CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC TRONG ĐỀ THI HSG TOÁN 8

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN
 x2
6
1  
10 − x 2
 3
 :  x − 2 +
+
+
x+2
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  

Bài 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A =





a, Tìm điều kiện của x để A xác định .
b, Rút gọn biểu thức A .
c, Tìm giá trị của x để A > O
HD
Bài 1
a,

x # 2 , x # -2 , x # 0
2
1  6
 x
+
+

:
2
 x −4 2− x x + 2 x + 2
x − 2( x + 2 ) + x − 2
6
= ( x − 2)( x + 2) : x + 2

b , A= 

=

−6
x+2
1
.
=
( x − 2)( x + 2) 6 2 − x

c, Để A > 0 thì

1
> 0 ⇔ 2− x > 0 ⇔ x < 2
2−x

Bài 2: ( 2 điểm ) Cho biểu thức:
6 x − 1  x 2 − 36
 6x + 1
+ 2
.
A=  2

2
 x − 6 x x + 6 x  12 x + 12

( Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x=

1
9+4 5

HD
Bài 2 ( 2 điểm )
1) ( 1 điểm ) ĐK: x ≠ 0; x ≠ ± 6 )
 6x + 1
6 x − 1  ( x + 6)( x − 6)
6 x 2 + 36 x + x + 6 + 6 x 2 − 36 x − x + 6
1
+
.
=
.
=
A= 
=

2
x
12( x 2 + 1)
 x ( x − 6) x ( x + 6)  12( x + 1)

=

12( x 2 + 1)
1
1
.
=
2
x
12( x + 1) x

1
=
2) A= x

1
1

= 9+4 5

9+4 5
x2

y2

x2y2

Bài 3( 2 điểm). Cho biểu thức : P = x + y 1− y − x + y 1+ x − x + 1 1− y
(

)(
) (
)(
) (
)(
)
1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y) ∈ Z sao cho giá trị của P = 3.
HD
Bài 3. (2 điểm - mỗi Bài 1 điểm)
MTC : ( x + y) ( x + 1) ( 1− y)


1.

P=

x2 ( 1+ x) − y2 ( 1− y) − x2y2 ( x + y)

( x + y) ( 1+ x) ( 1− y)

=

( x + y) ( 1+ x) ( 1− y) ( x − y + xy)
( x + y) ( 1+ x) ( 1− y)

P = x − y + xy .Với x ≠ −1; x ≠ − y; y ≠ 1 thì giá trị biểu thức được xác định.
⇔ x − y + xy = 3 ⇔ x − y + xy − 1= 2
2. Để P =3
⇔ ( x − 1) ( y + 1) = 2

Các ước nguyên của 2 là : ±1; ±2.
Suy ra:
 x − 1 = −1  x = 0
⇔

 y + 1 = −2  y = − 3
 x − 1= 1  x = 2
⇔

(loại).
 y + 1= 2  y = 1
 x − 1= 2  x = 3
⇔

 y + 1= 1  y = 0
 x − 1 = −2  x = −1
⇔

(loại)
 y + 1 = −1  y = − 2

Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.

3x 3 − 14 x 2 + 3x + 36
Bài 4:Cho biểu thức: A= 3
3x − 19 x 2 + 33x − 9
a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định.
b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0.
c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

HD
Bài 4 (3đ)
a.(1đ)
( x − 3) 2 (3 x + 4)
Ta có A=
(0,5đ)
( x − 3) 2 (3x − 1)

Vậy biểu thức A xác định khi x≠ 3,x≠ 1/3(0,5đ)
b. Ta có A=

3x + 4
do đó A=0 <=> 3x +4=0 (0,5đ)
3x − 1

<=> x=-4/3 thoã mãn đk(0,25đ)
Vậy với x=-4/3 thì biểu thức A có giá trị bằng 0 (0,25đ)
c. (1đ)
Ta có A=

3x + 4
5
= 1+
3x − 1
3x − 1

Để A có giá trị nguyên thì

5
phải nguyên<=> 3x-1 là ước của 5<=> 3x-1≠ ± 1,± 5

3x − 1

=>x=-4/3;0;2/3;2
Vậy với giá trị nguyên của xlà 0 và 2 thì A có giá trị nguyên (1đ)


Bài 5: (3đ)
Cho phân thức : M =

x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 + 3x + 6
x 2 + 2x − 8

a) Tìm tập xác định của M
b) Tìm các giá trị của x để M = 0
c) Rút gọn M
HD
Bài 5:
a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ - 4
TXĐ = { x / x ∈ Q; x ≠ 2; x ≠ −4}
b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)
= 0 khi x=2; x= ± 1.
x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0
x2+ 2x- 8 ≠ 0
Vậy để M = 0 thì x = ± 1.

