Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĨNH ĐỨC

HÀ NỘI – 2018

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố gắng
của bản thân cũng như sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô công tác tại Khoa
Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn
cũng như kinh nghiệm nghiên cứu trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Vĩnh
Đức, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hà


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Vĩnh
Đức khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề
tài nào khác.
Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Nguyễn Thị Thanh Hà

ii


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Một số khái niệm cơ bản về xác suất rời rạc

3

1.1

Biến cố và xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc . .

6

1.2.1

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Moment và độ lệch

10

2.1

Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3

Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Markov . . . . . .

14

2.4.1

Xác định một giới hạn cho xác suất . . . . . . .

14

2.4.2

Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . .

15

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Chebyshev . . . .

16

2.5.1

Ước lượng một ràng buộc cho xác suất . . . . .

16

2.5.2

Luật số lớn Chebyshev . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5

3 Chặn Chernoff và chặn Hoeffding
i

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

3.1

Hàm sinh mô-men

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2

Chặn Chernoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

Ứng dụng của chặn Chernoff . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3.1

Xác định giới hạn cho một xác suất . . . . . .

25

3.3.2

Ước lượng một tham số . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3.3

Thiết lập sự cân bằng . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Chặn Hoeffding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5

Ứng dụng của chặn Hoeffding . . . . . . . . . . . . . .

33

3.5.1

33

3.5.2

Xác định độ tin cậy trong một phép thử

. . .

Tìm vị trí của con kiến ngẫu nhiên trên một
đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

34


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Mảng toán bất đẳng thức luôn là một trong những vấn đề khá
quan trọng trong toán học. Vì nó là dạng toán tương đối khó, chúng
ta không có phương pháp thực sự tốt để giải quyết nên để trình bày lời
giải cho dạng toán này, chúng ta cần kiến thức vững cũng như những
ý tưởng sáng tạo. Dạng toán bất đẳng thức trong xác suất cũng là
một đề tài thú vị, thu hút được sự quan tâm của nhiều người.
Với những lý do trên cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, tiến
sĩ Trần Vĩnh Đức, em đã chọn đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất
và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất rời rạc.
- Nghiên cứu, tìm hiểu thêm về một số bất đẳng thức trong xác
suất và các ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: đề tài nghiên cứu về bất đẳng thức xác
suất và ứng dụng của nó.
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu các tài liệu xác suất trong và
ngoài nước.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu, thu thập các tài liệu của các tác giả nghiên cứu đến
các bất đẳng thức trong xác suất.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

- Tham khảo thêm các tài liệu trên mạng Internet.
5. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận được trình bày thành ba chương:
Chương 1: Nhắc lại các tiên đề về xác suất rời rạc, về biến ngẫu
nhiên cũng như các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Chương 2: Giới thiệu về bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng của chúng.
Chương 3: Giới thiệu về chặn Chernoff và Chặn Hoeffding, áp dụng
chương 2 để giới thiệu cách chứng minh các chặn này, đồng thời giới
thiệu một số ứng dụng của các chặn.

2


Chương 1
Một số khái niệm cơ bản về xác
suất rời rạc
Chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản của xác suất rời
rạc để làm tiền đề cho sự hình thành kiến thức trong các phần sau.

1.1

Biến cố và xác suất của biến cố

Định nghĩa 1.1. Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một sự
quan sát mà các kết quả của nó không thể dự báo trước được.
Định nghĩa 1.2. Biến cố là các kết quả có thể có khi xét một phép
thử.
Định nghĩa 1.3. Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể có
của phép thử và thường được kí hiệu là Ω

Định nghĩa 1.4. Xác suất của một biến cố: Xét một phép thử bất
kỳ có một số hữu hạn các kết quả có thể và giả thiết rằng các kết quả
này đồng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố X là tỉ số
giữa số kết quả thuận lợi của X với số các kết quả có thể xảy ra.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Khi đó ta kí hiệu như sau: Pr (X) =

|X|
, với |X| là kí hiệu số
|Ω|

phần tử của tập hợp X.
Định nghĩa 1.5. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập
nếu và chỉ nếu
Pr(X ∩ Y ) = Pr(X). Pr(Y ).
Tổng quát, các biến cố X1 , X2 , . . . , Xn được gọi là độc lập nếu và chỉ
nếu với mỗi tập con I ⊆ [1, k] ta có:
Pr(

