BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (80.49 KB, 30 trang )
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A.
1.
NGUYÊN HÀM
Định nghĩa. Cho hàm số
LÝ THUYẾT
xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn
của R). Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho
gọi là nguyên hàm của hàm số
thì F(x) được
trên K.
Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số
cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng
với C là hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Tính chất của nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm
Chú ý: Công thức tính vi phân của f(x) là
,
. Ví dụ
với u, t là hàm theo biến x.
Với u là một hàm số
Các phương pháp tính nguyên hàm
•
Phương pháp 1. Sử dụng bảng nguyên hàm:
Ví dụ 1: Tính
Lời giải
Ta có
Ví dụ 2: Tính
trên khoảng
Lời giải
Ta có
Ví dụ 3: Tính
trên khoảng
Lời giải
Ta có
Ví dụ 4: Tính
Lời giải
Ta có
•
−
Phương pháp 2. Đổi biến số
Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta th ường s ử d ụng
phương pháp nguyên hàm từng phần.
−
Thứ tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt là lô đa l ượng mũ),
sau khi đặt u thì toàn bộ lượng còn lại đặt là dv.
Ví dụ 7: Tính
Lời giải
Đặt
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Ví dụ 8: Tính
Lời giải
Đặt
, nguyên hàm viết lại thành:
, tiếp tục dùng nguyên hàm từng phần để giải quyết.
Đặt
, áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:
Chú ý: Khi đặt
ta tính v theo công thức
, chắc hẳn nhiều
em sẽ hỏi sau khi tính xong sẽ có thêm hằng số C nhưng tại sao ở các ví dụ trên
lại không thấy C, thật ra là người ta đã chọn
.
2. TÍCH PHÂN
Định nghĩa. Cho hàm số
−
Liên tục trên đoạn
thỏa mãn:
−
F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn
Lúc đó hiệu số
.
được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu là
Chú ý:
−
a, b được gọi là 2 cận của tích phân.
−
thì
−
thì
−
Tích phân không phụ thuộc vào biến số tức là
Tính chất của tích phân.
−
−
với
với k là hằng số khác 0.
−
Chú ý: Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau
đó thay cận vào theo công thức
.
B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Ví dụ 1: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt
Đổi cận:
Ta được
Đổi cận:
Khi đó:
Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt
. Suy ra
. Do đó
D.
Suy ra
Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Có
Đặt
Đổi cận:
Suy ra
Đặt
Vậy
Chọn đáp án C
, suy ra
D.
Ví dụ 6: Tính tích phân sau
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn đáp án C
Chú ý:
Ví dụ 7: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Đặt
Chọn đáp án A
Ví dụ 8: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt
Đổi cận:
Chọn đáp án A
Ví dụ 9: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Đặt
ta được
Do đó
Chọn đáp án C
Ví dụ 10: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt:
. Suy ra
Khi đó:
Chọn đáp án D
Ví dụ 11: Tính tích phân sau
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Chọn đáp án A
Ví dụ 14: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt:
Đổi cận:
Chọn đáp án A
Ví dụ 15: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt
D.
Suy ra
Vậy
. Chọn đáp án A.
Ví dụ 16: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
Tính:
Tính:
Vậy:
Chọn đáp án A
Chú y:
Ví dụ 17: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Ta có:
Chọn đáp án
Ví dụ 18: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Tính
Đặt
Vậy
Chọn đáp án B
D.
Ví dụ 19: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
*
*
=>
Chọn đáp án D
Ví dụ 20: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Ta có:
+
D.
+ Tính
Đặt
Vậy
Chọn đáp án A
Ví dụ 21: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt
Suy ra
Chọn đáp án C
D.
Ví dụ 22: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Ta có:
Với
Với
Đặt
Vậy
Chọn đáp án C
Ví dụ 23: Tính tích phân
D.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt
Chọn đáp án A
Ví dụ 24: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Đặt
Chọn đáp án A
Ví dụ 25: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn đáp án A
Chú ý:
, chọn
D.
Ví dụ 26: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Ta có:
Tính:
Tính:
Đặt
Do đó:
Vậy:
Chọn đáp án B
Ví dụ 27: Tính tích phân
D.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tính:
Tính
Đặt
Vậy
Chọn đáp án A
Ví dụ 28: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Đổi cận:
Vậy
Chọn đáp án C
Ví dụ 31: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Do đó:
Chọn đáp án D
Ví dụ 32: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn đáp án A
Ví dụ 33: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt
Khi đó:
D.
Chọn đáp án C
Ví dụ 34: Tính tích phân
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tính
Tính
Đặt
Vậy
Chọn đáp án B
Ví dụ 35: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
D.
Ta có:
Tính
. Đặt
Vậy
Chọn đáp án D
Đặt
ta có :
Suy ra:
Chọn đáp án D
Ví dụ 39: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
+ Tính được
D.
+ Tính được
+ Tính đúng đáp số
Chọn đáp án B
Ví dụ 40: Tính tích phân
A.
B.
C.
Lời giải
Đặt
Vậy
Chọn đáp án C
D.
