Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ
--------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH

TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG
TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ
--------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH

TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG
TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Tích phân trạng thái và các hàm
nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” đã được hoàn thành.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh đã trực tiếp hướng dẫn tận tình chỉ bảo cho em trong suốt quá trình
xây dựng và hoàn thành đề tài này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lí lý
thuyết, các thầy cô trong khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua.
Cảm ơn tất cả bạn bè, những người đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá
trình nghiên cứu để hoàn thiện khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Ngọc Ánh


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học. Đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các
tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Tích phân
trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” không
trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Ngọc Ánh

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài .................................................................. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 2
CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ ... 3
1.1

Khái niệm cơ bản .................................................................................. 3

1.2

Phương pháp Gipxơ .............................................................................. 6

1.3

Định lí Liuvin........................................................................................ 7

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................... 12
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI .............................................. 13
2.1

Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt ................................................ 13

2.2

Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi ..................................... 16

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT
ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN .................................... 19
3.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái ................ 19
3.2. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng ............... 21
3.3. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí thực .................... 25
3.4. Một số bài tập ứng dụng ...................................................................... 30
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................... 35
KẾT LUẬN ................................................................................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 37


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các
thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí
xây dựng các thuyết vật lí.Thuyết vật lí là sự hiểu biết tổng quát nhất của con
người trong một lĩnh vực , một phạm vi vật lí nhất định. Dựa trên một mô
hình vật lí tưởng tượng, các nhà vật lí lý thuyết bằng phương pháp suy
diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc,
các định luật, các nguyên lý vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện
tượng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động
hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Để biết được cấu tạo của các phân tử tạo nên
vật chất qua đó giải thích được những tính chất của chúng liên quan đến sự
chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cứu các trạng thái khác
nhau của vật chất. Muốn nghiên cứu được chúng ta phải xuất phát từ việc
nghiên cứu các trạng thái đơn giản đến các trạng thái phức tạp hơn
Trong quá trình tìm hiểu em thấy rằng vật lí thống kê là một trong những
học phần quan trọng của vật lí lý thuyết. Vật lí thống kê nghiên cứu các hệ
nhiều hạt cân bằng cũng như không cân bằng. Vật lí thống kê áp dụng các

phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ chứa một số
rất lớn những phần tử, vì thế hệ có số bậc tự do cao đến mức không thể giải
chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử. Hơn nữa trong hệ nhiều hạt tồn tại
một quy luật khách quan là quy luật tính thống kê. Vì vậy khi khảo sát hệ
nhiều hạt ta phải dùng lý thuyết xác suất và phương pháp thống kê. Trong vật
lí thống kê cổ điển, tích phân trạng thái đóng vai trò đặc biệt quan trọng bởi
vì khi xác định được tích phân trạng thái của hệ ta có thể tìm được một loạt
các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí đó. Vật lí thống kê đã đặt cơ sở lý

1


thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học. Nhiệt động lực học thống kê
không những cho phép tính toán các đại lượng nhiệt động mà còn giúp chúng
ta thiết lập được mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của
hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau. Và
xuất phát từ đó nên em chọn đề tài “ Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt
động trong vật lí thống kê cổ điển” là đề tài nghiên cứu
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
 Nắm được các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê
 Nghiên cứu tích phân trạng thái từ đó tìm hàm nhiệt động để thấy mối
quan hệ giữa chúng
 Vận dụng để giải một số bài tập dựa vào tích phân trạng thái
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Tích phân trạng thái trong vật lí thống kê cổ điển
 Các hàm nhiệt động tìm được từ tích phân trạng thái
4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết. Đọc và tra cứu tài liệu
 Sử dụng thống kê cổ điển và phương pháp toán trong vật lí

2


CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Quy luật tính thống kê
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta
khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu
thành hệ. Do sự phức tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô
mà ta phải sử dụng phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. 13
Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê.
Quy luật tính thống kê là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt vì tính cách
của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái
lúc trước. Ví dụ như một hệ khí ( bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một
thanh kim loại ( bao gồm một số rất lớn các electron).
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động
Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là
các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa
đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử ( các hạt) riêng lẻ. 3
Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được
trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường. Ví dụ như T , p,V của khối khí là
những thông số vĩ mô.
Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn các trạng
thái vi mô. Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian.
Xác suất nhiệt động WT : các trạng thái vi mô khác nhau tương ứng với
các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng
bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện

3

được là càng lớn. Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó.
1.1.3. Không gian pha
Không gian pha là một không gian quy ước nhiều chiều, các toạ độ của
không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (
tức là các toạ độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ).  23
Có hai loại không gian pha:
 Không gian  : đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ta đưa vào không gian 𝜇 6
chiều có sáu toạ độ.
 Không gian K : đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do, không gian đó
có 2 fN chiều.
Các yếu tố cơ bản của không gian pha:
 Điểm pha ( điểm trong không gian pha ): trạng thái của hệ được xác
định bởi giá trị của tất cả các toạ độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu
thành nên hệ và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là
điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của không gian pha.
 Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ “
chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời
mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định
nào đó của hệ. Dựa vào quỹ đạo pha ta biết được sự biến đổi trạng thái vi mô
của hệ. Đối với mối điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi qua.
 Mặt năng lượng ( siêu diện năng lượng ): đối với một hệ cô lập thì năng
lượng toàn phần là không đổi E  E  q1 , q2 ,... p1 , p2 ... = const . Điều kiện đó
như là một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái và
trong không gian nó là phương trình của một mặt nào đó. Mặt đó gọi là siêu

4

diện năng lượng hay là mặt năng lượng trong không gian pha, có  2 fN  1
chiều.
 Thể tính pha: tích của các vi phân toạ độ pha
dX  dq1 , dq2 ...dq fN , dp1 , dp2 ...dp fN
 dX  dX q .dX p

1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái
Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt:
Trong không gian pha K , trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê
được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập
hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt
là tập hợp pha. 3
Xác suất trạng thái:
Giả sử có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như
nhau. Gọi   f (q1 , q2 ... p1 , p2 ...t ) , dX là một yếu tố thể tích bao quanh một
điểm pha ở thời điểm t .
Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu
diễn pha dX . Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu
diễn pha dX

dn   dX
Xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha
rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là:
dW 

dn 
 dX   ( X , t )dX
n n

Trong đó  ( X , t ) được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
thống kê và nó thoả mãn điều kiện chuẩn hoá  dW 

5

  ( X , t )dX  1.

(X )


Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: biết hàm phân bố  ( X , t) ta có thể tìm
được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì F  X  theo công thức:

F   F ( X ) dW   F ( X ) ( X , t ) dX .
X

X

1.2. Phương pháp Gipxơ
Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông
số vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời
gian. Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không
phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo
thời gian. Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất
chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung
bình của F theo thời gian t  2 
t

1
F   F ( q1 ,...q3 N , p1... p3 N , t ) dt

t0
t

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu
của hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian như biểu thức trên trong
trường hợp tổng quát không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự
phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi
được tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian.
Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ ( Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp nổi
tiếng gọi là phương pháp Gipxơ.
Cơ sở của phương pháp Gipxơ : thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô)
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê.
Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng
và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các
trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một

6


hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi
dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô
dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết
écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập
hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với
những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các
hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc.
Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng
bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản
của vật lý thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình

theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố
thống kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn
hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.3. Định lí Liuvin
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác. Giả sử ở một thời điểm nào đó,
ta tách ra một thể tích dX 1 trong đó có chứa dn  1dX 1 điểm biểu diễn pha
của các hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó số các
điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích dX 2 ở đó mật độ phân bố là  2
. Khi đó, hiển nhiên là: 3
dn  1dX 1   2 dX 2 (1.1)

Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy tạm quên không gian pha và xét phương
trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường.

