TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THÙY TRANG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN VẬN TẢI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
HÀ NỘI – 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THÙY TRANG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN VẬN TẢI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
TS. KIỀU VĂN HƯNG
HÀ NỘI – 2018
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❊♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝
❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛②
❝æ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ♥❤ú♥❣ tr✐ t❤ù❝ q✉þ ❜→✉ ✈➔
t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ♥❤✐➺♠ ✈ö ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❦❤â❛
❧✉➟♥✳
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚✐➳♥
s➽ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ trü❝ t✐➳♣ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦✱ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣
✤ï ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
❊♠ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤ò② ❚r❛♥❣
✶
▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥é ❧ü❝
❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ❞÷î✐ sü ❝❤➾ ❜↔♦ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ sü ❝❤➾
❜↔♦✱ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❚✐➳♥ s➽ ❑✐➲✉ ❱➠♥ ❍÷♥❣✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐✿ ✧▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥
✈➟♥ t↔✐✧ ❦❤æ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝ ✈➔ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷ñ❝
❝â sü ❦➳ t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤→❝✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤ò② ❚r❛♥❣
✷
▼ö❝ ❧ö❝
▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✹✳ ❇↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✈î✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝❤✉②➯♥ ❝❤ð ✈➔ ❧÷✉
t❤æ♥❣ ❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺
✻
✻
✻
✼
✽
✶✵
✶✷
✶✷
✶✷
✶✷
✶✸
✷ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■ ✶✹
✷✳✶ ❈→❝ ❜÷î❝ ❝ì ❜↔♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉
✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹✳ ❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✺✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦✐➸♠ tr❛ sü tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ✵ ❝÷î❝ ♣❤➼ æ ❝❤å♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✸✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✹
✶✹
✶✹
✶✺
✶✺
✶✺
✸✷
✸✸
✸✸
✹✹
✺✺
✹
❑➌❚ ▲❯❾◆
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖
✺✺
✺✻
t t ởt tr ỳ t q trồ t tr
t q t t õ ỵ tt tỹ tr ở
số t tr ỹ tổ q t ỳ
t t tữớ ữủ t s ữợ
ọ t õ t ữủ ữỡ tố ữ t ừ
t rt q trồ ợ ố t s ỡ
ữỡ t t ữợ sỹ ữợ ừ s
ữ ồ t ởt số ữỡ t t
t õ tốt
õ tr ởt số ữỡ ỳ t
t ỡ
ở ừ õ ỗ
ữỡ tự
ữỡ tr ỳ tự ỡ s t t ỗ
t t tờ qt t tr ữỡ ỹ
ụ ữ ợ t ởt số t t ỡ tữớ
ữỡ ởt số ữỡ t t
ữỡ tr ữợ ỡ t t
ữỡ t t ử t
t ỡ ữủ ữỡ ữủ t
ữỡ
t t
ợ t
t t t ừ t q t t
t t õ t ữ ởt ỗ t õ ữợ
t t qt ố õ tứ ởt số
ỗ ởt số t tử s
t t ừ
ờ t t
ỹ ọ t
ờ t t
t t ử tr t ỷ
ữ ợ t ởt số ữỡ ỹ
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✼
✶✳✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t
❇➔✐ t♦→♥✿ ●✐↔ sû ❝â m ❦❤♦ ❤➔♥❣ A1, A2, ..., Am ❝ò♥❣ ❝❤ù❛ ♠ët ❧♦↕✐
❤➔♥❣ ❤â❛✱ ❦❤♦ Ai ❝❤ù❛ ai ✤ì♥ ✈à ❤➔♥❣✳ ❈➛♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ sè ❤➔♥❣ tr➯♥ ✤➳♥
♥ ❝û❛ ❤➔♥❣ B1, B2, ..., Bn✱ ❝û❛ ❤➔♥❣ Bj ❝➛♥ bj ✤ì♥ ✈à ❤➔♥❣✳ ❈÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥
❝❤✉②➸♥ ♠ët ✤ì♥ ✈à ❤➔♥❣ ❤â❛ tø ❦❤♦ Ai ✤➳♥ ❝õ❛ ❤➔♥❣ Bj ❧➔ cij ✳ ❍➣② ❧➟♣
♣❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❤➔♥❣ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥✮✳ ▼é✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥
❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ X = (xij )m×n✱ tr♦♥❣ ✤â xij ❧➔ sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❝❤✉②➸♥ tø Ai
✤➳♥ Bj (xij 0)✳
❈❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔✿
m
n
f (X) =
cij xij ✳
i=1 j=1
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✮✳ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥
❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
♥➳✉ ❝→❝ ❣✐→ trà xij t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ✭r➔♥❣
❜✉ë❝ ❞á♥❣✮ ❧➔✿
n
xij = ai , ∀i = 1, m
j=1
✈➔ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝➛✉ ✭r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❝ët✮ ❧➔✿
m
xij = bj , ∀j = 1, n.
