Giáo trình 11 toán nâng cao trắc nghiệm

Quyn 1
TNG LM TNG VINH..

TRAẫC NGHIEM TOAN 2019

Phiờn bn mi nht

TAỉI LIEU CHUYEN TOAN


Mục lục
I

Đại số và giải tích

4

1 Lượng giác
1.1 Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Góc và cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình và hệ phương trình lượng giác . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các dạng PT lượng giác đưa về phương trình lượng giác
1.2.3 Những phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . .
1.2.4 Hệ phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bất phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tóm tắt 1 số kĩ thuật thường dùng . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Chứng minh đẳng thức đại số . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số . . . .
1.3.4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . .
1.4 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . .
1.4.3 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . .
1.4.4 Nhận diện tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tổ hợp và xác suất
2.1 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Quy tắc đếm . . . . . . . .
2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.1.3 Nhị thức Newton . . . . . .
2.1.4 Chứng minh sự chia hết . .
2.2 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Biến cố . . . . . . . . . . .
2.2.2 Xác suất . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 2 . . . . . . . . . . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
cơ bản
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
11
16
26
26

28
37
40
41
41
41
43
44
44
45
45
47
48
50
51

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

55
55
55
60
72
78
80
80
80
95

3 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân
3.1 Phương pháp quy nạp toán học . . .
3.2 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 3 . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

101
101
104
113
118
124

2


MỤC LỤC

Tăng Lâm Tường Vinh

4 Giới hạn
4.1 Dãy số có giới hạn . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn . . . . . . . .
4.3 Dãy số có giới hạn vô cực . . . . . . . . .
4.4 Định nghĩa và 1 số định lý về giới hạn của
4.5 Giới hạn một bên . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực . . .
4.7 Các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Giới hạn hàm số lượng giác . . . . . . . .
4.9 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .
. . .
. . .
hàm
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

. .
. .
. .
số
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

127
127
129
133
138
142
146
148
150
153
157

5 Đạo hàm
5.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . .
5.2 Các quy tắc tính đạo hàm . . . .
5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác .
5.4 Vi phân - Đạo hàm cấp cao . . .
Ôn tập chương 5 . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

161
161
169
174
177
182

II

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Hình học

1 Phép dời hình và phép
1.1 Lý thuyết . . . . . .
1.2 Bài tập . . . . . . .
Ôn tập chương 1 . . . .

187
đồng dạng
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

trong
. . . .
. . . .
. . . .

mặt
. . .
. . .
. . .

phẳng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188
188
190

207

2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song
2.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

210
210
218
223
228
236
240

3 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông
3.1 Vectơ trong không gian . . . . . . . . .
3.2 Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . .
3.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
3.4 Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . .
3.5 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

242
242
248
252
258
266
272

3

góc
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.


Phần I

Đại số và giải tích

4


Chương 1

Lượng giác
1.1
1.1.1

Hàm số lượng giác
Góc và cung lượng giác

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

HĐT lượng giác cơ bản:
a) sin2 x + cos2 x = 1

sin x
cos x
cos x
c) cot x =
sin x

b) tan x =

d) tan x · cot x = 1
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
f)
= 1 + cot2 x
sin2 x

e)

cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn
kém pi tan

5


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
A=

1 + sin x
(1 − sin x)2
· 1−
cos x
cos2 x
Giải

Ta có
1 + sin x
cos x
1 + sin x
=
cos x
1 + sin x
=
cos x
= 2 tan x

A=

(1 − sin x)2
1 − sin2 x
1 − sin x
· 1−
1 + sin x
2 sin x
·

1 + sin x
· 1−

Bài tập:
Rút gọn biểu thức:
B = 2(sin6 x + cos6 x) − 3(sin4 x + cos4 x)
1 − sin x
1 + sin x
+
1 + sin x
1 − sin x
1
√
với x ∈ (π, 2π)
D=
sin x − cot2 x − cos2 x
C=

