Huong dan giai de thi THPTQG 2018

Câu 46: (Đề thi THPT QG 2018)
x
Cho phương trình 5 + m = log 5 ( x − m) (*) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m ∈ (−20;20) để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20.
B. 19.
C. 9.

D. 21.

t
t
Đặt t = log 5 ( x − m) ⇒ x − m = 5 ⇒ m = x − 5
x
t
x
t
Phương trình trở thành: 5 + ( x − 5 ) = t ⇔ 5 + x = 5 + t

(1)

Xét hàm đặt trưng f (u ) = 5 + u với u ∈ ¡
u

f '(u ) = 5u ln 5 + 1 > 0, ∀u ∈ ¡ , do đó hàm số f (u ) đồng biến trên ¡
x
(1) ⇔ f ( x) = f (t ) ⇔ x = t ⇔ x = log 5 ( x − m) ⇔ m = x − 5 (**)
Để pt (*) có nghiệm thì pt (**) phải có nghiệm
x
Xét hàm số f ( x ) = x − 5 với x ∈ ¡ , khi x → ±∞ dễ thấy f ( x) → −∞ , suy ra pt (**) có

nghiệm thì

m ≤ max f ( x)
x∈¡

f '( x) = 1 − 5 x ln 5 ; f '( x) = 0 ⇔ x = log 5 (log 5 e)
x
x
x
Nếu x < log 5 (log5 e) ⇔ 5 < log 5 e ⇔ 5 ln 5 < log 5 e.ln 5 ⇔ 5 ln 5 < 1 thì f '( x) > 0

x
x
x
Nếu x > log 5 (log5 e) ⇔ 5 > log 5 e ⇔ 5 ln 5 > log5 e.ln 5 ⇔ 5 ln 5 > 1 thì f '( x) < 0

Đặt a = log 5 (log5 e)
Bảng biến thiên

x
f '( x)
f ( x)

Khi đó

−∞

+

a
0
f (a )

+∞
−

−∞

−∞

m ≤ max f ( x ) = f (log 5 (log 5 e)) = −0.917018907
x∈¡

m nguyên, m ∈ (−20;20) và m ≤ −0.917018907 chọn m ∈{−19; −18;...; −1}

Vậy có 19 giá trị nguyên của m , chọn đáp án B


Câu 43: (Đề thi THPT QG 2018)
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

1728
A. 4913 .

1079
B. 4913 .

23

C. 68 .

[ 1;17] . Xác suất
1637
D. 4913 .

3
Mỗi bạn có 17 cách viết nên số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 17.17.17 = 17 = 4913 .
Các số tự nhiên từ 1 đến 17 được chia thành 3 nhóm:
• Nhóm số 1: Các số chia hết cho 3 bao gồm 3; 6; 9; 12; 15.
• Nhóm số 2: Các số chia hết cho 3 dư 1 bao gồm 1; 4; 7; 10; 13;16.
• Nhóm số 3: Các số chia hết cho 3 dư 2 bao gồm 2; 5; 8; 11; 14; 17.

Theo yêu cầu bài toán ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hợp sau:
3
Trường hợp 1: Cả 3 bạn viết được số thuộc nhớm 1 có 5.5.5 = 5 cách
3
Trường hợp 2: Cả 3 bạn viết được số thuộc nhớm 2 có 5.5.5 = 6 cách

3

Trường hợp 3: Cả 3 bạn viết được số thuộc nhớm 3 có 6.6.6 = 6 cách
Trường hợp 4: Mỗi bạn viết được 1 số thuộc 1 nhóm khác nhau có 5.6.6. 3! = 1080 cách
Lưu ý: Không thể xảy ra trường hợp 2 bạn viết cùng 1 nhóm, bạn thứ 3 viết khác nhóm vì lúc ấy
tổng 3 số không chia hết cho 3.
Gọi A là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3”,

n( A) = 5 + 6 + 6 + 1080 = 1637 cách. Xác suất:
3

3

3

P ( A) =

n( A) 1637
=
n(Ω) 4913 , chọn đáp án D.


Câu 44 Mã đề 101: (Đề thi THPT QG 2018)
2
2
Cho a > 0, b > 0 thoả mãn log 3a + 2b+1 (9a + b + 1) + log 6 ab+1 (3a + 2b + 1) = 2 . Giá trị của
a + 2b bằng

A.6.

B.9.

7
C. 2 .

5
D. 2 .

2
2
2 2

Để ý a > 0, b > 0 và 9a + b ≥ 2 9a .b = 6ab (Bđt Cô si)
Ta có

log 3a + 2b+1 (9a 2 + b 2 + 1) + log 6 ab +1 (3a + 2b + 1) ≥ log 3a +2b +1 (6ab + 1) + log 6 ab+1 (3a + 2b + 1)

≥ 2 log 3a + 2b+1 (6ab + 1).log 6 ab+1 (3a + 2b + 1)
≥2
(Áp dụng bđt Cô si và tính chất log a b.logb a = 1 )
Theo giả thiết dấu bằng phải xảy ra, khi đó:

3a = b (do a > 0, b > 0)

9a = b
1
log
(6
ab
+
1)
=

3
a
+
2
b
+
1

log3a + 2b+1 (6ab + 1)

log 3a + 2b+1 (6ab + 1) = log 6 ab+1 (3a + 2b + 1) ⇔ 
2

2

3a = b (do a > 0, b > 0) 3a = b (do a > 0, b > 0)
 2

log 3a+ 2b+1 (6ab + 1) = 1 6ab + 1 = 3a + 2b + 1

⇔
⇔

1

a = 2
3a = b (do a > 0, b > 0) 
7
b = 3
 2
a + 2b =
2
b
+
1
=
3
b
+
1


2 . Từ đó
2 , chọn đáp án C.
⇔
⇔