i=1
◆❤÷ ✈➟②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❞↕♥❣ ❝❤➼♥❤
t➢❝ ✈î✐ (m × n) ❜✐➳♥✱ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ f (X) ❝➛♥ ❝ü❝ t✐➸✉ ✈➔ (m + n) r➔♥❣
❜✉ë❝✳
▼æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ♥❤÷ s❛✉✿
m
n
cij xij −→ min
i=1 j=1
n
xij = ai (i = 1, m)
j=1
m
xij = bj (j = 1, n)
i=1
✭∗✮
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
tr♦♥❣ ✤â xij
✽
0 (i = 1, m, j = 1, n).
✶✳✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉
❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉
✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤✉ ♣❤→t✮ ♥➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m
✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❜➡♥❣ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ð n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿
m
n
ai =
i=1
bj ✳
j=1
◆➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣
❝➛♥ ð n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿
m
n
ai >
i=1
bj
j=1
t❤➻ ♠ët ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ s➩ ✤➸ ❧↕✐ ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣✳
◆➳✉ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❞ü trú ð m ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ➼t ❤ì♥ tê♥❣ sè ❤➔♥❣ ❝➛♥ ð
n ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✱ tù❝✿
m
n
ai <
i=1
bj
j=1
t❤➻ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤õ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣
❝➛✉ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉
X ∗ = (x∗ij )✳ ❑❤✐ ✤â✿
n
x∗ij = ai , ∀i = 1, m
j=1
m
x∗ij = bj , ∀j = 1, n.
i=1
❱➻ ✈➟②
m
m
n
ai =
i=1
n
x∗ij
i=1 j=1
m
n
x∗ij
=
j=1 i=1
=
j=1
bj ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
m
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝â
n
ai =
i=1
✾
bj ✱
t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐
j=1
❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✱ tù❝ ❧➔ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥
❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔
❤➔♠ n♠ö❝ t✐➯✉ ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐✳
m
❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t✿ Q = ai❂ bj > 0✱ ①➨t ✈❡❝t♦r✿
(∗)
i=1
X=(
❚❛ ❝â✿
ai b j
)
Q
j=1
❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ xij = aQibj ✈î✐ i = 1, m; j = 1, n✳
n
n
xij =
j=1
m
j=1
m
xij =
i=1
i=1
n
ai bj
bj
= ai
= ai (i = 1, m)
Q
Q
j=1
ai bj
= bj
Q
m
i=1
ai
= bj (j = 1, n).
Q
❱➔ rã r➔♥❣ xij 0✱ ∀i = 1, m, ∀j = 1, n✳ ❱➟② X ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗)✱ tù❝ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❦❤→❝
ré♥❣✳
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ X = (xij ) (i = 1, m, j = 1, n)✱ tø
n
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ xij 0 ✈➔ xij = ai✱ s✉② r❛✿
j=1
0
xij
ai (i = 1, m, j = 1, n).
❱➻ ✈➟②✿
cij xij ≥ 0
cij xij ≥ cij ai
♥➳✉ cij ≥ 0
♥➳✉ cij < 0.
