .

k 

Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao cho
A ' PA  P  Q 0

thì hệ phương trình trên là ổn định tiệm cận.

1.5.3. Ví dụ
Xét hệ phương trình
1
1

x(k

1)

x(k)

y(k),k  

2
8
,

1
1
 y(k  1)  x(k)  y(k)

2
4
trong đó


11

 1
 2

A 
 1

 2

1 
 1
 2
8 
'
  A 
1
 1
 

 8
4

1 
2 
. .
1
 
4

 4 0
Lấy ma trận P 
.
 0 6


 3
Ta thấy P > 0 và A 'PA 
 5

 4
 4 0
Q P  A 'PA 

 0 6

5
4
.
9 

16 




 3

 5

 4

5 
1
4 
 

9  5
 
16   4



5 
4
  0.
87 

16 

Vì P  O,Q  0 thỏa mãn A 'PA  P  Q 0.
Do đó theo hệ quả 1 hệ trên là ổn định tiệm cận.
1.6. Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ
Xét hệ rời rạc có trễ
x  k  1  Ax  k   Bx  k  h  ,

k  

(1.6)

n
trong đó x  .   , A, B  R nn , h 0 cho trước.

Điều kiện ban đầu của hệ có dạng
x  0  x   1   x   h   x0 .

Với mỗi x0 cho trước có nghiệm xác định, nghiệm ở bước thứ k được truy

hồi k  h bước trước đó.
1.6.1. Định nghĩa. Hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc
vào độ trễ nếu với bất kỳ h 0 nào đó thì hệ cũng là ổn định tiệm cận.
1.6.2. Định lý. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau
xẩy ra
i) Tồn tại một số hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho


12

 X(P) B'PA 
 A 'PB  W   0 ,



(1.7)

trong đó
X  P   A ' PA  W  B ' PB  P.

ii) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương , Z sao
cho
 X( ) A ' B 
 B' A  Z   0



(1.8)

trong đó

X  p  B ' pB  Z  A ' pAp.

1.6.3. Ví dụ.
Xét hệ phương trình:
1
1
1

 x k 1  4 x k  4 x k  h  4 y k  h
,

1
1
1
y  x  y  y
 k 1 4 k 4 k 4 k  h
trong đó
 1
 4
A 
 1
 4
1

B  4
 0

Lấy
 16 0 
 2 1

P 
, Q 

.
0
16
1
6




1 1 
Thì P, Q là xác định dương và B'PB 
.
1 2
Khi đó


 1 1
0
 4 4
'
  A 
,
1
1
 0




4
4
1
1

0


4  B'  4


.
1
1
1



 4 4
4


13

 1 0
W Q  B'PB 
  0,
 0 4
với

M

1
W 2

1 0 
1
 1 0
.
3

, N  W B'PA 
1

0  
 0 2

2

Ta có
  11 2 
 0.
N ' N A 'PA Q  P 
35
 2 


4
Suy ra tồn tại các ma trận P, W thỏa mãn của định lý nên hệ phương trình
trên là ổn định tiệm cận.

Hệ quả 2. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra:
i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, A và W nghiệm
đúng hệ
A 'A  1A   R P
 1
1
B B'A P

(1.9)

ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương  , S,  và 
nghiệm đúng hệ
B'   1 B   S 
 

  A '  

(1.10)

Hệ quả 3. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến và tồn
tại hai số dương p, q sao cho
1 1
 1
p q

(1.11)

và các ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình Lyapunov
tổng quát
pA'XA + qB'XB + Q = X.

(1.12)

Hệ quả 4. Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một số a dương sao cho
1

A 'A  aI  a  BB'aI  .