Xi ) =
i∈I

Pr(Xi ).
i∈I

Ví dụ 1.1.1. Xét phép thử “Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất
1 lần” thì các biến cố có thể có bao gồm xuất hiện mặt sấp hoặc xuất
hiện mặt ngửa, nên biểu diễn không gian mẫu của phép thử này sẽ là
Ω = {S, N } với S - mặt sấp, N - mặt ngửa.
1
Khi đó Pr (S) = Pr (N ) = .
2
Định nghĩa 1.6. Một hàm xác suất là một hàm P r : F −→ R thỏa
mãn các điều kiện sau:
- Với mọi biến cố X, 0 ≤ Pr(X) ≤ 1.
- Pr(Ω) = 1.
- Với mỗi dãy hữu hạn hoặc đếm được các biến cố X1 , X2 , X3 . . . đôi
một rời nhau ta có Pr(
i≥1

Xi ) =

Pr(Xi ).
i≥1

Bổ đề 1.1. Với 2 biến cố bất kỳ X1 và X2 thì :
Pr(X1 ∪ X2 ) = Pr(X1 ) + Pr(X2 ) − Pr(X1 ∩ X2 ).
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Chứng minh. Thật vậy, từ định nghĩa có:
Pr (X1 ) = Pr (X1 − (X1 ∩ X2 )) + Pr (X1 ∩ X2 )
⇒ Pr (X1 − (X1 ∩ X2 )) = Pr (X1 ) − Pr (X1 ∩ X2 )
Pr (X2 ) = Pr (X2 − (X1 ∩ X2 )) + Pr (X1 ∩ X2 )
⇒ Pr (X2 − (X1 ∩ X2 )) = Pr (X2 ) − Pr (X1 ∩ X2 )
Và Pr (X1 ∪ X2 ) = Pr (X1 − (X1 ∩ X2 ))+Pr (X2 − (X1 ∩ X2 ))+ Pr (X1 ∩ X2 )
Nên
Pr(X1 ∪ X2 ) = Pr (X1 ) − Pr (X1 ∩ X2 ) + Pr (X2 ) − Pr (X1 ∩ X2 ) + Pr (X1 ∩ X2 )
= Pr(X1 ) + Pr(X2 ) − Pr(X1 ∩ X2 ).

Bổ đề 1.2. Với mỗi dãy hữu hạn hoặc đếm được các biến cố X1 , X2 , . . . , Xn
ta có:
Xi ) ≤

Pr(
i≥1

Pr(Xi ).
i≥1

Bổ đề 1.3. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là n biến cố bất kì. Khi đó:
n

Pr(
i=1

n

Pr(Xi ) −

Xi ) =
i=1

Pr(Xi ∩ Xj ) +
i
Pr(Xi ∩ Xj ∩ Xk )−. . .
i
+(−1)

l

l+1

Pr(
i1
5

r=1

Xir ) + . . .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Thị Thanh Hà

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
rời rạc

1.2.1

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong
các giá trị x1 , x2 , ...xn với xác suất tương ứng p1 , p2 , ..., pn . Kỳ vọng
(giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên rời rạc X, kí hiệu là E(X)
là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các
n

xác suất tương ứng, có nghĩa E(X) =

x i pi .
i=1

Tính chất 1.2.1. E(C) = C, với C là hằng số.
Tính chất 1.2.2. E(CX) = CE(X), với C là hằng số.
Tính chất 1.2.3. Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên bất kỳ thì
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Tính chất 1.2.4. Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Định lý 1.1. (Tính chất tuyến tính của kỳ vọng): Với mọi tập các biến
n

n

Xi =

ngẫu nhiên rời nhau X1 , X2 , . . . , Xn , ta có E
i=1

E [Xi ].
i=1

Định nghĩa 1.8. Phân bố xác suất có điều kiện: Cho 2 biến ngẫu
nhiên rời rạc X và Y . Phân bố xác suất có điều kiện của X = x khi
điều kiện Y = y (cố định) xảy ra là:
Pr (X = xi /Y = yi ) =
6

