TUYỂN CHỌN bất ĐẲNG THỨC từ các kỳ THI vào lớp 10

LATEX

LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– />
Tuyển chọn bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10
Môn Toán
Câu 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ 2; b ≥ 5; c ≥ 5 và 2a2 + b2 + c2 = 69.
Tính giá trị nhỏ nhất của P = 12a + 13b + 11c.
=2+x

Đặt b = 5 + y

.





c

=5+z
Khi đó từ giả thiết ta có
2x2 + y 2 + z 2 + 8x + 10y + 10z = 11
Giả sử max{y, z} > 1. Nếu x, y, z > 1 thì V T (∗) > 11
Suy ra 0 ≤ y, z ≤ 1.

Cấ



a






p

Hướng
 dẫn giải

(∗).



4x





≥ 2x2

Khi đó ta có 3y ≥ y 2

⇒ 4x + 3y + z ≥ 2x2 + y 2 + z 2





z

Sơ

Từ (∗) ta có x< 2 vì nếu trái lại thì V T (∗) ≥ 2.22 + 8.2 > 11.

≥ z2
⇒ 12x + 13y + 11z ≥ 2x2 + y 2 + z 2 + 8x + 10y + 10z = 11.


a





=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 155 khi b = 5
= 6.

nH





c

ọc

Suy ra P = 12a + 13b + 11c = 12x +13y + 11z + 144 ≥ 11 + 144 = 155.

Câu 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x > y và xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=

Hướng dẫn giải
Nhận xét

2x2 − 3xy + 2y 2
.
x−y

To
á

√
√
√
Cho hai số dương a, b ta có a + b − 2 ab =
a− b
M=

2

√
≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab, đẳng thức xảy ra khi a = b.

2x2 − 3xy + 2y 2
2(x − y)2 + xy
=

x−y
x−y

Do x > y và xy = 2 nên

Ç

1
M = 2 (x − y) +
x−y

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

å

≥ 4 (x − y)

1
= 4.
x−y

Trang 1


LATEX

LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi




xy






=2

x−y =







x


x



 xy

=2
1
⇔

x−y
x − y = 1

>y


=y+1

Kết luận: min M = 4 khi 


x = 2, y = 1
x = −1, y = −2.

Câu 3. Cho các số thực a, b ≥ 0, 0 ≤ c ≤ 1 và a2 + b2 + c2 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = ab + bc + ca + 3(a + b + c).

Cấ



p

y = 1, x = 2
⇔ 
⇔

 y2 + y − 2 = 0
y = −2, x = −1.

Sơ

Hướng dẫn giải
Ta có
Ä

ä

2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 3
nên

2P = (a + b + c)2 + 6(a + b + c) − 3.
Ä

ä

ọc

Từ đánh giá quen thuộc (a + b + c)2 ≤ 3 a2 + b2 + c2 ⇒ a + b + c ≤ 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
√
Ta cũng có (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) ≥ a2 + b2 + c2 = 3 ⇒ a + b + c ≥ 3.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c = 0 và một trong hai số a hoặc b bằng 0.
√
√
Từ đó suy ra 6 3 ≤ 2P ≤ 24 hay 3 3 ≤ P ≤ 12.

nH

√
√

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 12 tại a = b = c = 1 và giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 3 tại a = 3, b = c = 0
√
hoặc a = c = 0, b = 3.
Câu 4. Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác.
√ √ √
a) Chứng minh rằng khi đó a, b, c cũng là số đo 3 cạnh của một tam giác nào đó.
√
√
√
(a + b + c)2
b) Chứng minh rằng (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc >
.
2
Hướng dẫn giải

To
á

a) Giả sử c là cạnh lớn nhất trong tam giác, theo bất đẳng thức về độ dài 3 cạnh của một tam giác ta có a + b > c.
Khi đó, vì a, b, c luôn dương nên
cVậy

√

√
a+

b>

√

c<

√

a+b<

»

√

…

a + 2 ab + b =

√
√
a+ b

2

=

√

√
a+

b.

√
c, từ đó suy ra đpcm.

b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

√
√
√ √
√ √
√
√ √
(a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc ≥ 2 ab ab + 2 ac ac + 2 bc bc
= 2(ab + bc + ac).

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

(1)
Trang 2


LATEX

LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– />
Theo ý a) ta lại có

√

√
a+

b>

√ √
√ √
√
√
√
c, a + c > b, b + c > a nên

√
√
√ √
√
√
√ √
√
√
√ √
(a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc = a a( b + c) + b b( a + c) + c c( a + b)
√ √
√ √
√ √
>a a· a+b b· b+c c· c
= a2 + b 2 + c 2 .
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có

p

(2)

√
√
√
2 (a + b) ab + (a + c) ac + (b + c) bc > a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Cấ

= (a + b + c)2 .
Từ đó ta có đpcm.

Câu 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ab bc ca
+ + .
c
a
b

Sơ

P =

Hướng dẫn giải
ab bc ca
a2 b2 b2 c2 c2 a2
Ta có P =
+ +
⇒ P 2 = 2 + 2 + 2 + 2(a2 + b2 + c2 ).
c
a

b
c
a
b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số dương ta có:
 2 2
ab






c2


 2 2

b2 c 2
≥ 2b2
a2
bc
c 2 a2
+ 2 ≥ 2c2

2

a
b




2 2
2 2

a
b
c
a



+
≥ 2a2 .
2
2
b
c

nH

ọc

+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có

P 2 ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) = 3 ⇒ P ≥
√
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
.
3
√
√
3
Vậy min P = 3 khi và chỉ khi a = b = c =
.
3

√
3 (do P > 0).