(1.13)


14

1.6.4. Ví dụ.
Xét hệ phương trình

 x(k  1) 


 x(k  1) 


a
a
x(k) 
y(k) 
2
2

1 a

x (k  h) 
2

a
x(k) 
2

1 a
1 a
x (k  h) 
y(k  h),h  0
2
2

a
y(k) 
2

1 a
y(k  h),k  
2

trong đó


A 




a
2
a
2

 1 a
a 


2 
2
, B 
 1 a
a



2
2




1 a 

2 
, 0 < a < 1.
1 a 

2 

Tìm điều kiện của a để hệ ổn định tiệm cận.
Giải.
Ta có
a
2



A= 





a 


2 
 A ' 

a



2


a
2

 1 a

2
B 
 1 a

2



AA '  aI 




a
2
a
2



a
2
a
2

a 


2 
,
a


2

 1 a
1 a 


2 
2
'
 B 
 1 a
1 a 


2 
2


a  a

2  2
a  a


2  2



1 a 

2 
.
1 a 

2 

a 

2   1 0
+a 

a   0 1


2

 a 0
 1 0
=
a

 ( a  a ) I .
 0 a
 0 1
 1 a


2
'
BB  aI 
 1 a

2




1 a   1 a

2 
2
1 a   1 a

2 
2

0   a 0
1 a

 

 0 1 a   0 a 



1 a 


 1 0
2 
+ a

1 a 
 0 1

2 


15
(1  a  a ) I .

Theo hệ quả 4 để hệ là ổn định tiệm cận thì
AA '  aI  a  BB '  aI 

1

  AA '  aI   BB '  aI   aI
  a  a  I (1  a  a) I  aI
 (a  a )(1  a  a ) I 2  aI

a

 a   1  a  a   a, hay 0  a  a(1  a) .

Vậy với 0  a  a(1  a) thì hệ trên là ổn định tiệm cận.

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ RỜI RẠC CÓ TRỄ


16

Chương này trình bày bài tốn ổn định hóa, các khái niệm, tính chất
về sự ổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính; các khái niệm, tính chất về sự
ổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ và một số điều kiện đủ cho tính
ổn định của hệ.
2.1. Bài tốn ổn định hóa
Xét hệ điều khiển rời rạc
 x(k  1) f (k, x(k),u(k),k  

n
m
 x(k)   ,u(k)  

(2.1)

2.1.1. Định nghĩa. Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm
u(k) = h(x(k)):  n   m sao cho với hệ phương trình sai phân
x(k + 1) = f(k,x(k)), h(k), k  +
là ổn định tiệm cận. Hàm h(k) được gọi là hàm điều khiển ngược.
2.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính.
Xét hệ phương trình
x  k  1  Ax  k   Bu  k  , k  +

(2.2)

trong đó A  R nn và B  R nm .

2.2.1. Định lý. Hệ (2.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng
xác định dương P sao cho
 X(P) B'PA 
 A 'PB B'PB   0,



(2.3)

trong đó X(P) = A'PA - P, với điều khiển ngược u(k)= -(B'PB)-1B'PAx(k).
2.2.2. Ví dụ.
Xét tính ổn định hố của hệ phương trình
1
1

x
(k

1)

x
(k)

x 2 (k)  u1 (k)  u 2 (k),k  
1
1

2
2
.


1
 x (k  1)  x (k)  u (k)
2
2
 2
4


17

Giải.
Ta có
1

A  2
 0


1
2  , B  1 1  B 1  1  1 .

 0 1
0 1 
1






4

 1 0
Ta thấy B khả nghịch, lấy P I 
 , khi đó với điều khiển ngược
 0 1
u(k) = Kx(k) ở đó
1
  1 1  2
K  B 1A 

 0  1  0


 1
 2

 0


1
2

1

4

1
4 .


1
 
4



thì hệ trên là ổn định hố được.
2.3. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ
Xét hệ phương trình
x (k+1) = Ax(k) + Bx(k - h) + Cu(k), k  +

(2.4)

với điều kiện ban đầu của hệ là
x(0) = x(-1) =  = x(-h) = x0 ,
trong đó A, B  R nn , C  R nm , x  n , u  m ( m  n) là biến điều khiển.
Ta đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận (khơng phụ thuộc độ trễ) của hệ (2.4)
trong trường hợp khơng có điều khiển. Ở đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn định
hóa của (2.4), tức là ta phải tìm một hàm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) sao
cho khi thay vào (2.4) thì hệ ổn định tiệm cận.
2.3.1. Định nghĩa. Hệ (2.4) là ổn định hóa được (khơng phụ thuộc độ trễ)
nếu tồn tại hàm u(k) = Kx(k), với K là ma trận (m  n) sao cho hệ
x(k + 1) = (A + CK)x (k) + Bx(k - h), k  +


