Mặt phẳng chính quy trong r3 (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN VĂN THẾ

MẶT CHÍNH QUY TRONG R3

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN VĂN THẾ

MẶT CHÍNH QUY TRONG

3

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2018

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận em đã nhận được sự giúp đỡ
của các thầy cô trong khoa Toán. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành đến các thầy cô, đặc biệt là TS.Trần Văn Nghị, người đã trực
tiếp tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô trong trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình dạy bảo em trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Văn Thế


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Mặt chính quy trong R3 ” được hoàn thành
sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng
dẫn của TS. Trần Văn Nghị.
Khóa luận có sự tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà
khoa học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa
luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào. Em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Văn Thế


Mục lục

Lời mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Đường cong chính quy và độ dài cung . . . . . . . . . .

6

1.4

Tính chất địa phương của các đường cong tham số theo

1.5

độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Định lí hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Mặt chính quy trong R3

9

2.1

Định nghĩa mặt chính quy trong R3 . . . . . . . . . . .

9

2.2

Hàm khả vi trên mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Hàm khả vi trên mặt . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Phép vi phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.3

Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Mặt phẳng tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4

Vi phân của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5

Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích . . . . . . . . . . .

35

2.5.1

36

Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . .
iii


MỤC LỤC

2.5.2
2.6

1

Diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Định nghĩa hình học của diện tích . . . . . . . . . . . .

42

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

48


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hình học vi phân là ngành hình học nghiên cứu về các tính chất
định tính và định lượng của các hình hình học nhờ các công cụ của
giải tích mà trực tiếp là phép tính vi tích phân. Siêu mặt trong
Rn là các đối tượng quan trọng của ngành học này. Ở đó khái
niệm về mặt chính quy trong R3 và những kiến thức liên quan
như hàm khả vi trên mặt, mặt phẳng tiếp xúc, diện tích,. . . được
khai thác và phát triển.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và
được sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn
đề tài này để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về mặt chính quy trong R3 .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Mặt chính quy trong R3 .
- Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và bài tập về mặt chính quy

trong R3 .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu là làm rõ định nghĩa về mặt chính quy
trong R3 và các kiến thức liên quan đến mặt chính quy với các


kiến thức chuẩn bị : không gian Euclide, đường cong tham số,
đường cong chính quy, các kiến thức về giải tích và một số kiến
thức khác.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 2

Mặt chính quy trong R3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Euclide

Định nghĩa 1.1.1.
E n là không gian Euclide n chiều, tức là không gian afin liên kết với

−
→
không gian vectơ Euclide n chiều E n .
→
−
→
−
−
−
Tích vô hướng của hai vectơ →
a và b được kí hiệu là →
a · b , chuẩn
2
−
−
−
−
−
−
của vectơ →
a được kí hiệu là →
a , →
a 2=→
a ·→
a =→
a . Khoảng cách
−−→
giữa hai điểm M, N thuộc E n là M N .

Định nghĩa 1.1.2.

−
−
−
Mục tiêu afin trong E n là họ (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ), O ∈ E n là gốc tọa
−
→
−
−
−
độ, (→
e1 , →
e2 , . . . , →
en ) là một cơ sở của E n . Điểm M ∈ E n có tọa độ
n
−−→
−
(x1 , x2 , . . . , xn ) đối với mục tiêu trên có nghĩa là OM =
xi · →
ei . Các
i=1
1

2

n

n

hàm số x , x , . . . , x trên E gọi là các hàm tọa độ. Cũng kí hiệu mục
tiêu (hệ tọa độ) afin trên là Ox1 x2 . . . xn .

