SKKN vận DỤNG PHÉP TƯƠNG tự vào dạy học CHỦ đề HÌNH học KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ học tập môn TOÁN CHO học SINH lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP
MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT

Người thực hiện: Trịnh Trọng Trung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Cải cách giáo dục sao cho phù hợp với điều kiện thực tiễn của Việt Nam
nhằm đi kịp với xu hướng phát triển của thế giới luôn là bài toán lớn mà để giải
được nó đòi hỏi phải có sự vào cuộc cùng quyết tâm lớn của toàn Đảng, toàn
dân ta. Một trong những bước quan trọng của cải cách giáo dục đó là đổi mới
phương pháp dạy và học, trong đó thay đổi tư duy thói quen làm việc lỗi thời
của giáo viên bằng phương pháp dạy học mới là một khâu quan trọng nhất. Ý
thức được yêu cầu và trách nhiệm đó, bản thân tôi trong quá trình dạy học môn
toán nói chung, nội dung hình học không gian nói riêng đã luôn cố gắng tìm tòi
những cách thức tổ chức dạy học, những phương pháp mới phù hợp để giúp học
sinh học tập một cách có hiệu quả nhất.
Chủ đề hình học không gian luôn là một nội dung dạy học có rất nhiều ý
nghĩa, không những giúp học sinh phát huy rất tốt năng lực tư duy, sáng tạo

trong học tập mà còn giúp các em giải quyết được nhiều vấn đề thực tiễn thiết
thực. Tuy nhiên nội dung hình không gian lại gây khó khăn cho các em học sinh
hơn các nội dung khác của môn toán, bởi ngoài các kĩ năng toán học như các nội
dung khác thì khi học hình không gian các em phải luôn phát huy trí tưởng
tượng của mình, cái cốt lõi cái chính của vấn đề cần giải quyết thường bị che đi
đòi hỏi các em phải có phương pháp phù hợp mới tìm ra được. Vì thế rất nhiều
học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi thường ngại học hình không gian. Nắm
được thực trạng như vậy trong quá trình dạy học tôi luôn quan tâm làm sao để
các em mất dần đi cảm giác ngại hay sợ học hình không gian mà thay vào đó là
yêu thích, đam mê nội dung học tập này.
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện cho
học sinh các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh,
phân tích, tổng hợp.... Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến
thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong
học tập môn toán mà còn các môn học khác.Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên,
phép tương tự là rất phổ biến. Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so
sánh, đối chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó. Phép tương tự có mối quan
hệ khăng khít với các thao tác tư duy khác. So sánh là thành tố tiên phong của
phép tương tự. Phép tương tự có thể coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá
vì để khái quát hoá người ta phải chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang một
tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc
điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát.
Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụng
phép tương tự trong dạy học chủ đề hình học không gian nhằm nâng cao
hiệu quả học tập môn toán cho học sinh lớp 11 THPT”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Khai thác hoạt động tương tự nhằm vào hướng tiếp cận phát hiện từ đó đề xuất
các biện pháp ứng dụng hoạt động này vào việc tìm tòi phát hiện kiến thức và phát
hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian.
2

1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Dạy học hình học không gian lớp 11-THPT theo phương thức tiếp cận phát
hiện thông qua khai thác vai trò của phép tương tự trong phát hiện vấn đề và
phát hiện cách giải quyết vấn đề.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, các SKKN của
đồng nghiệp liên quan đến đề tài.
+ Nghiên cứu lý luận về đổi mới trong dạy học môn Toán nói chung và
trong dạy học hình học không gian nói riêng theo hướng giúp học sinh hoạt
động phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề.
+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 11, mục đích yêu cầu dạy
học hình học không gian ở trường phổ thông.
- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó
khăn của học sinh trong việc liên hệ những kiến thức tương tự giữa hình học
không gian và hình học phẳng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết
vấn đề trong dạy học hình học không gian lớp 11.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Một số vấn đề về cơ sở lí luận của đề tài.
2.1.1. Cơ sở giáo dục học
Phép tương tự, theo từ điển Wester, được định nghĩa như là “sự so sánh
giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài
khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để so sánh, được
gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ sử
dụng phép tương tự được gọi là đích. Sử dụng phép tương tự là một quá trình
liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn và đích.

Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể, khái quát
lên thành những chân lý tổng quát. Quy nạp có thể dẫn đến các kết luận sai vì
vậy không cho phép dùng quy nạp để chứng minh. Cho nên quy nạp có thể dùng
để phát hiện vấn đề, mày mò, dự đoán ra chân lý, sau đó dùng suy diễn để chứng
minh [4, tr119-120]. Phép tương tự là phép suy luận quy nạp, không phải là một
suy luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thiết, thực tế đúng
đắn của chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt.
Vì vậy, khi đánh giá một tương tự cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có
cấu trúc nhất quán đi nữa, tính đúng đắn của mục tiêu vẫn có thể khác so với các
kết luận dự kiến. Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu
các kết luận của phép tương tự có liên hệ đến mục tiêu hiện tại hay không. Một
tương tự có thể được cấu tạo suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đến
mục tiêu. Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu.
Qua các phân tích trên, xin đưa ra một tóm tắt về phép tương tự như sau:
Phép tương tự là phép suy luận về sự tương ứng các mối quan hệ từ đối tượng
trong miền cơ sở đến đối tượng trong miền mục tiêu. Vì thế, để đạt được hiệu
3


quả khi sử dụng phép tương tự đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực cơ
sở. Do đó, kiến thức mà học sinh đã học đóng một vai trò quan trọng trong sự
hiểu biết đúng đắn về các khái niệm mới. Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tự
còn phù hợp với quan điểm học tập tích cực, có nghĩa là, học tập là một quá
trình hoạt động, xây dựng kiến thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có. Nói
cách khác, học tập về cơ bản có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những
ý tưởng mới và những ý tưởng hiện có.
Ví dụ 1: Đường tròn trong mặt phẳng và mặt cầu trong không gian có tính
chất chung (sự tương tự) đó là khoảng cách từ tâm đến một điểm trên đường
(mặt) đó chính bằng bán kính. Một tam giác bất kì luôn có một đường tròn ngoại
tiếp, mà tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian. Vậy ta

có thể dự đoán rằng có thể: Một sứ diện bất kì luôn có duy nhất một mặt cầu
ngoại tiếp.
Theo Pôlya [16,tr 19- 20], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể
nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và ở mức độ được
phản ánh bằng khái niệm. Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xác hơn một
chút. Theo Pôlya, sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhau
khác là ở ý định của người đang suy nghĩ. Những đối tượng giống nhau phù hợp
với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó
các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem
những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự. Và nếu bạn
đạt tới những khái niệm rõ ràng thì tức là bạn đã làm sáng tỏ sự tương tự.

