skkn rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT
THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Người thực hiện: Trịnh Thị Hiếu
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

0


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường THPT, môn Toán
đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học đóng một vai trò rất to lớn trong sự
phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có
ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội hiện đại. Toán học còn là một công cụ để học tập và
nghiên cứu các môn học khác.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, việc rèn tư duy sáng
tạo cho học sinh giúp cho học sinh nắm vững, mở rộng, đào sâu kiến thức, phát
huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán và là cơ sở để hình

thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Trong môn Toán, chủ đề hình học không gian chứa đựng nhiều tiềm năng
to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bài toán
tính thể tích khối chóp đóng một vai trò rất quan trọng trong chương trình hình
học 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Mặc dù vậy đây là
phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình
không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó
và thường để mất điểm trong kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có
thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy,
chưa biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học và chưa có sự liện hệ giữa
các bài tập, dạng toán nên thường tốn khá nhiều thời gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các
phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có
tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Mặc dù đã có một số sáng
kiến kinh nghiệm viết về các phương pháp tính thể tích cũng như ứng dụng của
thể tích khối chóp, tuy nhiên vấn đề phát triển một bài toán tính thể tích khối
chóp cơ bản, đặc biệt là áp dụng vào việc tính thể tích của khối tứ diện mà việc
xác định đường cao gặp khó khăn qua đó rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thì
vẫn chưa được nhiều người quan tâm khai thác.
1


Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm
mang tên: “Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển
bài toán tính thể tích khối chóp”. Nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn
mới về ứng dụng của bài toán tính thể tích đơn giản trong sách giáo khoa, từ bài
toán đó có thể phát triển thành một lớp các bài tập từ đơn giải đến phức tạp và
ngược lại khi gặp một số bài toán phức tạp học sinh có thể “quy lạ về quen”.
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT, việc rèn tư duy sáng

tạo cho học sinh là vô cùng quan trọng. Trong đó phân môn hình học không gian
có nhiều thuận lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh cho học sinh vì nó bao hàm
nhiều hoạt động, trong đó việc giải các bài toán về hình học không gian đặc biệt
là bài toán tính thể tích khối chóp có nhiều cơ hội để rèn luyện phát triển trí tuệ,
tư duy sáng tạo cho học sinh. Hơn nữa, bài toán tính thể tích khối chóp luôn xuất
hiện trong các đề thi THPT Quốc gia với các mức độ khác nhau. Khi học và làm
bài tập về mảng kiến thức này học sinh thường gặp trở ngại đối với các bài toán
tính thể tích của khối chóp mà việc xác định đường cao và diện tích đáy có
nhiều khó khăn. Học sinh thường chỉ áp dụng các phương pháp được cung cấp
một cách máy móc, thiếu sáng tạo hoặc là chỉ học dạng nào biết dạng đó. Khi
giải xong một bài toán các em thường có thói quen là “xong nhiệm vụ”, sau đó
lại giải một bài toán khác rất khó nhọc mà không biết bài toán mình đang giải
rất “gần” với bài toán đã giải trước đó, không biết cách giải của bài toán mình
làm được là cách giải chung cho một lớp các bài toán tương tự và cũng từ bài
toán đã giải, ta có thể đề xuất một loạt các bài toán mới có “họ hàng” với bài
toán ban đầu và khái quát hóa chúng , từ đó mở rộng, đào sâu kiến thức, phát
triển tư duy. Trước thực trạng đó, tác giả đã nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn tư
duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể
tích khối chóp”.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm bắt đầu từ bài toán đơn giản trong
SGK là bài toán tính thể tích khối tứ diện đều, phát triển lên bài toán tính thể
2


tích khối chóp đều, khối tứ diện thường khi biết độ dài ba cạnh và số đo của ba
góc cùng xuất phát từ một đỉnh, và từ bài toán này kết hợp với việc sử dụng bài
toán tỉ số thể tích, phân chia và lắp ghép khối đa diện để phát triển thành một lớp
các bài toán tính thể tích khối chóp. Cái mới của đề tài là giúp học sinh biết phát
triển bài toán tính thể tích đơn giản thành một lớp các bài toán tính thể tích mới

và ngược lại khi gặp một bài toán phù hợp, học sinh biết “quy lạ về quen” giúp
bài toán trở nên dễ dàng. Sau khi được học chuyên đề này học sinh tự tin hơn
trước bài toán tính thể tích của khối chóp mà việc tính trực tiếp bằng công thức
gặp nhiều khó khăn.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh
có lực học khác nhau, và có thể sử dụng trong quá trình ôn tập phụ đạo cho học
sinh có lực học trung bình với các hướng phát triển đầu tiên, với các học sinh
ôn thi THPT Quốc gia có thể nghiên cứu và học tập theo các hướng phát triển 3.
Với hướng nghiên cứu này, các thầy cô hoàn toàn có thể khai thác từ một số bài
toán cơ bản khác nhau để phát triển thành các dạng toán khác nhau để rèn tư duy
sáng tạo cho học sinh.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Để rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán
tính thể tích khối chóp ta cần nắm vững những nội dung sau
Hình chóp đều:
2.1.1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một
đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên
tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2.1.2. Hai hình chóp đều thường gặp
3


a) Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi đó:
Đáy ABC là tam giác đều.

Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
� = SBO
� = SCO
� .
SAO
� .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

Tc: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 .
3

3

2

 Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
b) Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD .
Đáy ABCD là hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
Góc giữa các cạnh bên SA, SB, SC, SD và
mặt đáy (ABCD):
� = SBO
� = SCO
� = SDO
� .

SAO

Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy
� .
(ABCD): SHO

2.1.3. Công thức tính thể tích khối chóp:
S

Thể tích khối chóp:

1
V = B.h
3

B : Diện tích mặt đáy.

D

h : Chiều cao của khối chóp.

A
O
C
’

A

4
B

2.1.4. Các phương pháp thường dùng tính thể tích khối chóp:
Phương pháp 1: Tính thể tích khối chóp bằng cách sử dụng trực tiếp công
thức.
- Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
- Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Nhận xét: Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn
thận và chính xác.
Phương pháp 2: Tính thể tích bằng cách phân chia hoặc lắp ghép khối chóp
Sử dụng tính chất: Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện
(H1) và (H2): VH  VH  VH hay VH  VH  VH
1

2

1

2

Phương pháp 3: Tính thể tích bằng tỉ số thể tích:
- Trong dạng này, ta thường so sánh thể tích khối cần tính với một khối chóp
khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích, thường sử dụng kết quả của bài
toán sau:
Bài toán: (Bài 4 Trang 25(SGK hình 12 CB))
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A ', B ', C '
khác với S. Chứng minh rằng:

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '


.
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Chứng minh:
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu của A và A’
trên mặt phẳng (SBC).

S
H
’

A
’

A

Khi đó: A’H’ // AH và ba điểm S, H’, H cùng
B
’

thuộc hai mặt phẳng (AA’H’H) và (SBC) nên

H

chúng thẳng hàng.

C

’

B

Xét tam giác SAH, ta có:
C

VS.A 'B 'C '
VS .ABC

=

VA 'SB 'C '
V A.SBC

A ' H ' SA '

AH
SA

1
SD SB 'C '.A 'H '
=3
1
S
.AH
3 D SBC

5

1
�
SB '.SC '.sin B
'SC '.A 'H '
SB ' SC ' A 'H ' SA ' SB ' SC '
=2
=
.
.
=
.
.
� ( �pcm)
1
SB SC AH
SA SB SC
�
SB .SC .sin BSC .AH
2

Lưu y: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
A �A ', B �B ',C �C ' .

2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM:
- Học sinh thụ động, ngại tư duy trong giải toán.
- Khi làm bài tập tính thể tích khối đa diện học sinh thường lúng túng trong việc
chọn lựa cách giải phù hợp. Đối với những khối đa diện khó xác định chiều cao
học sinh thường gặp khó khăn trong việc lựa chọn cách giải.

- Mỗi khi hoàn thiện lời giải một dạng toán, học sinh thường bằng lòng với kết
quả tìm được và chưa quan tâm với việc đào sâu suy nghĩ và khai thác phát triển
bài toán vừa giải được. Do đó, khi gặp bài toán “lạ” học sinh chưa biết đưa về
bài toán “quen”.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ
2.3.1. Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học Toán:
- Rèn các thao tác tư duy cơ bản.
- Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải.
- Khuyến khích học sinh tìm lời giải độc đáo và ngắn nhất.
- Rèn khả năng phát triển bài toán, xây dựng bài toán mới từ bài toán gốc.
- Luyện tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương
pháp.
Một trong những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho HS đó là GV cần
luyện tập cho HS biết vận dụng các thao tác tư duy (so sánh, phân tích, tổng
hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa,..) một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo và linh
hoạt. Biện pháp này giúp học sinh tìm hướng giải , hoặc dự đoán cách giải, phát

6


hiện vấn đề mới, tìm thấy sự liên hệ giữa các vấn đề với nhau, nhờ đó mà HS có
thể nghiên cứu sâu và mở rộng bài toán.
Biện pháp này yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa trong quá
trình giải bài tập toán. Tức là giải bài toán cho một số trường hợp đặc biệt, rồi
dùng phương pháp giải bài toán trong trường hợp đặc biệt này để giải cho các
trường hợp khác hoặc cho trường hợp tổng quát. Biết vận dụng thao tác khái
quát hóa trong quá trình giải bài tập toán, xác định được cái chung và cái riêng
trong các bài toán. Từ đó có thể hình thành bài toán tổng quát hoặc tìm ra

phương pháp giải toán tổng quát.
Trong khuôn khổ bài viết này tôi không đi vào phân loại các dạng toán
tính thể tích mà xin chỉ đề cập đến vấn đề chủ yếu là phát triển bài toán tính thể
tích quen thuộc thành một lớp các bài toán tính thể tích khối chóp.
2.3.2. Rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bài toán
tính thể tích khối chóp:
Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, (a > 0).Tính theo a thể
tích của tứ diện đó.
Hướng dẫn:
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
mp(BCD): AH   BCD 
- Do ABCD là tứ diện đều nên H trùng với
tâm của tam giác đều BCD.
- Vì ∆BCD đều cạnh a nên đường cao
BM 

a 3
2
a 3 . Trong tam
� BH  BM 
2
3
3

giác vuông ABH ta có: AH 

a 6
.
3

- Thể tích tứ diện ABCD là:
VABCD

1
1
1
a3 2
 AH .S BCD  AH . BM .CD 
3
3
2
12

7


HƯỚNG PHÁT TRIỂN 1:
TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP ĐỀU
Nhận xét: Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều đặc biệt có độ dài cạnh bên
và cạnh đáy bằng nhau. Nên từ Bài toán 1, bằng cách giải tương tự ta có thể
xây dựng và tính thể tích của khối chóp tam giác đều (có độ dài cạnh bên và
cạnh đáy không bằng nhau) thông qua bài toán sau:
Bài toán 2: Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết:
1. Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
2. Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 
�  BSC
�  CSA
�   ).
( ASB

3. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước.
4. Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước.
5. Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước.
6. Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước.
( a  0, b  0,   1800 )
Hướng giải:
- Sử dụng tính chất của hình chóp tam giác đều
S.ABC để xác định hình chiếu của đỉnh S trên
mặt phẳng đáy là tâm H của tam giác đều ABC,
từ đó xác định chiều cao SH của hình chóp.
- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của tam giác
đáy (tam giác đều ABC).
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của
khối chóp để tính thể tích của khối chóp đều
1
3

S.ABC: VS . ABC  .SH .S ABC
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh
bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hướng dẫn giải:
8


 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong  ABC
 Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABC))

 Lời giải:
S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi M là
trung điểm BC,  ABC đều cạnh a 3 , tâm O
SO  (ABC); SA=SB=SC = 2a
 ABC đều cạnh a 3 , AM = a 3.

3 3a

2
2

2
2 3a
AO= . AM  .  a
3
3 2
SABC 

1
1
3 3a 2 . 3
AB. AC.sin 600  .a 3.a 3.

2
2
2
4

 SAO vuông tại A có SO  SA2  AO 2  a. 3
1

3

1 3a 2 3
a3 . 3
.a 
3
4
4

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  .S ABC .SA  .

Nhận xét: Phát triển bài toán 2 bằng cách tăng số cạnh đáy của hình chóp
đều, tương tự hình ta cũng tính được thể tích của hình chóp đa giác đều bất
kỳ:
Bài toán 3: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết:
1. Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
2. Cạnh bên bằng b, các góc ở đỉnh S của các mặt bên đều bằng 
�  BSC
�  CSD
�  DSA
�  .
ASB

3. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước.
4. Cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước.
5. Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  cho trước.
6. Cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  cho trước.
9

a  0, b  0,   1800 )

Hướng giải:
- Sử dụng tính chất của hình chóp tứ giác
đều S.ABCD để xác định hình chiếu của
đỉnh S trên mặt phẳng đáy là tâm H của
hình vuông ABCD, từ đó xác định chiều
cao SH của hình chóp.
- Từ giả thiết, tính SH và diện tích của
hình vuông ABCD.
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích
của khối chóp để tính thể tích của khối
chóp đều S.ABCD:
1
VS . ABCD  .SH .S ABCD
3

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên
bằng a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:

- S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O. Suy
ra SO  (ABCD), SA=SB=SC =SD = a 3
2
Diện tích hình vuông ABCD: SABCD  4a

Ta có: AC = 2a. 2
AO 

AC 2a 2

a 2
2
2

 SAO vuông tại O có SO  SA2  AO 2  a

* Thể tích khối chóp S.ABCD là: VS . ABCD

1
1 2
4a 3
(dvtt)
 .S ABCD .SA  .4a .a 
3
3
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt
đáy bằng 600 . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD .
Lời giải :
10


- Gọi O là tâm của mặt đáy, vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ mp( ABCD )
gọi M là trung điểm đoạn CD .

S

�
CD ^ SM �(SCD )
�
�
� = 600
�
CD ^ OM �(ABCD ) � SMO
Ta có: �
�
�
CD = (SCD) �(ABCD)
�
�

(góc giữa mặt (SCD) và mặt đáy)
A

1
3

Ta có: VS.ABCD = SABCD .SO ( 1)
� = SO
Trong D SMO vuông tạiO , ta có: tan SMO
OM

D
O

B

6
00

M

C

� =a 3 2
� SO = OM .tan SMO
( ) . Mặt khác: SABCD = BC 2 = 4a2

( 3) .

3
- Thế ( 2) ,( 3) vào ( 1) � VABCD = 1.4a2.a 3 = 4a 3 (đvtt).

3

3

Nhận xét:
- Đây là dạng bài tập rèn tư duy cơ bản, qua các bài tập này rèn cho học sinh
biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp tính thể tích của khối
chóp đều.
- Trong bài toán 2 và bài toán 3 nếu cho a, b,  bằng các số đo cụ thể ta sẽ
được một loạt các bài toán tính thể tích cơ bản.
HƯỚNG PHÁT TRIỂN 2:
TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ 3 CẠNH BÊN
BẰNG NHAU
Đặt vấn đề: Xét tứ diện đều ABCD trong Bài toán 1 có ba góc tam diện và

ba cạnh có chung đỉnh tương ứng luôn bằng nhau. Khái quát hóa Bài toán 1
bằng cách thay đổi số đo ở đỉnh của một tam diện thành các góc có số đo khác
nhau, ta được khối chóp tam giác có ba cạnh bên bằng nhau. Khi đó ta tính thể
tích khối chóp đó bằng cách nào? Có thể sử dụng trực tiếp công thức tính thể
tích khối chóp?

11


Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) và ba góc:
�   ; BAD
�   , CAD
�   . Tính thể tích tứ diện ABCD.
BAC
Hướng giải:
Nhận xét: Vì AB = AC = AD nên hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD)
trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Do đó ta có thể tính thể
tích tứ diện ABCD bằng phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
khối chóp A.BCD.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
mp(BCD) hay AH   BCD  tại H. Do
AB  AC  AD nên ta suy ra HB  HC  HD

� H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.

- Áp dụng định ly cosin vào các tam giác
ABC, ABD, ACD tính được độ dài 3 cạnh BC,
CD, BD. Tính diện tích tam giác BCD và
chiều cao AH
- Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích của

khối chóp để tính thể tích của khối chóp
1
3

A.BCD: VA.BCD  . AH .S BCD
Nhận xét:
+ Nên nhận dạng tam giác BCD để dựa vào đặc điểm của tam giác để tính
diện tích.
+ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (đoạn HB chẳng hạn), từ đó tính
đường cao AH.
Chú ý:
- Nếu BCD là tam giác thường thì tính diện tích bằng công thức Hê rông.
- Nếu      thì tứ diện ABCD là hình chóp tam giác đều A.BCD,
(Bài toán 2.2).

12


- Đặc biệt, nếu       90o thì tam diện đỉnh A là tam diện vuông,
nên cách đơn giản nhất để tính thể tích tứ diện ABCD là coi tứ diện là hình
chóp B.ACD chẳng hạn, có cạnh bên vuông góc với đáy( cạnh bên BA là đường
cao của hình chóp B.ACD) và đáy là tam giác vuông ACD.
Ví dụ 4:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) ,
�  BAD
�  60o , CAD
�  90o.Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
BAC
Lời giải:
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

mp(BCD) hay

AH   BCD 

tại H. Do

AB  AC  AD nên ta suy ra HB  HC  HD
� H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.

- Theo giả thiết ta có các ∆ABC, ∆ABD đều
cạnh a nên BC = BD = a.
- ∆ACD vuông cân tại A suy ra CD  a 2
- Trong ∆BCD thỏa mãn: CD 2  2a 2  BC 2  BD2 nên theo định ly Pitago đảo
suy ra ∆BCD vuông cân tại B � tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là trung điểm
của cạnh huyền CD. � AH 
VABCD

Ví dụ 5:

CD a 2

. Thể tích tứ diện ABCD là:
2
2

1
1
1
a3 2
 AH .S BCD  . AH . .BC.BD 

(đvtt)
3
3
2
12

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0)

�  90o , CAD
�  60o , BAD
�  120o . Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
BAC

Hướng dẫn:

13

và


- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên mp(BCD) hay AH   BCD  tại H.
Do

AB  AC  AD

nên ta suy ra

HB  HC  HD � H là tâm đường tròn

ngoại tiếp ∆BCD.
- Theo giả thiết ta có ∆ACD đều cạnh a
nên CD= a.
- ∆ABC vuông cân tại A suy ra
BC  a 2
- Áp dụng định ly cosin trong ∆BAD có: BD2  2a 2  2a 2 cos1200  3a 2

- Trong ∆BCD thỏa mãn: BD2  BC 2  CD 2 nên theo định ly Pitago đảo suy ra
∆BCD vuông tại C
� tâm H của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là trung điểm của cạnh huyền BD.
�0 a
�  a.cos 60
� AH  AB.cos BAH

2

Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD

1
1
1
a3 2
 AH .S BCD  . AH . .BC.CD 
 đvtt 
3
3
2
12

HƯỚNG PHÁT TRIỂN 3

TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ 3 CẠNH BÊN
KHÔNG BẰNG NHAU
Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD trong Bài toán 4, nếu trên các tia AB, AC,
AD lần lượt lấy các điểm M, N, P (không trùng với A) sao cho AM = a, AN = b,
AP = c (a, b, c là các số thực dương cho trước) ta được tứ diện AMNP. Khi đó
thể tích tứ diện AMNP có thể tính bằng cách nào? Ta có thể tìm mối liên hệ giữa
thể tích khối tứ diện AMNP với thể tích khối tứ diện ABCD hay không? Từ đó ta
có thể phát triển Bài toán 4 thành bài toán mới như sau:
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB =b, AC = c, AD = a ( a, b, c dương ) và
�   ; BAD
�   , CAD
�   . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ba góc: BAC
14


Nhận xét: Nếu a, b, c không bằng nhau,  ,  ,  không phải các góc có số đo
đặc biệt thì việc xác định chiều cao của hình chóp tam giác này sẽ gặp khó
khăn. Mặt khác theo bài toán 4 chúng ta đã biết tính thể tích khối chóp tam giác
có 3 cạnh bên bằng nhau và 3 góc ở đỉnh cho trước. Nên bằng cách dựng thêm
hình (lấy 3 điểm trên 3 tia AB, AC, AD sao cho 3 điểm đó kết hợp với điểm A tạo
thành khối chóp có 3 cạnh bên bằng nhau mà có thể tính được thể tích (như bài
toán 4), khi đó bằng cách sử dụng bài toán tỉ số thể tích đã nêu ở trên chúng ta
sẽ tính được thể tích khối chóp A.BCD. Bằng cách này ta có thể đưa 1 bài toán
phức tạp về bài toán đơn giản hơn.
Hướng giải:
Giả sử cạnh AD = a có số đo bé nhất trong ba
cạnh AB, AC, AD.
Trên các đoạn AB, AC lần lượt lấy các điểm B’
và C’ sao cho AD = AB’ = AC’ =a.

Khi đó, áp dụng Bài 4 Trang 25(SGK hình 12
CB) :

VA.C ' B ' D AC ' AB ' AD a a

.
.
 .
VA.CBD
AC AB AD c b

� VA.BCD 

a2
VA. B ' C ' D
bc

Áp dụng kết quả Bài toán 4 ta tính được
VAB ' C 'D � VA.BCD .

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc
�  BAD
�  CAD
�  600 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c.
BAC
Phân tích: Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đều đỉnh A nên ta tính
được thể tích của nó. Nếu a, b và c không đồng thời bằng nhau thì ta lấy C’ và
D’ trên các tia AC, AD sao cho AC’ = AD’ = a để được hình chóp đều. Tiếp theo
ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD.
Lời giải:

15


Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ nhất. Trên các tia AC, AD lần lượt lấy C’ và
� '  600 nên tam
D’ sao cho AC’ = AD’ = a. Tam giác ABC’ cân tại A và có BAC
giác ABC’ đều cạnh a. Tương tự các tam giác ABD’ và AC’D’ đều cạnh a nên tứ
diện ABC’D’ đều cạnh a
Gọi H là trọng tâm tam giác BC’D’ thì
AH(BC’D’)
2 a 3 a 3
a 6
BH  .

� AH 
3 2
3
3
1
VABC ' D '  S BC ' D ' . AH
3
1 1
a 6 a3 2
 . .a.a.sin 600.

3 2
3
12
VA.BCD

VA.BC ' D '

Theo bài toán về tỉ số thể tích ta có
AB AC AD bc
bc a 3 2 abc 2

.
.
 � VA.BCD  2 .

AB AC ' AD ' a 2
a 12
12

Ví dụ 7:
Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = 2a, AD = 3a ( a > 0) và
�  90o , CAD
�  60o , BAD
�  120o . Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
BAC

Lời giải:

16


Trên AC lấy C’ sao cho AC '  a , D ' �AD
sao cho AD '  a . Gọi H là trung điểm của
�  600 � Vậy
AD’ ta có ABD ' cân, có BAH

AH 

1
3
a � BH 
a . � BD '  a 3
2
2

Vậy BC ' D ' có C ' D '  a (vì AC ' D ' đều ) .
ABC ' vuông cân vậy BC '  a 2 . Vậy
BC ' D ' vuông cân tại C’.

1
a 3
�
Xét tam giác AHC ' có C ' H  BD ' 
2

2

AH 2  C ' A2  C ' H 2 � AHC ' vuông tại H.
1
1 1
2a3
VABC ' D '  . AH .BC '.C ' D '  . a.a 2.a 
6
6 2
12
VABC ' D ' AB. AC '. AD ' 1 1 1

2a 3

 .  � VABCD  6.VABC ' D ' � V
Vậy V

(đvtt)
ABCD
AB. AC. AD
2 3 6
2
ABCD

Nhận xét: Thể tích khối chóp A.BC’D’ trong ví dụ này bằng thể tích khối tứ diện
ABCD(Ví dụ 5)
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và phân tích, chọn lựa cách
giải hiệu quả:
- Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên
quan đến khối chóp đã cho.
- Khối chóp S.AMN trong bài chính là trường hợp đặc biệt của bài toán 5 với AS
�  SAN
�  90o , MAN
�  60o . Bài toán này có thể giải
= a 3 , AM = AN = a ; SAM

theo hướng của bài toán 5, tức là dựng khối chóp đỉnh A có 3 cạnh nằm trên các
tia AS, AM, AN sao cho độ dài 3 cạnh bên tương ứng bằng nhau và dùng tỉ số
thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN theo khối chóp vừa dựng.

17


- Tuy nhiên trong bài đã cho khối chóp S.ABC và có SA  ( ABC ) nên có thể dễ
dàng tính được thể tích của khối chóp S.AMN theo đường cao SA và diện tích
đáy AMN hoặc là dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN thông
qua việc tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Hướng dẫn giải:
1
3



Cách 1: (dùng công thức thể tích V  .B.h )
* Khối chóp S.AMN có
-Đáy là tam giác AMN
- Đường cao là SA
 AMN có Â = 600, AM=AN = a
SAMN 

1
1
3 a2. 3
AM . AN .sin 600  .a.a.

2
2
2
4

SA = a 3

Thể tích khối chóp S.ABC là: VS . AMN

1
1 a2. 3
a3
 .S AMN .SA  .
.a. 3  (đvtt)
3
3 4
4

Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A
Do đó áp dụng bài toán tỷ số thể tích , ta có
VA. SMN AS AM AN
1 1 1
V
1

.
.
 1. . 
� VS . AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S . ABC
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
4
4

Ta có : VS . ABC

1
1 4a 2 . 3
 .S ABC .SA  .
.a. 3  a 3
3
3
4

Vậy VS . AMN 

VS . ABC a 3
 (đvtt)
4
4

18


Nhận xét: Cần linh hoạt khi phân tích lựa chọn cách giải cho một bài toán. Các
bài toán mới phát triển sẽ được áp dụng hiệu quả cho một số các khối đa diện
mà việc xác định chiều cao gặp khó khăn.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh tôi nhận thấy:
- Thứ nhất, đây là mảng kiến thức trọng tâm, có thể áp dụng cho diện rộng và
các loại đối tượng học sinh.
- Thứ hai, các em học sinh rất hứng thú khi học bài, các em không còn cảm giác
sợ khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là khối đa diện khó xác

định chiều cao. Nhiều em còn sôi nổi phát biểu, thảo luận và tìm ra nhiều điều
mới mẻ từ đề tài này. Các em có cái nhìn tổng quát và có hệ thống nên vận dụng
một cách khá linh hoạt trong từng bài toán cụ thể. Điều quan trọng là các em
được định hướng cách giải ngay từ đầu và đều phát hiện ra lời giải ngắn gọn và
tối ưu cho mỗi bài toán.
- Thứ ba, khi áp dụng đề tài này xong, khả năng vẽ hình của các em khá tốt, trí
tưởng tượng hình không gian khá phong phú, lối tư duy sâu sắc, sáng tạo từ đó
tạo nền tảng chắc chắn để các em có thể học tiếp các mảng kiến thức khác.
Kết quả thu được cụ thể ở lớp giảng dạy 12A1 như sau:
* Trong bài kiểm tra lần 1 năm 2017 (Học sinh đã học xong chương I hình
học 12 và chưa áp dụng đề tài này) có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có
�  90o , CAD
�  BAD
�  120o . Tính theo a
AB = AC = AD = a (a > 0) và BAC

thể tích của tứ diện đó.”
Kết quả
Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm đúng câu IV
12A1
48
40
30
* Trong bài kiểm tra lần 2 năm 2017 (Học sinh đã được áp dụng đề tài này)
có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, AC =

3a
, AD = a ( a > 0),
2

�  BAD
�  60o , CAD
�  90o. Tính theo a thể tích của tứ diện đó.
BAC

Kết quả
19


Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm đúng câu IV
12A1
48
48
46
Như vậy có thể kết luận sau khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này học
sinh đã tự tin làm bài và tỉ lệ làm đúng là rất cao, hơn hẳn lần thi thứ nhất.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Giúp học sinh được củng cố các phương pháp tính thể tích khối chóp và được
rèn tư duy sáng tạo thông qua việc phát triển một bài toán tính thể tích từ đơn
giản đến phức tạp. Học sinh biết được mối liên hệ của các dạng toán tính thể tích
và một số ứng dụng của thể tích.
2. Xây dựng được một lớp các bài toán tính thể tích khối chóp từ dễ đến khó.
3. Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm con đường tối ưu để tính thể tích, tạo
cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của
học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ giáo dục và đào tạo. Điều
quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ bài toán về hình
học không gian, đặc biệt là các bài toán tính thể tích khối chóp mà việc sử dụng
trực tiếp công thức gặp khó khăn.

Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không
những nắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài toán cụ
thể mà còn rất hứng thú khi học tập chuyên đề này. Khi học trên lớp và qua các
lần làm bài khảo sát chất lượng , số học sinh làm được bài về tính thể tích cao
hơn hẳn các năm trước và các em không được học chuyên đề này.
Với những đóng góp nhỏ trên, hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể là
tài liệu tham khảo cho các giáo viên trẻ mới vào nghề và các học trò muốn rèn
luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo và giải tốt các bài tập hình học
không gian.
- Kiến nghị:
Mỗi bài toán phức tạp đều bắt nguồn từ bài toán đơn giản, kỹ năng tương tự
hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa là những phẩm chất quan trọng của tư duy sáng
20


tạo. Việc giúp học sinh phát huy được các kỹ năng này trong giải toán là điều
quan trọng đối với mỗi người thầy.
Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo cùng các em
học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau.
Chẳng hạn, phát triển các bài toán từ hình học phẳng sang hình học không gian,
phát triển các bài toán bất đẳng thức từ một số bất đẳng thức đơn giản, từ một
bài toán tỉ số khoảng cách có thể phát triển thành các bài toán tính khoảng cách
trong không gian....
Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên việc phát triển và khai
thác bài toán có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong
được các bạn bè đồng nghiệp góp y kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện
hơn.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám khảo và các
đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp y cho tôi hoàn thành đề tài SKKN này.

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 12 chương trình chuẩn và nâng cao.
2. Đề thi tuyển sinh vào đại học, THPT QG.
3. Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
4. Đề thi Olympic 30-04 (kể cả các đề tham khảo)
5. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán. NXB ĐHSP Hà Nội 2004.
6. Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính, Tâm lí học giáo
dục. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2009.
7. Một số bài toán từ các website: laisac.page.tl, Mathlinks.ro, khoia0.com,
toanmath.vn, diendantoanhoc.net, diendankienthuc.net,…

22


MỤC LỤC
1. Mở đầu………………………………………………………………………..1
1.1. Ly do chọn đề tài ……………………………………………….………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………….……...2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….…. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….……… 3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm …………………………………..…….…. 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………..….…. 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……… ….... 6
2.3. Các SKKN đã sử dụng để giải quyết vấn đề ………………………..….... 6
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp
và nhà trường ………………………………………………………………..... 18
3. Kết luận, kiến nghị ………………………………………………………... 19

- Kết luận …………………………………………………………………. .... 19
- Kiến nghị …………………………………………………………………......20

23


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Hiếu
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá

Kết quả

xếp loại

đánh giá đánh giá xếp
xếp loại

1

Ứng dụng đạo hàm vào giải

Năm học

loại

Sở GD& ĐT

các bài toán phương trình, bất Thanh Hóa

C

phương trình, hệ phương
trình và hệ bất phương trình
chứa tham số lớp 12

24

2013 - 2014