❙✉② r❛✿ cij xij ≥ min{0, cij ai} (i = 1, m, j = 1, n)✳
❉♦ ✤â✿
m
n
m
n
cij xij ≥
f (X) =
i=1 j=1
i=1 j=1
min{0, cij ai } = const✳
❱➟② ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✱ s✉② r❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❜➜t ❦ý ❧✉æ♥ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣ ❜➔✐
t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✵
✶✳✶✳✹✳ ❇↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐
❈❤♦ X = (xij )m×n ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✳ ❦❤✐ ✤â ❜↔♥❣
sè ❧✐➺✉ s❛✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ù♥❣ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ✿
❚r♦♥❣ ❜↔♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ♠ët ✤✐➸♠ ❝✉♥❣✱ ♠é✐ ❝ët ✤➦❝ tr÷♥❣
❝❤♦ ♠ët ✤✐➸♠ ❝➛✉✿ ❝ët ✤➛✉ t✐➯♥ ❣❤✐ ❝→❝ Ai (i = 1, m)✱ ❤➔♥❣ tr➯♥ ❝ò♥❣ ❣❤✐
❝→❝ Bj (j = 1, n)✳ ❚rø ❝ët ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔ ❤➔♥❣ tr➯♥ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱
♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✳ Ð ♠é✐ æ (i, j) tr♦♥❣ ♣❤➛♥
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ t❛ ❣❤✐ ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ cij ✈➔♦ ❣â❝ ♣❤➼❛ tr➯♥
❜➯♥ ♣❤↔✐ ✈➔ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ xij tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ✈➔♦ ❣â❝ ♣❤➼❛
❞÷î✐ ❜➯♥ tr→✐✳
− ❚➟♣ æ ❝❤å♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔✿ G(X)❂{(i, j) | xij > 0}✳ ➷ ❝❤å♥
✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ ❝â ✈➟♥ t↔✐ ❤➔♥❣ ❤â❛ ✤✐ q✉❛✳
− ❈→❝ æ (i, j) ∈
/ G(X) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ æ ❧♦↕✐ (xij = 0)✳
− P❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ♥➳✉ t➟♣
❝→❝ æ ❝❤å♥ ❝õ❛ ♥â ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✭❉➙② ❝❤✉②➲♥✮✳ ▼ët ❞➣② L ❝→❝ æ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
− ❍❛✐ æ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣✱ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
− ❑❤æ♥❣ ❝â ❜❛ æ ♥➔♦ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✶
❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ✭❈❤✉ tr➻♥❤✮✳ ▼ët ❞➣② L ❝→❝ æ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
− L ❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥✳
− ➷ ✤➛✉ ✈➔ æ ❝✉è✐ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣✱ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✿
L = {(1, 1); (1, 3); (2, 3); (2, 2); (3, 2)}
❧➔ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥✮✳ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ♥➳✉ t➟♣
❝→❝ æ ❝❤å♥ G(X) t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ♥â ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❝❤✉ tr➻♥❤✳
▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝â ✤õ (m + n − 1) æ ❝❤å♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣
s✉② ❜✐➳♥✱ ❝â ➼t ❤ì♥ (m + n − 1) æ ❝❤å♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❧➔ s✉② ❜✐➳♥✱ t❛ ❝❤å♥ ❜ê s✉♥❣ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ✤â
♠ët sè æ ❧♦↕✐ ❝â ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❜➡♥❣ ✵ ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ →♥ trð t❤➔♥❤ ❦❤æ♥❣ s✉②
❜✐➳♥✳
L = {(1, 1); (1, 2); (3, 2); (3, 3); (2, 3); (2, 1)}
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✷
✶✳✷ ▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥
❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥ ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉✮ ❧➔
❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ tø ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ t✐➯✉
t❤ö ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝➛✉✳
✣è✐ ✈î✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✤➸ t➻♠
♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❙❛✉ ✤â ①➨t t➼♥❤ tè✐ ÷✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t❤➳ ✈à ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ✵ ❝÷î❝ ♣❤➼ æ ❝❤å♥✳
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s➩ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ð ❝❤÷ì♥❣ ✷✳
✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð
❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦❤æ♥❣ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣
❝➛✉✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ tø ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❦❤→❝ ✈î✐ tê♥❣
❧÷ñ♥❣ t✐➯✉ t❤ö ð ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝➛✉✳
❈â ✷ ❧♦↕✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✿
− ❇➔✐ t♦→♥ ❝â ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❧î♥ ❤ì♥ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ t✐➯✉ t❤ö✳
− ❇➔✐ t♦→♥ ❝â ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♥❤ä ❤ì♥ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ t✐➯✉ t❤ö✳
✣è✐ ✈î✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ ❦❤✐ ❧➟♣ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ t❛ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ ✤✐➸♠
❝✉♥❣ ↔♦ ✭❤♦➦❝ ✤✐➸♠ ❝➛✉ ↔♦✮ ✈î✐ ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❜➡♥❣ ✵✳ ❚❛ →♣ ❞ö♥❣
♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✱
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✤➸ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❙❛✉ ✤â ①➨t t➼♥❤
tè✐ ÷✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ✵ ❝÷î❝ ♣❤➼ æ ❝❤å♥✳
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s➩ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ð ❝❤÷ì♥❣ ✷✳
✶✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✈î✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝❤✉②➯♥ ❝❤ð ✈➔ ❧÷✉ t❤æ♥❣
❜à ❣✐î✐ ❤↕♥
❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✈î✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝❤✉②➯♥ ❝❤ð ✈➔ ❧÷✉ t❤æ♥❣ ❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔
❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ✈✐➺❝ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ ❞♦ ✤÷í♥❣ ❜à ❝➜♠✱ ✤❛♥❣ sû❛ ❝❤ú❛✱
t❤✐➯♥ t❛✐✳✳✳ ♠➔ ❦➳ ❤♦↕❝❤ ✈➟♥ t↔✐ ♣❤↔✐ ✤↔♠ ❜↔♦ ❝❤♦ ♠ët tr↕♠ ♣❤→t ♥➔♦ ✤â
♣❤→t ❤➳t ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ♠ët ✤✐➸♠ t❤✉ ♥➔♦ ✤â ♣❤↔✐ ✤÷ñ❝ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ✤õ ❤➔♥❣ ❦❤✐
❦❤æ♥❣ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤✉ ♣❤→t✳
❈→❝ æ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ❤➔♥❣
q✉❛ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ æ ❝➜♠✳ ➷ ❝➜♠ ♣❤↔✐ ❧➔ æ ❧♦↕✐ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✱ tù❝
❈❤÷ì♥❣ ✶✳
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✸
❧➔ xij = 0✳
✣è✐ ✈î✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ t❤❛② ❝÷î❝ ♣❤➼ cij ð ❝→❝ æ ❝➜♠ ❜➡♥❣ ♠ët
sè ❞÷ì♥❣ ✤õ ❧î♥ M ✳ ❚❛ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✱
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✤➸ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥
❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❙❛✉ ✤â ①➨t t➼♥❤ tè✐ ÷✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ❤♦➦❝
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ✵ ❝÷î❝ ♣❤➼ æ ❝❤å♥✳
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s➩ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ð ❝❤÷ì♥❣ ✷✳
✶✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐
❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝â ♠æ ❤➻♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
m
n
cij xij −→ max
i=1 j=1
n
xij = ai (i = 1, m)
j=1
m
✭∗∗✮
xij = bj (j = 1, n)
i=1
tr♦♥❣ ✤â xij 0 (i = 1, m; j = 1, n).