(0,5đ)
0,2đ
1,0đ
0,2đ

Để M= 0 Thì

c) M =

0,5đ
0,3đ

( x − 2)( x 2 + 3)( x 2 + 1) ( x 2 + 3)( x 2 − 1)
=
( x − 2)( x + 4)
x+4

Bài 6. Cho biểu thức:
x + 1 x − 1 x 2 − 4 x − 1 x + 2006
−
+
).
A= (
x −1 x +1
x2 − 1
x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
HD
Bài 6:
 x ≠ ±1
x ≠ 0

a) Điều kiện: 

x + 2006
( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + x 2 − 4 x − 1 x + 2006
⋅
b) A = (
=
2
x
x −1
x
 x = ±1
c) Ta có: A nguyên ⇔ (x + 2006) x ⇔ 2006x ⇔ 
 x = ±2006

Do x = ± 1 không thoã mãn đk. Vậy A nguyên khi x = ± 2006
Bài 7 (2,5đ) Cho biểu thức
 x2
6
1  
10 − x 2



+
+
:
x
−
2

+
A=  3
 
x+2
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  





a. tìm tập xác định A: Rút gọn A?
b. Tìm giá trị của x khi A = 2
c.Với giá trị của x thì A < 0
d. tim giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
bài 2 (2,5đ)


a. Cho P =

x4 + x3 + x + 1
x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1

Rút gọn P và chứng tỏ P không âm với mọi giá trị của x
HD
Bài 7 (2,5đ)
sau khi biến đổi ta được;
−6

x+2

A = ( x − 2)( x + 2) × 6

0,5đ

a. TXĐ = { ∀x : x ≠ ±2; x ≠ 0}

0,25đ

−1
1
=
0,25đ
x−2 2−x
⇒ x = 1,5 (thoã mãn điều kiện của x) 0,5đ
b. Để A = 2
1
< 0 ⇒ 2 − x < 0 ⇒ x > 2 (Thoã mãn đk của x)
c. Để A < 0 thì
2−x

Rút gọn: A =

0,5đ

d. Để A có giá trị nguyên thì (2 - x) phải là ước của 2. Mà Ư (2) = { − 1;−2;1;2}
suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nhưng x = 0 không thoã mãn ĐK của x 0,25đ
Vậy x = 1; x =3.; x=4
0,25đ
Bài 8 (2,5đ)
x4 + x3 + x + 1

a. P = 4 3
x − x + 2x 2 − x + 1

1đ

Tử: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25đ
Mẫu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1)
0,25đ
Nên mẫu số (x2 + 1)(x2 -x + 1) khác 0. Do đó không cần điều kiện của x
Vậy P =

( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1)

(( x

2

)(

))

+1 x − x +1
2

=

( x + 1) 2
x

2

+ 1`

vì tử = ( x + 1) 2 ≥ 0∀x và mẫu x2 + 1 >0 với

mọi x 0,25đ
Nên P ≥ 0∀x
Bài 8: (5 điểm)
 2 1 
1
 1
 x − 1
+
1
+
+
1
Cho biểu thức: A = 
3 
÷ 2
 2
÷ : 3
  x
 ( x + 1)  x  x + 2x + 1  x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
HD
Bài 1


2x
x2 +1  x −1

: 3
+
A= 
ĐKXĐX∉ {0;1;-1}
2
2 2 
2
a)
(
x
+
1
)
x
(
)
x
+
1
.
x

 x
( x + 1) 2 x 3
( x − 1)( x + 1) 2 x 2
x
A=

x −1
−1
Tacó:1-A=
>0 khi x-1<0 suy ra x<1
x −1

A=

b)

0,25đ


Kết hợp với điều kiện xỏc định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1
c)

A= 1+

1
x −1

Vìx nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên thì x-1là ước của 1
Hoặc x-1=1 suy ra x=2
Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)
Vởy x=2 là giá trị cần Tìm
Bài 9: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 +x
4 x2