2.1.2. Cơ sở tâm lý học
Mỗi khi thay đổi một thói quen học tập học sinh đòi thường gặp nhiều khó
khăn, nếu khó khăn không được đơn giản hóa học sinh sẽ rất ngại phải tiếp tục
học tập nội dung đó. Đối với nội dung “Hình học không gian” học sinh đã quen
với tư duy, thói quen giải các bài toán hình học phẳng, khi tiếp cận với hình học
không gian học sinh gặp ngay khó khăn từ bài học đầu tiên như: Vẽ hình sao cho
đúng, tính chất nào đúng trong hình phẳng mà vẫn đúng hoặc không đúng trong
không gian...
Như vậy ngay ban đầu khi tiếp cận để học hình học không gian học sinh dễ
bị choáng ngợp bởi nhiều nội dung mới mà thói quen tư duy, tưởng tượng hay kĩ
năng vốn có không còn phù hợp khi học hình không gian. Hơn nữa các em có
thể ngại học hình không gian khi còn chưa bắt đầu học nội dung này do những
học sinh đã học trước đó nói lại. Vì thế nếu giáo viên không nắm bắt được tâm
lý này, dạy học theo lối áp đạt kiến thức để bắt buộc các em phải học thì tâm lý
đó rất dễ dẫn đến việc học sinh ngại, sợ học hình không gian. Ngược lại nếu giáo
viên tìm được cách để giúp các em hiểu rằng học hình không gian không khó
khăn như nhiều người nghĩ, bởi hình không gian chính là những hình ảnh của
những vật thể ngay xung quanh chúng ta (như bàn, ghế, căn phòng học....) nó rất

thiết thực và gần gũi với các em. Tiếp đến qua từng nội dung dù là học lý thuyết
hay bài tập giáo viên tìm cách để học sinh tìm được những yếu tố tương tự giữa
hình phẳng và hình không gian, giúp các em phát triển được bài toán phẳng đã
biết thành bài toán không gian, bóc tách được các yếu tố không gian để giải
4


quyết riêng bài toán phẳng thì từng bước giáo viên sẽ giúp học sinh yêu thích
nội dung học tập này.

2.2. Thực trạng của đề tài.
Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra
từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn huyện Yên Định; tổng
hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin đại chúng
tôi nhận thấy trong việc dạy và học chủ đề hình học không gian tồn tại những
thực trạng sau:
+ Đối với giáo viên:
- Nhiều giáo viên cảm thấy ít hứng thú khi dạy chủ đề hình học không gian
dẫn đến chưa thực sự tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đối
tượng học sinh.
- Chưa phát huy hiệu quả tính chủ động, sáng tạo của học sinh. Ít khuyến
khích học sinh đặt mối liên hệ tương ứng giữa hình học phẳng và hình học
không gian trong quá trình học tập nội dung hình không gian .
- Nhiều giáo viên chưa quan tâm nhiều đến việc giúp học sinh xây dựng bài
toán không gian xuất phát từ các bài toán phẳng đã biết hay việc bóc tách các
yếu tố không gian để giải quyết bài toán phẳng đơn thuần. Qua đó giáo viên
chưa giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề học hình không gian dẫn đến tình trạng
các em gặp nhiều lúng túng khi ghi nhớ tính chất hay làm các bài tập áp dụng.
+ Đối với học sinh:
- Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học hình không

gian. Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình học
không gian mà chỉ tập chung vào các chủ đề khác.
- Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học không gian của nhiều học sinh xuất
phát từ việc nhận thức chủ đề này chỉ chiếm một phần nhỏ trong các kì thi đại
học, nhiều học sinh cho rằng có thể học tốt các chủ đề khác để khi thi sẽ bù cho
chủ đề hình học không gian.
- Đa số học sinh chưa biết cách tự làm đơn giản hóa nội dung học tập hình
không gian bằng cách phán đoán kết quả từ sự tương tự của các nội dung hình
học phẳng. Việc bóc tách các yếu tố không gian để đưa bài toán không gian
thành bài toán phẳng học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
- Học sinh gặp nhiều khó khăn, dễ bị nhầm lẫn trong việc học tập, ghi nhớ
các tính chất của hình học không gian. Nhiều học sinh vận dụng tương tự sai các
tính chất của hình học phẳng áp dụng cho hình học không gian.

2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề.
Nhằm giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề khi học hình không gian, từng
bước giúp các em học sinh yêu thích học hình không gian bằng cách vận dụng
phép tương tự, tôi đã thực hiện theo các giải pháp như sau:
2.3.1. Biện pháp 1: Sử dụng phép tương tự vào học tập, củng cố kiến thức lí
thuyết hình không gian.
Từ năm học 2016 – 2017 Bộ GD&ĐT đã quyết định sẽ kiểm tra, đánh giá
kết quả học tập môn Toán của học sinh THPT bằng hình thức thi trắc nghiệm.
Một số dạng bài toán hình không gian sẽ giảm bớt hoặc ít được ưu tiên (như bài
5


toán chứng minh) bên cạnh đó sẽ ưu tiên những bài toán có tính liên môn, thực
tiễn, những bài toán tính toán với số liệu định lượng…Với hình thức thi như vậy
thì với riêng nội dung hình không gian học sinh phải xử lý thật nhanh nhưng
phải thật chính xác, những kĩ năng ban đầu như vẽ hình rồi định hướng cách xử

lý bài toán là một trong những yếu tố quan trọng. Tuy nhiên cái quan trọng đầu
tiên giáo viên cần phải quan tâm, giúp học sinh thực hiện thật tốt đó là nắm thật
vững, cũng cố và khắc sâu kiến thức lí thuyết hình không gian. Những ví dụ sau
đây minh họa cho việc vận dụng phép tương tự vào học tập định lý, tính chất
hình không gian hiệu quả:
Ví dụ 2: Định lý về sự biểu thị một véc tơ qua ba vec tơ không đồng phẳng
Định lý:“Nếu a , b , c là ba véc tơ không đồng phẳng thì mỗi véc tơ d ta
tìm được các số m,n,p sao cho d = ma + nb + pc . Hơn nữa, các số m, n, p là duy
nhất.”
Để học sinh nhận biết được định lý và cách chứng minh định lý, giáo viên
sử dụng sự tương tự giữa ba véc tơ đồng phẳng trong không gian với hai véc tơ
cùng phương trong mặt phẳng.
Sau khi dạy định nghĩa ba véc đồng phẳng, giáo viên đã khẳng định sự
tương tự trong sự hình thành khái niệm giữa ba véc tơ đồng phẳng trong không
gian với hai véc tơ cùng phương trong mặt phẳng.
Giáo viên có thể đặt ra câu hỏi để học sinh nhớ lại kiến thức cũ:
GV: Với hai véc tơ không cùng phương, hãy nhắc lại một số tính chất của
nó?
HS: Với hai véc tơ không cùng phương bất kỳ a , b . Mọi véc tơ bất kì c ta
đều biểu diễn được qua hai véc tơ đó và sự biểu thị là duy nhất.
- Nếu HS chưa phát biểu đầy đủ các tính chất thì giáo viên có thể phát vấn
cho HS khác bổ sung.
GV: Điều đó có nghĩa là gì?
HS: Tồn tại hai số m, n sao cho c = m a +n b , trong đó m, n là duy nhất.
GV khẳng định: Đúng rồi, các em đã nhớ chính xác về tính chất của hai véc
tơ không cùng phương, giáo viên vẽ hình lên bảng.
GV: Để chứng minh tính chất này ta làm như thế nào?
HS: Ta sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành bằng cách dựng
hình bình hành OABC trong đó OB = c ; véc tơ OA cùng phương với véc tơ a ;
véc tơ OC cùng phương với véc tơ b .

