Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG HẢI YẾN

TÍNH KHẢ VI THEO DỮ KIỆN ĐẦU
CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG HẢI YẾN

TÍNH KHẢ VI THEO DỮ KIỆN ĐẦU
CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.S TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2018


Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến ThS. Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình tôi làm bài khóa
luận của mình. Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô
trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2. Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những
thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các
bạn sinh viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Tác giả khóa luận

Đặng Hải Yến


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của thầy ThS. Trần Văn Tuấn. Trong khi nghiên
cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Tính khả vi theo dữ kiện
đầu của nghiệm của phương trình vi phân” là kết quả của việc nghiên
cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của

các đề tài khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Tác giả khóa luận

Đặng Hải Yến


Mục lục
Mở đầu

2

Bảng kí hiệu

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . .
1.2 Tích vô hướng của hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên
lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Khái quát về hệ phương trình vi phân . . . . . . . . .
1.4.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối
với phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình . . .
1.5 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

9
11
13
13
15
16
22

2 Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm phương trình
vi phân
25
2.1 Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

35

1


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một trong những nhánh quan trọng trong
Toán học được đề xuất và nghiên cứu rất sớm bởi nhiều nhà Toán học,
xem [4]. Những nghiên cứu này được thúc đẩy bởi những ứng dụng

quan trọng của nó từ nhiều bài toán thực tiễn: Vật lý, Hóa học, Kinh
tế, Sinh học,... Các nghiên cứu chính của phương trình vi phân tập
trung trả lời các câu hỏi về sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm. Trên thực tế, khi mô hình hóa các hiện tượng dữ
kiện ban đầu và các hệ số trong phương trình thường được lấy từ các
đo đạc, quan sát thực tiễn. Hơn nữa trong quá trình đo đạc dữ kiện
ban đầu (dữ kiện Cauchy) không thể tránh khỏi các sai số và đôi khi
cần sử dụng thêm các yếu tố phụ (tham số). Vì vậy một trong những
câu hỏi thu hút được quan tâm nghiên cứu từ khá sớm đó là tính chất
khả vi của ánh xạ biến dữ kiện đầu thành nghiệm của phương trình.
Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân, tôi chọn
đề tài: “Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương trình vi
phân” để thực hiện khóa luận của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài toán Cauchy đối với
phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định đối với phương trình vi
phân tuyến tính hoặc phi tuyến.
b) Tìm hiểu tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương
2


trình vi phân hay tính khả vi của ánh xạ biến dữ kiện đầu thành
nghiệm của phương trình
3. Đối tượng nghiên cứu
a) Nghiên cứu về tính ổn định nghiệm và sự tồn tại nghiệm của
phương trình vi phân thường.
b) Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương trình vi
phân
4. Phạm vi nghiên cứu
Với thời gian và kiến thức có hạn, trong khóa luận này tôi chỉ trình

bày các khái niệm, định lí. Đề tài tập trung vào
a) Phương trình vi phân, tính ổn định nghiệm và sự tồn tại nghiệm
của hệ phương trình vi phân.
b) Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm
5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sủ dụng trong khóa luận là: Tìm
kiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang
web nhưng chủ yếu là [4]. Sau đó phân tích, tích cực nghiên cứu dưới
sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn, tổng hợp và trình bày các vấn đề
cho rõ ràng, hợp lô-gic.
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận được trình bày trong hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Tính khả vi theo dữ kiện đầu của nghiệm của phương
trình vi phân.
3


Bảng kí hiệu
N

Tập số tự nhiên

Z

Tập số nguyên

R

Tập số thực

C

Tập số phức.

R+

Tập số thực không âm

C[a, b]

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn

Không gian Euclide n chiều,
với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn ,
1/2

n

|xi |2

chuẩn Euclide x =

,

i=1

Mat(n × m, R) Tập tất cả các ma trận cấp n × m

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A

zn,d

Vectơ của đơn thức n biến, bậc nhỏ hơn hoặc bằng d

M

0

Ma trận xác định không âm

n

aj

Tích a1 a2 . . . an

j=1

λ(A)

Tập các giá trị riêng của ma trận A
Kết thúc chứng minh

4

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, kết quả liên
quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach
về ánh xạ Co được sử dụng trong khóa luận, chi tiết có thể tham khảo
[1, 4].