2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi Rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
HD
Bài 9:
a
ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2

3
 2 x − x ≠ 0
2 + x 4 x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
A=(
−
−
):(
)=
.
=
2 − x x 2 − 4 2 + x 2 x 2 − x3
(2 − x)(2 + x)
x ( x − 3)
4 x2 + 8x
x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3
=

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

.
x −3

b
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

4x2
>0
x −3

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD)
⇔
 x = 3( KTMDKXD)


Với x = 11 thì A =

121
2

2
1  
10 − x2 

 x
A = 2
+
+
Bài 10. Cho biểu thức:
÷:  x − 2 + x + 2 ÷
 x − 4 2− x x + 2 

a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính giá trị của A , Biết | x| = 2 .
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
HD
2
1  
10 − x2 
 x
+
+
Biểu thức: A =  2
÷:  x − 2 + x + 2 ÷
 x − 4 2− x x + 2 

−1
a. Rút gọn được kq: A =
x− 2
1
1
−1

x
=
⇒
x
=
x
=
b.
hoặc
Bài 10
2
2
2
(6 điểm)
4
4
hoặc A =
3
5
c. A < 0 ⇔ x > 2
−1
∈ Z ... ⇒ x ∈ { 1;3}
d. A ∈ Z ⇔
x− 2
⇒A=

Bài 11 : (2 điểm)

Cho

P=

a 3 − 4a 2 − a + 4
a 3 − 7 a 2 + 14a − 8

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
HD
Bài 11 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4)

0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)

0,5

Nêu ĐKXĐ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 4

0,25

a +1
a−2

0,25

Rút gọn P=
b) (0,5đ) P=

a−2+3
3
= 1+
; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
a−2
a−2

mà Ư(3)= { − 1;1;−3;3}
Từ đó tìm được a ∈ { − 1;3;5}
Bài 12 (4 điểm)

0,25


 1 − x3

1 − x2
− x  :
Cho biểu thức A = 
2
3 với x khác -1 và 1.
 1− x
 1− x − x + x
a, Rút gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.

HD
Bài 12( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
A=

0,5đ

1− x − x + x
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)
3

2

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x )
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
2
= (1 + x ) : (1 − x)
= (1 + x 2 )(1 − x)

0,5đ
0,5đ

b, (1 điểm)
2
5
= − thì A =
3
3
25
5
= (1 + )(1 + )
9
3
34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27

Tại x = − 1

0,25đ

5 2 
5 

1 + (− 3 )  − 1 − (− 3 ) 

0,25đ
0,5đ

c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vì1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1
KL
Bài 13(4.0 điểm) : Cho biểu thức A =

x
3 − 3x
x+4
− 2
+ 3
x +1 x − x +1 x +1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
HD Bài 13
1

a

(

(
(

)
)

(

2
x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) x + x + 1
x2 + x + 1
=
=
=
( x + 1) x 2 − x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x 2 − x + 1

(

b

)

x x 2 − x + 1 − ( x + 1) ( 3 − 3x ) + x + 4
x
3 − 3x
x+4
−
+
- Rút gọn: A =
=
x + 1 x 2 − x + 1 x3 + 1
( x + 1) x 2 − x + 1

)

2

1 3

x+ ÷ +
2
2 4
x + x +1 
Với mọi x ≠ - 1 thì A = 2
=
2
x − x +1 
1 3
x
−

÷ +
2 4


)

0,25đ
0,5đ
0,25đ


2

2

1 3
1 3


Vì  x + ÷ + > 0;  x − ÷ + > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ A > 0, ∀x ≠ −1
2 4
2 4


 x2
6
1  
10 − x 2 
+
+
Bài 14: Cho biểu thức: M =  3
 :  x − 2 + x + 2 
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  


a. Rút gọn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
HD bài 14
1
a  x2
6
1  
x2
+

+
 3
 =
 x − 4x

6 − 3x

6
1 
+
x + 2   x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2 
x − 2( x + 2) + ( x − 2)
=
( x + 2)( x − 2)
−6
= ( x + 2)( x − 2)
−


10 − x 2  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x 2 )
 x − 2 +
=
x + 2 
x+2