GV: Thế bây giờ ta chuyển sang không gian, theo các em ta có tính chất
tương tự như vậy không? Hãy thử phát biểu tính chất tương tự?
HS: Cho 3 véc tơ không đồng phẳng, khi đó mọi véc tơ bất kỳ đều biểu diễn
được qua 3 véc tơ đó và sự biểu diễn là duy nhất.
GV: Điều đó có nghĩa là gì? Ta biễu diễn như thế nào?
HS: d = ma + nb + pc , (m, n, p) là duy nhất.
GV: Hãy chứng minh tính chất trên.
HS: Suy nghĩ
6


GV: Gợi ý: Ta có thể vận dụng sự tương tự trong chứng minh trên được
không? Trước hết ta làm điều gì? Cái gì tương tự với hình bình hành?
HS: Hình bình hành trong mặt phẳng tương tự với hình hộp trong không
gian.
GV: Đúng rồi, ta hãy vận dụng sự tương tự đó để chứng minh tính chất trên.
HS chứng minh.
Dựng hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 trong đó d = AC1 ; véc tơ AB cùng phương với
a , véc tơ AD cùng phương với b , véc tơ AA1 cùng phương với c . Khi đó theo
quy tắc đường chéo của hình hộp ta có: AC1 = AB + AD + AA1
= m a + nb + p c
Hay d = ma + nb + pc
Sự biểu diễn đó là duy nhất vì nếu tồn tại bộ số khác m1 , n1 , p1 sao cho
d = m1 a + n1 b + p1 c

Dẫn đến: ma + nb + pc = m1 a + n1 b + p1 c ⇔ (m − m1 )a = (n1 − n)b + ( p1 − p)c
Nếu m ≠ m1 thì ba véc tơ đó đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Định lý Talet trong không gian
Định lý: “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ

những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.”
GV : Ta đã học định lý Talet trong mặt phẳng. Hãy nêu định lý Talet trong
mặt phẳng?
HS: Hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng chắn trên ba đường thẳng song
song những đoạn tỉ lệ.
GV: Hãy thiết lập sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian
trong định lý trên?
HS: Mặt phẳng tương tự đường thẳng
Khi đó ta có thể nghĩ đến hai cách phát biểu:
• “Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tỷ lệ”
• “Ba mặt phẳng song song chắn trên hai mặt phẳng bất kỳ những đoạn tỷ
lệ”
GV: Theo các em trong hai mệnh đề vừa rút ra ở trên, mệnh đề nào đúng?
HS: Mệnh đề 2 không đúng vì mặt phẳng chắn mặt phẳng sẽ tạo ra đường
giao tuyến chứ không thể tạo ra những đoạn tỷ lệ được.
GV: Đúng rồi, nội dung thứ nhất chính là nội dung của định lý Talet trong
không gian. Bây giờ ta hãy chứng minh định lý trên?
GV: Hãy đưa vào những ký hiệu thích hợp?
HS: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt
mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C ; đường thẳng b cắt (P), (Q), (R) lần
lượt tại A ',B',C' .
AB A 'B'
=
Chứng minh rằng:
(định lý Talet trong không gian).
BC B'C'
7


a

b

b

a
A

A'

A'

A

P

P

B

B'

B"

B

Q

B'

Q

C

R

a'

C'

C

R

C"
C'

GV: Để chứng minh định lý này ta làm như thế nào? Ta có thể sử dụng định
lý Talet trong mặt phẳng được không?
HS: Được, bằng cách phân ra hai trường hợp a // b (khi đó ta có thể đưa về
bài toán phẳng) và a không song song với b.
Trường hợp 1: Nếu a // b
Khi đó ta có A,B,A ',B' đồng phẳng và AB // A 'B'
Gọi (α) = mp(a,b) thì (α) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến
AA ',BB' , suy ra AA '// BB' .
Vậy AA 'B'B là hình bình hành nên suy ra AB = A 'B'
Tương tự ta có: BC = B'C'
AB A 'B'
=
Vậy:

BC B'C'
Trường hợp 2: Nếu a không song song với b
Từ A ' dựng đường thẳng a '// a , a ' cắt (Q) và (R) tại B", C"
Ta có AB = A 'B" , BC = B"C"
Vì (Q) // (R) nên B'B"// C'C" ⇒ ∆AB ' B '' ~ ∆AC ' C ''
A 'B" A 'B' AB
⇒
=
=
B"C" B'C' BC
AB A 'B'
=
Vậy
.
(đpcm)
BC B'C'
Ví dụ 4: Giúp học sinh nắm được Các yếu tố tương tự của tam giác và
tứ diện, của tam giác vuông và tứ diện vuông từ đó tự xây dựng và nắm vững
các tính chất tương tự.
+ Trong khi dạy học hình không gian giáo viên luôn hướng để học sinh đặt
mối liên hệ tương tự giữa các yếu tố phẳng với các yếu tố không gian từ đó
giúp học sinh dự đoán được những tính chất tương tự. Chẳng hạn một số yếu
tố tương tự như sau:
Đường cao của tam giác
Đường cao của tứ diện
Trung tuyến của tam giác
Trọng tuyến của tứ diện
Độ dài cạnh
Diện tích mặt
8

Diện tích tam giác
Góc tam giác

Thể tích tứ diện
Góc giữa mặt bên và đáy

Hay sự tương tự giữa tam giác vuông trong mặt phẳng và tứ diện vuông
trong không gian giúp học sinh dự đoán, chứng minh rồi khắc sâu được các tính
chất thường dùng khi giải các bài toán không gian.
Tam giác vuông ABC (Vuông tại A)
1
AH

2

=

1
AB

2

+

1
AC

2

(H là chân đường cao hạ từ A)

Tứ diện vuông OABC
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2

(H là chân đường cao hạ từ O đến mặt
phẳng (ABC)

ah=bc

OH .S ∆ABC = S ∆OAB .S ∆OAC .S ∆OBC

AB 2 = AH .BC

S ∆2OAB = S ∆HAB .S ∆ABC

BH = AB cos B

S ∆HAB = S ∆ABC cos α

cos 2 B + cos 2 C = 1

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1 với α , β , γ lần

lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC)
với (ABC)

(5)

Như vậy bằng cách khéo léo vận dụng phép tương tự giáo viên sẽ giúp học
sinh không những cũng cố kiến thức hình phẳng đã học mà còn giúp họ tự tìm ra
những tính chất tương tự trong không gian. Qua đó học sinh sẽ dễ dàng hơn
trong việc ghi nhớ các định lý, tính chất và có thể vận dụng bất cứ khi nào cần
đến.
2.3.1.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hoá và tương tự hoá
Ta nhận thấy rằng không thể nói theo ngôn ngữ toán học cao cấp cho học
sinh thấy sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian, GV cần
chuyển ngôn ngữ toán cao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông. Ở trên ta đã sử
dụng phương pháp trực quan cho học sinh thấy được sự tương tự giữa đường
thẳng và mặt phẳng, giữa tam giác và tứ diện, ..., Tuy nhiên, ngoài cách trên, để
học sinh xác lập được sự tương ứng này, và để cho kiến thức đến tự nhiên, ta có
thể sử dụng thao tác đặc biệt hoá, xem đối tượng hình học này là trường hợp
riêng của đối tượng kia, sau đó yêu cầu học sinh dự đoán và chứng minh tính
chất vừa dự đoán. Như vậy ở đây cần bồi dưỡng và kết hợp hai thao tác tư duy
đặc biệt: đặc biệt hoá để liên hệ kiến thức trong phẳng và tương tự hoá để đề
xuất và giải quyết các bài toán không gian. Cụ thể có thể minh hoạ tư tưởng này

qua tình huống dạy học sau:
Ví dụ 5 :
9


Hình thành cho học sinh khả năng liên tưởng giữa tứ diện và tam giác bằng
cách: Đặc biệt hoá tứ diện khi có hai đỉnh trùng nhau, ta được hình tam giác,
như vậy, ta xem tam giác là trường hợp riêng của tứ diện trong không gian. Từ
đó, xây dựng các tính chất của tứ diện.
Ví dụ : từ tính chất trọng tâm tam giác để hình thành các tính chất tương ứng
của trọng tâm tứ diện.
Hỏi: Hãy nêu các tính chất trọng tâm tam giác ABC mà em biết?
HS: G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: uuur uuur uuur r
1. GA + GB + GC = 0
OA + OB + OC = 3OG ; với mọi điểm O
2. G chia trung tuyến có tỉ lệ :

GM GN GP 1
=
=
=
GA GB GC 2

3. G chia tam giác ABC thành 3 tam giác GAB, GAC,GBC có diện tích
bằng nhau.
Hỏi: Nếu xem tam giác là trường hợp đặc biệt của tứ diện có hai đỉnh trùng
nhau, em có dự đoán gì về trọng tâm của tứ diện?
HS: Học sinh sẽ dự đoán những tính chât tương ứng, đồng thời bổ sung điều
kiện (nếu cần).

Ta có thể hình
dung dự đoán như sau: trong tứ diện ABCD
uuu
r uuur uuur uuur r
1’. GA + GB + GC + GD = 0
OA + OB + OC + OD = 4OG , với mọi điểm O
2’. G chia trọng tuyến có tỉ lệ :
GG1 GG2 GG3 GG4
=
=
=
=k
GA
GB
GC
GD

với G1, G2, G3, G4 là trọng tâm các mặt đối diện A, B, C, D.
3’. G chia tứ diện ABCD thành 4 tứ diện G.ABC,G.DAB,G.CBD, G.CAD
có thể tích bằng nhau.
Việc chứng minh những dự đoán trên và khẳng định lại tính đúng đắn của
k là một sự tương tự từ mặt phẳng sang không gian. Điều này có thể thực hiện
nhờ chính quá trình chứng minh tính chất đã có trong mặt phẳng, tức là vận
dụng cách chứng minh trong phẳng để chứng minh trong không gian. Sau khi
cho học sinh kiến tạo lại cách chứng minh trong phẳng, yêu cầu học sinh phát
hiện xem tương ứng với các phương pháp đó có thể chứng minh bài toán mở
rộng hay không.
Ví dụ 6:
Đặc biệt hoá tứ diện “OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau” với trường hợp C trùng B. Khi đó xem tam giác OBC là một trường

hợp riêng của tứ diện. Lúc này ta có: Tam giác OBC là tam giác vuông tại
O.
Hỏi: Em hãy nêu các tính chất của một tam giác vuông?
HS1. Tam giác OBC vuông tại O có đường cao OH.
Khi đó ta có hệ thức:

1
1
1
=
+
.
2
2
OH
OB OC 2
10


HS2. Định lí Pitago: BC 2 = OB 2 + OC 2
Hỏi: Em có thể dự đoán tính chất tương tự trong tứ diện được hay không?
Nhờ thiết lập sự tương tự hoá, học sinh có thể dự đoán và phát hiện những tính
chất tương tự với hai tính chất trên như sau:
HS: 1’.Tứ diện OABC vuông tại O có đường cao OH hạ xuống mặt đáy
1
1
1
1
=
+

+
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2
2’. Định lí Pitago: S 2 = S12 + S2 2 + S32 , với S1, S2, S3, S là diện tích các tam

(ABC). Khi đó ta có hệ thức:

giác OBC, OCA, OAB, ABC.
Việc chứng minh tính đúng đắn của hai dự đoán trên, có thể vận dụng ngay
bài toán trong phẳng mà giải quyết.
Vậy, nhờ sự chuyển hoá liên tưởng, dựa trên hệ thống kiến thức đã học
trong phẳng, ta có thể xây dựng được hệ thống kiến thức tương ứng trong hình
học không gian.
2.3.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện các hướng chuyển
bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua tương tự hóa
Đối với học sinh, việc học và giải quyết bài toán không gian rất khó do sự
trừu tượng của nó. Vì vậy việc chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng
sau đó để giải bài toán không gian lại xem bài toán phẳng là một mô hình nó có
ý nghĩa rất lớn như:
- Tạo nên chuỗi kiến thức liên kết từ hình học phẳng và hình học không gian
- Rèn luyện thao tác chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng nhằm làm
đơn giản hoá vấn đề.
Ví dụ 7: Cho tam diện ba góc vuông Sxyz. Lần lượt trên Sx, Sy, Sz ta lấy các
điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a. Trên đường cao SO của tứ diện SABC
lấy điểm O ' sao cho SO ' = kSO ( k là hằng số)
Một mặt phẳng (α ) bất kỳ qua O ' , lần lượt cắt Sx, Sy, Sz tại A ' , B ' , C ' .

Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+
không đổi.
'
'
SA SB SC '

Giải: Để giải bài toán này, để đơn giản hóa vấn đề, ta nghiên cứu bài toán phẳng
tương ứng với nó. Biết đâu có một sự tương tự trong phương pháp chứng minh.
Ta xét bài toán phẳng tương ứng :
“Cho góc vuông Sxy, trên các cạnh góc vuông Sx, Sy ta lấy lần lượt các điểm A,
B sao cho SA = SB = a. Trên đường cao SO của tam
giác SAB ta lấy điểm O ' sao cho SO ' = kSO . Một
đường thẳng d cắt Sx, Sy tại A ' , B ' . Chứng minh
y

B'

rằng:

1
1
+
không đổi”.
'

SA SB '

1
1
Để giải bài toán trên ta đề ý các tỷ số
nó
' ;
SA
SB '
SA SB
cũng tương tự như các tỷ số ' ; '
SA SB

B
O'
O

S

x

do SA = SB = a. Vậy đối với hai tỷ số như vậy ta có
thể nghĩ đến tỷ số của hai diện tích của hai tam giác có chung đỉnh S.
A

A'

11

Thật vậy, ta có:
S ∆SO ' A'

SA ' SO '
SA '
SA '
⇒ S ∆SO ' A' = k
S ∆SOA
=k
S ∆SOA
SA SO
SA
SA
S ∆SO ' B ' SB ' SO '
SB '
SB '
=
=k
⇒ S ∆SO ' B ' = k
S ∆SOB
Tương tự:
S ∆SOB
SB SO
SB
SB
=

S ∆SA' B '
S ∆SAB

Do đó:

=

SA ' SB '
SA ' SB '
⇒ S ∆SA' B ' =
S ∆SAB
SA SB
SA SB

SA ' SB '
SA '
SB '
S ∆SAB = k
S ∆SOA + k
S ∆SOB
SA SB
SA
SB
1
2

(*)

1
2

Mặt khác S ∆SAB = S ∆SOA = S ∆SOB nên từ hệ thức (*) ta thu được:
2

1
1
2
SA ' SB '
SA '
SB '
⇔
+
=
+k
=k
không đổi
'
'
ka
SA SB
SA SB
SA
SB

(đpcm)

Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là góc tam diện vuông. H là
hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm OH. Gọi S, S 1, S2, S3
lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, OBC, OAC, OAB. Chứng minh
rằng: S 2 IO + S12 IA + S 22 IB + S32 IC = 0
Đây là bài toán phức tạp với nhiều học sinh, giáo viên có thể định hướng,
dẫn dắt để giúp học sinh đơn giản hóa bài toán bằng cách vận dụng phép tương
tự để học sinh liên tưởng đến bài toán phẳng tương ứng.

GV: Khi làm bài toán này, các em nghĩ đến điều gì?
HS: Có thể nghĩ đến bài toán phẳng tương tự.
GV: Đó cũng là một hướng đi đúng.
Vậy hãy phát biểu bài toán tương tự trong mặt phẳng.
HS: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của
AH. Chứng minh rằng: a 2 IA + b 2 IB + c 2 IC = 0
GV: Đúng rồi, trước tiên ta chứng minh bài toán phẳng. Háy chứng minh bài
toán phẳng trên.
GV: Để chứng minh bài toán phẳng ta nghĩ đến phương pháp chứng minh
nào? Các em đã chứng minh bài toán nào tương tự với bài toán này chưa?
bài
uur HS:
uu
r Cóuu
r rtoán chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì
aIA + bIB + cIC = 0
GV: Đó là một sự liên tưởng hợp lý. Vận
dụng phương pháp chứng minh của bài toán trên B
H
để chứng minh bài toán này.
HS: Hệ thức cần chứng minh tương đương
với: AI =

b2
c2
AB
+
AC
2a 2
2a 2

M

Vẽ hình bình hành AMIN, ta có: AI = AM + AN
Ta cần chứng minh: AM =

A

I

N

C

2

b
. AB
2a 2
12


1
2

Thật vậy: ta có AI.AH = AM.AB ⇒ AM . AB = AH 2 =

1 b 2c 2
1 b2c 2
=

2 b2 + c2 2 a2

b2
b2
AB
⇒
AM
=
AB
2a 2
2a 2
c2
AN
=
AC
Tương tự:
2a 2
b2
c2
Vậy AI = AM + AN = 2 AB + 2 AC (đpcm)
2a
2a

Hay AM =

GV: Bây giờ chúng ta cần xem xét bài toán phẳng này, xem nó có tác dụng
gì để giải bài toàn không gian không? Hoặc ta sử dụng phương pháp giải tương
tự với phương pháp giải trên, hoặc ta xem có thể áp dụng trực tiếp được bài toán
phẳng trên hay không?
GV: Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các diện tích xuất hiện trong vế trái

của đẳng thức cần chứng minh?
HS: S 2 = S12 + S 22 + S 32
GV: Ta có thể áp dụng kết quả của bài toán phẳng đối với tam giác nào?
HS: Tam giác OAM vì tam giác OAM vuông tại O, đồng thời OH là đường
cao, I là trung điểm của OH, tam giác OAM thỏa mãn đầy đủ giả thiết của bài
toán phẳng.
GV: Vậy ta có hệ thức
O
tương ứng là gì?
Ta nên đặt tên các dữ kiện để
có
a
hệ thức gọn.
c
I
HS: Đặt OA = a; OB = b;
OC = c; OM = m; AM = d
uur

uu
r

uuur

m

b
r

Khi đó: d 2 IO + m 2 IA + a 2 IM = 0

A

C

d

H

⇒

M
OI =

2

2

m
a
OA +
OM
2
2d
2d 2

B

uuur m 2 uuu
r a 2 uuuu

r
Hay OH = 2 OA + 2 OM
d
d

Mà tam giác OBC vuông tại O, có đường cao là OM nên ta có tiếp hệ thức:
uuuu
r
c 2 uuur b 2 uuur
OM =
OB +
OC
BC 2
BC 2
uuur

Nên OH =

r a 2 c 2 uuu
r a 2 b 2 uuur
m 2 uuu
OA
+
OB
+ 2
OC
d2
d 2 BC 2
d BC 2

uuur m 2 BC 2 uuu
r a 2 c 2 uuur a 2 b 2 uuur
⇔ OH = 2
OA + 2
OB + 2
OC
d BC 2
d BC 2
d BC 2

13


⇔ OH =

S 32
S12
S 22
OA
+
.
OB
+
.OC hay S 2 IO + S12 IA + S 22 IB + S32 IC = 0 (đpcm)
S2
S2
S2

2.3.4.Biện pháp 4. Luyện tập cho học sinh hoạt động khai thác các bài toán
phẳng để xây dựng các bài toán mới trong không gian bằng phương pháp

tương tự.
Học sinh đã được học hình học phẳng ở THCS và lớp 10 THPT vì vậy việc
rèn luyện cho học sinh thói quen, kĩ năng khai thác các bài toán phẳng để xây dựng
các bài toán mới trong không gian thông qua phép tương tự sẽ giúp các em hiểu
được mối quan hệ tương hỗ giữa hình học phẳng và hình học không gian.
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng, ta có công thức tính độ dài đường trung tuyến trong
1
4

tam giác ABC vẽ từ đỉnh A theo ba cạnh a, b, c là: ma2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) . Một câu
hỏi đặt ra, ta có thể tính độ dài đường trọng tuyến trong tứ diện OABC vẽ từ một
đỉnh được không? Cụ thể ta có bài toán sau: “Cho tứ diện OABC có OA = a, OB =
b, OC = c , BC = a ' , AB = c ' , AC = b ' . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tính độ dài OG theo a, b, c, a ' , b ' , c ' ”.
GV: Nêu công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác?
HS: Độ dài đường trung tuyến trong tam giác nên AM 2 =
GV: Hãy vận dụng sự tương tự giữa
tứ diện và tam giác để tính OG?
Cách 1: HS: Học sinh vận dụng trực tiếp
kết quả của bài toán phẳng để giải quyết
bài toán:
Ta có : OM là đường trung tuyến của
tam giác OBC nên
OB 2 + OC 2 BC 2
OM =
−
2
4
2

(1)

O

a

c
b
b'

A

Tương tự:
OG là trung tuyến của tam giác OMN :
OG 2 =

AB 2 + AC 2 BC 2
−
2
4

OM 2 + ON 2 MN 2
−
(2)
2
4

N

G

c'

a'

M

B

OA 2 + OG 2 AG 2
−
2
4
2
2
AB + AC
BC 2
2
−
AM là trung tuyến của tam giác ABC: AM =
2
4
2
Ta thế (1), (3), (4) vào (2) với AG = MN = AM ta thu được:
3
2
2
2
'2
'2

'2
a +b +c
a +b +c
OG 2 =
−
3
9

ON là trung tuyến của tam giác OAG : ON 2 =

C

(3)
(4)

Cách 2: Ta xây dựng lại cách tính độ dài đường trung tuyến của tam giác và sử
dụng phương pháp làm đó đối với bài toán không gian.
Ta có 2 AM = AB + AC
14


Do đó 4 AM 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC

⇔ 4 AM 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC cos A
AB 2 + AC 2 − BC 2
⇔ 4 AM 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC.
2. AB. AC
AB 2 + AC 2 BC 2
⇔ 4 AM 2 = 2 AB 2 + 2 AC 2 − BC 2 hay AM 2 =
−

2
4

Chuyển sang bài toán không gian, ta bắt chước phương pháp làm tương tự.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
3OG = OA + OB + OC
⇒ 9OG 2 = OA2 + OB 2 + OC 2 + 2OA.OB + 2OA.OC + 2OB.OC
⇔ 9OG 2 = 3OA 2 + 3OB 2 + 3OC 2 − AB 2 − AC 2 − BC 2
2
2
2
'2
'2
'2
⇔ OG 2 = a + b + c − a + b + c
3
9

2.3.5. Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán mới nhờ phép
tương tự.
Ví dụ 10: Khi ta dạy về trọng tâm của tứ diện và ứng dụng trọng tâm của tứ
diện vào giải toán, GV có thể khai thác từ bài toán trọng tâm của tam giác.
GV: Vẽ hình tam giác có ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm.
Hỏi: Qua hình vẽ trên gợi cho ta liên tưởng đến điều gì?
HS: Trọng tâm tam giác.
Hỏi: Nói đến trọng tâm tam giác, ta nghĩ đến hệ thức véc tơ nào?
HS: + GA + GB + GC = 0
+ MA + MB + MC = 3MG , với mọi điểm M
GV nêu bài toán: “Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, M là một điểm
bất kỳ, chứng minh rằng: MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 ”

Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 = ( MG + GA) 2 + ( MG + GB) 2 + ( MG + GC ) 2
= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2 MG (GA + GB + GC )

(đpcm)
GV: Em hãy nghĩ ra một bài toán khác từ bài toán trên được không?
HS:
Đây là một câu hỏi mở, học sinh có thể tạo bài toán bằng cách giữ nguyên
giả thiết mà chỉ biến đổi kết luận, hoặc thay đổi luôn cả giả thiết và kết luận. Sau
đây là một số dự kiến học sinh trả lời. Trong trường hợp nếu học sinh không tìm
được phương án nào, GV có thể đặt câu hỏi gợi ý để học sinh nhận ra đặc điểm
đặc trưng của bài toán.
Bài toán 1: “Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, M là một điểm bất
kỳ, chứng minh rằng: MA2 + MB 2 + MC 2 ≥ GA2 + GB 2 + GC 2 ”
Bài toán 2: “Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, tìm
điểm M sao cho P = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất”.
Giải Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2
nên MA2 + MB 2 + MC 2 ≥ GA2 + GB 2 + GC 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi M ≡ G . Vậy M chính là trọng tâm trong tam giác.
= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2

15


Bài toán 3: “Cho tam giác ABC, và một đường thẳng d. Tìm điểm M trên d để
MA2 + MB 2 + MC 2 đạt GTNN”
Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2
Do GA2 + GB 2 + GC 2 không đổi nên MA2 + MB 2 + MC 2 nhỏ nhất khi MG 2 nhỏ nhất
hay M là hình chiếu của G trên d.
Bài toán 4: “Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương

các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác ABC bằng k 2 ”
Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 = k 2 ⇔ 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 = k 2
1
⇔ MG 2 = (k 2 − GA2 − GB 2 − GC 2 )
3

Ta có:
+ Nếu k 2 < GA2 + GB 2 + GC 2 thì tập hợp điểm M là tập rỗng.
+ Nếu k 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 thì tập hợp điểm M chỉ gồm một điểm, đó là điểm G.
k 2 − (GA2 + GB 2 + GC 2 )
+ Nếu k > GA + GB + GC ⇒ MG =
3
2

2

2

2

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R =

k 2 − (GA2 + GB 2 + GC 2 )
3

Hỏi: Hãy thiết lập các bài toán tương tự trong không gian?
Ví dụ 11: Xuất phát từ bài toán tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông
góc với nhau, ta có bài toán gốc:
Bài toán 1: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB), (OAC), (OBC) với (ABC) thì

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1
Bằng cách sử dụng công thức cos 2 x = 1 − sin 2 x ta có bài toán mới:
Bài toán 1.1: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB), (OAC), (OBC) với (ABC).
Chứng minh rằng: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2
Tương tự như vậy, dùng công thức:

1
= 1 + tan 2 x , ta có bài toán mới:
2
cos x

Bài toán 1.2: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC).
Chứng minh rằng: tan 2 α + tan 2 β + tan 2 γ + 2 = tan 2 α . tan 2 β . tan 2 γ
Từ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1, ta dùng bất đẳng thức bunhiacopski:
(cos α + cos β + cos γ ) 2 ≤ 3(cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ )

Ta có bài toán mới:
Bài toán 1.3: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) .
Chứng minh rằng: cos α + cos β + cos γ ≤ 3
Ta dùng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương: cos 2 α ; cos 2 β ; cos 2 γ ta có:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ≥ 33 cos 2 α . cos 2 β . cos 2 γ
⇔ cos α . cos β . cos γ ≤ 3
9

Ta có bài toán mới:
16


Bài toán 1.4: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC),(OBC) với (ABC) . Chứng
minh rằng: cos α . cos β . cos γ ≤

3
9

Bài toán 1.5: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC),(OBC) với (ABC) . Tìm
giá trị lớn nhất của P = cos α . cos β . cos γ
Hoàn toàn tương tự với hệ thức sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ =2 ta có các bài toán mới
sau:
Bài toán 1.6: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) .
Chứng minh rằng: sin α + sin β + sin γ ≤ 6
Bài toán 1.7: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) .
Tìm giá trị lớn nhất của P = sin α . sin β . sin γ
Xuất phát từ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 và 1 + tan 2 x =

1
nên ta có:
cos 2 x

1
1
1
+
+
=1
2
2
1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ

Ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương:
1

1
1
;
;
ta có:
2
2
1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ
1
1
1
1
1
1
+
+
≥ 33
.
.
2
2
2
2
2
1 + tan α 1 + tan β 1 + tan γ
1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ
⇔ (1 + tan 2 α ).(1 + tan 2 β ).(1 + tan 2 γ ) ≥ 27

Ta có bài toán mới:
Bài toán 1.8: Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) .

Chứng minh rằng: (1 + tan 2 α ).(1 + tan 2 β ).(1 + tan 2 γ ) ≥ 27
Ví dụ 12: Cho tứ diện vuông OABC, Gọi h là chiều cao hạ từ O đến mặt phẳng
(ABC), OA = a, OB = b, OC = c. Khi đó

1
1 1 1
= 2+ 2+ 2
2
h
a b c

Ta thu được một số bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho tứ diện vuông OABC, gọi h là chiều cao hạ từ O đến mặt
phẳng (ABC), OA = a, OB = b, OC = c. Chứng minh rằng:

1 1 1
3
+ + ≤
a b c
h

Bài toán 3.2: Cho tứ diện vuông OABC, gọi h là chiều cao hạ từ O đến (ABC),
OA = a, OB = b, OC = c. Chứng minh rằng: abc ≥ 3 3h3
Bài toán 3.3: Cho tứ diện vuông OABC, gọi h là chiều cao hạ từ O đến (ABC),
OA = a, OB = b, OC = c.
b2c 2
b2c 2
b2c 2
3 3
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 ≥

a b +a c
a b +a c
a b +a c
2

Như vậy từ những bài toán phẳng, bài toán không gian được chọn làm
gốc bằng phép tương tự giáo viên có thể giúp học sinh phát triển thành những
bài toán mới. Những bài toán mới này nếu lần đầu tiên được gặp, không liên
tưởng đến sự tương tự với các bài toán phẳng, bài toán gốc ban đầu chắc rằng
nhiều học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải nó.
17


2.3.6. Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện tương tự sai
khi chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian.
Giống như phép qui nạp không hoàn toàn, kết luận trong phép suy luận
tương tự chỉ mang tính chất giả thuyết, nó được dùng để dự đoán hay giúp phát
hiện những kiến thức mới trong toán học.
Không phải mọi tính chất đúng trong hình học phẳng đều đúng trong hình
học không gian, nhưng bằng phép tương tự ta có thể tạo ra được những mệnh đề
mới. Trong nhiều trường hợp, các mệnh đề mới này đúng vì về mặt toán học thì
đường thẳng là siêu phẳng trong mặt phẳng, cũng giống như mặt phẳng là siêu
phẳng trong không gian ba chiều.
Nhưng trong một số trường hợp, khi ta thay các từ đường thẳng bởi mặt
phẳng của một định lý thì ta thu được rất nhiều mệnh đề mới trong đó cũng có
cả mệnh đề sai. Đứng trên góc nhìn của GV, ta có thể dự đoán được nhiều sai
lầm mà học sinh thường mắc phải do sự tương tự giữa hình học phẳng và hình
học không gian. Từ đó, chúng ta có những biện pháp thường xuyên nhắc nhở,
nhấn mạnh những sai lầm đó để học sinh không mắc sai lầm trong quá trình giải
toán.

Ví dụ 13: Từ một tính chất trong hình học phẳng: “Qua một điểm nằm ngoài
đường thẳng có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho”
Nếu ta thay chữ đường thẳng thành mặt phẳng sẽ được nhiều mệnh đề:
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường thẳng
HHP
vuông góc với đường thẳng đã cho
HHKG
Mệnh đề sai
Phản ví dụ: Xét hình lập
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có
phương ABCDA1 B1C1 D1 ,
duy nhất một đường thẳng vuông góc với
nhận thấy có hai đường
đường thẳng đã cho
thẳng AB, BB1 cùng đi qua
B và vuông góc với AD
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có
duy nhất một mặt phẳng vuông góc với Mệnh đề đúng
đường thẳng đã cho
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có
duy nhất một đường thẳng vuông góc với Mệnh đề đúng
mặt phẳng đã cho
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có Mệnh đề sai
duy nhất một mặt phẳng vuông góc với Phản ví dụ: Xét hình lập
mặt phẳng đã cho
phương ABCDA1 B1C1 D1 ,
nhận thấy có hai mặt
phẳng (ABB1A1);
(ADD1A1) cùng đi qua
điểm A và vuông góc với

(A1B1C1D1)

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
18


Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được
những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:
4.1. Kết quả định tính.
+ Nhiều học sinh không còn có tâm lí ngại hoặc sợ học chủ đề hình học
không gian.
+ Học sinh chủ động, tích cực hơn khi xây dựng bài, chữa bài tập và làm
bài tập về nhà.
+ Nhiều học sinh tích cực vận dụng phép tương tự để củng cố lý thuyết,
phát triển bài toán mới, chuyển bài toán không gian thành bài toán phẳng trong
học tập nội dung hình học không gian
+ Các tiết học hình học không gian hiệu quả hơn và đã chuyển trọng tâm từ
hoạt động của thầy sang hoạt động của trò.
4.2. Kết quả định lượng.
* Qua điều tra, thăm dò.
Tôi đã phát phiếu thăm dò 92 học sinh lớp 11 - trường THPT Yên Định 2
và đã thu được kết quả:
+ 100% học sinh được hỏi trả lời vận dụng các phương pháp giải toán hình
học nêu trên giúp các em dễ hiểu khi học và giải toán hình học không gian.
+ 100% học sinh được hỏi vận dụng các biện pháp trên đây giúp các em có
nhiều hứng thú, niềm tin khi giải các bài tập hình học không gian.
+ 90 % học sinh được hỏi trả lời cần thiết vận dụng phép tương tự vào dạy
học nội dung hình học không gian.
* Kết quả học tập môn toán cuối năm học 2017 – 2018
Việc vận dụng đề tài nghiên cứu vào thực tiễn dạy học đã góp phần nâng

cao hiệu quả học tập cho các em học sinh lớp 11. Cụ thể năm học 2017 – 2018
các lớp do tôi dạy đã có kết quả học tập bộ môn rất tích cực như sau:
Lớp
11B1
11B8

Sĩ
số
44
40

Giỏi
Số
lượng
40
5

Khá
%

Số
lượng
90.9 %
4
12.5 %
28

Trung bình
%

9.1%
70%

Số
lượng
0
7

%
0
17.5 %

Yếu, kém
Số
lượng
0
0

%
0
0

* Kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi
Năm học 2017 – 2018 tôi đã vận dụng các biện pháp trình bày trên đây vào
thực tiễn dạy học và có được kết quả tốt, HS do tôi ôn luyện tham dự thi học
sinh giỏi cấp tỉnh đạt 4/5 giải trong đó có 2 giải ba, 2 giải khuyến khích.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
19

3.1. Kết luận
Bản thân người viết là một giáo viên dạy Toán, đã ý thức được trách
nhiệm của mình trong việc không ngừng tìm tòi đổi mới phương pháp dạy học
nhằm nâng cao kết quả hoạt động học tập của học sinh, tôi đã áp dụng đề tài vào
thực tiễn dạy học và đạt được những kết quả tích cực. Những kết quả đó cũng
chính là cơ sở để tôi hoàn thành đề tài này.
Trên cơ sở vận dụng các tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễn
dạy học của bản thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài đã hoàn
thành và đạt được những kết quả sau:
+ Đề tài đã nghiên cứu một số cơ sở lí luận của việc vận dụng phép
tương tự vào dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 và ý nghĩa của nó đối
với việc tạo động lực, niềm tin học tập từ đó nâng cao chất lượng học tập môn
toán cho học sinh lớp 11THPT.
+ Đề tài đã đi sâu khai thác một số giải pháp vận dụng phép tương tự vào
việc học tập chủ đề hình học không gian có hiệu quả và thiết thực trong việc
nâng cao chất lượng học tập và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
+ Đề tài đã đưa ra các ví dụ minh họa cho các biện pháp giải quyết vấn
đề. Thông qua các ví dụ này nêu bật lên ý nghĩa của các phương pháp này với
việc dạy học hình học nói riêng, toán học nói chung.

3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ thực tiễn dạy học cùng với việc nghiên cứu thực hiện đề tài
người viết rất mong muốn các cấp quản lý giáo dục quan tâm hơn đến việc bồi
dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên nói chung, giáo viên bộ môn toán
nói riêng thông qua các chuyên đề, hội thảo khoa học thiết thực. Đồng thời xuất
bản nhiều tài liệu hướng dẫn việc dạy học theo phương pháp mới để giúp giáo
viên dễ dàng tiếp cận và thực hiện tốt hơn nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song thiếu xót của đề tài là không thể tránh
khỏi tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý. Sự góp ý

đó sẽ giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu này.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
………………………………………
của
………………………………………
………………………………………
………………………………………

Thanh Hóa, ngày 16/05/2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Trịnh Trọng Trung

20


Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại
học sư phạm.
2. Đào Tam (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT,
NXB ĐHSP.
3. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn
toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm.
4. Pôlya. G (1976), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục.
5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc
Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.

6. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài
Tập Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.
7. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,
Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục
8. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,
Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục
9. Phan Huy Khải (1999), Toán nâng cao hình học 11, NXB ĐHQG Hà
Nội.
10. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, Nxb Đại học sư phạm.
11. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể
môn toán, NXB ĐHSP

21


MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Một số vấn đề về cơ sở lí luận của đề tài.
2.2. Thực trạng của đề tài
2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Biện pháp 1
2.3.2. Biện pháp 2
2.3.3. Biện pháp 3
2.3.4. Biện pháp 4

2.3.5. Biện pháp 5
2.3.6. Biện Pháp 6
3.

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Tài liệu tham khảo

Trang
01
01
02
02

02
04
04
04
08
10
13
14
17
19
20

22


DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI
VIẾT TẮT

THPT
THCS
HS
GV
VD
GD & ĐT
SKKN

VIẾT ĐẦY ĐỦ
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Học sinh
Giáo viên
Ví dụ
Giáo dục và đào tạo
Sáng kiến kinh nghiệm

23


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC XẾP HẠNG
Tên đề tài
Nguyên nhân, thực trạng
và các biện pháp giáo
dục học sinh cá biệt ở
THPT
Phát huy tính tích cực
của học sinh qua hoạt
động giáo dục ngoài giờ
lên lớp ở THPT

Một số biện pháp đổi
mới kiểm tra đánh giá
học sinh thông qua dạy
học môn toán lớp 11
Vận dụng một số phương
pháp giải toán hình học
không gian lớp 11 nhằm
phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh Trung
học phổ thông
Phát hiện và sửa chữa
sai lầm cho học sinh lớp
11 THPT thông qua dạy
học nội dung Tổ hợp –
Xác suất
Vận dụng kiến thức liên
môn, kiến thức thực tiễn
nhằm nâng cao hiệu quả
dạy học bài “Các quy tắc
tính xác suất” - SGK 11
Nâng cao
Rèn luyện kỹ năng làm
bài tập, bài thi trắc
nghiệm khách quan môn
toán cho học sinh lớp 10
THPT

Hội đồng khoa học Sở GD &
ĐT Thanh Hóa xếp loại

Năm học

Xếp loại C

2005 – 2006

Xếp loại C

2006 - 2007

Xếp loại C

2010 – 2011

Xếp loại C

2013 - 2014

Xếp loại C

2014 - 2015

Xếp loại C

2015 - 2016

Xếp loại C

2016 - 2017

24