1.1

Không gian chuẩn hữu hạn chiều

Các phần tử của nó là các véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Đôi khi ta cũng viết véc tơ x dưới dạng một ma trận cột. Các số thực
x1 , x2 , . . . , xn được gọi là tọa độ của véc tơ x. Phép cộng véc tơ được
xác định bằng phép cộng các tọa độ, phép nhân véc tơ với một số thực
cũng được xác định tương tự.
Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), khi đó chúng ta thu
được ánh xạ tuyến tính
B : Rm → Rn ,

5


cho bởi công thức Bx = Bx, trong đó Bx là kí hiệu của véc tơ cột


m



b x
 j=1 1j j 

 m




b
x
2j
j

 j=1
Bx := 
,


.
..



n


bmj xj
j=1

trong đó bji là kí hiệu của phần tử ở vị trí giao của dòng thứ i với cột

thứ j của ma trận B, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Ngược lại, mọi ánh xạ
tuyến tính Rm → Rn đều có dạng trên.
Ma trận chuyển vị B ∗ của B là ma trận cấp m × n với các phần tử
là
b∗ji = bij ,

∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Đăc biệt, với bất kì ma trận thực A cấp n × n từ một ánh xạ tuyến
tính trong không gian Rn vào chính nó thì ma trận A đó được gọi là
ma trận không suy biến nếu định thức của nó là một hằng số khác 0.
Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và
xác định bởi công thức
A × A−1 = A−1 × A = I,
trong đó, ta kí hiệu I là ma trận đơn vị cấp n.
Định nghĩa 1.1. (Định nghĩa chuẩn) Một chuẩn trên Rn là ánh
xạ · : Rn → [0, +∞) thỏa mãn các tiên đề
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
6


(ii) x = 0 ⇔ x = 0.
(iii) λx = |λ| x , ∀λ ∈ R, x ∈ Rn .
(iv) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Rn .
Các hàm dưới đây là các ví dụ cụ thể cho chuẩn trong Rn .
x := max |xi |,

(1.1)

1≤i≤n

n

x

1

|xi |,

=

(1.2)

i=1
1
2

n

x

e

x2i

:=

.

(1.3)

i=1

Với một chuẩn bất kì trên Rn luôn cảm sinh một tôpô trên chính
nó (tôpô sinh bởi chuẩn). Từ đó cho phép ta định nghĩa khái niệm
hội tụ và một số khái niệm điển hình về tôpô như sau. Ta nói dãy
xj

j≥1

∈ Rn hội tụ tới x trong Rn với chuẩn · nếu
lim xj − x = 0.

j→∞

Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa hình cầu mở) Hình cầu mở tâm
a ∈ Rn và bán kính r là tập
{x ∈ Rn ;

x − a < a} .

Định nghĩa 1.3. (Định nghĩa hình cầu đóng) Hình cầu đóng
tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập
{x ∈ Rn ;

x − a ≤ a} .
7


Chúng ta cũng có thể định nghĩa khái niệm tôpô của bao đóng, tập
đóng, tập mở và tính liên tục. Theo đó, một tập D ⊂ Rn được gọi là

mở nếu với mọi điểm x0 ∈ D, tồn tại một hình cầu mở tâm x0 và chứa
trong D. Tập C ⊂ Rn được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm trong C hội
tụ và hội tụ tới một điểm trong C. Tập K ⊂ Rn gọi là compact nếu
mọi dãy điểm trong K chứa một dãy con hội tụ tới một điểm trong
K. Cuối cùng, tập D được gọi là bao ngoài nếu nó chứa vô số hình
cầu.
Ta có thể thấy rằng sự hội tụ theo chuẩn tương đương với sự hội
tụ theo tọa độ.
Chính xác hơn, nếu cho một dãy xj ∈ Rn , xj = (xj1 , xj2 , . . . , xjn ), thì
lim xj = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ⇔ lim xjk = xk , ∀k = 1, 2, . . . , n.

j→∞

Ta nói hai chuẩn ·

j→∞

1

và ·

2

là tương đương nếu tồn tại một hằng số

2

≤ x

C ≤ 1 sao cho

1
x
C

1

≤ C x 2.