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

−
−
−
Khi cơ sở (→
e1 , →
e2 , . . . , →
en ) là trực chuẩn, tức là
→
−
−
ei · →
ej = δij =


 0 nếu i = j

(i, j = 1, n)

 1 nếu i = j

thì ta được hệ Descartes vuông góc. Khi đó, nếu điểm M có tọa độ
(x1 , x2 , . . . , xn ), N có tọa độ (y 1 , y 2 , . . . , y n ) thì khoảng cách M, N
được tính bởi
n

(y i − xi )2 .

d(M, N ) =
i=1

Chú ý: Sau khi chọn một hệ tọa độ Descartes vuông góc trong E n
ta có thể đồng nhất E n với Rn với công thức tính khoảng cách trên.
Rn thường được gọi là không gian các tọa độ thực. Nội dung của khóa
luận nghiên cứu về mặt chính quy trong không gian R3 nên các định
nghĩa và tính chất liên quan đến mặt chính quy được sử dụng trong
nội dung khóa luận ta đều xét trong không gian này.

1.2

Đường cong tham số

Không gian R3 là tập hợp tất cả các bộ số thực (x, y, z). Một hàm số
của một biến số thực là khả vi (hoặc trơn) nếu có đạo hàm mọi cấp
tại một điểm. Các tập con được định nghĩa một cách tự nhiên thông
qua hàm số khả vi.
Định nghĩa 1.2.1. Cho I = (a, b) là một khoảng mở của R.
Mỗi ánh xạ α : I → R3 là một đường cong tham số trong R3 . Mỗi ánh
xạ khả vi α : I → R3 là một đường cong tham số khả vi trong R3 .
5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

Từ “khả vi” trong định nghĩa này nghĩa là α là ánh xạ tương ứng
với mỗi t ∈ I với một điểm α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 trong đó
các hàm số x(t), y(t), z(t) là khả vi (t là tham số của đường cong).
Từ “khoảng” được lấy trong trường hợp tổng quát để ta không loại đi
trường hợp a = −∞, b = +∞.
Vectơ α (t) = (x (t), y (t), z (t)) ∈ R3 là vectơ tiếp tuyến của đường
cong α tại t, trong đó x (t), y (t), z (t) lần lượt là đạo hàm bậc nhất
của x, y, z tại điểm t. Tập ảnh α(I) ⊂ R3 gọi là vết của α.

1.3

Đường cong chính quy và độ dài cung

Cho α : I → R3 là một đường cong tham số khả vi. Với mỗi t ∈ I,
đường thẳng chứa điểm α(t) và vectơ α (t) (α (t) = 0) gọi là tiếp
tuyến của α tại t. Ta gọi t bất kì thỏa mãn α (t) = 0 là một điểm
kì dị của α. Nghiên cứu hình học vi phân của một đường cong điều
quan trọng là sự tồn tại tiếp tuyến với α tại mọi điểm do đó ta hạn
chế nghiên cứu các đường cong có điểm kì dị.
Định nghĩa 1.3.1.
Một đường cong tham số khả vi α : I → R3 được gọi là chính quy nếu
α (t) = 0 với mọi t ∈ I.
Độ dài cung của một đường cong chính quy α : I → R3 từ điểm t0
đến t xác định bởi
t

|α (t)| dt,

s(t) =
t0

6

t ∈ I,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

ds
= |α (t)| = [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 .
dt
Trong nội dung khóa luận ta chỉ xem xét các đường cong tham số

trong đó

khả vi, chính quy nên để thuận tiện ta bỏ đi từ “khả vi”.

1.4

Tính chất địa phương của các đường cong
tham số theo độ dài cung

Định nghĩa 1.4.1 (Độ cong, độ xoắn).