6
=
x+2
−6
x+2

1
.
⇒ M=
=
( x − 2)( x + 2) 6
2− x

+ Nếu x 〉 2 thì M 〈 0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x 〈 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dương, nên M muốn đạt
GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,
Mà (2 – x) là số nguyên dương ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1.
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
Bài 15 (4 điểm)
b

 1 − x3

1 − x2
− x  :
Cho biểu thức A = 
2
3 với x khác -1 và 1.
1
−
x
1
−
x
−
x

+
x


a, Rút gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
HD

Bài 15( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
A=

KL

0,5đ

1− x − x + x
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)
3

2

(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x )(1 + x)
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
2
= (1 + x ) : (1 − x)

0,5đ

= (1 + x 2 )(1 − x)

0,5đ

0,5đ


b, (1 điểm)
2
5
= − thì A =
3
3
25
5
= (1 + )(1 + )
9
3

34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27

Tại x = − 1

0,25đ

5 2 
5 

1 + (− 3 )  − 1 − (− 3 ) 

0,25đ
0,5đ

KL
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1
KL
Bài 16( 6 điểm): Cho biểu thức:

0,25đ
0,5đ
0,25đ

2x − 3
2x −8
3  21 + 2 x − 8 x 2

+
−
+1
P=  2
÷:
2
2
 4 x −12 x + 5 13 x − 2 x − 20 2 x −1  4 x + 4 x − 3
a) Rút gọn P
1
b) Tính giá trị của P khi x =
2
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
HD
Bài 16: Phân tích:
4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3)

Điều kiện:

1
5
−3

7
x ≠ ;x ≠ ;x ≠
;x ≠ ;x ≠ 4
2
2
2
4

2 x −3
2 x −5
1
−1
1
b) x = ⇔ x = hoặc x =
2
2
2
1
1
⇒… P =
+) x =
2
2
−1
2
⇒ …P =
+) x =
3
2
2 x −3

2
c) P =
= 1+
2 x −5
x −5
Ta có: 1 ∈ Z
2
∈Z
Vậy P ∈ Z khi
x −5
⇒ x – 5 ∈ Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TMĐK)
a) Rút gọn P =

0,5đ
0,5đ
2đ

1đ


x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TMĐK)
KL: x ∈ {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên.
2 x −3
2
d) P =
= 1+

2 x −5
x −5
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì

1đ
0,25đ

2
>0 ⇒ x–5>0 ⇔ x>5
x −5

0,5đ

Với x > 5 thì P > 0
Bài 17: (2.5đ) Cho biểu thức.

3
6x
1
x 2 + 3x
P=( 3
+
):
(
)
3
2
2
x − 3 x − 3 x + 9 x − 27

x + 3 x 2 + 9 x + 27 x + 9

a) Rút gọn P.
b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
HD
Bài 17: (2.5đ)
Bài a: 1đ



x ( x + 3)
3   1
6x
+ 2
−
:

2
 ( x + 9)( x + 3) x + 9   x − 3 ( x − 3)( x + 9) 

P= 

2

x+3
x 2 + 9 − 6x
:
= 2
x + 9 ( x − 3) x 2 + 9

=
=

(
x + 3 ( x − 3) ( x
.

x2 + 9

2

)
+ 9)

( x − 3) 2

x+3
x−3

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Bài b: (0.75đ)

P=

x+3

⇔
x −3

Px - 3P = x + 3
(P – 1)x = 3(P + 1)
x=

Ta có: x > 0 ⇔ x =

3( P + 1)
P −1

3( P + 1)
P +1
>0⇒
>0
P −1
P −1

0.25đ


 P + 1 > 0

P − 1 > 0  P > 1
⇒
⇒
 P + 1 < 0  P < 1

 P − 1 < 0

Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1.

0.25đ

Bài c: 0.75đ ĐKXĐ: x ≠ ±3

P=

x +3 x −3+6
6
= 1+
=
x −3
x −3
x −3

0.25đ

P nhận giá trị nguyên ⇔ x - 30 ∈ Ư (6) = { ± 1;±2;±3;±6}
Từ đó tìm đợc x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9;−3}

0.25đ

Kết hợp với Đ/C x ≠ ±3 ; x ∈ z ta đợc.
x∈ { 4;2;5;1;6;0;9}

0.25đ

Vậy x∈ { 4;2;5;1;6;0;9} thì P nguyên.