(1.4)

Theo đó, các khái niệm tập con đóng, tập con mở, tập con compact
của Rn cũng được định nghĩa tương tự với mọi chuẩn trên Rn .
Cho một ma trận thực cấp n × n với các phần tử {aij ; 1 ≤ i, j ≤ n},
chuẩn của nó là một số thực
n

|aij | .

A = max
i

(1.5)

j=1

Trong không gian véc tơ các ma trận tuyến tính cấp n × n (không
8


2

gian tuyến tính n2 chiều Rn ), ánh xạ A → A thỏa mãn tất cả các
tiên đề (i) − (iv) trong Định nghĩa 1.1
(i) A ≥ 0.
(ii) A = 0 ⇔ A = 0.
(iii) λA = |λ| A , ∀λ ∈ R.
(iv) A + B ≤ A + B .
Theo đó, ta nói rằng dãy ma trận (Aj )j≥1 hội tụ tới ma trận A khi
j → ∞, chúng ta sẽ kí hiệu rằng A = lim Aj , khi lim Aj − A = 0.
j→∞

Nếu ta kí hiệu
ak , 1 ≤ k,

ajk

, 1 ≤ k,

j→∞

≤ n các phần tử của ma trận Aj ,

≤ n các phần tử của ma trận A thì
lim Aj = A ⇔ lim ajk = ak , ∀k, .

j→∞

j→∞

Nếu · là chuẩn trên Rn xác định bởi (1.1), chúng ta có bất đẳng

thức sau
Ax ≤ A

1.2

x , ∀x ∈ Rn .

Tích vô hướng của hai véc tơ

Cho hai véc tơ
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn

9


Ta định nghĩa rằng tích vô hướng của chúng là một số thực có dạng
n

xk yk .

(x, y) :=

(1.6)

k=1

Chúng ta có thể coi tích vô hướng như một hàm (·, ·) : Rn × Rn → Rn .
Không khó để thấy rằng nó thỏa mãn các tính chất sau
(x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ Rn ,

(1.7)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y, z ∈ Rn , λ ∈ R,
(1.8)
(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ R, (x, x) = 0 ⇔ x = 0.
Ta thấy rằng hàm ·
x

e

(1.9)

xác định bởi
1

e

:= (x, x) 2 , x ∈ Rn ,

(1.10)

chính xác là chuẩn trong (1.3). Không gian véc tơ Rn được trang bị
với tích vô hướng (1.6) và chuẩn (1.10) được gọi là không gian Euclide
thực n chiều.
Trong không gian Euclide, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm
về toán tử trực giao, đối xứng và nói chung, chúng ta có thể mở rộng
thành công một phần lớn của hình học Euclide cổ điển.

10

1.3

Không gian Metric, không gian Metric đầy và
nguyên lý điểm bất động

Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa không gian metric). Cho X là
một tập hợp tuỳ ý. Ta nói ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞) là một metric
trên X nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn
d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Một tập X được trang bị cùng với một metric d được gọi là không gian
metric và được kí hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.5. (Định nghĩa không gian metric đầy). Không
gian metric (X, d) được gọi là đầy nếu mọi dãy cơ bản bất kỳ trong
X hội tụ.
Định nghĩa 1.6. (Định nghĩa ánh xạ Co). Cho hai không gian
metric (X, d1 ), (Y, d2 ). Ánh xạ A : (X, d1 ) → (Y, d2 ) gọi là ánh xạ co,
nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho
d2 (Ax1 , Ax2 ) ≤ αd1 (x1 , x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X.
Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co
A ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều có điểm bất
động x¯ duy nhất, nghĩa là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
11


Chứng minh. Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy xn với xn =

Axn−1 (n = 1, 2, . . .) ta được
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ),
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ),
..
.
d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 )
với n ∈ N∗ . Từ đó suy ra ∀n, p ∈ N∗ ta có
d (xn+p , xn ) ≤ d (xn+p , xn+p−1 ) + d (xn+p−1 , xn+p−2 ) + . . . + d (xn+1 , xn ) .
Hay
p

d(xn+p , xn ) ≤

d(xn+k , xn+k−1 )
k=1
p

αn+k−1

≤ d(Ax0 , x0 )
k=1
n

n−p

α −α
d(Ax0 , x0 )
1−α
αn
d(Ax0 , x0 ).