Cho α : I → R3 là một đường cong tham số theo độ dài cung s ∈ I.
1. Số |α (s)| = k(s) được gọi là độ cong của α tại s.
2. Với α (s) = 0 số τ (s) được xác định bởi b (s) = τ (s)n(s) được
gọi là độ xoắn của α tại s, trong đó b(s) = t(s) ∧ n(s), t(s) =
α (s), t (s) = k(s)n(s).
Tính chất 1.4.1.
1. Nếu α là một đường thẳng, α(s) = us + v với u, v là các vectơ
hằng (|u| = 1) thì k = 0 và ngược lại nếu k = α (s) = 0 thì α là
một đường thẳng.
2. Ta biểu thị t(s) = α (s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của α tại s thì
t (s) = k(s)n(s). Vectơ đơn vị b(s) = t(s) ∧ n(s) là pháp tuyến
của mặt phẳng mật tiếp được gọi là vectơ trùng pháp tuyến tại s.
3. Vì b(s) là một vectơ đơn vị nên |b (s)| đo tốc độ thay đổi của mặt
phẳng mật tiếp trong lân cận của s và b (s) được đo sao cho kéo
đường cong ra khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s, trong một lân cận
của s.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

4. Do b (s) vuông góc với b(s) và b (s) = t (s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n (s)
nên b (s) vuông góc với t(s) và song song với n(s). Ta có thể viết
b (s) = τ (s)n(s) với một số hàm τ (s).

1.5

Định lí hàm ngược

Định lý 1.5.1 (Định lý hàm số ngược).
Cho tập mở U ⊂ R3 và ánh xạ khả vi f : U → R3 . Giả sử rằng tại
điểm a ∈ U , vi phân f (a) : R3 → R3 là đẳng cấu. Khi đó tồn tại một
lân cận của a trong U và lân cận W của f (a) trong R3 sao cho ánh
xạ f : V → W có ánh xạ ngược f −1 : W → V khả vi và với mọi y ∈ W
ta có f −1 (y) = f (f −1 (y))

−1

.

Một ánh xạ khả vi f : V ⊂ R3 → W ⊂ R3 , trong đó V, W là các
tập mở được gọi là một vi phôi giữa V và W nếu f có ánh xạ ngược
khả vi. Định lí hàm ngược khẳng định rằng nếu tại một điểm a ∈ U
ánh xạ khả vi df (a) là đẳng cấu thì f là một vi phôi trong một lân
cận của a. Nói cách khác, sự khẳng định về tính khả vi của ánh xạ f
tại một điểm dẫn đến tính khả vi của ánh xạ f trong một lân cận của
điểm đó. Định lý này sẽ được sử dụng rộng rãi trong bản khóa luận
này.

8


Chương 2
Mặt chính quy trong R3
2.1

Định nghĩa mặt chính quy trong R3

Khác với sự nghiên cứu các đường cong ở Chương 1 các mặt chính quy
được định nghĩa là tập hợp chứ không phải là các ánh xạ. Nội dung
của phần này chủ yếu mô tả các điều kiện để chỉ ra một tập con của
R3 là một mặt chính quy. Từ đó ta đi xây dựng định nghĩa của một
mặt chính quy trong R3 .
Định nghĩa 2.1.1. Tập S ⊂ R3 là một mặt chính quy nếu với mọi
p ∈ S tồn tại lân cận V ⊂ R3 của p và ánh xạ X : U → V ∩ S với
U là tập con mở của R2 và V ∩ S là tập con mở của R3 thỏa mãn ba
điều kiện sau (xem Hình 2.1):
1. X là ánh xạ khả vi, có nghĩa là
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ⊂ U,
với các hàm x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêng liên tục mọi
cấp trong U ;
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

2. X là một đồng phôi, có nghĩa là tồn tại ánh xạ ngược X −1 : V ∩
S → U.
3. (Điều kiện chính quy) Với mọi q ∈ U vi phân dXq : R2 → R3 là
đơn ánh. Khi đó ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay một
hệ tọa độ (địa phương) trong một lân cận của p. Cặp (U, X) gọi
là một hệ tọa độ địa phương hay một bản đồ của S. Lân cận V ∩S
của p trong S được gọi là một lân cận tọa độ.
z

𝑉

p

𝑉∩𝑆

v
x
(u,v)

u

S

(x(u,v), y(u,v), z(u,v))

U

O

y

x

Hình 2.1: Minh họa mặt chính quy

Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.1.
1. Có thể xem mặt chính quy là ảnh của một họ ánh xạ X thỏa mãn
3 điều kiện 1), 2), 3). (Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay
một hệ tọa độ của p).