Bài 18: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 +x
4 x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a)Tìm ĐKXĐ rồi Rút gọn biểu thức A ?
b)Tìm giá trị của x để A > 0?
c)Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
HD
Bài
18:
a
ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2

2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
 2 x − x ≠ 0
2 + x 4 x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
A=(
− 2
−
):( 2
)
=
.
=
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3
(2 − x)(2 + x)
x ( x − 3)
4 x2 + 8x
x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3
=

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
.
x −3


b
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

4x2
>0
x −3

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD)
⇔
 x = 3( KTMDKXD)

Với x = 11 thì A =

121
2

 x−4

1  

x −8



Bài 19: (4,0 điểm). Cho biểu thức P =  3 +
÷: 1 − 2
÷
 x −1 x −1   x + x + 1 
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số nguyên.
HD
BÀI 19
a.Với x ≠ 1 thì

P=

x+3
x2 + 9

x+3
b.P nhận giá trị nguyên ⇔ 2
nguyên khi đó ( x + 3)M( x 2 + 9) ⇔ ( x − 3)( x + 3)M( x 2 + 9)

x +9
⇒ ( x 2 − 9)M( x 2 + 9) ⇒ ( x 2 + 9 − 18)M( x 2 + 9) ⇒ 18M( x 2 + 9) suy ra x 2 + 9 là ước của 18
2
Mà x 2 + 9 ≥ 9 > 0 nên x + 9 ∈ { 9;18} nên x 2 = 0;9 ta có x=0 ;3 ;-3

Thử lại ta được x=-3 thỏa mãn bài toán.
Vậy x=-3 thì P nhận giá trị nguyên
4
1 
7
 3
−
+
:

Bài 20. (5,0 điểm). Cho biểu thức A = 
2
x + 2  4x − 4
 4x − 8 4 − x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để A - A > 0.
HD
ĐK để giá trị của A xác định là: x ≠ ±2; x ≠ 1.
a)
2,5đ

Rút gọn được kết quả A =

x −1

x−2

(*)


A =

x −1 x − 2 +1
1
=
=1+
,
x−2
x−2
x−2

Vì 1∈ Z nên A có giá trị nguyên ⇔ x − 2 ∈ Ư(1) = { -1; 1}.
Bài 20
(5,0đ)

∈
b) Suy ra x { 1; 3}.
1,5đ Giá trị x = 1 không thoã mãn (*), vậy x = 3 thì A có giá trị nguyên.

x − 1 > 0
x −1
<0⇒
(Vì x - 1 > x - 2).
x−2
x − 2 < 0

⇒1< x < 2
Các giá trị này đều thoã mãn (*), vậy 1 < x < 2 thì A − A > 0 .
A − A>0 ⇒ A > A⇒ A<0⇒

c)
1,0đ

Bài 21(4 điểm): Cho biểu thức

2x
 x +1 x −1
x2 −1
−


A=
:
 x − 1 x + 1  5x − 5 x 2 + 2 x + 1

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để Giá trị của biểu thức A là số nguyên tố.
c/ Tìm x để A ≥ 2.
HD
Bài 21
4 điểm
Rút gon biểu thức A
- ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1

a

b
c

 ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2  5( x − 1)
x2 −1
.
−
- A= 

( x + 1) 2
 ( x − 1)( x + 1)  2 x
4x
5( x − 1) ( x − 1)( x + 1)
- A = ( x − 1)( x + 1) . 2 x − (
2
x + 1)
10
x −1
−
- A=
x +1 x +1
11 − x
- A=
x +1
11 − x
- Vậy A =
khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
11 − x
Với A =

khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
11 − x
12
Ta có A =
=-1+
nguyên khi x + 1 ∈ U(12)
x +1
x +1
- Lập luận tìm được: x ∈ { 3;4;6;12} thì A là các số nguyên tố là A ∈ { 2;3;5;11}
11 − x
Ta có: A =
khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
A ≥2
11 − x
⇔
≥2
x +1
11 − x
⇔
-2 ≥ 0
x +1


3− x
≥0
x +1
⇔ -1  x ≤ 3 và x ≠ 0; x ≠ 1
⇔

Bài 22(4điểm):
 x2
6
1  
10 − x 2 


+
+
x
−
2
+
Cho biểu thức M =  3
 :
x + 2 
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  

a) Rút gọn M
1
b)Tính giá trị của M khi x =

2

c) Tìm x nguyên để M.(-4x+7) nhận giá trị nguyên.
HD Bài 22
ý
Tóm tắt lời giải
Rút gọn M



x2
6
1  
10 − x 2 

 (ĐKXĐ: x ≠ 0 x ≠ ±2 )
+
+
x
−
2
+
:
 