✣è✐ ✈î✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❤❛② ✈➻ ②➯✉ ❝➛✉ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼
♥❤ä ♥❤➜t t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ②➯✉ ❝➛✉ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝â ❧ñ✐ ♥❤✉➟♥ ❤♦➦❝ ♥➠♥❣ s✉➜t
❧î♥ ♥❤➜t✳ ❚❛ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✱ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ✤➸ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥
❜❛♥ ✤➛✉✳ ❙❛✉ ✤â ①➨t t➼♥❤ tè✐ ÷✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ q✉② ✵ ❝÷î❝ ♣❤➼ æ ❝❤å♥✳
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s➩ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ð ❝❤÷ì♥❣ ✷✳
❈❤÷ì♥❣ ✷
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■
❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✷✳✶ ❈→❝ ❜÷î❝ ❝ì ❜↔♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐
✣➸ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✱ t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧➛♥ ❧÷ñt t❤❡♦ ❝→❝ ❜÷î❝ ❝ì
❜↔♥ s❛✉ ✤➙②✿
❇÷î❝ ✶✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ð ❞↕♥❣ ❜↔♥❣✳
❇÷î❝ ✷✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳
❇÷î❝ ✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ❝↔✐ t❤✐➺♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ✤↕t
✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✳
✷✳✷ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥
❜❛♥ ✤➛✉
✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞➵ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥❤÷♥❣ ♣❤÷ì♥❣
→♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝❤ ①❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
❇÷î❝ ✶✿ P❤➙♥ ♣❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✈➔♦ æ ð ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝
❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✭tù❝ ❧➔ æ (1, 1))✳ ❑❤✐ ✤â ❤♦➦❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ A1 ❤➳t ❤➔♥❣✱
❤♦➦❝ ✤✐➸♠ B1 ❤➳t ♥❤✉ ❝➛✉✳
❇÷î❝ ✷✿ ▲♦↕✐ ❜ä ❤➔♥❣ A1 ❤♦➦❝ ❝ët B1 r❛ ❦❤ä✐ ❜↔♥❣✳
❇÷î❝ ✸✿ ❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥ ✈î✐ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✤➳♥ ❦❤✐ ②➯✉
❝➛✉ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✤÷ñ❝ ✤↔♠ ❜↔♦✳
✶✹
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✶✺
✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼
▲➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞➵ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→ ❣➛♥
✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
❇÷î❝ ✶✿ P❤➙♥ ♣❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ æ ❝â ❝÷î❝ ♣❤➼
✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ ❜↔♥❣✳
❇÷î❝ ✷✿ ▲♦↕✐ ❜ä ❤➔♥❣ ✤➣ ❤➳t ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ✭❤♦➦❝ ❝ët ❤➳t ♥❤✉
❝➛✉✮ r❛ ❦❤ä✐ ❜↔♥❣✳
❇÷î❝ ✸✿ ❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥ ✈î✐ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✤➳♥ ❦❤✐ ②➯✉
❝➛✉ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✤÷ñ❝ ✤↔♠ ❜↔♦✳
❈❤ó þ ✷✳✶✳ ✣è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐ t❤➻ t❛ s➩
♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✈➔♦ æ ❝â ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ ❧î♥ ♥❤➜t✳
✷✳✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s
▲➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤â t❤ü❝ ❤✐➺♥✱ ♥❤÷♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ t➻♠ ✤÷ñ❝
r➜t ❣➛♥ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
❇÷î❝ ✶✿ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ ❣✐ú❛ ❤❛✐ æ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣
♥❤➜t ù♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ❤➔♥❣ ✈➔ ♠é✐ ❝ët✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ❝ët ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ ❝ì
❤ë✐ ❧î♥ ♥❤➜t✳
❇÷î❝ ✷✿ P❤➙♥ ♣❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ æ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼
✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä ♥❤➜t ✈î✐ tø♥❣ ❤➔♥❣ ✭❤♦➦❝ tø♥❣ ❝ët✮ ✤➣ ❝❤å♥✳
❇÷î❝ ✸✿ ▲♦↕✐ ❜ä ❤➔♥❣ ✤➣ ❤➳t ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ✭❤♦➦❝ ❝ët ❤➳t ♥❤✉
❝➛✉✮ r❛ ❦❤ä✐ ❜↔♥❣✳
❇÷î❝ ✹✿ ❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥ ✈î✐ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✤➳♥ ❦❤✐ ②➯✉
❝➛✉ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✤÷ñ❝ ✤↔♠ ❜↔♦✳
❈❤ó þ ✷✳✷✳ ✣è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ð ❜÷î❝ ✷✱