To
á

3
1 và x + y + z = .
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 .
Câu 6. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x
Hướng dẫn giải

1, y

1, z

1. Tìm giá trị lớn nhất
Ta có 0
Ta có

x, y, z

1. Do vai trò x, y, z như nhau nên giả sử x

y

z. Khi đó 1

x

1
.
2

3
9
y + z = − x ⇒ y 2 + z 2 + 2yz = − 3x + x2
2
4
9
9
5
2
2
2
2
⇔ x + y + z = − 3x + 2x − 2yz
− 3x + 2x2 = + (x − 1)(2x − 1)
4

4
4
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

5
.
4
Trang 3


LATEX

LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– />5
.
4
Ç
å
5
1
Vậy max P = khi (x, y, z) = 1; ; 0 và các hoán vị x, y, z.
4
2

Suy ra P

2. Tìm giá trị nhỏ nhất

Cấ

p

 

1
1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có x2 +
2 x2 · = x.
4
4
1
1
2
2
Tương tự y +
y; z +
z.
4
4
3
3
x+y+z = .
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có x2 + y 2 + z 2 +
4
2
3
2
2
2
Hay x + y + z
.

2
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
2
3
1
Vậy min P = khi x = y = z = .
2
2
x2
y2
+
.
y−1 x−1

Sơ

Câu 7. Cho x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Hướng dẫn giải
Theo BĐT Cô-si (AM-GM, Cauchy) ta có
Ã

Ã

x2
y2
x2
y2
x2
y2

P =
+
≥2
·
=2
·
.
y−1 x−1
y−1 x−1
x−1 y−1

ọc

Lại có

x2
1
1
=x+1+
=x−1+
+ 2 ≥ 2 + 2 = 4.
x−1
x−1
x−1

nH

y2
≥ 4. Do đó P ≥ 8, dấu bằng xảy ra khi x = y = 2.
Tương tự cũng có

y−1
Vậy GTNN của P là 8 khi x = y = 2.
Câu 8. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =√

Xét

To
á

Hướng dẫn giải

√

Tương tự ta cũng có

x
y
z
√ 2
√
+
+
.
y +3
x2 + 3
z2 + 3

x
x

x
»
√ 2
=
=
x + xy + yz + zx
x2 + 3
(x + y)(x + z)
Ç
å
Ç
å
x
1
1
1
x
x
≤
+
=
+
.
2 x+y x+z
2 x+y x+z

y

Ç

å

1
y
y
√ 2
≤
+
.
2 y+x y+z
y +3
Ç
å
z
1
z
z
√
≤
+
.
2 z+x z+y
z2 + 3

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 4


LATEX

LIKE PAGE ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU– />
Khi đó ta có

1
P ≤
2

Ç

x
x
y
y
z
z
+
+
+
+
+
x+y x+z y+x y+z z+x z+y

å

3
= .
2

P =

»

a(b + 1) +

p

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
3
Vậy Pmax = khi x = y = z = 1.
2
Câu 9. Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
»

b(a + 1)

Sơ

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm
»
2a + b + 1 »
2b + a + 1
2a(b + 1) ≤
; 2b(a + 1) ≤
.
2
2
√
3(a + b) + 2
≤4

⇒ 2P ≤
2
√
⇒ P ≤ 2 2.


 2a = b + 1
⇔ a = b = 1.
Dấu "=" xảy ra ⇔ 
 2b = a + 1
√
Vậy P có GTLN là 2 2 khi a = b = 1.

Cấ

Hướng dẫn giải
»
»
√
Có 2P = 2x(b + 1) + 2b(a + 1).

Câu 10. Với x, y là các số dương thoả mãn x + y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33
.
xy

ọc

P = x2 + y 2 +

Hướng dẫn giải

x+y √
≥ xy ⇒ xy ≤ 9.
2
33
33
33
92
Từ giả thiết ta có P = (x + y)2 − 2xy +
= 36 − 2xy +
≥ 18 +
= . Đẳng thức xảy ra khi x = y = 3.
xy
xy
9
3
92
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .
3
x
y
Câu 11. Cho x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
+
.
y+1 x+1
Hướng dẫn giải
x2 + y 2 + x + y
(x + y)2 − 2xy + x + y
2 − 2xy

Ta có A =
=
=
.
(x + 1)(y + 1)
xy + x + y + 1
xy + 2
1
√
Vì x + y ≥ 2 xy ⇒ 4xy ≤ 1 ⇒ 0 ≤ xy ≤ .
4
1
Đặt xy = t thì 0 ≤ t ≤ .
4
2 − 2t
6
Ta có A =
= −2 +
2+t
2+t
1
9
Ta có 0 ≤ t ≤ ⇒ 2 ≤ t + 2 ≤ .
4
4



xy = 0





x = 0; y = 1
Suy ra A ≤ 1 ⇔ t + 2 = 2 ⇔ t = 0 ⇔  x + y = 1 ⇔ 


x = 1; y = 0.



x, y ≥ 0
Vậy Amax = 1 tại (x; y) = (0; 1) hoặc (x; y) = (1; 0).

To
á

nH

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 5