Pr (X = xi , Y = yi )
,
P (Y = yi )


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Trong đó xác suất biên Pr (X = xi ) , P r (Y = yi ) được tính bằng:
P r (Y = yi ) =

Pr (X = xi , Y = yi )
xi

Pr (X = xi ) =

Pr (X = xi , Y = yi ).
yi

Định nghĩa 1.9. (Kỳ vọng có điều kiện) Nếu Y là một biến ngẫu
nhiên rời rạc trên cùng một không gian xác suất trên Y thì kỳ vọng
có điều kiện của X đối với Y được kí hiệu là E[X/Y ] và được xác định
x Pr (X = x/Y = y).

bởi E [X/Y = y] =
x

Tính chất 1.2.5. (Tính chất của kỳ vọng có điều kiện) Với X, Y là
các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có:
- E(c/X) = c với c là một hằng số.
- |E (X/Y )| ≤ E (|X| /Y ).
- Nếu a và b là các hằng số và (aEX + bEY ) xác định thì
Pr(Y = y).E(X/Y = y) =
y

Pr(Y = y)
y

Pr (X = x/Y = y).
x

- E (E (X/Y )) = EX.
- Nếu X, Y độc lập thì: E (X/Y ) = EX.
Mệnh đề 1.1. Với mọi biến ngẫu nhiên X và Y :
E [X] =

Pr(Y = y).E(X/Y = y)
y

với tổng các giá trị nằm trong Y và các kỳ vọng đều tồn tại.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Thật vậy:

x

y

y

Pr (X = x/Y = y)

Pr(Y = y).x.

Pr(Y = y).E(X/Y = y) =

x Pr(Y = y).Pr (X = x/Y = y)

=

x

y

x Pr (X = x ∩ Y = y)

=
x

y

x Pr (X = x) = E [X] .

=
x

Mệnh đề 1.2. Cho một tập các biến ngẫu nhiên rời rạc X1 , X2 , ..., Xn
với kỳ vọng hữu hạn và với mọi biến ngẫu nhiên Y :
n

E

n

Xi /Y = y =
i=1

1.2.2

E [Xi /Y = y].

i=1

Phương sai

Định nghĩa 1.10. Phương sai của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa
là:
Var [X] = E (X − E [X])2 = E X 2 − (E [X])2 .
Có nghĩa phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương của độ
lệch của X với giá trị trung bình của nó. Do đó nó là giá trị trung
bình của bình phương độ lệch. Từ đó có định nghĩa độ lệch tiêu chuẩn
như sau:
Định nghĩa 1.11. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là:
V ar [X].

σ [X] =

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Định nghĩa 1.12. Covarian của hai biến ngẫu nhiên X và Y là:
Cov(X, Y ) = E [(X − E [X])(Y − E [Y ])] .
Định lý 1.2. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y . Khi đó
V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X, Y ) .
Thật vậy theo định nghĩa ta có:
V ar [X + Y ] = E (X + Y − E [X + Y ])2
= E (X + Y − E [X] − E [Y ])2

= E (X − E [X])2 + (Y − E [Y ])2 + 2 (X − E [X]) (Y − E [Y ])
= E(X − E [X])2 + E(Y − E [Y ])2 + 2E [(X − E [X]) (Y − E [Y ])]
= V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X, Y ) .
Hệ quả 1.1. Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì Cov(X, Y ) = 0
và V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] .
Mở rộng hệ quả trên cho một tổng hữu hạn các biến ngẫu nhiên
độc lập lẫn nhau ta được định lý sau:
Định lý 1.3. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn
nhau. Khi đó

n

V ar

n

Xi =
i=1

V ar [Xi ].
i=1

9


Chương 2
Moment và độ lệch
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về bất đẳng thức Markov
cũng như bất đẳng thức Chebyshev và các ứng dụng của chúng.