2. Điều kiện 1) giúp ta sử dụng công cụ giải tích để nghiên cứu mặt
chính quy.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

3. Điều kiện 2) để ngăn cản tính tự cắt của mặt do đó có thể nói đến
mặt phẳng tiếp xúc của mặt tại mọi điểm (xem Hình 2.2 (a)).
4. Điều kiện 3) để đảm bảo mọi điểm đều có mặt phẳng tiếp xúc
(xem Hình 2.2 (b)).

p

p

(a)

(b)

Hình 2.2: Ý nghĩa các điều kiện của định nghĩa mặt chính quy

Ví dụ 2.1.1. Chứng minh rằng mặt cầu S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +
y 2 + z 2 = 1} là mặt chính quy.
Chứng minh.
Xét ánh xạ X1 : U ⊂ R2 → R3 xác định bởi
X1 (x, y) =

x, y,

1 − (x2 + y 2 ) , (x, y) ∈ U,

(R2 = {(x, y, z} ∈ R3 : z = 0}, U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}.
Ta thấy X1 (U ) là nửa mặt cầu trên của S 2 trong mặt phẳng xy. Do
x2 + y 2 < 1 nên hàm f (x, y) =

1 − (x2 + y 2 ) có các đạo hàm riêng
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

liên tục mọi cấp nên điều kiện 1) được thỏa mãn.
∂(x, y)
Vì
≡ 1 nên điều kiện 3) được thỏa mãn.
∂(x, y)
Ta kiểm tra điều kiện 2):
X1 là đơn ánh và X1−1 là hạn chế của phép chiếu Π(x, y, z) = (x, y)
trên tập X1 (U ). Do đó X1−1 là liên tục trên X1 (U ). Ta phủ hình cầu
với các tham số hóa tương tự.
Đặt X2 : U ⊂ R2 → R3 , xác định bởi
X2 (x, y) =

x, y, − 1 − (x2 + y 2 ) .

Kiểm tra được X2 là một tham số hóa và thấy rằng X1 (U ) ∪ X2 (U )
phủ S 2 trừ đường tròn lớn {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 0}.
Khi đó sử dụng các mặt xz, zy ta xác định được các tham số hóa
1 − (x2 + z 2 ), z ;

X3 (x, z) =

x,

X4 (x, z) =

x, − 1 − (x2 + z 2 ), z ;

X5 (y, z) =

1 − (y 2 + z 2 ), y, z ;

X6 (y, z) =

−

1 − (y 2 + z 2 ), y, z ;

cùng với X1 , X2 phủ hoàn toàn S 2 (xem Hình 2.3) và do đó S 2 là một
mặt chính quy.

Ví dụ 2.1.1 cho thấy việc kiểm tra một tập con của R3 là một mặt
chính quy là một công việc không dễ và tốn nhiều thời gian nên ta đi
xét các mệnh đề dưới đây để việc kiểm tra hoặc xây dựng mặt chính
12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

z

s2

O

x

y

Hình 2.3: Minh họa việc phủ mặt cầu

quy trở nên đơn giản hơn.
Trước hết ta xét định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.2. Một tập mở U của Rn được xác định bởi ánh xạ
khả vi f : U ⊂ Rn → Rm . Điểm p ∈ U là một điểm tới hạn của f nếu
vi phân dFp : Rn → Rm không phải là toàn ánh.
Ảnh f (p) ∈ Rm của một điểm tới hạn gọi là giá trị tới hạn của f . Một
điểm của Rm mà không phải là giá trị tới hạn được gọi là giá trị chính
quy của f .
Từ Định nghĩa 2.1.2 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.2.
1. Bất kì điểm a ∈
/ f (U ) đều là các giá trị chính quy của f .