≤
1−α
=

Vì 0 ≤ α < 1 nên lim αn = 0. Do đó, ∀p ∈ N∗ , lim d(xn+p , xn ) = 0,
n→∞

n→∞

nghĩa là dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy (X, d).

12


Từ đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Hơn nữa
n→∞

d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)

(1.11)

≤ αd(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯), ∀ n = 1, 2, . . .
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức (1.11), ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay
A¯
x = x¯, nghĩa là x¯ là điểm bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y¯ ∈ X mà A¯

y = y¯. Khi đó
d(¯
x, y¯) = d(A¯
x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯)
⇒ (1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0
⇒ d(¯
x, y¯) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x¯ = y¯.
Vì vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Định lý được chứng
minh.

1.4
1.4.1

Khái quát về hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát
x˙ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0

13

(1.12)


trong đó x(·) ẩn hàm, t ≥ 0 là biến thời gian, x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)),
f : Rn × [0, ∞) → Rn cho bởi f (t, z) = (f1 (t, z), . . . , fn (t, z)) và



dx1
dt







x˙ 1



dx  .   . 

x(t)
˙
:=
=  ..  =  .. 
dt

 

dxn
x˙ n
dt
Định nghĩa 1.7. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.12) là một
hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) có đạo hàm và thoả mãn phương

trình trên nửa khoảng [0, +∞).
Giả sử x(0) = x0 = (x1 0 , x2 0 , . . . , xn 0 ) với xi 0 (i = 1, 2, . . . , n) đã
biết. Khi đó, bài toán đi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân
(1.12) x(t)
˙
= f (t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 gọi là bài toán
Cauchy.
Nhận xét 1.1. Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc n
x(n) = f (t, x , x , ..., x(n−1) ).

(1.13)

Ta có thể đưa phương trình về hệ phương trình có dạng sau



x1






x2









x

= x2
= x3
..
.

n

= f (t, x1 , . . . , xn )

14

(1.14)


1.4.2

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với
phương trình

Cho T, r là hai số thực dương. Xét phương trình vi phân (1.12), trên
trụ
∆ := {(t, x) = (t, x1 , . . . , xn ) ∈ [0, T ] × Rn :
0 ≤ t ≤ T, |xi − x0i | ≤ r, i = 1, 2, . . . , n}.
Định lý 1.2. Giả sử rằng
(i) Hàm f : ∆ → Rn liên tục.
(ii) Hàm f Lipschitz theo biến x trên ∆, nghĩa là

f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ ∆.
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm x = ϕ(t) của hệ (1.12) thỏa mãn điều
kiện đầu x(0) = x0 và xác định trên khoảng
I := [0, δ] , δ := min T,

r
, M := sup f (t, x) .
M
(t,x)∈∆

Chúng ta có kết quả sau đây về sự tồn tại địa phương.
Định lý 1.3. Cho hàm f (t, x) : ∆ → Rn là hàm số liên tục và Lipschitz địa phương theo x. Khi đó với bất kì x0 ∈ Rn hoặc x0 thuộc miền
mở trong Rn thì phương trình (1.12) có duy nhất nghiệm x(t; x0 ) thỏa
mãn điều kiện x(0) = x0
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trong lân cận
của thời điểm ban đầu t0 = 0 chỉ là sự tồn tại và duy nhất địa phương
15


chúng ta cần tìm sự tồn tại và duy nhất trên toàn bộ tập xác định.
Nghĩa là, nếu hai nghiệm x = x(t), y = y(t) của phương trình (1.12)
bằng nhau tại điểm t0 = 0, thì chúng bằng nhau trên khoảng tồn tại
chung.
Định lí tiếp theo cho ta biết về định lí duy nhất địa phương.
Định lý 1.4. Giả sử f : Ω → Rn thỏa mãn các điều đã giả sử ở định lí
(1.3). Nếu x, y là hai nghiệm của (1.12) lần lượt xác định trên khoảng
mở I, J và nếu x(0) = y(0), thì x(t) = y(t), ∀t ∈ I ∩ J.
Chứng minh. Cho (0, t1 ) = I ∩ J. Ta sẽ chứng minh x(t) = y(t), ∀t ∈
[0, t1 ). Cho
T := τ ∈ [0, t1 ) : x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, τ ]