3
x + 2 
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  

x2
6
1  6
−
+
=
:
 x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2  x + 2

M= 

a)
2đ

−6

x+2

M = ( x − 2)( x + 2) . 6

=

1
2− x

1
Tính giá trị của M khi x =

b)
1đ

c)
1đ

2
1
1
1
x = ⇔x=
hoặc x = 2
2

2
1
1
1
2
Với x = ta có : M = 2 − 1 = 3 =
2
3
2 2
1
1
1
2
Với x = - ta có : M = 2 + 1 = 5 =
2
5
2 2
4 x − 7 4( x − 2) + 1
1
= 4+
M.(-4x +7)=
=
x−2
x−2
x−2
Với x ∈ Z thì x - 2 ∈ Z.
1
Để M.(-4x+7) nguyên thì
nguyên. ⇒ x - 2 là ước của 1
x−2

Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1.
Do đó: x = 3 hoặc x = 1( cả 2 giá trị đều thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy để M.(-4x+7)nguyên thì x = 3 hoặc x = 1

1
6x + 3
2

+ 3
− 2
 : ( x + 2) .
 x +1 x +1 x − x + 1


Bài 23: (5 điểm). Cho biểu thức: Q = 

1) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q.
1
2) Tìm x khi Q = .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.
HD


1) Đk: x ≠ −1; x ≠ −2.
x − x + 1 + 6x + 3 − 2x − 2 1
( x + 2)( x + 1)
1
Q=

.
=
= 2
3
2
x +1
x + 2 ( x + 1)( x + 2)( x − x + 1) x − x + 1
1
1
= ⇔ x 2 − x + 1 = 3 ⇔ ( x + 1)( x − 2) = 0
2) 2
x − x +1 3
Suy ra x = -1 hoặc x = 2.
1
So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q =
3
2
1
1 3 3

2
3) Q = 2
; Vì 1 > 0; x – x + 1 =  x − ÷ + ≥ > 0.
x − x +1
2 4 4

3
Q đạt GTLN ⇔ x 2 − x + 1 đạt GTNN ⇔ x 2 − x + 1 =
4
4

1
⇔ x= (t/m). Lúc đó Q =
3
2
4
1
Vậy GTLN của Q là Q = khi x= .
3
2
Bài 24: (3,5đ) Cho biểu thức.
Bài 23
(5đ)

P=(

2

3
6x
1
x 2 + 3x
+ 2
): (
- 3
)
2
3
2
x − 3 x − 3x + 9 x − 27
x + 3 x + 9 x + 27 x + 9

a) Rút gọn P.
b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
HD
BAI 24
Bài a: 1đ



x ( x + 3)
3   1
6x
+ 2
−
:

2
 ( x + 9)( x + 3) x + 9   x − 3 ( x − 3)( x + 9) 

P= 

2

x+3
x 2 + 9 − 6x
:
= 2
x + 9 ( x − 3) x 2 + 9

=

(
x + 3 ( x − 3) ( x
.

x +9
2

2

( x − 3)

)
+ 9)

2

=

x+3
x −3


Bài b: (0.75đ)

P=

x+3
⇔

x −3

Px - 3P = x + 3
(P – 1)x = 3(P + 1)
x=

Ta có: x > 0 ⇔ x =

3( P + 1)
P −1

3( P + 1)
P +1
>0⇒
>0
P −1
P −1

 P + 1 > 0

P − 1 > 0  P > 1
⇒
⇒
 P + 1 < 0  P < 1

 P − 1 < 0

Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1.
Bài c: 0.75đ ĐKXĐ: x ≠ ±3

P=

x +3 x −3+ 6
6
= 1+
=
x−3
x −3
x −3

P nhận giá trị nguyên ⇔ x - 30 ∈ Ư (6) = { ± 1;±2;±3;±6}
Từ đó tìm đợc x∈ { 4;2;5;1;6;0;9;−3}
Kết hợp với Đ/C x ≠ ±3 ; x ∈ z ta được.
x∈ { 4;2;5;1;6;0;9}
Vậy x∈ { 4;2;5;1;6;0;9} thì P nguyên.