2. Trong trường hợp f : U ⊂ R → R các điểm tới hạn chính là các
điểm x ∈ U mà f (x) = 0.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

3. Trong trường hợp f : U ⊂ R3 → R là các hàm khả vi, ta có
∂f
∂f
∂f
f (p) =
(p), (p), (p) . Tính chất vi phân dfp không là
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
toàn ánh tương ứng với
(p) =
(p) =
(p) = 0. Do đó nếu
∂x
∂y
∂z
∂f ∂f ∂f

a là giá trị chính quy thì
, ,
không đồng thời triệt tiêu
∂x ∂y ∂z
trên tập f −1 (a) = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = a}.
Định lý 2.1.1.
1. Giả sử f : U → R là một hàm hàm khả vi trong một tập mở
U ⊂ R2 . Khi đó đồ thị của f , kí hiệu là Gf , xác định bởi Gf =
{(x, y, z) ⊂ R3 : z = f (x, y)} là một mặt chính quy.
2. Nếu f : U ⊂ R3 → R là một hàm khả vi và a ∈ f (U ) là một giá
trị chính quy của f thì f −1 (a) là một mặt chính quy trong R3 .
3. Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy và p ∈ S. Khi đó tồn tại một
lân cận V của p trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi
có một trong 3 dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z).
4. Cho S là mặt chính quy và ánh xạ X : U ⊂ R2 → R3 , X(U ) ⊂ S.
Nếu X là là đơn ánh thỏa mãn điều kiện 1) và 3) trong Định
nghĩa 2.1.1 thì X −1 là liên tục, có nghĩa là X thỏa mãn điều kiện
2) nên X là một tham số hóa.
Chứng minh.
∂(x, y)
= 1 nên điều
∂(x, y)
kiện 3) được thỏa mãn. Chúng ta chỉ còn kiểm tra điều kiện 2).

1. Điều kiện 1) hiển nhiên được thỏa mãn. Vì

Dễ thấy X(x, y) = (x, y, f (x, y)) là đơn ánh nên có ánh xạ ngược
14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

X −1 . Ánh xạ ngược X −1 chính là hạn chế lên Gf của phép chiếu
từ R3 lên R2 nên liên tục.
2. Lấy p = (x0 , y0 , z0 ) là một điểm của f −1 (a). Vì a là một giá
trị chính quy của f nên không mất tính tổng quát ta giả sử
fz = 0 tại p. Ta xác định một ánh xạ F : U ⊂ R3 → R3 cho bởi
F (x, y, z) = (x, y, f (x, y, z)).
Ta có


1

dFp = 
0

fx


0 0

1 0


fy fz

Khi đó det(dFp ) = fz = 0. Từ đó ta có thể áp dụng Định lý hàm
ngược mà bảo đảm sự tồn tại các lân cận V của p và W của W (p).

Như vậy F : V → W là khả nghịch và nghịch đảo F −1 : W → V
là khả vi (xem Hình 2.4).
f – 1 (a)  V
z

f=a
t

V

p

W

a

F(p)
F
v

y
O
u

x

Hình 2.4: Liên hệ giá trị chính quy và mặt chính quy

Từ đó dẫn đến các hàm tọa độ của F −1 : x = u, y = v, z =
15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