2.1

Momen

Định nghĩa 2.1. Mô-men gốc bậc k của biến ngẫu nhiên X là µk = E X k .
Mô-men trung tâm bậc k của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi
E(X − E(X))k .
Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa có thể rút ra:
- Kỳ vọng chính là mô-men thứ nhất µ = E [X].
- Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là mô-men trung tâm
cấp hai và có thể được biểu diễn theo mô-men thứ nhất và mô-men
thứ hai theo công thức σ 2 = µ2 − µ21 .

2.2

Bất đẳng thức Markov

Thông thường khi cho một biến ngẫu nhiênX, chúng ta thường
quan tâm đến xác suất mà biến ngẫu nhiên đó đạt được như thế nào
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

với chính kỳ vọng của nó. Vì vậy, bất đẳng thức Markov ra đời nhằm
giải quyết thắc mắc trên.
Bất đẳng thức Markov đưa ra một chặn trên cho xác suất một hàm
số không âm của một biến ngẫu nhiên nhận giá trị lớn hơn một hằng

số dương. Nó liên hệ giữa xác suất và giá trị kỳ vọng, và cho một giới
hạn (thường không chặt) cho giá trị của hàm phân phối tích lũy của
một biến ngẫu nhiên.
Định lý 2.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm.
Khi đó với mọi a > 0 ta có:
Pr(X ≥ a) ≤

E [X]
.
a

Chứng minh. Thật vậy, xét tập A = {s ∈ Ω/X(s) ≥ a}.
E [X]
Ta phải chứng minh rằng P r(A) ≤
.Thật vậy:
a
E(X) =

P r(s)X(s)
s∈X

=

P r(s)X(s) +
s∈A

≥

P r(s)X(s)
s∈A

/

P r(s)X(s)
s∈A

≥

P r(s)a
s∈A

=a

P r(s) = a.P r(A)
s∈A

(do X(s) ≥ 0 với mọi s ∈ Ω,X(s) ≥ a,với mọi s ∈ A )

Vì vậy E(X) ≥ a.P r(A) hay P r(A) ≤
11

E(X)
a


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vậy Pr(X ≥ a) ≤

2.3

Nguyễn Thị Thanh Hà

E [X]
.
a

Bất đẳng thức Chebyshev

Một câu trả lời khác cho thắc mắc đặt ra ở trên có thể được giải
quyết bởi một bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức Chebyshev. Bất
đẳng thức này áp dụng với bất kỳ các biến ngẫu nhiên (không nhất
thiết phải là các biến ngẫu nhiên không âm như khi áp dụng bất đẳng
thức Markov).
Sau khi đã nhắc lại về kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên,ta
sử dụng chúng để suy ra bất đẳng thức Chebyshev như sau:
Định lý 2.2. Với mọi a > 0 có
Pr(|X − E [X]| ≥ a) ≤

V ar [X]
.
a2

Chứng minh. Cách chứng minh bất đẳng thức Chebyshev tương tự
như chứng minh bất đẳng thức Markov. Xét tập
A = {s ∈ Ω/ |X(s) − E(X)| ≥ a} .

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta sẽ chứng minh rằng P r(A) ≤

Nguyễn Thị Thanh Hà

V ar(X)
. Thật vậy,
a2

P r(s)(X(s) − E(X))2

V ar(X) =
s∈Ω

P r(s)(X(s) − E(X))2

P r(s)(X(s) − E(X))2 +

=
s∈A

s∈A
/

P r(s)(X(s) − E(X))2

≥
s∈A

P r(s)a2

≥
s∈A

= a2

P r(s) = a2 P r(A)
s∈A

(do với mọi s:(X(s) − E(s))2 ≥ 0,|X(s) − E(X)| ≥ a với mọi s ∈ A)
V ar(X)
Vì vậy V ar(X) ≥ a2 .P r(A) hay P r(A) ≤
,
a2
V ar [X]
Vậy Pr(|X − E [X]| ≥ a) ≤
.
a2
Nhận xét 2.2. Cả hai bất đẳng thức Markov và Chebyshev đều xác
định giới hạn xác suất khi biết kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu
nhiên chưa biết phân phối xác suất.
Ví dụ 2.3.1. Giả sử coi số phế phẩm làm ra của một nhà máy tính
trong một tháng là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = 30.
i, Nhận xét gì về xác suất của phế phẩm tháng này vượt quá 120
sản phẩm.
ii, Với phương sai bằng 25, hãy tính xác suất phế phẩm của tháng
nếu số phế phẩm này làm ra nằm trong khoảng (40, 60).
Giải:

13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

i, Áp dụng bất đẳng thức Markov ta được :
Pr (X > 120) ≥

30
1
E [X]
=
=
120
120 4

1
Vậy xác suất của phế phẩm tháng này vượt quá 120 sẽ lớn hơn .
4
ii, Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được:
Pr (|X − 50| ≥ 10) ≤

V ar (X)
1
25
=
=
100 4
102

1 3
=
4 4
Vậy nếu phương sai của phế phẩm tháng này là 25 thì xác suất phế
3
phẩm của tháng trong khoảng (40,60) sẽ lớn hơn .
4
Suy ra: Pr (40 < X < 60) = Pr (|X = 50| < 10) > 1 −

2.4
2.4.1

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Markov
Xác định một giới hạn cho xác suất

Ví dụ 2.4.1. A và B chơi trò rút lá bài với luật chơi như sau: Đưa
cho A và B mỗi bạn một bộ bài như nhau, lần lượt mỗi người sẽ rút
1 quân bài và so sánh màu sắc quân bài với người kia sau đó lại cho
quân bài đã rút vào bộ bài. Kết quả sau n lần rút ai nhận được nhiều
lá bài màu đỏ hơn sẽ thắng. Xác định giới hạn cho xác suất A rút
được quân bài màu đỏ ít nhất 120 lần.
Giải:
Giả sử Xi là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu A rút được lá bài
n

đỏ và nhận giá trị 0 nếu A rút được lá bài màu đen. Đặt X =

Xi là
i=1

số lần A rút được lá bài màu đỏ trong n lần rút. Vì xác suất rút được
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

1
lá bài màu đỏ và đen là như nhau và bằng nên E [Xi ] = Pr(Xi =
2
n
n
1
E [Xi ] = .
1) = , dẫn đến E [X] =
2
2
i=1
Vậy nếu muốn chặn trên với xác suất của X ít nhất là 120 ta sử
dụng bất đẳng thức Markov như sau:
n
E [X]
2
3n
n 4
)≤
= .
Pr(X ≥

= 2 =
3n
3n
4
2 3n 3
4
4
Ví dụ 2.4.2. Gieo một đồng xu không cân đối 200 lần và nhận thấy
1
rằng xác suất xuất hiện mặt ngửa là
. Yêu cầu đưa ra một chặn
10
trên cho xác suất thỏa mãn số mặt ngửa xuất hiện ít nhất 120 lần.
Giải
Để giải quyết bài toán ta coi số lần xuất hiện mặt ngửa là một
1
biến ngẫu nhiên thỏa mãn phân phối nhị thức với xác suất p =
và
10
1
n = 200. Vì vậyE [X] = np = 200.
= 20.
10
Sử dụng bất đẳng thức Markov cho xác suất xuất hiện ít nhất 120
lần mặt ngửa ta được:
P r(X ≥ 120) ≤
2.4.2

E(X)
20

1
=
= .
120
120 6

Bất đẳng thức Chebyshev

Đối với biến ngẫu nhiên Y = (X − EX) , nếu ta đặt a = (kα) thì
bất đẳng thức Chebyshev sẽ được biểu diễn như sau:
Pr (|Y | ≥ kα) ≤

15

1
k2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Các bước chứng minh được thực hiện như sau:
Pr (|Y | ≥ a) = Pr (|Y | ≥ kα)
= Pr |Y |2 ≥ k 2 α2
E |Y |2
≤

k 2 α2
1

= 2
k

Như vậy dựa vào bất đẳng thức Markov ta đã chứng minh được
bất đẳng thức Chebyshev.

2.5

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Chebyshev

2.5.1

Ước lượng một ràng buộc cho xác suất

Ví dụ 2.5.1. Cho X ∼ P oi(16) . Yêu cầu đưa ra một ràng buộc cho
xác suất P r (|X − µ| ≤ 5)
Vì X ∼ P oi(16) nên µ = 16 = σ 2 . Suy ra σ = 4. Khi đó:
P r (|X − µ| ≤ 5) = P r (|X − 16| ≤ 5)
σ2
16
= 0, 36.
= P r (11 ≤ X ≤ 21) ≥ 1 − 2 = 1 −
5
25
Ví dụ 2.5.2. Cho X ∼ N (100, 15) và x là giá trị trung bình mẫu từ
mẫu ngẫu nhiên có kích thước 400. Hãy đưa ra một ràng buộc cho xác
suất P r (|x − µ| ≤ 2)

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Giải
Vì X ∼ N (100, 15) nên µ = 100, σ = 15. Theo giả thiết mẫu ngẫu
nhiên có kích thước 400 nên ta có:
_

P r x −µ ≤ 2 = P

_

_

x −100 ≤ 2 = P r(98 ≤ x ≤ 102)
≥1−

152
= 0, 8593.
400.22

Như vậy có thể kết luận với cỡ mẫu là 400 thì xác suất khả năng
giá trị trung bình mẫu theo yêu cầu đề bài là 0.8593.
Ví dụ 2.5.3. Giả sử X là biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng và
phương sai đều bằng 16. Hãy đưa ra một ước lượng cho xác suất
P r(0 < X < 32)
Giải
Để ý rằng:

P r(0 < X < 32) = P r(0 − 16 < X − 16 < 32 − 16)
= P r(|X − 16| < 16)
= 1 − P r(|X − 16| ≥ 16)
E [X − 16]2
≥1−
2.5.2

162

=1−

16
15
=
.
16
162

Luật số lớn Chebyshev

Luật số lớn phát biểu như sau: Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là một dãy các
biến ngẫu nhiên độc lập có các kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

bởi hằng số C thì:
lim P r

n→∞

X1 + X2 + . . . + Xn EX1 + EX2 + . . . + EXn
>ε
−
n
n

Chứng minh. Đặt Sn =

X1 +X2 +...+Xn
n

=0

. Vì các biến ngẫu nhiên là độc

lập nên ta có:
ESn =

EX1 + EX2 + . . . + EXn
n

Theo giả thiết phương sai bị chặn bởi hằng số C hay có nghĩa DXi ≤ C,
khi đó ta sẽ suy ra
DSn =

nC
C
DX1 + DX2 + . . . + DXn
≤
=
.
n2
n2
n

Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức Chebyshev đối với biến ngẫu nhiên
Sn ta được:
X1 + X2 + . . . + Xn EX1 + EX2 + . . . + EXn
−
>ε
n
n
C
= P r (|Sn −ESn | > ε) ≤ 2
nε

Pr

tiến đến 0 khi n → ∞. Như vậy dựa vào bất đẳng thức Chebyshev ta
đã chứng minh được luật số lớn Chebyshev.

18


Chương 3

Chặn Chernoff và chặn Hoeffding
3.1

Hàm sinh mô-men

Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ, và a ∈ R . Bây giờ cũng
từ ý tưởng dùng bất đẳng thức Markov để chứng minh bất đẳng thức
Chebyshev, ta có với mọi t > 0:
tX

Pr(X ≥ a) = Pr(e

E(etX )
≥e )≤
eta
ta

( theo bất đẳng thức Markov)
Tương tự vậy, với mọi t < 0 ta có:
−tX

Pr(X ≤ a) = Pr(e

≥e

−ta

E(e−tX )
)≤
e−ta

Như vậy chìa khóa chính trong lập luận trên chính là hàm sinh mô-men
của biến ngẫu nhiên X.
Định nghĩa 3.1. Hàm sinh mô-men của một biến ngẫu nhiên X là
MX (t) = E etX .
Nhận xét 3.1. Hàm MX (t) bao gồm tất cả các mô-men của X. Thông
19