Thì T = ∅ và đặt T ∗ := supT . Ta cần chứng minh T ∗ = t1 .
Giả sử T ∗ < t1 thì x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, T ∗ ], mà x(t), y(t) cùng là
nghiệm của phương trình (1.12), ta suy ra từ định lý 1.2 rằng tồn tai
ε > 0 sao cho x(t) = y(t), ∀t ∈ [T ∗ , T ∗ + ε]. Điều đó mâu thuẫn giả sử
T ∗ := supT suy ra T ∗ = t1 .
Chứng minh tương tự trường hợp x(t) = y(t).
1.4.3

Các trường hợp đặc biệt của phương trình

Trong mục này, chúng tôi dẫn ra minh hoạ cụ thể các kết quả phần
trước cho một số lớp phương trình vi phân có cấu trúc đặc biệt.
A. Phương trình tuyến tính thuần nhất
Trước tiên, chúng ta sẽ khảo sát phương trình vi phân thuần nhất có
16


dạng sau
x(t)
˙
= A(t)x(t), t ∈ I,

(1.15)

trong đó A(t) = aij (t) là ma trận cấp n × n với các phần tử là các
hàm phụ thuộc vào biến t và I = [0, T ].
Định nghĩa 1.8. Giả sử {X1 , . . . , Xn } là hệ gồm n nghiệm độc lập
tuyến tính của phương trình (1.15). Khi đó, ma trận vuông X(t) có
các cột X1 , . . . , Xn gọi là một ma trận cơ bản của phương trình (1.15).
Theo định nghĩa, ta thấy X(t) là một nghiệm của phương trình

˙
X(t)
= A(t)X(t), t ∈ I,

(1.16)

hơn nữa ma trận nghiệm cơ bản X(t) là không duy nhất. Có thể kiểm
tra được ma trận nghiệm cơ bản Y (t) bất kì có dạng Y (t) = X(t)C,
trong đó C là ma trận hằng cấp n × n cũng là nghiệm của (1.16).
Hệ quả 1.1. Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.15)
thì mọi nghiệm x(t) bất kì của bài toán Cauchy (1.15) thoả mãn điều
kiện đầu x(0) = x0 có biểu diễn dạng
x(t) = X(t)X(0)−1 x0 , t ∈ I.

(1.17)

B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng
sau
x˙ = A(t)x(t) + b(t), t ∈ I,
17

(1.18)


A(t) = aij (t)

là ma trận cấp n × n với các phần tử là các hàm

phụ thuộc vào biến t. Ta biết rằng, tập các nghiệm phương trình vi

phân thuần nhất cấp n lập thành không gian véc tơ n chiều. Từ đây
và Nguyên lí chồng chất nghiệm cho phép ta biểu diễn nghiệm của
phương trình vi phân không thuần nhất qua nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất và một nghiệm riêng của nó.
Định lý 1.5. Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của phương
∼

trình thuần nhất (1.15) và x (t) là một nghiệm cho trước của phương
trình không thuần nhất (1.18). Khi đó nghiệm tổng quát x(t) của hệ
(1.18) thỏa mãn với điều kiện ban đầu là x(0) = x0 có dạng
∼

x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I,

(1.19)

Chứng minh. Công thức (1.19) viết lại thành
∼

x (t) = X (t) c + x (t) , t ∈ I, với c = X (0)−1 x0
Hiển nhiên, hàm x(t) bất kỳ có dạng (1.19) là một nghiệm của
(1.18). Bây giờ ta đi chứng minh mọi nghiệm có dạng (1.19). Cho y(t)
là một nghiệm tùy ý của hệ (1.18) xác định bởi điều kiện ban đầu
y (0) = y0 , trong đó y0 ∈ Rn . Xét hệ tuyến tính đại số
∼