t❛ s➩ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✈➔♦ æ ❝â ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ ❧î♥
♥❤➜t✳
✷✳✷✳✹✳ ❱➼ ❞ö
❈→❝ ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ ✤➳♥ ❜÷î❝ ✷ ✭①→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥
❜❛♥ ✤➛✉✮✳ ❇÷î❝ ✸ ✭❦✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✮ s➩ ✤÷ñ❝ ❧➔♠ t✐➳♣ ð ♠ö❝ 2.3✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶ ✭❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥✮✳ ❈æ♥❣ t② ❝ê ♣❤➛♥ ❚❤➨♣ ✣➔ ◆➤♥❣
❝â ❜è♥ ❝ì sð s↔♥ ①✉➜t t❤➨♣ ✭A1, A2, A3, A4✮ ✈➔ ❜❛ ❝æ♥❣ tr÷í♥❣ ①➙② ❞ü♥❣
ữỡ
Pì PP
B1, B2, B3 ổ st s t t t ừ ố ỡ s ữủt
40, 35, 50, 55 t t tử t t ừ ổ trữớ
ữủt 55, 40, 85 t t t tứ ỡ s s
t ổ trữớ ỹ ổ ử tở ố ữủ t
ữ s ỡ t ì10.000 ỗ
ữỡ t tứ ỡ ỡ t tử
tờ ọ t
ữợ t t t
t
m
n
ai =
i=1
bj
t t t
j=1
ữợ ữỡ ỹ
Pữỡ õ
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✶✼
P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 1)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A1 ✱ æ (2, 1) trð t❤➔♥❤ æ ð
❣â❝ ❚➙② ❇➢❝ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱ ð ❝ët B1 ❝á♥ 15✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 1)✿ 15 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❝ët B1 ✱ ð ❤➔♥❣ A2 ❝á♥ 20✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 2)✿ 20 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A2 ✱ ð ❝ët B2 ❝á♥ 20✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 2)✿ 20 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❝ët B2 ✱ ð ❤➔♥❣ A3 ❝á♥ 30✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 3)✿ 30 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A3 ✱ ð ❝ët B3 ❝á♥ 55✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 3)✿ 55 t➜♥ t❤➨♣✳
❚ø ✤â t❛ ❝â✿
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝â
✤õ (m + n − 1) = (4 + 3 − 1) = 6 æ ❝❤å♥✿
40
15
X=
0
0
0
20
20
0
0
0
.
30
55
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✶✽
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✿
P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 1)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣ ✭❞♦ ❧➔ æ ❝â ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä
♥❤➜t ❜➡♥❣ ✶✮✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A1✱ ❝ët B1 ❝á♥ 15✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 1)✿ 15 t➜♥ t❤➨♣ ✭❞♦ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ♥â ❝â
❝÷î❝ ♣❤➼ ♥❤ä ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✷✮✱ ①â❛ ❝ët B1✱ ❤➔♥❣ A4 ❝á♥ 40✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 3)✿ 35 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A2 ✱ ❝ët B3 ❝á♥ 50✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 3)✿ 50 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A3 ✈➔ ❝ët B3 ✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 2)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣✳
❚ø ✤â t❛ ❝â✿
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝❤➾ ❝â ✺
æ ❝❤å♥✿
40
0
X=
0
15
0
0
0
40
0
35
.
50
0
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✶✾
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s✿
P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ ❣✐ú❛ ❤❛✐ æ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t
ù♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ❤➔♥❣ ✈➔ ♠é✐ ❝ët✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ❝ët ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ ❝ì ❤ë✐ ❧î♥
♥❤➜t✿
∗ ❈ët B2
❝â ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❧î♥ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✹✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ æ (1, 2) ❧➔ 40 ❞♦ æ ❝â
❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✷✳ ❳â❛ ❤➔♥❣ A1 ✈➔ ❝ët B2✿
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✷✵
∗ ❳→❝ ✤à♥❤ ❧↕✐ ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ s❛✉ ❦❤✐ ✤➣ ①â❛ ❤➔♥❣ A1 ✈➔
❝ët B2✳ ❍➔♥❣ A4 ❝â ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❧î♥ ♥❤➜t ❧➔ ✸✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ æ (4, 1) ❧➔ 55✳ ❳â❛
❤➔♥❣ A4 ✈➔ ❝ët B1✿
∗ ❙❛✉ ❦❤✐ ①â❛ ❤➔♥❣ A4 ✈➔ ❝ët B1 ✱ ❜↔♥❣ ✈➟♥
(3, 3)✳ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 3) ❧➔ 35 ✈➔ æ (3, 3) ❧➔ 50✿
❚ø ✤â t❛ ❝â✿
t↔✐ ❝á♥ ❧↕✐ ✷ æ (2, 3) ✈➔
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✷✶
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝❤➾ ❝â ✹
æ ❝❤å♥✿
0
0
X=
0
55
40
0
0
0
0
35
.