(1 + tan x). cos2 x + (1 + cot x). sin2 x với x ∈ 0,

E=

√

F =

1
2

2+

2 + ··· +

G=

1
2

2−

2 + ··· +

H=

1
1
1
+
+ ··· +
sin x sin 2x
sin 2n x

√

2 + 2 cos x với 0 ≤ x ≤ π
2 + 2 cos x với 0 ≤ x ≤ π

6

π

2


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác cơ bản
Ví dụ: Chứng minh rằng:
sin4 x − cos4 x = 2 sin2 x − 1
Giải
Ta có thể thực hiện theo 2 cách
1. Ta biến đổi VT của đẳng thức
VT = (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x)
= sin2 x − (1 − sin2 x)
= 2 sin2 x − 1
= VP
2. Ta biến đổi đẳng thức về dạng
sin4 x − 2 sin2 +1 − cos4 x = 0
⇔ (1 − sin2 x)2 − cos4 x = 0
⇔ (cos2 x)2 − cos4 x = 0 (đúng)
Bài tập:
1. Chứng minh rằng
1 − cos x
−
1 + cos x

1 + cos x
1 − cos x

2

= 4 cot2 x

2. Chứng minh rằng
sin2 x. tan x + cos2 x. cot x + 2 sin x. cos x = tan x + cot x
3. Chứng minh rằng
tan2 x
1 + cot2 x
1 + tan4 x
·
=
2
2
1 + tan x
cot x
tan2 x + cot2 x
ab
4. Cho a. sin4 x + b. cos4 x =
. Chứng minh rằng
a+b
a4 . sin10 x + b4 . cos10 x =

a4 b4
(a + b)4

5. Cho tan x, tan y là nghiệm của phương trình: at2 + bt + c = 0, chứng minh rằng
a. sin2 (x + y) + b. sin(x + y).cos(x + y) + c. cos2 (x + y) = c
6. Chứng minh các đẳng thức
na

(n + 1)a
sin
2
2
sin(ia) =
a
sin
i=1
2
na
(n + 1)a
n
sin
cos
2
2
cos(ia) =
a
sin
i=1
2
n

sin

7


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 3: Biến đổi lượng giác độc lập với biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A=

(1 − cot2 x)2
1
−
2
2
cot x
sin x cos2 x
Giải

Ta có
2

sin2 x
1
cos2 x
A=
−
2
2
sin x
sin x. cos2 x
cos2 x
2
(sin x − cos2 x)2 (sin2 x + cos2 x)2

=
−
sin2 x. cos2 x
sin2 x. cos2 x
−4 sin2 x. cos2 x
=
sin2 x. cos2 x
= −4
1−

Bài tập:
1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x
A=

sin4 x + 4 cos2 x +

cos4 x + 4 sin2 x

B = sin8 x + cos8 x − 2(1 − sin2 x. cos2 x)2
C = 2(sin6 x + cos6 x) − 3(sin4 x + cos4 x)
1 − sin6 x 3 tan2 x
−
cos6 x
cos2 x
2π
2π
E = sin2 x −
+ sin2 x + sin2 x +
3
3

D=

2. Cho a. sin x. sin y − b. cos x. cos y = 0, chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x, y
F =

1
1
+
2
2
a. sin x + b. cos x a. sin y + b. cos2 y
2

8


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Ví dụ: Biết cos x =

4
và 0 < x < 900 .
5

a) Tính sin x, tan x, cot x.
b) Tính giá trị của biểu thức

A=

cot x + tan x
cot x − tan x
Giải

a) Ta có
sin2 x + cos2 x = 1 ⇔ sin x =

1 − cos2 x =

3
5

sin x
3
=
cos x
4
1
4
cot x =
=
tan x
3

tan x =

b) Từ câu a) ta được
A=

cot x + tan x
25
=
cot x − tan x
7

Bài tập:
1. Biết tan x = −2 với x là góc của một tam giác.
a) Tính cos x, sin x.
b) Tính giá trị của biểu thức
B=

sin x + 2 cos x
sin x − 2 cos x

C=

sin x. cos x
tan2 x + cot2 x

2. Cho tan x + cot x = 2.
a) Tính cos x, sin x, tan x, cot x.
b) Tính giá trị của biểu thức

3. Cho
sin x + cos x =

√

2

a) Tính cos x, sin x, tan x, cot x.
b) Tính giá trị của biểu thức
D = sin5 x + cos5 x
4. Tính cos x, sin x, tan x, cot x, biết
3(cos x − 3 sin x − 1) = cot x, với 0 < x < 1800
5. Tính giá trị của biểu thức
π
π
+ cos6
48
48
π
2π
4π
8π
16π
32π
F = cos . cos . cos . cos . cos
. cos
65
65
65
65
65
65
π
3π
5π

17π
G = cos
+ cos
+ cos
+ . . . + cos
19
19
19
19

E = sin6

9


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 5: Góc phụ, bù nhau
Ví dụ: Biết tan 750 = 2 +

√

3, tính giá trị các hàm số lượng giác của

a) Góc 1050
b) Góc 150
Giải
a) Ta có

tan 1050 = tan(1800 − 750 ) = − tan(750 ) = −2 −
√
1
= 3−2
cot 1050 =
0
tan 105

√

3

√
1− 3
cos 105 = cos(180 − 75 ) = − cos 75 = − √
= √
2 2
1 + tan2 750
√
3+1
sin 1050 = tan 1050 . cos 1050 = √
2 2
0

0

0

1

0

b) ...

Bài tập:
1. Rút gọn biểu thức
A=

1 − cos2 (900 + x)
− cot(900 − x). tan(900 + x)
1 − sin2 (900 + x)

2. Tính
B = cos 100 + cos 300 + · · · + cos 1500 + cos 1700
C = tan 10 . tan 20 ... tan 880 . tan 890
3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
1 − cot2 (x + 900 )
D=
cot2 (x − 900 )

2

−

2

sin

(1800

1
− x). sin2 (900 − x)

4. Tính giá trị của biểu thức
π
+ kπ , với k ∈ Z
6
kπ
4 sin2 x −
π
2
F =
, với k ∈ Z và x =
kπ
4
tan x +
. cot x
2

E = 2 sin

10


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1.1.2

Tăng Lâm Tường Vinh

Công thức lượng giác

Lý thuyết
1. Công thức cộng.

a. cos(x + y) = cos x. cos y − sin x. sin y
b. cos(x − y) = cos x. cos y + sin x. sin y
c. sin(x + y) = sin x. cos y + sin y. cos x
d. sin(x − y) = sin x. cos y − sin y. cos x

e. tan(x + y) =

tan x + tan y
1 − tan x. tan y

f. tan(x − y) =

tan x − tan y
1 + tan x. tan y

2. Công thức nhân đôi.

a. sin 2x = 2 sin x. cos x
b. cos 2x = cos2 x − sin2 x
= 2 cos2 x − 1
= 1 − 2 sin2 x

c. tan 2x =

2 tan x

1 − tan2 x

c. tan 3x =

(3 − tan2 x) tan x
1 − 3 tan2 x

3. Công thức nhân ba.

a. cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
b. sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
4. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
2
1
b. sin x. sin y =
2
1
c. sin x. cos y =
2
1
d. cos x. sin y =
2
a. cos x. cos y =

cos(x + y) + cos(x − y)
cos(x − y) − cos(x + y)
sin(x + y) + sin(x − y)
sin(x + y) − sin(x − y)

5. Công thức biến đổi tổng thành tích.

x−y
x+y
cos
2
2
x+y
x−y
b. cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
x+y
x−y
c. sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x+y
x−y
d. sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2

a. cos x + cos y = 2 cos

e. tan x + tan y =

sin(x + y)
cos x. cos y

f. tan x − tan y =

sin(x − y)
cos x. cos y

g. cot x + cot y =

sin(x + y)
sin x. sin y

h. cot x − cot y =

sin(y − x)
sin x. sin y

6. Công thức hạ bậc.

1 − cos 2x
2
1
+
cos
2x
b. cos2 x =
2

3 sin x − sin 3x

4
3
cos
x
+ cos 3x
d. cos3 x =
4

a. sin2 x =

c. sin3 x =

11


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

7. Công thức rút gọn a sin x + b cos x.
Ta có
a sin x + b cos x =
=
a sin x − b cos x =
=

b
a
a
a2 + b2 cos(x − α) với tan α =

b
b
a2 + b2 sin(x − α) với cot α =
a
a
2
2
a + b cos(x + α) với tan α =
b
a2 + b2 sin(x + α) với cot α =

α
8. Công thức tính sin α, cos α, tan α theo tan
2
α
Nếu đặt t = tan , ta được
2
2t
1 + t2
1 − t2
cos α =
1 + t2
2t
tan α =
1 − t2
sin α =

12

1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lượng giác thành tổng
Bài tập:
Biến đổi biểu thức sau thành tổng:
1. A = sin x. sin 2x. sin 3x
2. B = 4 cos x. cos 2x. sin
3. C = 8 sin x −

5x
2

π
π
. cos 2x. sin x +
6
6

4. D = 4 cos(x − y). cos(y − z). cos(z − x)

Dạng 2: Biến đổi biểu thức lượng giác thành tích
Bài tập:
Biến đổi biểu thức sau thành tích:
1. A = sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x
2. B = 1 + sin x + cos 3x − (cos x + sin 2x + cos 2x)
3x
x
3x

x
− 2 sin . sin x. sin
−1
3. C = 2 cos . cos x. cos
2
2
2
2
4. D = 2 cos3 x + cos 2x + sin x
5. E = 5 sin 3x − 3 sin 5x
6. F = sin x. cos x − 2(tan x + cos2 x) + 4
7. G = sin

5x
a
− 5 cos3 x. sin , với a = π + 2kπ, k ∈ Z
2
2

13


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức lượng giác
Phương pháp chung
• Các công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức lượng giác.
• Tính chất các hàm số lượng giác

−1 ≤ sin x ≤ 1 và − 1 ≤ cos x ≤ 1
sin x ± cos x =

√

2 sin x ±

π
4

⇒ | sin x ± cos x| ≤

Mở rộng
|a sin x ± b cos x| ≤

a2 + b2

• Các bất đẳng thức đại số và tính chất tam thức bậc hai.
Bài tập:
1. Chứng minh rằng:
a) sin

5π
π
+ sin
>1
12
12

1

3
c) | sin α|. sin x + | cos α|. cos x ≤ 1

b) tan4 x + tan4 2x + cot4 3x ≥

2. Cho 0 ≤ x + y ≤ 2π, chứng minh rằng
x+y
1
(sin x + sin y) ≤ sin
2
2
3. Cho tan x = 3 tan y, chứng minh rằng
√
√
3
3
≤ tan(x − y) ≤
3
3
4. Cho 0 < x1 < x2 < . . . < xn <
tan x1 <

π
, chứng minh rằng
2
sin x1 + sin x2 + . . . + sin xn
< tan xn
cos x1 + cos x2 + . . . + cos xn

14

√

2


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 4: Tính GTLN và GTNN của biểu thức lượng giác
Phương pháp chung
1. Tính bị chặn của các hàm số lượng giác cơ bản:
| sin x| ≤ 1 và 0 ≤ sin2n x ≤ 1, với n nguyên dương
| cos x| ≤ 1 và 0 ≤ cos2n x ≤ 1, với n nguyên dương

2. Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ R khi và khi
∆≥0
a=0
3. Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm x ∈ R khi và chỉ khi
a2 + b2 ≥ c2
4. Nếu hàm số dạng
y=

a1 sin x + b1 cos x + c1
a2 sin x + b2 cos x + c2

Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình cổ điển
a sin x + b cos x = c.
5. Bất đẳng thức đại số.

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 2 sin x + 4.
Giải
Ta có | sin x| ≤ 1, do đó
π
+ k2π(k ∈ Z)
2
π
= 2.(−1) + 4 = 2, đạt được khi sin x = −1 ⇔ x = − + k2π(k ∈ Z)
2

ymax = 2.1 + 4 = 6, đạt được khi sin x = 1 ⇔ x =
ymin

Bài tập:
1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
y = 1 − 2 cos x − 2 sin2 x
y = a sin x + b cos x
sin x + 2 cos x + 3
y=
2 sin x + cos x + 3
1
y = 2(1 + sin 2x. cos 4x) − (cos 4x − cos 8x)
2
y = sin10 x + cos10 x
y = cos x + cos y − cos(x + y)
2. Tìm GTLN của hàm số
y = sin2001 x + cos2002 x
y = cos 6x − cos 2x + 4(−3 sin x + 4 sin3 x + 2006)
15

1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

3. Tìm GTNN của hàm số
y = 4 sin2 x + 2 sin2 3x − 4 sin x sin2 3x + 3
√
y = 4 sin2 2x − sin x(8 3 cos x + 1) − cos2 x + 6 + 2 cos 6x
1
1
π
y=
+
, x ∈ 0,
sin x cos x
2

1.1.3

Các hàm số lượng giác

Dạng 1.
Tập xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp chung
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f (x) ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Tìm tập D của x để f (x) có nghĩa
D = {x ∈ R|f (x) có nghĩa}
Phương pháp 2: Tìm tập E của x để f (x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số
là

D = R\E
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:
y=−

1
2 cos x − 1
Giải

Hàm số xác định khi

x = π + k2π
1
3
2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = ⇔
x = − π + k2π
2
3
Vậy TXĐ của hàm số là D = R\

π
π
+ k2π, − + k2π , (k ∈ Z).
3
3

Bài tập:
Tìm tập xác định của các hàm số sau
2
(tan x − 1)(sin 2x − 2)
1

y=
4 − 5 cos x − 2 sin2 x
√
y = 3 − sin x
y=

y=

1 + sin x − 2 cos2 x

y=

1 − sin x
1 + cos x

16

(k ∈ Z)


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 2.
Tính tuần hoàn của các hàm số lượng
giác
Phương pháp chung
1. Xét hàm số y = f (x), tập xác định là D, ∀x ∈ D, ta có
x − T0 ∈ D và x + T0 ∈ D

f (x + T0 ) = f (x)
2. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả
2π
.
a
π
b. Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a = 0 tuần hoàn với chu kỳ .
a
a. Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a = 0 tuần hoàn với chu kỳ

3. Cho cặp hàm số f (x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần lượt là a và b với
a
∈ Q. Khi đó các hàm số:
b
F (x) = f (x) + g(x), G(x) = f (x).g(x)
Mở rộng: Hàm số F (x) = mf (x) + ng(x) tuần hoàn với chu kỳ T là bội số chung nhỏ
nhất của a, b.
Ví dụ: Xác định chu kỳ của các hàm số:
f (x) = tan 3x −

π
;
6

g(x) = cos2 x − 1;

h(x) = sin

2
x . cos

5

2
x ;
5

r(x) =

1
sin x

Giải
• Hàm số tuần hoàn với chu kỳ

π
.
3

• g(x) =

1 + cos 2x
1
1
2π
− 1 = cos 2x − . Do đó g là hàm số tuần hoàn với chu kì T =
=π
2
2
2
2

• h(x) =

1
sin
2

4
2π
5π
x . Do đó h là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4 =
5
2
5

• TXĐ: D = R\{kπ|k ∈ Z}
Ta xét đẳng thức
f (x + T ) = f (x) ⇔⇔
Chọn x =

1
1
=
⇔ sin(x + T ) = sin x
sin(x + T )
sin x

π
thì sin x = 1 và do đó
2

π
π
π
sin
+ T = 1 ⇔ + T = + k2π, k ∈ Z ⇔ T = k2π, k ∈ Z
2
2
2

Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2π. Rõ ràng ∀x ∈ D, x + k2π ∈ D, x − k2π ∈ D và
f (x + k2π) =

1
1
=
= f (x)
sin(x + k2π)
sin x

Vậy r là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.
17


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Bài tập:
Xét tính tuần hoàn các hàm số sau:
f (x) = 2 cos2 2x +

π
3

1
1
sin 2x + sin 3x
2
3
f (x) = sin 2x + cos 5x
f (x) = sin x +

f (x) = sin3 x + cos3 x
x
x
f (x) = 2 tan − 2 tan
2
3
2
f (x) = cos x + 2 cos x + 4 cos3 x
√
f (x) = sin x + sin x 2
1
cos x
1
f (x) =
2
cos
√ x
f (x) = tan x

f (x) =

Dạng 3.
Tính chẳn, lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó
• Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực hiện bước 2.
• Nếu D không phải là tập đối xứng,ta kết luận hàm số không chẳn cũng
không lẻ.
Bước 2: Xác định f (−x), khi đó
• Nếu f (−x) = f (x) ⇒ hàm chẵn.
• Nếu f (−x) = −f (x) ⇒ hàm lẻ.
• Nếu f (−x) = ±f (x) ⇒ hàm không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
1. y =

1
sin x

2. y = tan |2x|
3. y = cos x +

π
4

4. y = cot x − sin 5x
Giải
1. TXĐ: D = R\{0}, là 1 tập đối xứng qua 0.
Ta có ∀x ∈ D

1
1
=−
= −f (x)
f (−x) =
sin(−x)
sin x
Vậy f là hàm số lẻ.
18


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2. TXĐ: D = R\

Tăng Lâm Tường Vinh

π
π
+ k , k ∈ Z , là 1 tập đối xứng.
4
2

Ta có ∀x ∈ D
f (−x) = tan |2(−x)| = | tan |2x| = f (x)
Vậy f là hàm số chẵn.
3. TXĐ: D = R, là 1 tập đối xứng qua 0.
π
Ta có : f là hàm số không chẵn, không lẻ. Thật vậy, với x0 = , ta có
4
f (−x0 ) = cos 0 = 1

π
f (x0 ) = cos = 0
2

⇒

f (−x0 ) = −f (x0 )
f (−x0 ) = f (x0 )

4. TXĐ: D = R, là 1 tập đối xứng qua 0.
Ta có ∀x ∈ D
f (−x) = cot(−x) − sin(−5x) = − cot x + sin 5x = −(cot x − sin 5x) = −f (x)
Vậy f là hàm số lẻ.
Bài tập:
1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
f (x) = |x|. cos x
f (x) = sin2005 x + cos nx
x2
sin x + tan x
f (x) = sin x − cos x
π
f (x) = tan
+x
2
sin x − tan x
f (x) =
cos x
3
f (x) = sin x. cot x
f (x) =

2. Chứng rằng hàm số
f (x) =

sin2004n x + 2004
cos x

với n ∈ Z có trục đối xứng.
x
3. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y =
với đồ
3
√
thị của hàm số y = sin x đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn 10.

19


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

Dạng 4.
Hàm số y = sin x
• TXĐ: D = R
• Tính chẵn lẻ: Hàm số lẻ
• Tính tuần hoàn: Chu kì T = 2π
• Bảng biến thiên của hàm số y = sin x trên [−π; π]

• Đồ thị

• Nhận xét
Tập giá trị của hàm số y = sin x là đoạn [−1; 1]
Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.

Dạng 5.
Hàm số y = cos x
• TXĐ: D = R
• Tính chẵn lẻ: Hàm số chẵn
• Tính tuần hoàn: Chu kì T = 2π
• Bảng biến thiên của hàm số y = cos x trên [−π; π]

20


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

• Đồ thị

• Nhận xét
Tập giá trị của hàm số y = cos x là đoạn [−1; 1]
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối
xứng.

Dạng 6.
Hàm số y = tan x
• TXĐ: D = R\

π
+ kπ|k ∈ Z
2

• Tính chẵn lẻ: Hàm số lẻ
• Tính tuần hoàn: Chu kì T = π
π π
• Bảng biến thiên của hàm số y = tan x trên − ;
2 2

• Đồ thị
• Nhận xét
Tập giá trị của hàm số y = tan x là R
Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.

Dạng 7.
Hàm số y = cot x
• TXĐ: D = R\ {kπ|k ∈ Z}
21


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

• Tính chẵn lẻ: Hàm số lẻ
• Tính tuần hoàn: Chu kì T = π
• Bảng biến thiên của hàm số y = cot x trên (0; π)

• Đồ thị

• Nhận xét
Tập giá trị của hàm số y = cot x là R
Hàm số y = cot x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.

Dạng 8.
Chứng minh tính tuần hoàn và tìm chu kì
của một hàm số lượng giác
1. Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kì của nó:
• Hàm số y = f (x) xác định trên D là tuần hoàn nếu có số T = 0 sao cho ∀x ∈
D, x + T ∈ D, x − T ∈ D, f (x + T ) = f (x).
• Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì gọi là chu kì của hàm
số.
2. Sử dụng các kết quả sau:
2π
|a|
2π
• Hàm số y = A cos(ax + α), (A.a = 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T =
|a|

• Hàm số y = A sin(ax + α), (A.a = 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T =

22


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

π
|a|
π
• Hàm số y = A cot(ax + α), (A.a = 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T =
|a|
• Nếu hàm số y = f (x) chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là T1 , T2 , . . . Tn
thì hàm số f có chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T1 , T2 , . . . , Tn .

• Hàm số y = A tan(ax + α), (A.a = 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T =

Ví dụ:
1. Chứng minh rằng các hàm số y = f (x) sau đây là các hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của
mỗi hàm số:
π
a) y = 2 sin 3x +
4
b) y = cos2 x − 1
2x
2x
. cos
c) y = sin
5
5
1
d) y =
sin x
1
e) y =

cos x
√
f) y = cos x
Giải
2π
a) Ta có f là hàm số tuần hoàn với chu kì T =
trên R
3
1 + cos 2x
1
1
b) Ta biến đổi y = cos2 x − 1 =
− 1 = cos 2x − .
2
2
2
2π
Do đó f làm hàm số tuần hoàn với chu kì T =
= π.
2
4x
.
5
2π
5π
Do đó hàm f là hàm tuần hoàn với chu kì T =
=
4
2
5

c) Ta biến đổi y = sin

2x
5

cos

2x
5

=

1
sin
2

d) TXĐ: D = R\{kπ/k ∈ Z}.

1
1
=
⇔ sin(x + T ) = sin x.
sin(x + T )
sin x
π
π
π
π
Chọn x =

thì sin x = 1 và do đó sin
+ T = 1 ⇔ + T = + k2π, k ∈ Z ⇔ T =
2
2
2
2
k2π, k ∈ Z.
Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2π.
1
1
Rõ ràng ∀x ∈ D, x + k2π ∈ D, x − k2π ∈ D và f (x + k2π) =
=
= f (x).
sin(x + k2π)
sin x
Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.
π
e) TXĐ: D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2
cos(x + T ) = cos x
1
1
=
⇔
Ta xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔
.
cos(x + T )
cos x
cos x = 0

Chọn x = π thì cos x = −1, do đó cos(π + T = −1 ⇔ π + T = π + k2π, k ∈ Z ⇔ T = k2π, k ∈
Z.
Lại có 2π là số dương nhỏ nhất trong các số T . Rõ ràng ∀x ∈ D, x − k2π ∈ D, x + k2π ∈ D
1
1
và f (x + k2π) =
=
= f (x).
cos(x + k2π)
cos x
Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.
Ta xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔

23


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tăng Lâm Tường Vinh

π
π
+ k2π ≤ x ≤ + k2π, k ∈ Z .
2
2
√
Với x ∈ D và x + T ∈ D, xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔ cos(x + T ) = cos x ⇔
cos(x + T ) = cos x.
Chọn x = π thì cos x = −1 và do đó cos(π + T ) = −1 ⇔ π + T = π + k2π, k ∈ Z ⇔ T =
k2π, k ∈ Z.

Ta thấy 2π là số dương nhỏ nhất trong các số T .
√
Rõ ràng ∀x ∈ D, x − k2π ∈ D, x + k2π ∈ D, f (x + k2π) = cos(x + k2π) cos x = f (x).
Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

f) TXĐ: D = x ∈ R/ −

Bài tập:
1. Chứng minh rằng các hàm số y = f (x) sau đây tuần hoàn và tìm chu kì của mỗi hàm số:
b)y = cos2 2x. sin x
a)y = sin 2x + cos 5x
sin 3x
c)y = sin3 x + cos3 x
d)y =
1 + sin x
2. Tìm chu
√ kì của mỗi πhàm tuần hoàn sau:
a)y = 2 sin 3x +
5
π
2
c)y = cos x +
8
1
e)y =
cos2 x

π
b)y = cot(2x − ) + 3
4

√
3
d)y = sin x
f )y = cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x

Dạng 9.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một
hàm số lượng giác trên tập D
• Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác trên một đoạn:
* 1 ≤ sin x ≤ 1; −1 ≤ cos x ≤ 1
* 0 ≤ sin2 x ≤ 1; 0 ≤ cos2 x ≤ 1
• Sử dụng đồ thị hàm số trên tập D.
Ví dụ: Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
√
a) y = 3 cos x trên R
π π
b) y = tan x trên − ;
3 6
π π
c) y = y = sin x − cos x trên − ;
4 4
d) y = −4 cos2 x + 2 sin x + 3 trên R
Giải
√
√
√
a) Vì −1 ≤ cos x ≤
1,
∀
∈

R
⇒
−
3
≤
3
cos
x
≤
3, ∀x ∈ R.
√
√
Vậy max(y) = 3 và min(y) = 3.
R

R

π π
b) Vì hàm số y = tan x đồng biến trên − ;
2 2
√
√
π
3
tan x ≤ tan ⇒ − 3 ≤ y ≤
.
6
3 √
√
3

Vậy min (y) = − 3, max (y) =
π π
π π
3
[− 3 ; 6 ]
[− 3 ; 6 ]
24

nên ta có: −

π
π
π
≤ x ≤
⇒ tan −
3
6
3

≤


1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
√

Tăng Lâm Tường Vinh

π
π π
π

π
. Có x ∈ − ;
⇒ − ≤ x − ≤ 0.
4
4 4
2
4
π π
π
Vì hàm số y = sin u đồng biến trên đoạn − ;
nên ta có: −1 ≤ sin x −
2 2
4
√
√
π
⇒ − 2 ≤ 2 sin x −
≤ 0.
4
√
Vậy max (y) = 0, min (y) = − 2.
π π
[− π4 ; π4 ]
− ;
4 4

c) Ta có y = sin x − cos x =

2 sin x −

≤ 0

d) Ta biến đổi y = −4 cos2 x + 2 sin x + 3 = −4(1 − sin2 x) + 2 sin x + 3 = 4 sin2 x + 2 sin x − 1.
Xét hàm số y = g(t) = 4t2 + 2t − 1 trên [−1; 1]. Đồ thị của hàm số g là một parabol có bề
1 5
.
lõm quay lên trên và có tọa độ đỉnh là S − ;
4 4
Giá trị của hàm số tại x = −1 và tại x = 1 là: g(−1) = 1 và g(1) = 5.
5
Vậy min(y) = − , max(y) = 5.
R
4 R
Bài tập:
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
π π
π
trên − ;
4
4 4
3π π
π
trên − ; −
b) y = cot x +
4
4
2
a) y = sin 2x +

2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) y = sin x + cos x − sin x. cos x trên R.
b) y = 4 cos2 x + cos x − 1 trên R
c) y = | sin x − cos 2x| trên R.
3. Tìm GTLN, GTNN của mỗi hàm số sau:
a) y = 4 cos 2x +

π
4

3 − 2 sin3 (x2 + π) − 4
π π
c) y = 4 tan2 x, x ∈ − ;
4 4
√
√
d) y = sin x − cos x
b) y =

25