7


Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố
thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz . Giả sử chất lỏng
chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc toạ độ và sau đó chảy ra qua bề mặt
khác. Khi đó khối lượng của chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo
hướng của trục y trong thời gian dt là bằng  v y dtdxdz , trong đó:  là khối
lượng riêng của chất lỏng và nói chung nó là hàm của toạ độ và thời gian; v y
là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy . Cũng trong thời gian trên khối lượng
chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục

  vy  

dy  dtdzdx
y là   v y 


y


z

dz
dx

y

dy

x

Ở đây ta đã coi rằng các giá trị  và v y đều thay đổi trên đoạn dy . Kết
quả là còn dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên:



   vy 
y

dxdydzdt

Đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng dư ra tổng cộng,
khi nó chảy vào và chảy ra khỏi nguyên tố thể tích theo cả 3 trục:

8


    vx     v y     v  
z



 dxdydzdt

x

y

z



Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đúng bằng độ biến thiên của khối lượng
chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt , nghĩa là bằng:

dt.dxdydz
t

So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng:
     vx     v y     vz  




0
t  t
t
t 



Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự,
bởi vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn
pha với chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là, đối với không gian pha

K , ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên. Muốn vậy, trong không gian
pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần là
q1 , q2 ,... p1 , p2 ... và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha. Đối với hệ

thực có fN bậc tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát sau đây:
 fN     qk     pk  
 

0
t k 1    qk 
  pk  

Trong đó  là mật độ phân bố các điểm biểu diễn pha. Thực hiện phép
tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được:

 


   qk

 p k
t
qk
pk
k 


 qk p k

  
pk
k  qk



0


Tổng của hai số hạng đầu là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời gian (
coi  như là hàm của qk , pk , t ), nghĩa là:

9


 
d  
 

   qk
 p k


dt
t
qk
p k 
k 
Và vì vậy ta có phương trình:

 q p
d
   k  k
dt
pk
k  qk


0


Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn, áp dụng phương trình Haminton:
p k  

H
H
, qk 
qk
pk

Ta có:

 qk p k
k  q  p
k
 k


0


Và do đó ta tìm được phương trình sau đây:
d
0
dt

Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “ Sự phân bố các hệ trên những trạng thái
là không đổi theo thời gian”.
Tóm lại định lí Liuvin cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với
trạng thái cân bằng là tập hợp  =const trong không gian pha tức là các trạng
thái khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơ bản
của vật lí thống kê.
Kết quả cuối cùng này phát biểu như là nguyên lý về sự bảo toàn thể tích
nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ ( tức là các điểm biểu diễn pha của các
hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ nguyên
không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó chính là định lí
Liuvin.
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển
động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị

10

biến dạng. Giá trị căn bản của định lí Liuvin là: nhờ nó ta chứng minh được
giả thiết đã nêu ra nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha
nằm trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX .
Phương trình Liuvin:
Phương trình

d

 0 còn có thể viết dưới dạng khác. Ta có   do
dt
n

đó ta tìm được:

 
d 


   qk
 p k
dt
t
qk
pk
k 
hay

 
 H  H   

 

  H ,   0



t

p

q

q

p

t
k
k
k 

 k k


   H ,   . (1.2)
t

Với  H ,   là dấu ngoặc Poátxông. Phương trình này thường được gọi là
phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo
trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê về các quá trình không

cân bằng. Người ta còn gọi phương trình (1.2) là phương trình Linvin.
Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ
không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc
tường minh vào thời gian. Khi đó ta có:

  X , t 
 0 . Kết hợp với (1.2) suy
t

ra:  H ,    0 . Theo cơ học lý thuyết, một đại lượng không phụ thuộc tường
minh vào thời gian và ngoặc Poátxông giữa hàm Haminton với đại lượng đó
là bằng 0 thì đại lượng đó được gọi là tích phân chuyển động. Đối với các hệ
bảo toàn, nếu bỏ qua chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ
hệ thì trong các tích phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng. Do
đó đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có:

  X   f  H  X  (1.3)

11


Mặt khác, một tiên đề cơ bản của nhiệt động lực học nói rằng: “ Khi có
cân bằng nhiệt động tất cả các thông số nội của hệ là hàm của các thông số
ngoại a1 , a2 ,... và năng lượng”. Điều đó chỉ được thoả mãn trong Vật lí thống
kê trong trường hợp nếu như mật độ xác suất pha  chỉ phụ thuộc vào năng
lượng và không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác. Như vậy việc
chấp nhận giả thiết (1.3) là hoàn toàn hợp lí. Hơn nữa, lẽ dĩ nhiên hàm
Haminton trong (1.3) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a1 , a2 ,... mà
viết tắt là: H  H ( X , a) . Tóm lại ta có thể kết luận đối với các hệ cân bằng
nhiệt động, hàm phân bố thống kê có dạng:

  X   f H  X , a  .

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Nội dung chương 1 em trình bày về các khái niệm cơ bản của vật lí
thống kê, phương pháp Gipxơ, định lí Liuvin. Đây là cơ sở để em nghiên cứu
về tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển.

12


CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI
2.1. Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt
Bây giờ ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều
nhiệt ( tecmôxta). Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có
các số hạt tương ứng là N1 , N 2 và được diễn tả bằng các biến số chính tắc
X 1 , X 2 đồng thời: 3
N 2  N1 (2.1)

Ta có thể coi hệ chung bao gồm hai hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt, hệ
chung đó ta có phân bố vi chính tắc:

  X1, X 2  

1
 E  H  X 1 , X 2 
 E 

(2.2)

Trong đó hàm Haminton của hệ chung bao gồm các hàm Haminton của
cả hai hệ con cộng với năng lượng tương tác U12 :

H  X 1 , X 2   H  X 1   H  X 2   U12  X 1 , X 2 

(2.3)

Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng:

  X1  

   X , X  dX

X2 

1

2

2

(2.4)

Để tìm   X 1  trong trường hợp tổng quát, ta dựa vào ba giả thiết sau đây:
 Một là, ta sẽ coi rằng năng lượng của các hệ C1 và C2 luôn luôn lớn
hơn năng lượng tương tác U12 rất nhiều. Đối với các hệ có năng lượng cộng
tính, thì khi N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác, có nghĩa là, trong
biểu thức (2.3) ta đặt:

U12  X 1 , X 2   0



Hai là, ta giả thiết khi N1  N 2  N   thì có tồn tại một giới hạn

13


E 3
   const (2.5)
N 2

Bởi vì ta đã quy ước coi rằng N 2  N1 nên điều kiện (2.5) có thể viết
dưới dạng:
E 3
 .
N 2

(2.6)

 Ba là, khi tìm công thức cho   X 1  ta sẽ coi rằng:
H1  X 1   E

(2.7)

tức là chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ rất
nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt. Hay là biểu thức tìm được
cho   X 1  sẽ chỉ đúng khi điều kiện (2.6) được thoả mãn.
Để tìm   X 1  một cách đơn giản, ta làm như sau. Ta chia hệ mà ta muốn
khảo sát C1 ra thành C '1 và C "1 . Các hàm phân bố   X '1  và   X "1  đối với
hai hệ con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con:

  X '1   f H '1  X '1 
  X "1   f  H "1  X "1 
Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khảo sát bằng tổng các
năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng:
H1 ( X 1 )  H '1  X '1   H "2  X "2   U '12

Nếu như các hệ con C '1 và C "1 là đủ lớn thì tương tự như giả thiết thứ nhất
ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác U '12 giữa hai hệ con là rất nhỏ so với
năng lượng toàn phần của các hệ con H '1 và H "1 nghĩa là, ta có thể viết:

H1  X 1   H '1  X '1   H "1  X "1 
Do đó ta có thể coi hai hệ con đó là độc lập với nhau và có thể vận dụng
định lí nhân xác suất, có nghĩa là có:

14


f  H '1  H "1 dx1dx "1  f  H '1  dx '1  H "1  dx "1,

hay là f  H '1  H "1  f  H '1  f  H "1  .
Từ đó bằng cách lấy lôgarít và sau đó lấy vi phân, ta được:
d ln f  H '1  H "1   d ln f  H '1   d ln f  H "1 

hay
 ln f  H '1  H "1   '  dH '1  dH "1    ln f  H '1   ' dH '1   ln f  H "1   ' dH "1

Coi rằng dH '1 và dH "1 có thể tiến đến không một cách độc lập, ta tìm
được:
 ln f  H '1  H "1   '   ln f  H '1   '   ln f  H "1   '   

Trong đó β là một hằng số nào đó, bởi vì đạo hàm của một hàm số đối
với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số.
Lấy tích phân đẳng thức đó ta có:
f  H   D exp   H 

Hiển nhiên rằng, từ điều kiện khi chuẩn hoá, β phải là số dương. Đặt
1
 
  , D  exp   với θ>0. (2.8)

 

  H 
Ta có f  H   exp 

  
  H1 
Do đó   X 1   exp 
 với  và θ là các hằng số.
  

Thông số θ được gọi là môđun của phân bố chính tắc, còn đại lượng 
được xác định từ điều kiện chuẩn hoá hàm phân bố:
  , a   H  X , a  
dX  1. (2.9)



   X  dX   exp 

X 

X 

Từ đó:

15


   ln

 H  X ,a 
exp
X   dX   ln Z  , a 
 

(2.10)

Đại lượng:
Z  , a  

 H  X ,a 
exp
   dX
X 

(2.11)

được gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê) và nó đóng một

vai trò đặc biệt quan trọng trong vật lí thống kê, bởi vì, sau này ta sẽ thấy nhờ nó
ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì.
Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau
của các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù
chúng được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của không gian pha. Vì thế
đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta cần phải loại trừ tất cả các
điểm của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của
hạt. Bởi vì N hạt có thể thực hiện N ! phép chuyển vị, nên không gian pha
của hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm đi N ! lần. Phân bố chính
tắc sẽ được viết dưới dạng:

X  

  , a   H  x, a  
1
exp 

N!




(2.12)

1
chỉ ảnh hưởng tới hằng số chuẩn
N!

Trong nhiều trường hợp , thừa số

hoá nên ta chỉ đưa nó vào trong một số trường hợp đặc biệt.
2.2. Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi
Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học đã đưa vào thế
hoá học  được biểu thị qua năng lượng tự do  như sau: 3

  

 N V ,T

 

16


Từ định nghĩa đó của thế hoá học, ta lấy tích phân bất định theo N , ta
suy ra:

   N     , V,T 

(2.13)

trong đó  là một thế nhiệt động mới.
Ở thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa một số hạt nhất định.
Nhưng ở thời điểm tiếp sau, số hạt trong hệ sẽ thay đổi. Ta biết rằng một hệ
có một số nhất định N các hạt đồng nhất như nhau sẽ nghiệm đúng phân bố
chính tắc, cụ thể sự phân bố của hệ đó có dạng:
dW  X  

1
1

  H 
   N  H 
exp 
exp 
 dX 
 dX
N!
N!
kT
 kT 



trong không gian pha 6N chiều.
Đối với hệ có số hạt nhất định N ' khác ta có phân bố chính tắc:
dW '  X '  

1
  N  H 
exp 
 dX '
N '!
kT



Trong không gian pha 6 N ' chiều. Tập hợp pha chính tắc tương ứng với hệ
đó sẽ khác đi. Bởi vì trong hệ có số hạt thay đổi số hạt N có thể biến thiên từ 0
đến  cho nên những hệ có số hạt nhất định như trên có thể là nhiều vô số.
Tập hợp các hệ khả dĩ tương ứng với một hệ thực có số hạt thay đổi được

gọi là tập hợp pha chính tắc lớn hay tập hợp chính tắc lớn. Hàm

  N , X 

1
  N  H 
exp 

N!
kT



(2.14)

xác định phân bố phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó được
gọi là phân bố chính tắc lớn Gipxơ. Đại lượng    ,V , T  trong phân bố được
gọi là thế nhiệt động lớn, thế này được xác định từ điều kiện chuẩn hoá của
phân bố chính tắc lớn (2.14).

17


Để tìm điều kiện chuẩn hoá ta lấy tích phân (2.14) theo các biến số vi mô

X ( biến số pha) của các tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập
hợp chính tắc tạo thành tập hợp chính tắc lớn, nghĩa là:


1

  N  H 
 dX  1
kT


 N !  exp 
N 0

(X)

(2.15)

Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lượng bất kì

F  N , X  được xác định theo công thức:
1
  N  H 
F  N , X  exp 
 dX

kT


N 0 N !  X 


F 

(2.16)

Bởi vì thế nhiệt động lớn  không phụ thuộc vào các biến số pha X và
vào số hạt N , cho nên đẳng thức (2.15) có thể viết lại:
 
N  1
 H
exp    exp 
exp

  kT  dX  1
 kT  N 0
 kT  N !  X 

(2.17)

Do đó:

N  1
 H
   kT ln  exp 
exp    dX


 kT  N !  X 
 kT 
N 0

(2.18)

Đối với phân bố chính tắc lớn, biểu thức:

N  1
 H
Z   exp 
exp    dX


 kT  N !  X 
 kT 
N 0


(2.19)

đóng vai trò là tích phân trạng thái.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Nội dung chương 2 em trình bày về tích phân trạng thái của hệ đẳng
nhiệt và hệ có số hạt thay đổi từ đó ta làm cơ sở để khảo sát khí thực, khí lí
tưởng và các hàm nhiệt động ở chương tiếp theo.

18


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT
ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
3.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái
Hệ thức cơ bản của nhiệt động lực học thống kê diễn tả mối quan hệ của
năng lượng tự do  của hệ với tích phân trạng thái Z : 3

  kT ln Z

(3.1)

Từ đây chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt
động bất kì của hệ theo tích phân trạng thái Z , điều đó cho phép chúng ta các
định được nhiều tính chất của hệ nhiệt động.
Đầu tiên ta tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do  theo
công thức:
  
p  

 V T

(3.2)

Áp dụng công thức (3.1) ta được:
  ln Z 
p  kT 

 V T

(3.3)

đó là phương trình trạng thái của hệ, bởi vì vế phải của (3.3) phụ thuộc
vào V và T . Ta có thể viết lại phương trình trạng thái (3.3) dưới dạng quen
thuộc hơn bằng cách nhân hai vế của đẳng thức với V :
  ln Z 
pV  kT 

  ln V T

(3.4)

Từ phương trình Gipxơ- Hemhônxơ ta tìm được nội năng U :
  
  ln Z 
2   lnZ 
U   T 
   kT ln Z  k (ln Z )T  kT 
 T  kT 
 . (3.5)
 T V
 T V
 T V

Tương tự ta có thể tính được các hàm nhiệt động khác như thế nhiệt
động Gipxơ, entanpi, entrôpi theo tích phân trạng thái:


Biểu thức của thế nhiệt động Gipxơ:

19


Thế nhiệt động Gipxơ: G  U  TS  pV ( U : nội năng, S : entropi )
Ta có: U  TS  F ( F : năng lượng tự do )
Mà F  kT .ln Z ( Z : tích phân trạng thái )

   kT ln Z  
   ln Z  
 F 

p  
  kT 

  p
V
 V T

T
 V T
   ln Z  
 pV  kT 
 .V
 V T
Vì

 ln V 1
  ln Z 
  pV  kT 

V
V
  ln V T

Vậy biểu thức của thế nhiệt động Gipxơ theo tích phân trạng thái
  ln Z 

  ln Z 
G  kT ln Z  kT 
  kT 
  ln Z 

  ln V T
  ln V T


 Biểu thức của entanpi:
Ta có hàm entanpi: H  U  pV ( trong đó U : nội năng, H : hàm
entanpi)
   kT ln Z  
 F 
F  U  TS  U  F  TS  F  T 


kT
ln
Z

T



T
 T V

V
  ln Z 
2   ln Z 
2   ln Z 
  kT ln Z  kT ln Z  kT 2 
  kT 
  U  kT 


 T V
 T V
 T V
  ln Z 
Mà pV  kT 

  ln V T

   ln Z    ln Z  
  ln Z 
  ln Z 
 H  kT 2 
  kT 
  kT T 
 
 
 T V
  ln V T
  T V   ln V T 



Biểu thức của entrôpi:

Ta có phương trình cơ bản của nhiệt động lực học:
TdS  dU  pdV

20