50
0
◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ Ð ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ❝❤♦ t❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝
❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t✱ t✐➳♣ ✤➳♥ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉
❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✳
❱➼ ❞ö ✷✳✷ ✭❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✮✳ ❈æ♥❣ t② ❝ê ♣❤➛♥ ❙ú❛ ▲❛♠ ❙ì♥ ❝â
❜è♥ tr❛♥❣ tr↕✐ ❜á sú❛ (A1, A2, A3, A4) ❝✉♥❣ ❝➜♣ sú❛ ❜á t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ✤➳♥
❜❛ ❝ì sð s↔♥ ①✉➜t sú❛ ❜ët (B1, B2, B3)✳ ❙↔♥ ❧÷ñ♥❣ sú❛ ❤➡♥❣ ♥❣➔② ❝õ❛ ❜è♥
tr❛♥❣ tr↕✐ ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✼✺✵✱ ✺✺✵✱ ✺✵✵✱ ✼✵✵ ❧➼t sú❛✳ ◆❤✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❜❛ ❝ì sð s↔♥
①✉➜t ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✻✵✵✱ ✻✺✵✱ ✽✺✵ ❧➼t sú❛✳ ❈❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✶ ❧➼t sú❛ ✤÷ñ❝
❝❤♦ ❞÷î✐ ❜↔♥❣ s❛✉ ✭×1.000 ✤ç♥❣✮✿
❚➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝â tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❧➔ t❤➜♣ ♥❤➜t✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✷✷
❈❤ó þ ✷✳✸✳ ✣è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✱ ✤➛✉ t✐➯♥ t❛ ❝➛♥ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠
✤✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❤♦➦❝ ✤✐➸♠ t✐➯✉ t❤ö ↔♦ ✈î✐ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ ✤â ❜➡♥❣
0✳ ❙❛✉ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ♥❤÷
❜➻♥❤ t❤÷í♥❣✳
●✐↔✐✿
❇÷î❝ ✶✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ð ❞↕♥❣ ❜↔♥❣
❚❛ t❤➜②
m
n
ai >
i=1
bj
j=1
♥➯♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✳
❚ê♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❧➔ ✷✺✵✵ ❧➼t sú❛✱ tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ t✐➯✉ t❤ö ❧➔ ✷✶✵✵ ❧➼t sú❛✳
❉♦ ✈➟② tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❧î♥ ❤ì♥ tê♥❣ ❧÷ñ♥❣ t✐➯✉ t❤ö ✹✵✵ ❧➼t sú❛✳ ❚ø
✤â t❛ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❝ì sð s↔♥ ①✉➜t B4 ↔♦ ❝â ♥❤✉ ❝➛✉ t✐➯✉ t❤ö ❧➔ ✹✵✵ ❧➼t✱
❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ B4 ↔♦ ❜➡♥❣ 0 ♥❤÷ s❛✉✿
❈❤÷ì♥❣ ✷✳
▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■
✷✸
❇➔✐ t♦→♥ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❦➼♥✳ ❚❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ t➻♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥
❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳
❇÷î❝ ✷✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✿
P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 1)✿ ✻✵✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❝ët B1 ✱ ❤➔♥❣ A1 ❝á♥ ✶✺✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 2)✿ ✶✺✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A1 ✱ ❝ët B2 ❝á♥ ✺✵✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 2)✿ ✺✵✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❝ët B2 ✱ ❤➔♥❣ A2 ❝á♥ ✺✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 3)✿ ✺✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A2 ✱ ❝ët B3 ❝á♥ ✽✵✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 3)✿ ✺✵✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A3 ✱ ❝ët B3 ❝á♥ ✸✵✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 3)✿ ✸✵✵ ❧➼t sú❛✱ ①â❛ ❝ët B3 ✱ ❤➔♥❣ A4 ❝á♥ ✹✵✵✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 4)✿ ✹✵✵ ❧➼t sú❛✳
❚ø ✤â t❛ ❝â✿
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝â