bai giang PP PTHH

Ph
ơng Ph
áp Ph
ần T
ửH
ũ H
ạn
Phơng
Pháp
Phần
Tử
Hũ
Hạn
(PPPTHH)
Finite Element Method (FEM)

Trờng đại học GTVT
Bộ môn Sức Bền Vật Liệu
LƯƠNG Xuân Bính


Cấu trúc môn học
Phần 1. Bổ trợ kiến thức về CHVRBD
Phần 2. Lý thuyết PPPTHH
Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 4. Bài toán đối xứng trục
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 7. Vỏ mỏng

Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định
Phần 3. Thực hành tính toán trên máy tính
Báo cáo và Bài tập lớn (hạn nhận: 15/09/2008)
đánh giá: Báo cáo và BTL: 30%; thi: 70%


Tµi liÖu tham khaá

B¾t buéc: PP PTHH, NguyÔn Xu©n Lùu, NXB GTVT, 2007
Tham khaá:
1. PP PTHH, Hå Anh TuÊn, TrÇn Binh, NXB KHKT, 1978
2. PP PTHH, Chu Quèc Th¾ng, NXB KHKT, 1997
3. The Finite Element Method, Zienkiewicz O.C., Mc Graw Hill London 1977
4. The Finite Element Method, Alan J. Davies,
Clarendon Press 1980


Kiến thức bổ trợ

Cơ học vật rắn biến dạng: SBVL, CHKC, LTđH, LTDẻo, CHMTLT
Toán học: Phơng trinh vi phân, đạo hàm riêng, tích phân,
tích phân số, các phép tính ma trận, giaỉ hệ phơng trinh.
Tin học: Một ngôn ngũ lập trinh (Visual C++, Visual Basic, Delphi,
Fortran, Math LAB, Math CAD) hoặc tính toán trên Excel


Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Véc tơ ứng suất:

{} = { x

y

z

xy

yz

zx

Véc tơ biến dạng:

{} = { x

Quan hệ biến dạng - chuyển vị:
u
v u
; xy =
+
x
x y
v
w v
; yz =
+
y =
y
y z
w

u w
; zx =
+
z =
z
z x
x =


x x
0
y
z 0
=
xy y
yz
0
zx
z

0

y
0

x

z
0

y

z

xy

yz

zx

}T

0

0

u
z v

= f
0 Hay
w

y

(Chơ
ng 3 SBVL, Chơ
ng 1+2 LTđ
(Chơng
Chơng

LTđH)
x

{ } [ ]{ }

}T


Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Quan hệ ứng suất - biến dạng (định luật Hooke):

[

(

)]

1
x y + z
E
1
y = y ( z + x )
E
1
z = z x + y
E
1
2(1 + )
xy = xy =
xy

G
E
1
2(1 + )
yz = yz =
yz
G
E
1
2(1 + )
zx = zx =
zx
G
E
x =

[

[

]

(

)]

{} = [C ]{}
[C] - Ma trận các hệ số đàn hồi
0
0

0
1
1

0
0
0


0
0
0
1 1
[C ] =

0
0 2(1 + )
0
0
E0
0
0
0
0
2(1 + )
0


(
)

0
0
0
0
2 1 +
0


Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng

Hay

{} = [D]{}

[D] - Ma trận các hệ số đàn hồi



1

1



1


E
0
0

0
[D] =
(1 + )(1 2 )
0
0
0


0
0
0


0
0

0
0

0
(1 2 )
2

0

0
0

0

(1 2 )
2
0




0

0

0

(1 2 )

2
0
0


Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
điều kiện biên (đKB)
Sp
St

Sđ

đKB động học: trên Sđ có u = v = w =0
đKB tĩnh học: Trên Spcó taỉ trọng {p}
Trên St - Sp không có taỉ trọng hay {p} = {0}

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Cách giaỉ bài toán CHVRBD
Giaỉ theo chuyển vị: Chọn các thành phần chuyển vị làm ẩn
Giaỉ theo ứng suất: Chọn các thành phần ứng suất làm ẩn
Giaỉ hỗn hợp: Chọn một số các thành phần chuyển vị và một số
ứng suất làm ẩn


Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Cách giaỉ bài toán CHVRBD

Phơng Pháp
PP Giaỉ tích
PP đúng

PP gần đúng
(các PP biến phân)

PP Số
Các PP số giaỉ
gần đúng các PTVF

PP PTHH

PP Sai phân HH

Mô hinh chuyển vị

PP Tích phân số

Mô hinh ứng suất
Mô hinh hỗn hợp

1.
SSố
nnà
1. Trong
Trong nhóm
nhóm PP
PP Số
nhũng PP
PP nà
nũa?
Sốố ccòònn nhũng
nààoo nũa?
2.
H
nnê
ssự
kh
vvà
2. Hã
Hã
khá
nhau chính
chính giũa
giũa PP
PP SFHH

SFHH và
PP PTHH?
PTHH?
Hããyy nê
nêêuu sự
sựự khá
kháácc nhau
vàà PP


Phơng Pháp PTHH

Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 4. Bài toán đối xứng trục
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 7. Vỏ mỏng
Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định


Ph−¬ng Ph¸p PTHH

Ch−¬ng 1. VÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.2 Hµm chuyÓn vÞ. Hµm d¹ng
1.3 Ph−¬ng trinh c¬ ban cña PP PTHH
1.4 Trinh tù tÝnh kÕt cÊu theo PP PTHH

PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số
để giải các bài toán được mô tả bởi
các phương trình vi phân riêng phần
cùng với các điều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa
các miền liên tục phức tạp của bài toán.
Các miền liên tục được chia thành nhiều
miền con (phần tử). Các miền này được liên kết với nhau
tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân
tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên
các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện
trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
Ứng dụng
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong
các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục)
để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể.
Lịch sử
PPPTHH được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán
phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng
và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu phát triển bởi
Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942).
Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa
sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay

và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Các phần mềm thương mại cho PPPTHH:
ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA, Nastran, Marc,
COMSOL Multiphysics, SAP2000,
MIDAS, STAAP PRO, ETABS, PLAXIS ...

3.
ũũng
3. H
Hãy
ãy cho
cho biết
biết tên
tên và
và các
các chức
chức năng
năng cơ
cơ bản
bản cũ
cũ
ng như
như ưu
ưu nhược
nhược điểm

điểm
của
ũũng
của nhũ
nhũ
ng phần
phần mềm
mềm thương
thương mại
mại ứng
ứng dụng
dụng PP
PP PHH
PHH ??


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu

PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh phÇn tö
Chi tiÕt kÕt cÊu

M« hinh phÇn tö


PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh phÇn tö
Chi tiÕt kÕt cÊu M« hinh phÇn tö Chi tiÕt kÕt cÊu M« hinh phÇn tö


PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.1 Khái niệm PP PTHH
Mô hinh phần tử
Phần tử đặc biệt

Phần tử
có vết nứt

Phần tử
vô hạn

Phần tử
ban rang lợc

PP PTHH - Ch−¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
M« hinh phÇn tö
Siªu phÇn tö


PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
Hàm xấp xỉ (đa thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
Khái niệm
HXX là hàm mô ta gần đúng một đại lợng nào đó của
các điểm trong phần tử
Thờng là dạng đa thức --> đa thức xấp xỉ
Phơng pháp chuyển vị (lấy chuyển vị làm ẩn) -->
Hàm chuyển vị
Dạng thức
Bậc, số lợng các số hạng phụ thuộc vào
bậc tự do của phần tử
điều kiện
Hội tụ


PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
Hàm xấp xỉ (đa thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
Các dạng xấp xỉ
Xấp xỉ hằng số
f

f

fthực

f(a)

b
phần tử

1 =

fthực

f(x) = 1
f(a)

f(b)

a

Xấp xỉ tuyến tính

f ( a )+ f (b )
2

x

f

b
phần tử

fthực
f(x) = 1+ 2x+ 3x2

f(x) = 1+ 2x
f(a)

f(b)

a

Xấp xỉ bậc hai

x

f(b)

a

b
phần tử

x


PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
Hàm dạng
Véc tơ chuyển vị nút và lực nút của phần tử

y
ui

u(x)

uj

Ui

x

{}

e

j Uj

i
x

z

{}

e

a

i ui
= =

j u j

Véc tơ chuyển vị của 1 điểm trong phần tử

x ] 1 = [Q ]{}
2

U i
=
U j

ui 1 0 1
= =
= [C ]{}
u
1
a
2
j

u(x) = 1+ 2x

{ f } = [1

{F }

e

{} = [C ]1 {}e

{ f } = [Q][C ]1 {}e = [N ]{}e
[N]-Ma trận hàm dạng