18

là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ.
2.3.2. Định lý. Xét hệ phương trình (2.4) hệ là ổn định hoá được nếu tồn tại
hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho

 X(P)
G V H  1E E U  1V 


W 0
0
0
0 
 G'
 V'
0 U
0
0
0 

 0 ,
0
0  U 1 0
0 
 E 'H  1


0
0
0
H
0 
 E'
 V 'U  1
0

0
0
0  H  1 


(2.5)

với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) mà
K = -H-1E - U-1V

(2.6)

trong đó ký hiệu
X(P) = A'PA + W + B'PB - P,
G = B'PA, U C ' PBW  1B ' PC
V C ' PBW  1 B ' PA

H= C'PC, E = C'PA.
2.3.3. Ví dụ.
Xét tính ổn định hố của hệ phương trình
1
1


 x1 (k  1)  4 x1 (k)  2 x1 (k  h)  u1 (k),k  
.

1
1
 x (k  1)  x (k)  x (k  h)  u (k)

2
1
2
 2
4
2
Giải.
Ta có
1
1
A  I  A'  I
4
4
.
1
1
'
'
B  I  B  I,C I C
2
2
1
1
1
Chọn P  I, W  I  W -1 4I với điều khiển ngược K  I .
2
2
4
Khi đó

19
X  P  A 'PA  W+B'PB  P 

7
I.
32

1
1
H C'PC  I, E C'PA  I
2
8
1
1
G ' B'PA  I, U C 'PBW  1B'PC  I
16
4

Theo điều kiện (2.5) của định lý 2.3.2
1
1
1
1
1 
 7
  32 I 16 I 16 I 4 I 8 I 4 I 


 1 I  1I 0

0
0
0 
 16

4
 1

1

I
0
I
0
0
0 
4
 16
 0
 1

0
0  4I 0
0 
 I
 4

 1

1

0
0
0
I 0 
 8I
2


 1I
0
0
0
0  2I 

 4


điều này tương đương với


5
I 0.
64

Vậy hệ trên là ổn định hóa được.
2.3.4. Hệ quả. Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu tồn tại các ma trận đối
xứng xác định dương P, R, A và W nghiệm đúng hệ
(A ' K 'C')A  1 (A  CK)  W  B'PB  R P

B(W  B'PB)  1 B' A P  1


(2.7)
với điều khiển ngược u(k) = Kx(k)
K = -H-1E - U-1V

(2.8)

trong đó các ký hiệu H , E ,U ,V như ở định lý (2.3.2).
2.3.5. Hệ quả. Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu B khơng suy biến và tồn tại
hai số dương p, q sao cho


20

1 1
 1
p q

(2.9)

và ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình
p(A' + K'C') X (A + CK) + qB'XB + Q = X ,

(2.10)

với điều khiển ngược u(k) = Kx(k)
K = -(C'XC)-1C'XA - (C'XBW-1 B'XC)-1C'XBW-1B'XA,

(2.11)

trong đó
W = (q - 1)B'XB.

(2.12)

2.4. Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính có
trễ
Xét hệ chuyển đổi tuyến tính có độ trễ có dạng:
x  k  1  A  A  k   x  k    B  B  k   x  k  h    C  C  k   u  k 

( 2.13)

n
m
trong đó: k   ,   M  1, 2,..., N  , h ≥ 1, x  k    , u  k    , n ≥ m,

A , B  R nn , C  R nm là các ma trận hằng, ∆Aŋ(k), ∆Bŋ(k), ∆Cŋ(k) là tham số

biến động dưới dạng:
∆Ai(k) = EiF(k)Fi ,
∆Bi(k) = HiF(k)Gi ,
∆Ci(k) = QiF(k)Ti .
Trong đó Ei, Fi, Hi, Gi, Qi, Ti, i = 1, 2 là các ma trận hằng có chiều thích hợp
và F(k) là ma trận biến động thỏa mãn điều kiện
F  k  F '  k  I .

2.4.1. Định nghĩa. Nghiệm 0 của hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (đặt
u(k)=0, F(k) = 0) được gọi là có tính chất ổn định tiệm cận nếu tồn tại một
hàm số vô hướng xác định dương V(x): n   và một tín hiệu chuyển đổi
ŋ  {1,2, ..., N} sao cho ∆V(x(k)) = V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theo

nghiệm của hệ.