Bài 25: (3.5 điểm).Cho biểu thức: P =

 x +1
x2 + x
1
2 − x2 
:
−
+

÷
x2 − 2x + 1  x
1 − x x2 − x 

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P<1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.
HD
Bài 25 ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ 1; x ≠ -1
(3.5
x2
điểm) Với x ≠ 0 và x ≠ 1; x ≠ -1, rút gọn P ta có P =

x −1

P<1 <=>

2

x
<1
x −1


2

1 3

x− ÷ +
2
2

x
x − x +1

2 4
⇔
−1 < 0 ⇔
<0⇔ 
<0
x −1
x −1
x −1
⇔ x −1 < 0 ⇔ x < 1
Vậy với x<1 và x ≠ 0 và x ≠ -1, thì P<1

Ta có : P =

x2
x2 − 1 + 1
1
1
=
= x +1+
= x −1+
+2
x −1
x −1
x −1
x −1

Khi x>1 thì x-1>0. Áp dụng bđt Cosi, ta có : x − 1 +

1
≥ 2,

x −1

dấu « = » xảy ra khi x =2. Vậy GTNN của P bằng 4 khi x = 2

Bài 26 (4 điểm): Cho biểu thức:

P=(

x+2
2
2 − 4 x 3x − x 2 + 1
+
− 3) :
−
3x
x +1
x +1
3x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
HD BÀI 26
1
2
x −1
a)Rút gọn được P =
3

ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ ; x ≠ −1

b) Tìm được x < 1 và x ≠ 0 ; x ≠

1
2

c) P nguyên ⇔ x- 1 là bội của 3.
Từ đó x – 1 = 3k (k ∈ Z ) ⇒ x = 3k + 1 (k ∈ Z )
Bài 27: (4 điểm).
2
 x + 1 2x 5x + 2  3x − x
P
=
−
+
:
Cho biểu thức:

2 ÷
2
 x − 2 x + 2 4 − x  x + 4x + 4

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P = 2 .
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số nguyên.
HD BÀI 27
a ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ −2; x ≠ 3

(x + 1)(x + 2) − 2x(x − 2) − (5x + 2) x(3 − x)
:

(x − 2)(x + 2)
(x + 2) 2
x 2 + 3x + 2 − 2x 2 + 4x − 5x − 2 x(3 − x)
=
:
(x − 2)(x + 2)
(x + 2) 2
− x(x − 2) (x + 2) 2 x + 2
=
×
=
.
(x − 2)(x + 2) x(3 − x) x − 3
x+2
Vậy P =
với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ −2; x ≠ 3
x −3
b TH1: P = 2 ⇔ x + 2 = 2 ⇒ x + 2 = 2 ( x − 3) ⇔ x = 8 (tmđk)
x −3
P=


4
(tmđk)
3
4
Vậy P = 2 thì x = 8 hoặc x =
3

TH2: P = - 2 tính được x =

x+2
5
=1+
x −3
x −3
5
∈ Z ⇒ x − 3 ∈ { 1; −1;5; −5} ⇒ x ∈ { 4;2;8; −2}
Để P nguyên thì:
x −3
Vì x ≠ ±2 , nên x ∈ { 4;8}
Bài 28: (4,0 điểm).
 x −1
3
3x 2 + 3 
x2 + 1
−3
−
− 3
Cho biểu thức A =  2
(với x ≠ 1; x ≠ ).
÷: 2
4
 x + x +1 1− x x −1  4x − x − 3
c

Ta có: P =

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x thoả mãn x − 2 + 3 = 5

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
HD BÀI 28
 x −1
3
3x 2 + 3 
x2 +1
−3
−
− 3
a) A =  2
(với x ≠ 1; x ≠ )
÷: 2
4
 x + x + 1 1− x x −1  4x − x − 3
 ( x − 1)( x − 1) 3( x 2 + x + 1) 3 x 2 + 3 
x2 + 1
A=
+
− 3
÷:
x3 − 1
x3 − 1
x − 1  ( x − 1)(4 x + 3)

x2 + x + 1
( x − 1)(4 x + 3) 4 x + 3
A=
.
= 2
(1)

2
( x − 1)( x + x + 1)
x2 + 1
x +1
b)

x − 2 + 3 = 5 (*) vì x − 2 ≥ 0, ∀x ⇒ x − 2 + 3 > 0 nên x − 2 + 3 = x − 2 + 3

khi đó (*) ⇔ x − 2 + 3 = 5 ⇔ x − 2 = 2
suy ra x = 0; hoặc x = 4 (TMĐK đề bài)

4.0 + 3 3
= =3
02 + 1 1
4.4 + 3 19
=
- Với x = 4 thay vào (1) ta được A = 2
4 + 1 17
4 x + 3 4 x 2 + 4 − 4 x 2 + 4 x − 1 4( x 2 + 1) − (4 x 2 − 4 x + 1)
c) A = 2
=
=
x +1
x2 + 1
x2 + 1
(2 x − 1) 2
A = 4− 2
≤ 4.
x +1
- Với x = 0; thay vào (1) ta được A =

2
Vậy Amax = 4 khi (2 x − 1) = 0 ⇔ x =

Bài 29 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

1
(TMĐK đề bài)
2
 x +1
x2 + x
1
2 − x2 
P= 2
:
+
+
÷
x − 2x + 1  x
x −1 x2 − x 

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm x để P =

−1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1

HD BÀI 29
x ≠ 0

ĐKXĐ :  x ≠ 1
 x ≠ −1


a
2đ

Không có đk x ≠ -1 trừ 0,25đ
P=
P=
P=

x ( x + 1)  ( x + 1)( x − 1)
x
2 − x2 
:
+
+
÷
2 
x( x − 1) x( x − 1) 
( x − 1)  x( x − 1)
x ( x + 1) x 2 − 1 + x + 2 − x 2
:
2

x( x − 1)
( x − 1)
x ( x + 1)

( x − 1)

2

:

x ( x + 1) x( x − 1)
x +1
x2
=
×
=
x( x − 1) ( x − 1) 2
x +1
x −1

−1
x2
−1
⇔ P=
=
với
2
x −1 2
⇒ 2x2 = − x + 1
⇔ 2x2 + x −1 = 0

P=

b
1đ

x ∈ ĐKXĐ

⇔ 2x2 + 2 x − x −1 = 0
⇔ ( 2 x − 1) ( x + 1) = 0

⇔x=

1
( TM ĐKXĐ)
2

Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ)
(Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
Vậy P =

−1
1
⇔x=
2
2

x2
x 2 − 1 + 1 ( x − 1) ( x + 1) + 1
1
=

=
= x +1+
x −1
x −1
x −1
x −1
1
1
P = x +1+
= x −1+
+2
x −1
x −1
1
Vì x > 1 nên x − 1 > 0 và
> 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x –
x −1
P=

c
1đ

1 và

1
ta có:
x −1

x −1+

1
≥2
x −1

1
=2
x −1

( x − 1) ×


Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 =

1
x −1

 ( x – 1)2 = 1
 x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )
 x = 2 ( TM )
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
2x
 x +1 x −1
x2 −1
−
:
- 2
 x − 1 x + 1  5x − 5 x + 2 x + 1

Bài 30(4 điểm): Cho biểu thức A = 

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để Giá trị của biểu thức A là số nguyên tố.
c/ Tìm x để A ≥ 2.
HD BÀI 30
Rút gon biểu thức A
- ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1

a

b

c

 ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2  5( x − 1)
x2 −1
.
−
- A= 

( x + 1) 2
 ( x − 1)( x + 1)  2 x
4x
5( x − 1) ( x − 1)( x + 1)
- A = ( x − 1)( x + 1) . 2 x − ( x + 1) 2
10
x −1
−
- A=
x +1 x +1
11 − x

- A=
x +1
11 − x
- Vậy A =
khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
11 − x
Với A =
khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
11 − x
12
Ta có A =
=-1+
nguyên khi x + 1 ∈ U(12)
x +1
x +1
- Lập luận tìm được: x ∈ { 3;4;6;12} thì A là các số nguyên tố là A ∈ { 2;3;5;11}
11 − x
Ta có: A =
khi x ≠ 0; x ≠ ±1
x +1
A ≥2
11 − x
⇔
≥2
x +1
11 − x
⇔
-2 ≥ 0

x +1
3− x
⇔
≥0
x +1
⇔ -1  x ≤ 3 và x ≠ 0; x ≠ 1