X (0) c = y0 − x (0)
Khi đó det X (0) = 0, hệ ở trên có một nghiệm duy nhất c0 . Thì
∼

hàm X (t) c0 + x (t) có giá trị y0 tại thời điểm ban đầu t0 = 0. Theo

18


định lý tồn tại và duy nhất thì
∼

y (t) = X (t) c0 + x (t) , ∀t ∈ I.
Nói cách khác, nghiệm y(t) tùy ý có dạng (1.19)
Định lý 1.6. (Công thức biến thiên hằng số) Cho X(t) là một ma
trận nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (1.15) thì nghiệm
tổng quát x(t) của phương trình không thuần nhất (1.18) thỏa mãn
điều kiện ban đầu là x(0) = x0 có dạng
t

x (t) = X (t) X (0)−1 x0 +

X (t) X(s)−1 b (s) ds, t ∈I,

(1.20)

0

Chứng minh. Từ (1.19) công thức nghiệm tổng quát của (1.18) có
dạng
∼

x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I,
∼

Bây giờ ta đi tìm công thức nghiệm x (t) của (1.18) có dạng
∼

x (t) = X (t) γ (t) , t ∈ I

(1.21)

trong đó γ : I → Rn là một hàm được xác định sau. Khi đó giả sử
∼

x (t) là một nghiệm của (1.18), ta có
X˙ (t) γ (t) + X (t) γ˙ (t) = A (t) X (t) + b (t) ,
Sử dụng đẳng thức (1.16), ta có X˙ (t) = A (t) X (t) và ta kết luận
rằng
γ˙ (t) = X(t)−1 b (t) , ∀t ∈ I,

19


và do đó γ(t) có dạng
t

γ (t) =

X(s)−1 b (s) ds, t ∈ I,

(1.22)

0

Từ đây ta thu được điều phải chứng minh.
Trong lý thuyết phương trình vi phân nói chung, các hệ điều khiển
nói riêng ma trận U (t, s) = X (t) X(s)−1 , s, t ∈ I thường được gọi là
ma trận chuyển.
C. Phương trình vi phân thuần nhất với hệ số hằng
Ta sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau
x˙ = Ax, t ≥ 0,

(1.23)

trong đó A = (aij )1≤i,j≤n là một ma trận thực hằng cấp n. Theo hướng
nghiên cứu bài toán Cauchy, ta tìm ma trận nghiệm cơ bản S(t) của
(1.23) mà thoả mãn điều kiện S(0) = I, trong đó I là ma trận đơn vị.
Định lý 1.7. Ma trận
∞
tA

S(t) = e

:=
k=0

(tA)k
k!

(1.24)

là ma trận cơ bản của phương trình (1.23) và do đó hàm x(t) = S(t)x0
là nghiệm duy nhất của phương trình (1.23) với điều kiện ban đầu

x(0) = x0 .
Chứng minh. Công thức (1.24) hoàn toàn xác định vì
∞

k=0

(tA)k
≤
k!
20

∞

k=0

(t A )k
k!


và chuỗi bên phải hội tụ. Đồng thời
d (tA)k
(tA)k−1
=
,
dt k!
(k − 1)!

∀k ≥ 1.

Nên có thể lấy đạo hàm hai vế của (1.24) và

e(t+h)A − etA
etA ehA − etA
d
S(t) = lim
= lim
h→0
h→0
dt
h
h
hA
e −I
= etA lim
h→0
h
ehA − I
= S(t) lim
h→0
h
(hA)0 (hA)1
(hA)n
I
= S(t) lim
+
+ ... +
+ ... −
h→0
0!h
1!h
n!h

h
hn−1 An
= S(t) lim A + . . . +
+ ...
h→0
n!
= S(t)A.
d
S(t) = S(t)A. Từ đây với chú ý là xem định
dt
lý Liouville( xem [4, Theorem 3.4])
Tương tự ta cũng có

det(S(t)) = et.trace(A) = 0
và S(t)
t=0

= I ta nhận được S(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của

hệ (1.23). Định lí được chứng minh.
Chú ý 1.8. Từ Định lí 1.7 công thức biến thiên hằng số cho phương
trình vi phân với hệ số hằng không thuần nhất có dạng
t

S(t − s)b(s)ds, ∀t ∈ R,

x(t) = S(t)x0 +
0

21

(1.25)