g(u, v, t), (u, v, t) ∈ W là khả vi. Trong trường hợp đặc biệt z =
g(u, v, a) = h(x, y) là một hàm khả vi xác định trên hình chiếu của
V trên mặt phẳng xy. Vì F (f −1 (a) ∩ V ) = W ∩ {(u, v, t), t = a}
ta kết luận rằng đồ thị của h là f −1 (a) ∩ V . Theo Định lý 2.1.1,
f −1 (a) ∩ V là một lân cận tọa độ chứa p. Do đó, mỗi p ∈ f −1 (a)
có thể phủ bởi một lân cận tọa độ và f −1 (a) là một mặt chính
quy.
3. Cho X : U → S là một tham số hóa của S tại p xác định bởi
X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , (u, v) ∈ U.
Theo điều kiện 3) của Định nghĩa 2.1.1 một trong các định thức
∂(x, y) ∂(y, z) ∂(z, x)
,
,
phải khác 0 tại X −1 (p) = q.
∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v)
∂(x, y)
Giả sử
(q) = 0. Xét ánh xạ Π ◦ X : U → R2 , Π là phép
∂(u, v)
chiếu Π(x, y, z) = (x, y). Khi đó Π ◦ X(u, v) = x(u, v), y(u, v) .
∂(x, y)
Vì
(q) = 0 nên áp dụng Định lý hàm ngược tồn tại của
∂(u, v)

các lân cận V1 của q và V2 của (Π ◦ X)(q) sao cho Π ◦ X là vi phôi
từ V1 lên V2 (xem Hình 2.5).
Từ đây suy ra rằng hạn chế của Π lên V = X(V1 ) là đơn ánh và
tồn tại hàm ngược (Π◦X)−1 : V2 → V1 . Khi X là đồng cấu thì V là
một lân cận của p trong S. Xét hợp của ánh xạ (Π ◦ X)−1 (x, y) =
(u(x, y), v(x, y)) với hàm (u, v) → z(u, v) ta thấy V là đồ thị hàm
khả vi z = z u(x, y), v(x, y) = f (x, y).
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự với x = h(y, z) và
y = g(x, z).

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế
z

v

x
q

𝑉 = x(𝑉1 )

V1

p

U



y

u
O



x

x

1

𝑉2

Hình 2.5: Liên hệ mặt chính quy và đồ thị hàm khả vi

4. Lấy p ∈ X(U ), S là mặt chính quy khi đó tồn tại một lân cận
W ⊂ S của p. Nghĩa là W là đồ thị của một hàm khả vi trên
tập mở V của mặt phẳng xy. Lấy N = X −1 (W ) ⊂ U và tập
h = Π ◦ X : N → V, Π(x, y, z) = (x, y). Khi đó dh = Π ◦ dX là
không suy biến tại X −1 (q) = r. Theo Định lý Hàm ngược tồn tại
lân cận Ω ⊂ N sao cho h : Ω → h(Ω) là vi phôi (X(Ω) là một tập
mở trong S và X −1 = h−1 ◦ Π là hợp của ánh xạ liên tục). Do
đó X −1 là liên tục tại q. Vì q là tùy ý nên X −1 là liên tục trong
X(U ).

Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.3.
1. Mục 1 cho thấy mối quan hệ giữa định nghĩa của một mặt chính
quy và đồ thị của một hàm z = f (x, y). Đồ thị của một hàm khả
vi là một mặt chính quy.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

2. Mục 2 dùng định lý hàm ngược và định nghĩa giá trị chính quy
với các tập con f (x, y, z) = const.
3. Mục 3 là khẳng định ngược lại của mục 1, bất kì mặt chính quy
có địa phương hóa là đồ thị của một hàm khả vi.
4. Mục 4 cho ta biết khi S là một mặt chính quy để xét X là một
tham số hóa ta không cần kiểm tra X −1 là liên tục, các điều kiện
khác giữ nguyên.
Ví dụ 2.1.2. Chứng minh rằng Ellipsoid
hợp f −1 (0) với f (x, y, z) =

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1 (hay tập
a2
b
c

x2 y 2 z 2

+
+ − 1) là một mặt chính quy.
a2 b2 c2

Chứng minh.
2x
2y
2z
,f
=
,f
=
chỉ đồng thời triệt
y
z
a2
b2
c2
tiêu tại (0, 0, 0). Điểm này không thuộc f −1 (0) nên ta có điều phải
Các đạo hàm riêng fx =

chứng minh. (Mặt cầu là một trường hợp đặc biệt của ellipsoid với
a = b = c = 1.)
Ví dụ 2.1.3. Chứng minh nón một tầng cho bởi z =

x2 + y 2 , (x, y) ∈

R2 không phải là mặt chính quy.
Chứng minh. Ánh xạ (x, y) → (x, y,

x2 + y 2 ) là không khả vi tại

(0, 0). Đây mới là một ánh xạ từ R2 vào C nên chưa thể khẳng định
C không phải là mặt chính quy vì trên C có thể có các tham số hóa
khác. Ta chứng minh C không chính quy tại đỉnh của nó. Thật vậy,
nếu C là mặt chính quy thì có một lân cận của điểm (0, 0, 0) ∈ C là
đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau:
y = h(x, z), x = g(y, z), z = f (x, y).
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Văn Thế

Hai dạng đầu không thỏa mãn vì phép chiếu của C lên các mặt
phẳng xz, yz không là đơn ánh. Ta xét hàm có dạng thứ ba z =
x2 + y 2 . Hàm này không khả vi tại (0, 0) nên cũng không phù hợp.
Vậy C không phải là mặt chính quy nhưng nếu bỏ đi đỉnh (0, 0, 0) thì
tập còn lại C\{(0, 0, 0)} là mặt chính quy.
Ví dụ 2.1.4. Chứng minh rằng X(u, v) = ((r cos u+a) cos v; (r cos u+
a) sin v; r sin u) với 0 < u < 2π, 0 < v < 2π là một tham số hóa của
mặt xuyến T .
Chứng minh.
Các điều kiện 1) và 2) của Định nghĩa 2.1.1 dễ dàng được kiểm tra. Vì
T là một mặt chính quy nên chỉ cần chứng minh X là đơn ánh. Ta thấy
z
π
3π
sin u = . Nếu x2 + y 2 ≤ a thì ≤ u ≤

. Nếu x2 + y 2 ≥ a thì
r
2
2
π
3π
π
. Vậy với mỗi (x, y, z) xác định được duy
0 < u ≤ hoặc ≤ u ≤
2
2
2
nhất v (0 < v < 2π). Mặt xuyến T có thể được phủ bởi 3 tọa độ lân
cận như vậy.

2.2

Hàm khả vi trên mặt

Nội dung chính của phần này giúp ta chỉ ra rằng có thể định nghĩa
được cho một hàm trên mặt chính quy là hàm khả vi. Từ định nghĩa
của mặt chính quy cho ta thấy với mọi điểm p thuộc mặt chính quy S
thì đều thuộc vào một lân cận tọa độ nào đó của mặt. Điều này cho
phép ta sử dụng hệ tọa độ địa phương để mô tả một số tính chất địa
phương của mặt trong lân cận của điểm p.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.1

Nguyễn Văn Thế

Hàm khả vi trên mặt

Trước hết, ta xét Định lý 2.2.1 sau.
Định lý 2.2.1 (Đổi tham số).
Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy, p ∈ S. Hai tham số hóa địa
phương của S là X : U ⊂ R2 → S và Y : V ⊂ R2 → Sthỏa mãn
p ∈ X(U ) ∩ Y (V ) = W (xem Hình 2.6). Khi đó phép đổi tọa độ
h = X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) → X −1 (W ) là vi phôi, có nghĩa là h khả vi và
hàm ngược h−1 = Y −1 ◦ X cũng khả vi.


y 1 W 

r

z

V

y

w



S

0

x U 

F

y

y V 

t

p

x
x
v
0
u

q
U

x 1 W 

Hình 2.6: Minh họa đổi tham số

Chứng minh. Giả sử hai tham số hóa X và Y xác định bởi

X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , (u, v) ∈ U ;
Y (ξ, η) = x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η) , (ξ, η) ∈ V.
20